Bài tập hình học phương trình đường thẳng và đường tròn (có đáp án)

59 211 1
  • Loading ...
Loading...
1/59 trang

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 01/05/2017, 20:19

200 bài tập hình học 10 tọa độ mặt phẳng (có đáp án)200 bài tập hình học 10 tọa độ mặt phẳng (có đáp án)200 bài tập hình học 10 tọa độ mặt phẳng (có đáp án)200 bài tập hình học 10 tọa độ mặt phẳng (có đáp án)200 bài tập hình học 10 tọa độ mặt phẳng (có đáp án)200 bài tập hình học 10 tọa độ mặt phẳng (có đáp án)200 bài tập hình học 10 tọa độ mặt phẳng (có đáp án)200 bài tập hình học 10 tọa độ mặt phẳng (có đáp án) Trn S Tựng PP to mt phng TP 01: NG THNG Cõu Trong mt phng vi h to Oxy, cho ng thng d1 : x - y + 17 = , d2 : x + y - = Vit phng trỡnh ng thng (d) qua im M(0;1) to vi d1, d2 mt tam giỏc cõn ti giao im ca d1, d2 ã Phng trỡnh ng phõn giỏc gúc to bi d1, d2 l: x - y + 17 x+ y-5 ộ x + 3y - 13 = (D1 ) = ở3 x - y - = (D2 ) 12 + (-7)2 12 + 12 ng thng cn tỡm i qua M(0;1) v song song vi D1 hoc D2 KL: x + 3y - = v 3x - y + = Cõu Trong mt phng vi h trc to Oxy, cho cho hai ng thng d1 : x - y + = d2 : x + y = Lp phng trỡnh ng thng i qua im P(2; 1) cho ng thng ú ct hai ng thng d1 v d2 to mt tam giỏc cõn cú nh l giao im ca hai ng thng d1, d2 r r ã d1 VTCP a1 = (2; -1) ; d2 VTCP a2 = (3;6) uur uur Ta cú: a1.a2 = 2.3 - 1.6 = nờn d1 ^ d2 v d1 ct d2 ti mt im I khỏc P Gi d l ng thng i qua P( 2; 1) cú phng trỡnh: d : A( x - 2) + B( y + 1) = Ax + By - A + B = d ct d1, d2 to mt tam giỏc cõn cú nh I d to vi d1 ( hoc d2) mt gúc 450 2A - B ộ A = 3B = cos 450 A2 - AB - 3B = B = -3 A A2 + B2 22 + (-1)2 * Nu A = 3B ta cú ng thng d : x + y - = * Nu B = 3A ta cú ng thng d : x - 3y - = Vy cú hai ng thng tho yờu cu bi toỏn d : 3x + y - = ; d : x - 3y - = Cõu hi tng t: a) d1 : x - y + 17 = , d2 : x + y - = , P(0;1) S: x + 3y - = ; x - y + = Cõu Trong mt phng Oxy, cho hai ng thng d1 : 3x + y + = , d2 : x + y + = v im I (1; -2) Vit phng trỡnh ng thng D i qua I v ct d1, d2 ln lt ti A v B cho AB = 2 uur uur ã Gi s A(a; -3a - 5) ẻ d1; B(b; -3b - 1) ẻ d2 ; IA = (a - 1; -3a - 3); IB = (b - 1; -3b + 1) uur uur ỡb - = k (a - 1) I, A, B thng hng ị IB = kIA ợ-3b + = k (-3a - 3) ã Nu a = thỡ b = ị AB = (khụng tho) b -1 ã Nu a thỡ -3b + = (-3a - 3) a = 3b - a -1 AB = (b - a)2 + ộở3(a - b) + ựỷ = 2 t + (3t + 4)2 = (vi t = a - b ) + Vi t = -2 ị a - b = -2 ị b = 0, a = -2 ị D : x + y + = 5t + 12t + = t = -2; t = - Trang PP to mt phng + Vi t = Cõu Trn S Tựng -2 -2 ị a-b = ị b = , a = ị D : 7x - y - = 5 5 Trong mt phng vi h trc to Oxy, cho hai ng thng d1 : x + y + = , d2 : x y = Lp phng trỡnh ng thng (d) i qua M(1;1) ct (d1) v (d2) tng uuur uuur r ng ti A v B cho MA + MB = ã Gi s: A(a; uuur a1),uuur B(b; r2b 1) T iu kin MA + MB = tỡm c A(1; 2), B(1;1) suy (d): x = Trong mt phng vi h ta Oxy, cho im M(1; 0) Lp phng trỡnh ng thng (d) i qua M v ct hai ng thng d1 : x + y + = 0, d2 : x y + = ln lt ti A, B cho MB = 3MA uuur ỡ A ẻ (d1 ) ỡ A(a; -1 - a) ỡù uuur MA = (a - 1; -1 - a) ãớ ịớ B ẻ ( d ) B (2 b 2; b ) ợ ùợ MB = (2b - 3; b) ợ uuur uuur uuur uuur T A, B, M thng hng v MB = 3MA ị MB = 3MA (1) hoc MB = -3MA (2) ỡ ổ 1ử ỡ A 0; -1) ùA - ;ị (d ) : x - y - = (1) ị ỗố 3 ữứ ị (d ) : x - 5y - = hoc (2) ị ( ợ B(4;3) ù B(-4; -1) ợ Cõu Trong mt phng vi h ta Oxy, cho im M(1; 1) Lp phng trỡnh ng thng (d) i qua M v ct hai ng thng d1 : 3x - y - = 0, d2 : x + y - = ln lt ti A, B cho Cõu MA 3MB = ã Gi s A(a;3a - 5) ẻ d1 , B(b;4 - b) ẻ d2 uuur uuur ộ2 MA = 3MB (1) uuur Vỡ A, B, M thng hng v MA = 3MB nờn uuur MA = MB (2) ỡ ổ 5ử ùa = ỡ2(a - 1) = 3(b - 1) + (1) ớ ị A ỗ ; ữ , B(2;2) Suy d : x - y = ợ2(3a - 6) = 3(3 - b) ố2 2ứ ùợb = ỡ2(a - 1) = -3(b - 1) ỡa = + (2) ớ ị A(1; -2), B(1;3) Suy d : x - = ợ2(3a - 6) = -3(3 - b) ợb = Vy cú d : x - y = hoc d : x - = Trong mt phng vi h to Oxy, cho im M(3; 1) Vit phng trỡnh ng thng d i qua M ct cỏc tia Ox, Oy ti A v B cho (OA + 3OB) nh nht Cõu ã PT ng thng d ct tia Ox ti A(a;0), tia Oy ti B(0;b): M(3; 1) ẻ d = x y + = (a,b>0) a b Cụ - si + ị ab 12 a b a b ỡa = 3b ù ỡa = M OA + 3OB = a + 3b 3ab = 12 ị (OA + 3OB)min = 12 1 ợb = ùợ a = b = x y Phng trỡnh ng thng d l: + = x + 3y - = Trang Trn S Tựng PP to mt phng Trong mt phng vi h to Oxy, vit phng trỡnh ng thng D i qua im M(4;1) v ct cỏc tia Ox, Oy ln lt ti A v B cho giỏ tr ca tng OA + OB nh nht ã x + 2y - = Cõu Trong mt phng vi h to Oxy, vit phng trỡnh ng thng d i qua im M(1; 2) v ct cỏc trc Ox, Oy ln lt ti A, B khỏc O cho nh nht + OA2 OB ã ng thng (d) i qua M(1;2) v ct cỏc trc Ox, Oy ln lt ti A, B khỏc O, nờn x y A(a; 0); B(0; b) vi a.b ị Phng trỡnh ca (d) cú dng + = a b Vỡ (d) qua M nờn + = p dng bt ng thc Bunhiacụpski ta cú : a b Cõu 2 ổ1 2ử ổ1 ổ ửổ 9 9 = ỗ + ữ = ỗ + ữ Ê ỗ + 1ữỗ + ữ + + 2 2 b ứ ố ứố a 10 10 b ứ a b OA OB ốa bứ ố3 a 2 20 Du bng xy : = 1: v + = a = 10, b = ị d : x + y - 20 = a b a b Cõu 10 Trong mt phng vi h to Oxy, vit phng trỡnh ng thng D i qua im M(3;1) v ct cỏc trc Ox, Oy ln lt ti B v C cho tam giỏc ABC cõn ti A vi A(2;2) ã x + 3y - = 0; x - y - = Cõu 11 Trong mt phng vi h ta (Oxy) Lp phng trỡnh ng thng d qua M(2;1) v to vi cỏc trc ta mt tam giỏc cú din tớch bng S = ã Gi A(a;0), B(0; b) (a, b 0) l giao im ca d vi Ox, Oy, suy ra: d : x y + =1 a b ỡ2 ỡ2b + a = ab ù + =1 Theo gi thit, ta cú: a b ab = ợ ù ab = ợ ã Khi ab = thỡ 2b + a = Nờn: b = 2; a = ị d1 : x + y - = ã Khi ab = -8 thỡ 2b + a = -8 Ta cú: b2 + 4b - = b = -2 2 + Vi b = -2 + 2 ị d : (1 - ) x + (1 + ) y - = + Vi b = -2 - 2 ị d : (1 + ) x + (1 - ) y + = Cõu hi tng t: a) M (8;6), S = 12 S: d : 3x - y - 12 = ; d : 3x - 8y + 24 = Cõu 12 Trong mt phng vi h ta Oxy, cho im A(2; 1) v ng thng d cú phng trỡnh x y + = Lp phng trỡnh ng thng (D) qua A v to vi d mt gúc cú cos = 10 ã PT ng thng (D) cú dng: a( x 2) + b( y + 1) = ax + by 2a + b = (a2 + b2 0) Ta cú: cos a = 2a - b = 7a2 8ab + b2 = Chon a = ị b = 1; b = 10 5(a2 + b2 ) ị (D1): x + y = v (D2): x + 7y + = Trang PP to mt phng Trn S Tựng Cõu 13 Trong mt phng vi h ta Oxy, cho im A(2;1) v ng thng d : x + 3y + = Lp phng trỡnh ng thng D i qua A v to vi ng thng d mt gúc 450 ã PT ng thng (D) cú dng: a( x 2) + b( y - 1) = ax + by (2a + b) = (a2 + b2 0) 2a + 3b Ta cú: cos 450 = ộ a = 5b 5a2 - 24ab - 5b2 = ở5a = - b 13 a2 + b2 + Vi a = 5b Chn a = 5, b = ị Phng trỡnh D : x + y - 11 = + Vi 5a = -b Chn a = 1, b = -5 ị Phng trỡnh D : x - 5y + = Cõu 14 Trong mt phng vi h to Oxy , cho ng thng d : x - y - = v im I(1;1) Lp phng trỡnh ng thng D cỏch im I mt khong bng 10 v to vi ng thng d mt gúc bng 45 ã Gi s phng trỡnh ng thng D cú dng: ax + by + c = (a2 + b2 0) Vỡ (ã d , D) = 450 nờn 2a - b 2 a +b ộ a = 3b b = -3a = 4+c ộc = = 10 ởc = -14 10 -2 + c ộ c = -8 = 10 ã Vi b = -3a ị D: x - 3y + c = Mt khỏc d ( I ; D) = 10 ởc = 12 10 ã Vi a = 3b ị D: 3x + y + c = Mt khỏc d ( I ; D) = 10 Vy cỏc ng thng cn tỡm: x + y + = 0; 3x + y - 14 = ; x - 3y - = 0; x - 3y + 12 = Cõu 15 Trong mt phng vi h ta Oxy , cho im M (0; 2) v hai ng thng d1 , d2 cú phng trỡnh ln lt l 3x + y + = v x - 3y + = Gi A l giao im ca d1 v d2 Vit phng trỡnh ng thng i qua M, ct ng thng d1 v d2 ln lt ti B , C ( B v C khỏc A ) cho + t giỏ tr nh nht AB AC ã A = d1 ầ d2 ị A(-1;1) Ta cú d1 ^ d2 Gi D l ng thng cn tỡm H l hỡnh chiu vuụng gúc ca A trờn D ta cú: 1 AB + AC = 1 AH AM (khụng i) H M, hay D l ng thng i qua M AB AC AM v vuụng gúc vi AM ị Phng trỡnh D: x + y - = Cõu hi tng t: a) Vi M(1; -2) , d1 : x + y + = , d2 : x - 3y + = S: D : x + y + = ị + t giỏ tr nh nht bng Cõu 16 Trong mt phng vi h trc ta Oxy, cho ng thng (d ) : x 3y = v ng trũn (C ) : x + y y = Tỡm M thuc (d) v N thuc (C) cho chỳng i xng qua im A(3; 1) ã M ẻ (d) ị M(3b+4; b) ị N(2 3b; b) N ẻ (C) ị (2 3b)2 + (2 b)2 4(2 b) = ị b = 0; b = Trang Trn S Tựng PP to mt phng ổ 38 ổ 4ử Vy cú hai cp im: M(4;0) v N(2;2) hoc M ỗ ; ữ , N ỗ - ; ữ ố 5ứ ố 5ứ Cõu 17 Trong mt phng ta Oxy, cho im A(1; 1) v ng thng D: x + 3y + = Tỡm im B thuc ng thng D cho ng thng AB v D hp vi gúc 450 r ỡ x = - 3t ã D cú PTTS: v VTCP u = (-3;2) Gi s B(1 - 3t; -2 + 2t ) ẻ D ợ y = -2 + 2t ộ 15 uuur r uuur r ờt = 13 AB.u ( AB, D) = 45 ị cos( AB; u) = 169t - 156t - 45 = r = AB u 2 ờt = - 13 ổ 32 ổ 22 32 Vy cỏc im cn tỡm l: B1 ỗ - ; ữ , B2 ỗ ; - ữ ố 13 13 ứ ố 13 13 ứ Cõu 18 Trong mt phng vi h ta Oxy, cho ng thng d : x - 3y - = v im N(3; 4) Tỡm ta im M thuc ng thng d cho tam giỏc OMN (O l gc ta ) cú din tớch 15 bng uuur ã Ta cú ON = (3; 4) , ON = 5, PT ng thng ON: x - 3y = Gi s M (3m + 6; m) ẻ d 2S Khi ú ta cú SDONM = d ( M , ON ).ON d ( M , ON ) = DONM = ON 4.(3m + 6) - 3m -13 = 9m + 24 = 15 m = -1; m = ổ -13 -13 + Vi m = -1 ị M (3; -1) + Vi m = ị M ỗ -7; ữ 3 ứ ố Cõu 19 Trong mt phng to Oxy, cho im A(0;2) v ng thng d : x - y + = Tỡm trờn ng thng d hai im B, C cho tam giỏc ABC vuụng B v AB = 2BC ã Gi s B(2b - 2; b), C (2c - 2; c) ẻ d uuur r ổ2 6ử 5 Vỡ DABC vuụng B nờn AB ^ d AB.ud = B ỗ ; ữ ị AB = ị BC = 5 ố 5ứ ộc = ị C (0;1) BC = 125c - 300c + 180 = ổ4 7ử ờc = ị C ỗ ; ữ 5 ố 5ứ Cõu 20 Trong mt phng to Oxy, cho hai ng thng d1 : x + y - = , d2 : x + y - = v im A(1; 4) Tỡm im B ẻ d1, C ẻ d2 cho tam giỏc ABC vuụng cõn ti A uuur uuur ã Gi B(b;3 - b) ẻ d1, C (c;9 - c) ẻ d2 ị AB = (b - 1; -1 - b) , AC = (c - 1;5 - c) uuur uuur ỡ(b - 1)(c - 1) - (b + 1)(5 - c) = ỡ AB AC = DABC vuụng cõn ti A ớ 2 2 (*) ợ AB = AC ợ(b - 1) + (b + 1) = (c - 1) + (5 - c) Vỡ c = khụng l nghim ca (*) nờn Trang PP to mt phng Trn S Tựng ỡ (b + 1)(5 - c) (1) ùùb - = c -1 (*) (5 - c)2 ù(b + 1)2 + (b + 1)2 = (c - 1)2 + (5 - c)2 (2) ùợ (c - 1) ộb = c - T (2) (b + 1)2 = (c - 1)2 b = -c + Vi b = c - , thay vo (1) ta c c = 4, b = ị B(2;1), C (4;5) + Vi b = -c , thay vo (1) ta c c = 2, b = -2 ị B(-2;5), C (2;7) Vy: B(2;1), C (4;5) hoc B(-2;5), C (2;7) Cõu 21 Trong mt phng to Oxy, cho cỏc im A(0; 1) B(2; 1) v cỏc ng thng cú phng trỡnh: d1 : (m 1) x + (m 2) y + m = ; d2 : (2 m) x + (m 1) y + 3m = Chng minh d1 v d2 luụn ct Gi P = d1 ầ d2 Tỡm m cho PA + PB ln nht ỡ(m - 1) x + (m - 2)y = m - ã Xột H PT: ợ(2 - m) x + (m - 1)y = -3m + ổ 3ử m -1 m - Ta cú D = = ỗ m - ữ + > 0, "m - m m -1 2ứ ố ị d1, d2 luụn ct Ta cú: A(0;1) ẻ d1, B(2; -1) ẻ d2 , d1 ^ d2 ị D APB vuụng ti P ị P nm trờn ng trũn ng kớnh AB Ta cú: ( PA + PB)2 Ê 2( PA2 + PB2 ) = AB = 16 ị PA + PB Ê Du "=" xy PA = PB P l trung im ca cung ằ AB P(2; 1) hoc P(0; 1) m = hoc m = Vy PA + PB ln nht m = hoc m =2 Cõu 22 Trong mt phng to Oxy, cho ng thng (D): x y = v hai im A(-1;2) , B(3;4) Tỡm im Mẻ(D) cho MA2 + MB2 cú giỏ tr nh nht uuur uuur ã Gi s M M (2t + 2; t ) ẻ D ị AM = (2t + 3; t - 2), BM = (2t - 1; t - 4) ổ 2ử ổ 26 Ta cú: AM + BM = 15t + 4t + 43 = f (t ) ị f (t ) = f ỗ - ữ ị M ỗ ; - ữ ố 15 ứ ố 15 15 ứ Cõu 23 Trong mt phng to Oxy, cho ng thng d : x - y + = v im A(1; 0), B(2;1) Tỡm im M trờn d cho MA + MB nh nht ã Ta cú: (2 x A - y A + 3).(2 x B - yB + 3) = 30 > ị A, B nm cựng phớa i vi d Gi A l im i xng ca A qua d ị AÂ(-3;2) ị Phng trỡnh AÂB : x + 5y - = Vi mi im M ẻ d, ta cú: MA + MB = MA + MB AÂB M MA + MB nh nht AÂ, M, B thng hng M l giao im ca AÂB vi d ổ 17 Khi ú: M ỗ - ; ữ ố 11 11 ứ Trang Trn S Tựng PP to mt phng TP 02: NG TRềN Cõu Trong mt phng vi h to Oxy, gi A, B l cỏc giao im ca ng thng (d): x y = v ng trũn (C): x + y - 20 x + 50 = Hóy vit phng trỡnh ng trũn (C) i qua ba im A, B, C(1; 1) ã A(3; 1), B(5; 5) ị (C): x + y - x - 8y + 10 = , A(2; 3), B(3; 2), trng tõm ca DABC nm trờn ng thng d : 3x y = Vit phng trỡnh ng trũn i qua im A, B, C ã Tỡm c C (1; -1) , C2 (-2; -10) 11 11 16 + Vi C1(1; -1) ị (C): x + y - x + y + =0 3 91 91 416 + Vi C2 (-2; -10) ị (C): x + y - x + y + =0 3 Cõu Trong mt phng vi h to Oxy, cho tam giỏc ABC cú din tớch bng Cõu Trong mt phng vi h to Oxy, cho ba ng thng: d1 : x + y - = , d2 : x + y + = , d3 : x + 3y + = Vit phng trỡnh ng trũn cú tõm thuc d1 v tip xỳc vi d2 v d3 ã Gi tõm ng trũn l I (t;3 - 2t ) ẻ d1 3t + 4(3 - 2t ) + 4t + 3(3 - 2t ) + ột = = 5 ởt = 49 Vy cú ng trũn tho món: ( x - 2)2 + ( y + 1)2 = v ( x - 4)2 + ( y + 5)2 = 25 25 Cõu hi tng t: a) Vi d1 : x y 10 = , d2 : x + y + = , d3 : x - 3y - = Khi ú: d (I , d2 ) = d ( I , d3 ) 2 ổ 10 ổ 70 ổ S: ( x - 10) + y = 49 hoc ỗ x - ữ + ỗ y + ữ = ỗ ữ 43 ứ ố 43 ứ ố 43 ứ ố 2 Trong mt phng vi h to Oxy, cho hai ng thng D : x + 3y + = , D ' :3x - y + 10 = v im A(2; 1) Vit phng trỡnh ng trũn cú tõm thuc ng thng D , i qua im A v tip xỳc vi ng thng D Cõu ã Gi s tõm I (-3t - 8; t ) ẻ D Ta cú: d ( I , D ) = IA 3(-3t - 8) - 4t + 10 +4 = (-3t - + 2)2 + (t - 1)2 t = -3 ị I (1; -3), R = PT ng trũn cn tỡm: ( x - 1)2 + ( y + 3)2 = 25 Trong mt phng vi h to Oxy, cho hai ng thng D : x - 3y + = v D ' : x - y - 31 = Lp phng trỡnh ng trũn (C ) tip xỳc vi ng thng D ti im cú tung bng v tip xỳc vi D ' Tỡm ta tip im ca (C ) v D ' Cõu ã Gi I (a; b) l tõm ca ng trũn (C) (C ) tip xỳc vi D ti im M(6;9) v (C ) tip xỳc vi D nờn Trang PP to mt phng Trn S Tựng ỡ ỡ 4a - 3b + 3a - 4b - 31 54 - 3a ỡduuu (rI , D) = d (I , D ') ù ù 4a - + = 6a - 85 = ớ r 5 ợ IM ^ uD = (3; 4) ùợ3(a - 6) + 4(b - 9) = ùợ3a + 4b = 54 ỡ ù 25a - 150 = 6a - 85 ộ a = 10; b = 54 - 3a b = a = -190; b = 156 ùợ Vy: (C ) : ( x - 10)2 + ( y - 6)2 = 25 tip xỳc vi D ' ti N(13;2) hoc (C ) : ( x + 190)2 + ( y - 156)2 = 60025 tip xỳc vi D ' ti N(-43; -40) Trong mt phng vi h to Oxy, vit phng trỡnh ng trũn i qua A(2; -1) v tip xỳc vi cỏc trc to ộ( x - a)2 + ( y + a)2 = a2 (a) ã Phng trỡnh ng trũn cú dng: 2 ờở( x - a) + ( y - a) = a (b) a) ị a = 1; a = b) ị vụ nghim Cõu Kt lun: ( x - 1)2 + ( y + 1)2 = v ( x - 5)2 + ( y + 5)2 = 25 Trong mt phng vi h ta Oxy, cho ng thng (d ) : x - y - = Lp phng trỡnh ng trũn tip xỳc vi cỏc trc ta v cú tõm trờn ng thng (d) ã Gi I (m;2m - 4) ẻ (d ) l tõm ng trũn cn tỡm Ta cú: m = 2m - m = 4, m = Cõu 2 ổ 4ử ổ 16 ã m = thỡ phng trỡnh ng trũn l: ỗ x - ữ + ỗ y + ữ = 3ứ ố 3ứ ố ã m = thỡ phng trỡnh ng trũn l: ( x - 4)2 + ( y - 4)2 = 16 Trong mt phng vi h ta Oxy, cho im A(1;1) v B(3;3), ng thng (D): 3x y + = Lp phng trỡnh ng trũn qua A, B v tip xỳc vi ng thng (D) Cõu ã Tõm I ca ng trũn nm uuurtrờn ng trung trc d ca on AB d qua M(1; 2) cú VTPT l AB = (4;2) ị d: 2x + y = ị Tõm I(a;4 2a) ộa = Ta cú IA = d(I,D) 11a - = 5a2 - 10a + 10 2a2 37a + 93 = 31 ờa = ã Vi a = ị I(3;2), R = ị (C): (x 3)2 + (y + 2)2 = 25 ổ 31 ổ 31 4225 31 65 ã Vi a = ị I ỗ ; -27 ữ , R = ị (C): ỗ x - ữ + ( y + 27)2 = 2 2ứ ố ứ ố Cõu Trong h to Oxy cho hai ng thng d : x + y - = v D : x + 3y - = Lp 10 , cú tõm thuc d v tip xỳc vi D ã Tõm I ẻ d ị I (-2a + 3; a) (C) tip xỳc vi D nờn: phng trỡnh ng trũn cú bỏn kớnh bng d (I , D) = R a-2 10 = 10 ộa = a = -2 Trang Trn S Tựng PP to mt phng ị (C): ( x + 9)2 + ( y - 6)2 = 8 hoc (C): ( x - 7)2 + ( y + 2)2 = 5 Cõu 10 Trong mt phng vi h to Oxy, cho ng trũn (C): x + y + x - = Tia Oy ct (C) ti A Lp phng trỡnh ng trũn (CÂ), bỏn kớnh R = v tip xỳc ngoi vi (C) ti A ã (C) cú tõm I(-2 3;0) , bỏn kớnh R= 4; A(0; 2) Gi I l tõm ca (CÂ) ỡ PT ng thng IA : x = 3t , I ' ẻ IA ị I Â(2 3t;2t + 2) ợ y = 2t + uur uur AI = I ÂA t = ị I '( 3;3) ị (CÂ): ( x - 3)2 + ( y - 3)2 = Cõu 11 Trong mt phng vi h to Oxy, cho ng trũn (C): x + y y = Hóy vit ổ4 2ử phng trỡnh ng trũn (CÂ) i xng vi ng trũn (C) qua im M ỗ ; ữ ố 5ứ ã (C) cú tõm I(0;2), bỏn kớnh R = Gi I l im i xng ca I qua M ổ -6 ị I ỗ ; ữ ị (CÂ): ố5 ứ 2 ổ 8ử ổ 6ử ỗx - ữ +ỗy+ ữ = 5ứ ố 5ứ ố Cõu 12 Trong mt phng vi h ta Oxy, cho ng trũn (C): x + y - x + y + = Vit phng trỡnh ng trũn (CÂ) tõm M(5; 1) bit (CÂ) ct (C) ti hai im A, B cho AB = ã (C) cú tõm I(1; 2), bỏn kớnh R = PT ng thng IM: 3x - y - 11 = AB = ỡ H ẻ IM ỡ3 x - y - 11 = ù ù Gi H ( x; y ) l trung im ca AB Ta cú: ớ 2 2 ùợ IH = R - AH = ùợ( x - 1) + ( y + 2) = ộ 29 x = - ; y = - 10 ổ 29 ổ 11 11 ị H ỗ - ; - ữ hoc H ỗ ; - ữ ố 10 ứ ố 10 ứ x = 11 ; y = - 11 10 ổ 29 ã Vi H ỗ - ; - ữ Ta cú RÂ2 = MH + AH = 43 ị PT (CÂ): ( x - 5)2 + ( y - 1)2 = 43 ố 10 ứ ổ 11 11 ã Vi H ỗ ; - ữ Ta cú RÂ2 = MH + AH = 13 ị PT (CÂ): ( x - 5)2 + ( y - 1)2 = 13 ố 10 ứ Cõu 13 Trong mt phng vi h ta Oxy, cho ng trũn (C): ( x - 1)2 + ( y - 2)2 = v im K(3;4) Lp phng trỡnh ng trũn (T) cú tõm K, ct ng trũn (C) ti hai im A, B cho din tớch tam giỏc IAB ln nht, vi I l tõm ca ng trũn (C) ã (C) cú tõm I(1;2) , bỏn kớnh R = SD IAB ln nht DIAB vuụng ti I AB = 2 M IK = 2 nờn cú hai ng trũn tho YCBT + (T1 ) cú bỏn kớnh R1 = R = ị (T1 ) : ( x - 3)2 + ( y - 4)2 = Trang PP to mt phng Trn S Tựng + (T2 ) cú bỏn kớnh R2 = (3 2)2 + ( 2)2 = ị (T1 ) : ( x - 3)2 + ( y - 4)2 = 20 Cõu 14 Trong mt phng vi h to Oxy, vit phng trỡnh ng trũn ni tip tam giỏc ABC ổ1 vi cỏc nh: A(2;3), B ỗ ;0 ữ , C (2;0) ố4 ứ ổ1 ã im D(d;0) ỗ < d < ữ thuc on BC l chõn ng phõn giỏc ca gúc A ố4 ứ 2 ổ9ử ỗ ữ + ( -3) d DB AB 4= ố ứ v ch = ị 4d - = - 3d ị d = DC AC 2-d + ( -3 ) x +2 y-3 x +2 y -3 = x + y - = ; AC: = 3x + y - = -3 -3 Gi s tõm I ca ng trũn ni tip cú tung l b Khi ú honh l 1- b v bỏn kớnh cng bng b Vỡ khong cỏch t I ti AC cng phi bng b nờn ta cú: ộ (1 - b ) + 4b - b - = 5b ị b = - = b b - = 5b ị 2 b - = -5b ị b = +4 Rừ rng ch cú giỏ tr b = l hp lý Phng trỡnh AD: 2 ổ 1ử ổ 1ử Vy, phng trỡnh ca ng trũn ni tip DABC l: ỗ x - ữ + ỗ y - ữ = 2ứ ố 2ứ ố Cõu 15 Trong mt phng to Oxy, cho hai ng thng (d1): x - 3y - 12 = v (d2): x + 3y - 12 = Tỡm to tõm v bỏn kớnh ng trũn ni tip tam giỏc cú cnh nm trờn (d1), (d2) v trc Oy ã Gi A = d1 ầ d2 , B = d1 ầ Oy, C = d2 ầ Oy ị A(3; 0), B(0; -4), C (0;4) ị DABC cõn nh A v AO l phõn giỏc ca gúc A Gi I, R l tõm v bỏn kớnh ng trũn ni tip DABC ổ4 ị I ỗ ;0 ữ , R = ố3 ứ Cõu 16 Trong mt phng vi h to Oxy, cho ng thng d: x - y - = v hai ng trũn cú phng trỡnh: (C1): ( x - 3)2 + ( y + 4)2 = , (C2): ( x + 5)2 + ( y - 4)2 = 32 Vit phng trỡnh ng trũn (C) cú tõm I thuc d v tip xỳc ngoi vi (C1) v (C2) ã Gi I, I1, I2, R, R1, R2 ln lt l tõm v bỏn kớnh ca (C), (C1), (C2) Gi s I (a; a 1)ẻ d (C) tip xỳc ngoi vi (C1), (C2) nờn II1 = R + R1, II = R + R2 ị II1 R1 = II R2 (a - 3)2 + (a + 3)2 - 2 = (a - 5)2 + (a + 5)2 - a = ị I(0; 1), R = ị Phng trỡnh (C): x + ( y + 1)2 = Cõu 17 Trong mt phng vi h to Oxy, cho tam giỏc ABC vi A(3; 7), B(9; 5), C(5; 9), M(2; 7) Vit phng trỡnh ng thng i qua M v tip xỳc vi ng trũn ngoi tip DABC Trang 10 Trn S Tựng PP to mt phng a) AB :12 x - y - 23 = , BC : x - 5y + = , M(3;1) b) AB : x - y + = , BC : x - 3y - = , M(3;2) S: AC : 8x + y - 33 = S: AC : x + y - = Cõu 65 Trong mt phng vi h ta Oxy, cho tam giỏc ABC cú im A(2; 3), ng phõn giỏc gúc A cú phng trỡnh x - y + = , tõm ng trũn ngoi tip tam giỏc ABC l I(6; 6) v din tớch tam giỏc ABC gp ln din tớch tam giỏc IBC Vit phng trỡnh ng thng cha cnh BC ã Gi (C) l ng trũn ngoi tip tam giỏc ABC (C) cú tõm I(6;6) v bỏn kớnh R = IA = ị (C): ( x - 6)2 + ( y - 6)2 = 25 Gi D l giao im ca (C) vi ng thng x - y + = ị D(9;10) uur Ta cú: ID ^ BC ị ID = (3; 4) l VTPT ca BC ị Phng trỡnh BC cú dng : 3x + y + m = Theo bi ta cú SD ABC = 3SDIBC d ( A, BC ) = 3d (I , BC ) 18 + m = 42 + m ộ m = -54 m = -36 Vy cú hai ng thng tha YCBT : x + y - 54 = v x + y - 36 = Cõu 66 Trong mt phng vi h ta Oxy, cho tam giỏc ABC cú trc tõm H(-1; 4) , tõm ng trũn ngoi tip I(-3; 0) v trung im ca cnh BC l M(0; -3) Vit phng trỡnh ng thng AB, bit im B cú honh dng uuur uuur ã Gi s N l trung im ca AC Vỡ DABH ~ DMNI v HA // MI nờn HA = MI ị A(-7;10) 2 ỡ Ta cú: IA = IB, IM ^ MB ị To im B tho h: ớ( x + 3) + y = 116 ị B(7; 4) ợ-3 x + 3( y + 3) = Vy: Phng trỡnh AB : x + y - 49 = Cõu 67 Trong mt phng vi h ta Oxy, cho tam giỏc ABC cú A(3; 3), B(2; 1), C(11; 2) Vit phng trỡnh ng thng i qua A v chia DABC thnh hai phn cú t s din tớch bng ã 3x + y 15 = 0; x + 5y 12 = Cõu 68 Trong mt phng vi h to Oxy, cho ng thng d1 :2 x + 5y + = ; d2 :5x - y - = ct ti A v im P(-7;8) Vit phng trỡnh ng thng d3 i qua 29 ã Ta cú A(1; -1) v d1 ^ d2 PT cỏc ng phõn giỏc ca cỏc gúc to bi d1 , d2 l: P to vi d1 , d2 thnh tam giỏc cõn ti A v cú din tớch bng D1: x + 3y - = v D2: 3x - 7y - 10 = d3 to vi d1 , d2 mt tam giỏc vuụng cõn ị d3 vuụng gúc vi D1 hoc D2 ị Phng trỡnh ca d3 cú dng: x + 3y + C = hay 3x - y + C  = Mt khỏc, d3 qua P(-7;8) nờn C = 25 ; C = 77 Suy : d3 : x + 3y + 25 = hay d3 :3 x - y + 77 = Theo gi thit tam giỏc vuụng cõn cú din tớch bng Trang 45 29 ị cnh huyn bng 58 PP to mt phng Suy di ng cao A H = Trn S Tựng 58 = d ( A, d3 ) 58 ( thớch hp) 87 ã Vi d3 : 3x - y + 77 = thỡ d ( A; d3 ) = ( loi ) 58 ã Vi d3 : x + 3y + 25 = thỡ d ( A; d3 ) = Cõu 69 Trong mt phng vi h to Oxy, cho im A(1;0), B(2;4), C(1;4), D(3;5) Tỡm to im M thuc ng thng (D) : 3x - y - = cho hai tam giỏc MAB, MCD cú din tớch bng ỡx = t ã Phng trỡnh tham s ca D: M ẻ D ị M(t; 3t 5) ợ y = 3t - ổ7 SMAB = SMCD d ( M , AB) AB = d ( M , CD ).CD t = -9 t = ị M (-9; -32), M ỗ ;2 ữ ố3 ứ Cõu 70 Trong mt phng ta Oxy, cho tam giỏc ABC cõn ti A cú phng trỡnh cnh AB, AC ln lt l x + y - = v x + y + = , im M(1;2) thuc on BC Tỡm ta im D uuur uuur cho DB.DC cú giỏ tr nh nht ã Phng trỡnh BC cú dng: a( x - 1) + b( y - 2) = 0, a2 + b2 > a + 2b 2a + b ộ a = -b ởa = b a2 + b2 a2 + b2 ổ -2 ã Vi a = - b : chn b = -1, a = ị BC: x - y + = ị B(0;1), C ỗ ; ữ ị M khụng thuc ố 3ứ on BC ã Vi a = b : chn a = b = ị BC : x + y - = ị B(4; -1), C (-4; 7) ị M thuc on BC uuur uuur uur uur uur uur BC BC Gi trung im ca BC l I(0;3) Ta cú: DB.DC = (DI + IB).( DI + IC ) = DI 4 uuur uuur Du "=" xy D I Vy DB.DC nh nht D(0; 3) DABC cõn ti A nờn cos B = cos C = Cõu 71 Trong mt phng vi h to Oxy, cho im A(2;3), B(3;2), tam giỏc ABC cú din tớch ; trng tõm G ca DABC nm trờn ng thng (d): 3x y = Tỡm bỏn kớnh ng trũn ni tip D ABC bng ã Gi C(a; b), (AB): x y =0 ị d(C; AB) = ộ a - b = (1) ị a-b-5 =3 ; a - b = (2) S ã (1), (3) ị C(2; 10) ị r = = p 2+ S ã (2), (3) ị C(1; 1) ị r = = p +2 a-b-5 = 2SDABC AB ổ a+5 b-5ử Trng tõm G ỗ ; ữ ẻ (d) ị 3a b =4 (3) ứ ố 3 65 + 89 Cõu 72 Trong mt phng to Oxy, cho tam giỏc ABC cú din tớch bng 96 Gi M(2;0) l Trang 46 Trn S Tựng PP to mt phng trung im ca AB, phõn giỏc ca gúc A cú phng trỡnh: d : x - y - 10 = ng thng AB to vi d mt gúc a tha cos a = Xỏc nh cỏc nh ca tam giỏc ABC ã Gi M ' i xng vi M(2;0) qua d : x - y - 10 = ị M '(10; -8) PT ng thng AB qua M(2;0) cú dng: a( x - 2) + by = AB to vi d : x - y - 10 = mt gúc a ị a-b a2 + b2 = cos a = ộ a = 7b b = 7a ã Vi a = 7b ị AB: x + y - 14 = AB ct d ti A ị A(3; -7) ị B(1; 7) ị AB = 10 uuur uuuur 1 ị SD AM ' B = AB.d ( M ', AB) = 48 = SD ABC ị AC = AM ' ị C (17; -9) 2 ã Vi b = 7a ị AB: x + y - = AB ct d ti A ị A(9; -1) ị B(-5;1) ị AB = 10 uuur uuuur 1 ị SD AM ' B = AB.d ( M ', AB) = 48 = SD ABC ị AC = AM ' ị C (11; -15) 2 Vy, A(3; -7), B(1;7), C (17; -9) hoc A(9; -1), B(-5;1), C (11; -15) Cõu 73 Trong mt phng to Oxy, cho tam giỏc ABC vuụng ti A nh B(1; 1) ng thng AC cú phng trỡnh: x + 3y - 32 = Trờn tia BC ly im M cho BC BM = 75 Tỡm 5 ã ng thng (AB) qua B v vuụng gúc vi (AC) ị ( AB) : 3x - y + = ị A(5;4) Gi E rl giao im uur uuu uuur uuu r ca ng trũn ngoi tip ca tam giỏc AMC vi BA thỡ ta cú: BA.BE = BM BC = 75 ( vỡ M nm trờn tia BC ) ị tỡm c E(13;10) nh C bit bỏn kớnh ca ng trũn ngoi tip tam giỏc AMC bng Vỡ DAEC vuụng ti A nờn CE l ng kớnh ca ng trũn ngoi tip DAMC ị EC = 5 Do ú C l giao ca ng trũn tõm E bỏn kớnh r = 5 vi ng thng AC ỡ4 x + 3y - 32 = ộ x = 2; y = ị To ca C l nghim ca h 2 x = 8; y = ợ( x - 13) + ( y - 10) = 125 Vy: C(2;8) hoc C(8;0) Cõu 74 Trong mt phng to Oxy, cho tam giỏc ABC vuụng ti A, phng trỡnh ng thng BC: x - y - = , cỏc nh A v B nm trờn trc honh v bỏn kớnh ng trũn ni tip tam giỏc ABC bng Tỡm to trng tõm G ca tam giỏc ABC ỡ ã To im B l nghim ca h: x - y - = ị B(1; 0) ợy = ng thng BC cú h s gúc k = nờn ã ABC = 60 ị ng phõn giỏc BE ca tam 3 nờn cú phng trỡnh: y = x 3 Tõm I (a; b) ca ng trũn ni tip DABC thuc BE v d ( I , Ox ) = nờn: b = giỏc ABC cú h s gúc k  = + Vi b = ị a = + ị I(1 + 3;2) + Vi b = -2 ị a = - ị I(1 - 3; -2) ng phõn giỏc AF cú dng: y = - x + m Vỡ AF i qua I nờn: + Nu I(1 + 3;2) thỡ m = + ị ( AF ) : y = - x + + ị A(3 + 3; 0) Trang 47 PP to mt phng Trn S Tựng Do AC ^ Ox nờn AC cú phng trỡnh: x = + T ú suy C(3 + 3;6 + 3) ổ4+4 6+2 ; Suy to trng tõm G ỗ ữ 3 ố ứ + Nu I(1 - 3; -2) thỡ m = -1 - ị ( AF ) : y = - x - - ị A(-1 - 3; 0) Do AC ^ Ox nờn AC cú phng trỡnh: x = -1 - T ú suy C ( -1 - 3; -6 - ) ổ -1 - + Suy to trng tõm G ỗ ; ữ 3 ố ứ ổ4+4 6+2 ổ -1 - + Vy cú hai im tho YCBT: G ỗ ; ; ữ hoc G ỗ ữ 3 ứ 3 ố ố ứ Cõu 75 Trong mt phng to Oxy, cho tam giỏc ABC cõn ti A nh A cú to l cỏc s dng, hai im B, C nm trờn trc Ox, phng trỡnh cnh AB : y = 7( x - 1) Bit chu vi ca DABC bng 18, tỡm to cỏc nh A, B, C ã Ta cú: B = ( AB) ầ Ox ị B(1; 0) Gi s A ( a;3 7(a - 1) ) ( a > vỡ x A > 0, y A > ) Gi AH l ng cao ca DABC ị H (a;0) ị C (2a - 1;0) ị BC = 2(a - 1), AB = AC = 8(a - 1) PD ABC = 18 a = ị C (3;0), A ( 2;3 ) Vy: A ( 2;3 ) , B(1; 0) , C(3;0) Trang 48 Trn S Tựng PP to mt phng TP 05: T GIC Trong mt phng ta Oxy, cho hỡnh thang vuụng ABCD vuụng ti A v D cú ỏy ln l CD, ng thng AD cú phng trỡnh d1 : 3x - y = , ng thng BD cú phng trỡnh Cõu d2 : x - y = , gúc to bi hai ng thng BC v AB bng 450 Vit phng trỡnh ng thng BC bit din tớch hỡnh thang bng 24 v im B cú honh dng r ã D = d1 ầ d2 ị D(0; 0) O VTPT ca ng thng AD v BD ln lt l n1 = (3; -1) , r n2 = (1; -2) Ta cú: cosã ADB = ịã ADB = 450 ị AD = AB BC , AB) = 450 nờn ã BCD = 450 ị DBCD vuụng cõn ti B ị DC = 2AB Vỡ (ã AB2 S ABCD = 24 ( AB + CD ) AD = = 24 ị AB = ị BD = 2 uuur ổ 10 10 ổ xB 10 ổ xB Gi B ỗ x B ; ữ ẻ d2 , x B > BD = x B + ỗ ữ = x B = ị Bỗ ; ữ ỗ ữ ứ 5 ố ố ứ ố ứ ng thng BC i qua B v vuụng gúc vi d2 ịPhng trỡnh BC l: x + y - 10 = Trong mt phng vi h ta Oxy, cho hỡnh thang cõn ABCD (AB// CD, AB < CD) Bit A(0; 2), D(2; 2) v giao im I ca AC v BD nm trờn ng thng cú phng trỡnh d : x + y - = Tỡm ta ca cỏc nh cũn li ca hỡnh thang gúc ã AOD = 450 Cõu ã I ẻ d ị I ( x; - x ) AD = 5; IA = x - x + ; ID = x - 8x + 40 IA2 + ID - AD ộx = = cosã AID ị 2IA.ID ởx = uur ID uur + Vi x = ị IA = 2, ID = ị ID = - IB IB Trong D AID cú: ị B ( + 2;2 + ) , C ( + 2;2 + ) + Vi x = ị B ( + 2;2 + ) , C ( + 2; -2 ) Trong mt phng vi h to Oxy, cho ng trũn (C): ( x - 1)2 + ( y + 1)2 = v im A(0; 4), B(4; 0) Tỡm ta im C v D cho ng trũn (C) ni tip hỡnh thang ABCD cú ỏy l AB v CD Cõu ã (C ) : ( x - 1)2 + ( y + 1)2 = cú tõm I(1; -1) v R = PT cnh AB: x - y - = PT cnh CD cú dng: x - y + c = 0; c -4 CD tip xỳc vi (C) ị d ( I , CD ) = R 1+1+ c = c = ị PT cnh CD: x - y = Nhn thy cỏc ng thng x = 0, x = khụng phi l tip tuyn ca (C) Gi s phng trỡnh cnh AD cú dng: kx - y - = (k 1) Ta cú: d ( I , AD ) = R k - = 2(k + 1) k + 6k - = k = -7 ổ -1 -1 ổ1 1ử ị PT cnh AD: x + y + = ị D ỗ ; ữ PT cnh BC: x + y - = ị C ỗ ; ữ ố 2 ứ ố2 2ứ Cõu Trong mt phng vi h to Oxy, cho hỡnh bỡnh hnh ABCD cú din tớch bng Bit Trang 49 PP to mt phng Trn S Tựng A(1; 0), B(0; 2) v giao im I ca hai ng chộo nm trờn ng thng y = x Tỡm ta cỏc nh C v D uuur ã Ta cú: AB = (-1;2) ị AB = Phng trỡnh AB: x + y - = I ẻ (d ) : y = x ị I (t; t ) I l trung im ca AC v BD nờn: C (2t - 1;2t ), D(2t;2t - 2) Mt khỏc: S ABCD = AB.CH = (CH: chiu cao) ị CH = ộ ổ 8ử ổ8 2ử 6t - 4 t = ị C ỗ ; ữ,Dỗ ; ữ Ngoi ra: d (C; AB) = CH = ố3 3ứ ố3 3ứ 5 ( t = ị C -1; 0), D(0; -2) ờở ổ 8ử ổ8 2ử Vy C ỗ ; ữ , D ỗ ; ữ hoc C (-1;0), D(0; -2) ố3 3ứ ố3 3ứ Cõu hi tng t: a) Vi S ABCD = , A(2; 0), B(3; 0), I = AC ầ BD , I ẻ d : y = x S: C (3; 4); D(2; 4) hoc C (-5; -4); D(-6; -4) b) Vi S ABCD = , A(0; 0), B(1; 2), I = AC ầ BD , I ẻ d : y = x - ổ -2 -8 ổ -14 S: C(2; 0), D(3; 2) hoc C ỗ ; ữ , D ỗ ; ữ ố 3 ứ ố3 ứ Cõu Trong mt phng ta Oxy, cho hỡnh bỡnh hnh ABCD cú hai nh A(0; 1), B(3; 4) nm trờn parabol (P): y = x - x + , tõm I nm trờn cung AB ca (P) Tỡm ta hai nh C, D cho tam giỏc IAB cú din tớch ln nht ã I nm trờn cung AB ca ( P) nờn I (a; a2 - 2a + 1) vi < a thuc ng thng (d ) : x - y - = v cú honh x I = ổ9 3ử ã I ỗ ; ữ Gi M = d ầ Ox l trung im ca cnh AD, suy M(3;0) AB = IM = ố2 2ứ S 12 S ABCD = AB AD = 12 AD = ABCD = = 2 AB ỡ AD ^ (d ) M ẻ AD , suy phng trỡnh AD: x + y - = ợ Li cú MA = MD = Vy ta A, D l nghim ca h phng trỡnh: ỡù x + y - = ỡy = -x + ỡx = ỡx = hoc Vy A(2;1), D(4;1), ớ 2 2 ợy = ợ y = -1 ợ( x - 3) + y = ợù ( x - 3) + y = ỡ x A + xC ùù x I = ỡ x = xI - x A = - = ổ9 3ử I ỗ ; ữ l trung im ca AC, suy ra: ớ C ố2 2ứ ợ yC = yI - y A = - = ù y = y A + yC I ùợ Tng t I cng l trung im BD nờn ta cú: B(5;4) Vy ta cỏc nh ca hỡnh ch nht l A(2;1), B(5; 4), C (7;2), D(4; 1) Cõu hi tng t: a) Gi thit nh trờn vi tõm I = d1 ầ d2 , d1 : x - y - = v d2 : x + y - = , M = d1 ầ Ox S: A(2;1), B(5; 4), C (7;2), D(4; 1) Cõu 11 Trong mt phng vi h ta Oxy, cho hỡnh ch nht ABCD cú im I (6; 2) l giao im ca ng chộo AC v BD im M (1; 5) thuc ng thng AB v trung im E ca cnh CD thuc ng thng D: x + y = Vit phng trỡnh ng thng AB ã I (6; 2); M (1; 5) D : x + y = 0, E ẻ D ị E(m; m); Gi N l trung im ca AB ỡù x N = xI - xE = 12 - m I trung im NE ị ị N (12 m; m 1) y = y y = + m = m ùợ N I E uuuur uur MNr uu =r (11 m; m 6); IE = (m 6; m 2) = (m 6; m) uuuu MN IE = (11 m)(m 6) + (m 6)(3 m) = m = 0uuuu hay r 14 2m = m = hay m = + m = ị uuuu MNr = (5; 0) ị PT (AB) l y = + m = ị MN = (4; 1) ị PT (AB) l x 4y + 19 = Cõu hi tng t: a) Vi I(2;2) , M(3;1) , E ẻ D : x + y - = S: x - y + = hoc x - 5y + 14 = Cõu 12 Trong mt phng vi h ta Oxy, cho hỡnh ch nht ABCD cú cỏc ng thng AB, AD ln lt i qua cỏc im M (2;3), N (-1;2) Hóy lp phng trỡnh cỏc ng thng BC v CD, ổ5 3ử bit rng hỡnh ch nht ABCD cú tõm l I ỗ ; ữ v di ng chộo AC bng 26 ố2 2ứ r ã Gi s ng thng AB cú VTPT l nAB = (a; b) (a2 + b2 0) , AD vuụng gúc vi AB nờn r ng thng AD cú vtpt l nAD = (b; - a) Do ú phng trỡnh AB, AD ln lt l: Trang 52 Trn S Tựng PP to mt phng AB : a( x - 2) + b( y - 3) = 0; AD : b( x + 1) - a( y - 2) = Ta cú AD = 2d ( I ; AB) = a - 3b a2 + b2 ; AB = 2d ( I ; AD ) = 7b + a a2 + b2 ộ a = -b 3a2 - ab - 4b2 = 4b ờa = a2 + b2 Gi M', N' ln lt l im i xng ca M, N qua I suy M Â(3;0) ẻ (CD ), N Â(6;1) ẻ ( BC ) r r + Nu a = - b , chn a = 1, b = -1 suy nAB = (1; -1), nAD = (1;1) r PT ng thng CD cú VTPT l nAB = (1; -1) v i qua im M Â(3;0) : (CD) : x - y - = r PT ng thng BC cú VTPT l nAD = (1;1) v i qua im N Â(6;1) : (BC ) : x + y - = Do ú: AC = AB + AD 26 = (a - 3b)2 + (7b + a)2 4b r r , chn a = 4, b = suy nAB = (4;3), nAD = (3; -4) r PT ng thng CD cú VTPT l nAB = (4;3) v i qua im M Â(3;0) : (CD ) : x + 3y - 12 = r PT ng thng BC cú VTPT l nAD = (3; -4) v i qua im N Â(6;1) : ( BC ) : 3x - y - 14 = + Nu a = Vy: (BC ) : x + y - = , (CD) : x - y - = hoc ( BC ) : x - y - 14 = , (CD ) : x + 3y - 12 = Cõu 13 Trong mt phng vi h to Oxy, cho hỡnh thoi ABCD cú cnh bng n v, bit to nh A(1; 5), hai nh B, D nm trờn ng thng (d): x - y + = Tỡm to cỏc nh B, C, D ỡ B, D ẻ d ã C i xng vi A qua ng thng d ị C(3; 1) AB = AD = ị B(2; 1), D(6; 5) ợ Cõu 14 Trong mt phng ta Oxy, cho ng thng D: x + y = , cỏc im A( 0; 1), B(2; 1) T giỏc ABCD l hỡnh thoi cú tõm nm trờn ng thng D Tỡm ta cỏc im C, D ã Gi I(a;uur b) l tõm ca hỡnhuurthoi Vỡ I ẻ D nờn a + b = hay b = a (1) Ta cú: AI = (a; b + 1) v BI = (a 2; b 1) Do AI ^ BI ị a(a - 2) + (b + 1)(b - 1) = (2) T (1) v (2) ị a2 - 2a = a = a = ã Vi a = thỡ I(0; 1) ị C(0;2) v D(2;1) ã Vi a = thỡ I(2; 1) ị C(4; 1) v D(2; 3) Vy cú hai cp im tha món: C(0;2) v D(2;1) hoc C(4;1) v D(2;3) Cõu 15 Trong mt phng vi h trc ta Oxy, cho hỡnh thoi ABCD vi A(1;0), ng chộo BD cú phng trỡnh d : x y + = Tỡm to cỏc nh B, C, D , bit BD = ã AC ^ BD ị Phng trỡnh AC: x + y - = Gi I = AC ầ BD ị I(0;1) ị C ( -1;2 ) BD = ị IB = 2 PT ng trũn tõm I bỏn kớnh IB = 2 : x + ( y - 1) = ỡù ỡ ộ B(2;3), D(-2; -1) To B, D l nghim ca h : x + ( y - 1) = x = ợ y = x + B(-2; -1), D(2;3) ùợ x - y + = Cõu 16 Trong mt phng ta Oxy, cho hỡnh thoi ABCD bit phng trỡnh ca mt ng chộo l d : x + y - = , im B(0;3) Tỡm ta cỏc nh cũn li ca hỡnh thoi bit din tớch hỡnh thoi bng 20 Trang 53 PP to mt phng Trn S Tựng ã Ta cú B(0; -3) ẽ d ị A, C ẻ d Ph.trỡnh BD: x - 3y - = Gi I = AC ầ BD ị I(3; -2) ị D(6; -1) BD = 10 Gi A(a;7 - 3a) ẻ d S ABCD = d ( A, BD ).BD ị a - 3(7 - 3a) - 12 + 32 ộ A (2;1); C1(4; -5) ộa = 2 10 = 20 ị ởa = A2 (4; -5); C2 (2;1) Cõu 17 Trong mt phng vi h to Oxy, cho hỡnh thoi ABCD cú tõm I(3;3) v AC = BD ổ 4ử ổ 13 im M ỗ 2; ữ thuc ng thng AB , im N ỗ 3; ữ thuc ng thng CD Vit ố 3ứ ố 3ứ phng trỡnh ng chộo BD bit nh B cú honh nh hn ổ 5ử ã Ta im N i xng vi im N qua I l N  ỗ 3; ữ ị N nm trờn ng thng AB ố 3ứ ng thng AB i qua M, N cú PT: x - 3y + = ị IH = d (I , AB) = Do AC = BD nờn IA = IB t IB = a > IA + IB = IH a 3-9+2 + 10 4a = = 10 a= t B( x; y ) Do IB = v B ẻ AB nờn ta B l nghim ca h: ỡ 14 x= ỡù x - + y - = 2 ù ỡ ) ( ) ớ5y - 18y + 16 = ỡớ x = > ớ( ợy = ợ x = 3y - ùy = ợù x - 3y + = ợ ổ 14 Do xB < nờn ta chn B ỗ ; ữ Vy, phng trỡnh ng chộo BD l: x - y - 18 = ố 5ứ Cõu hi tng t: ổ 1ử a) I(2;1) , AC = BD , M ỗ 0; ữ , N(0;7) , x B > S: B(1; -1) ố 3ứ Cõu 18 Trong mt phng vi h to Oxy, cho hỡnh thoi ABCD cú ng chộo BD nm trờn ng thng D : x - y - = im M(4; -4) nm trờn ng thng cha cnh BC, im N(-5;1) nm trờn ng thng cha cnh AB Bit BD = Tỡm ta cỏc nh ca hỡnh thoi ABCD, bit im D cú honh õm ã Ly M l im i xng vi M qua BD ị M Â(-2;2) ng thng AB qua N(-5;1) v M Â(-2;2) ị Phng trỡnh AB : x - 3y + = ỡx - y - = Ta im B l nghim ca h: ị B(7;5) ợ x - 3y + = Gi s D(d ; d - 2) ẻ D , BD = (d - 7)2 + (d - 7)2 = 128 d = -1 ị D(-1; -3) Gi I l tõm ca hỡnh thoi ị I(3;1) , ú ng thng AC qua I v vuụng gúc vi BD ị Phng trỡnh AC : x + y - = ỡx + y - = Ta im A l nghim ca h: ị A(1;3) ị C(5; -1) ợ x - 3y + = Cõu 19 Trong mt phng vi h to Oxy, cho hỡnh thoi ABCD cú phng trỡnh hai cnh AB v AD ln lt l x + y - = v x + y + = im M(1;2) thuc ng thng BD Tỡm ta cỏc nh ca hỡnh thoi Trang 54 Trn S Tựng PP to mt phng ổ 5ử ỡ x + 2y - = ã Ta nh A l nghim ca h: ị Aỗ - ; ữ ợ2 x + y + = ố 3ứ ộ( d ) : x - y + = x + 2y - 2x + y + PT cỏc ng phõn giỏc gúc A l: = 5 ở( d ) : x + y - = Trng hp (d1 ) : x - y + = ng thng (BD) i qua M v vuụng gúc vi (d1) nờn (BD ) : x + y - = Suy B = AB ầ BD ị B(4; -1) , D = AD ầ BD ị D(-4; 7) ổ 13 Gi I = BD ầ (d1) ị I (0;3) Vỡ C i xng vi A qua I nờn C ỗ ; ữ ố3 ứ Trng hp (d2 ) : x + 3y - = ng thng (BD) i qua M v vuụng gúc vi (d2 ) nờn ( BD ) : x - y + = ổ 1ử Suy B = AB ầ BD ị B(0;1) , D = AD ầ BD ị D ỗ - ; ữ ố 3ứ ổ 2ử ổ2 1ử Gi I = BD ầ (d2 ) ị I ỗ - ; ữ Vỡ C i xng vi A qua I nờn C ỗ ; - ữ ố 3ứ ố 3ứ ổ 5ử ổ 13 Vy: A ỗ - ; ữ , B(4; -1) , C ỗ ; ữ , D(-4;7) ố 3ứ ố3 ứ ổ 5ử ổ2 1ử ổ 1ử hoc A ỗ - ; ữ , B(0;1) , C ỗ ; - ữ , D ỗ - ; ữ ố 3ứ ố 3ứ ố 3ứ Cõu 20 Trong mt phng vi h to Oxy, cho hỡnh thoi ABCD ngoi tip ng trũn (C) cú phng trỡnh ( x - 2)2 + ( y + 1)2 = v im A thuc ng thng (d): x - y + = Tỡm ta cỏc nh A, B, C, D, bit rng BD = AC v honh ca im A khụng nh hn ã (C) cú tõm I(2; -1) , bỏn kớnh R = 2 , IB = 2IA 1 Trong tam giỏc vuụng IAB ta cú: + 2= ị = ị IA = 10 ị IB = 10 2 IA IB IH IA Gi s A(2t - 3; t ) ẻ d v x A Ta cú IA = 10 (2t - 5)2 + (t + 1)2 = 10 t = Suy A(1;2) , I l trung im AC nờn C(3; -4) Gi D l ng thng qua I v vuụng gúc vi AC ị D : x - 3y - = Ta cú B, D ẻ D v IB = ID = 10 ị To ca B, D l cỏc nghim ca h: ỡ x - 3y - = ộ x = 8; y = ị B(8;1), D(-4; -3) hoc B(-4; -3), D(8;1) 2 x = -4; y = -3 ợ( x - 2) + ( y + 1) = 40 Vy: A(1;2) , B(8;1), C (3; -4), D(-4; -3) hoc A(1;2) , B(-4; -3), C (3; -4), D(8;1) ổ 5ử ố2 2ứ B ln lt nm trờn cỏc ng thng d1 : x + y - = v ng thng d2 : x + y - = Tỡm ta cỏc nh ca hỡnh vuụng uur ổ uur ổ 5 ã Gi s A(a;3 - a) ẻ d1; B(b; - b) ẻ d2 ị IA = ỗ a - ; - a ữ ; IB = ỗ b - ; - b ữ 2 2 ố ứ ố ứ Cõu 21 Trong mt phng vi h to Oxy, cho hỡnh vuụng ABCD cú tõm I ỗ ; ữ , hai im A, Trang 55 PP to mt phng Trn S Tựng ỡ IA = IB ỡa = ỡa = ABCD vuụng tõm I nờn uur uur ớ ợb = ợb = ợ IA.IB = ã Vi a = 2; b = ị A(2; 1); B(1; 3), C(3; 4); D(4; 2) ã Vi a = 1; b = ị A(1; 2); B(3; 1), C(4; 3); D(2; 4) Cõu 22 Trong mt phng ta Oxy, cho hỡnh vuụng ABCD ngoi tip ng trũn (C): ( x - 2)2 + ( y - 3)2 = 10 Xỏc nh to cỏc nh A, C ca hỡnh vuụng, bit cnh AB i qua im M(3; 2) v im A cú honh xA > ã (C) cú tõm I(2; 3) v bỏn kớnh R = 10 PT AB i qua M(3; 2) cú dng ax + by + 3a + 2b = (a2 + b2 0) | 2a + 3b + 3a + 2b | ộ a = -3b 10(a2 + b2 ) = 25(a + b)2 Ta cú d ( I , AB) = R 10 = b = -3a 2 a +b ã Vi a = -3b ị AB: 3x - y + = Gi A(t;3t + 7),(t > 0) Ta cú IA = R ị t = 0; t = -2 (khụng tho món) ã Vi b = -3a ị AB: x - 3y - = Gi A(3t + 3; t ), (t > -1) ột = ị A(6; 1) ị C(2; 5) Ta cú IA = R ị t = -1 (loaùi) ổ3 1ử ố2 2ứ ln lt i qua cỏc im M(-4; -1) , N(-2; -4) Tỡm to cỏc nh ca hỡnh vuụng ú bit B cú honh õm ã Gi MÂ, N l cỏc im i xng vi M, N qua I ị M Â(7;2) , N Â(5;5) Ta cú: N ẻ AB Cõu 23 Trong mt phng Oxy, cho hỡnh vuụng ABCD cú tõm I ỗ ; ữ Cỏc ng thng AB, CD ổ1 Phng trỡnh AB: x - 3y + = Gi H l hỡnh chiu ca I lờn AB ị H ỗ ;2 ữ ố2 ứ ỡ2a - 3b = -5 ù ỡ B ẻ AB ỡa = -1 Gi B(a; b), a < Ta cú ớổ ị B(-1;1) 1ử 13 HA HI b = = a b ợ + ( 2) = ợ ữ ùỗ 2ứ ợố Khi ú A(2;3), C (1; -2), D(4; 0) Cõu 24 Trong mt phng ta Oxy , cho hỡnh vuụng ABCD ú A thuc ng thng d1 : x + y - = v C , D nm trờn ng thng d2 : x - y + = Tỡm ta cỏc nh ca hỡnh vuụng bit hỡnh vuụng cú din tớch bng -7 ã Gi s A(a;1 - a) ẻ d1 Ta cú S ABCD = d ( A, d2 ) = a = hoc a = + Vi a = ị A(1; 0) ị Phng trỡnh cnh AD : x + y - = ị D(-1;1) ỡC ẻ d2 Gi s C ( x; y ) Ta cú: ị C(0;3) hoc C(-2; -1) ợ DC = ổ1 3ử Vi C(0;3) ị Trung im I ca AC l I ỗ ; ữ ị B ( 2;2 ) ố2 2ứ ổ 1ử Vi C(-2; -1) ị Trung im I ca AC l I ỗ - ; - ữ ị B ( 0; -2 ) ố 2ứ Trang 56 Trn S Tựng PP to mt phng ổ -7 10 ổ -1 ổ -4 -7 ị A ỗ ; ữ Tng t nh trờn ta tỡm c: D ỗ ; ữ ,C ỗ ; ữ , ố 3ứ ố 3ứ ố 3ứ ổ -10 ổ -1 ổ 13 ổ -4 16 Bỗ ; ữ hoc D ỗ ; ữ , C ỗ ; ữ , B ỗ ; ữ ố 3ứ ố 3ứ ố3 ứ ố 3ứ Vy cú hỡnh vuụng ABCD tha yờu cu bi toỏn: A(1; 00, B(2;2), C (0;3), D(-1;1) + Vi a = ổ -7 10 ổ -10 ổ -4 ổ -1 hoc A(1; 0), B(0; -2), C (-2; -1), D(-1;1) hoc A ỗ ; ữ , B ỗ ; ữ ,C ỗ ; ữ , D ỗ ; ữ ố 3 ứ ố 3ứ ố 3ứ ố 3ứ ổ -7 10 ổ -4 16 ổ 13 ổ -1 hoc A ỗ ; ữ , B ỗ ; ữ , C ỗ ; ữ , D ỗ ; ữ ố 3 ứ ố 3 ứ ố3 ứ ố 3ứ Cõu 25 Trong mt phng vi h to Oxy , cho im E(1; -1) l tõm ca mt hỡnh vuụng, mt cỏc cnh ca nú cú phng trỡnh d : x - y + 12 = Vit phng trỡnh cỏc cnh cũn li ca hỡnh vuụng ã Gi s cnh AB nm trờn ng thng d : x - y + 12 = Gi H l hỡnh chiu ca E lờn ng thng AB ị H(-2;5) ị AH = BH = EH = 45 ỡ x - y + 12 = ỡ A, B ẻ d ộ x = 4; y = ị A(4;8), B(-8;2) Ta cú: 2 x = -8; y = ợ( x + 2) + ( y - 5) = 45 ợ AH = BH = 45 ị C(-2; -10) ị Phng trỡnh cỏc cnh cũn li: AD : x + y - 16 = ; BC : x + y + 14 = ; CD : x - y - 18 = Cõu 26 Trong mt phng vi h to Oxy, cho hỡnh vuụng ABCD bit cỏc im M(2; 1); N(4; 2); P(2; 0); Q(1; 2) ln lt thuc cnh AB, BC, CD, AD Hóy lp phng trỡnh cỏc cnh ca hỡnh vuụng r ã Gi s ng thng AB qua M v cú VTPT l n = (a; b) (a2 + b2 0) r ị VTPT ca BC l: n1 = (-b; a) AB cú dng: a(x 2) +b(y 1)= ax + by 2a b =0 BC cú dng: b(x 4) +a(y+ 2) =0 bx + ay +4b + 2a =0 -b 3b + 4a ộ b = -2 a Do ABCD l hỡnh vuụng nờn d(P; AB) = d(Q; BC) = b = -a a2 + b2 a2 + b2 ã b = 2a: AB: x 2y = ; CD: x 2y =0; BC: 2x +y 6= 0; AD: 2x + y =0 ã b = a: AB: x + y+ =0; BC: x y + 2= 0; AD: x y +3 =0; CD: x + y+ =0 Phng trỡnh Cõu 27 Trong mt phng vi h to Oxy, cho ng trũn (C): x + y x + y + 21 = v ng thng d : x + y - = Xỏc nh ta cỏc nh hỡnh vuụng ABCD ngoi tip (C) bit A ẻ d ã (C) cú tõm I(4, 3), bỏn kớnh R = Ta thy I ẻ d Vy AI l mt ng chộo ca hỡnh vuụng ngoi tip ng trũn Ta cú: x = v x = l tip tuyn ca (C) nờn: Hoc l A l giao im cỏc ng (d) v x = ị A(2; 1) Hoc l A l giao im cỏc ng (d) v x = ị A(6, 5) ã A(2, 1) ị B(2, 5); C(6, 5); D(6, 1) ã A(6, 5) ị B(6, 1); C(2, 1); D(2, 5) Cõu 28 Trong mt phng vi h to Oxy, cho hỡnh vuụng ABCD cú A(-2;6) , nh B thuc ng thng d : x - y + = Gi M, N ln lt l hai im trờn cnh BC, CD cho Trang 57 PP to mt phng Trn S Tựng ổ 14 BM = CN Xỏc nh ta nh C, bit rng AM ct BN ti im I ỗ ; ữ ố5 ứ ã Gi s B(2 y - 6; y ) ẻ d Ta thy D AMB = DBNC uur uur ị AI ^ BI ị IA.IB = ị y = ị B(2; 4) Phng trỡnh BC : x - y = ị C (c;2c) , AB = 5, BC = (c - 2)2 + (2c - 4)2 AB = BC ị c - = ị C (0; 0); C (4;8) Vỡ I nm hỡnh vuụng nờn I , C cựng phớa vi ng thng AB ị C(0;0) Cõu 29 Trong mt phng to Oxy, cho hỡnh vuụng ABCD trờn on AC ly im M cho AC = 4AM v N l trung im ca cnh CD Chng minh rng BMN l tam giỏc vuụng cõn ã Goi a l di cnh hỡnh vuụng ABCD Chn h ta Oxy cho A(0; 0), B(a; 0) , uuuur ổ uuur ổ -1 ổ1 ổ1 C(a;a) v D(0; a) ị M ỗ a; a ữ , N ỗ a; a ữ ị MN = ỗ a; a ữ , MB = ỗ a; a ữ ố4 ứ ố2 ứ ố4 ứ ố4 ứ uuuur uuur T ú cú MN MB = v MN = MB = a ị DBMN vuụng cõn ti M Cõu 30 Trong mt phng to Oxy, cho hỡnh vuụng cú nh A(-4;5) v mt ng chộo cú phng trỡnh D : x - y + = Vit phng trỡnh cỏc cnh ca hỡnh vuụng ã Vỡ A ẽ D nờn ng chộo BD nm trờn D PT ng thng d i qua A cú dng: a( x + 4) + b( y - 5) = ( a2 + b2 ) d hp vi BD mt gúc 450 7a - b = ộ a = 3, b = -4 a = 4, b = 50 a2 + b2 ị ( AB) : x - y + 31 = , ( AD ) : x + 3y + = ổ 9ử Gi I l tõm hỡnh vuụng ị I ỗ - ; ữ ị C(3;4) ố 2ứ ị (BC ) : x + 3y - 24 = , (CD ) : 3x - y + = Cõu 31 Trong mt phng to Oxy, cho hỡnh vuụng ABCD cú nh A(4;5) , ng chộo BD cú phng trỡnh y - = Tỡm to cỏc dnh cũn li ca hỡnh vuụng ú ã ng chộo AC vuụng gúc vi BD nờn PT cú dng: x + c = AC i qua A nờn c = -4 ị ( AC ) : x - = ị I(4;3) ng trũn (C) ngoi tip hỡnh vuụng ABCD cú tõm I(4;3) , bỏn kớnh R = AI = ị Phng trỡnh (C): ( x - 4)2 + ( y - 3)2 = ỡy = ộ x = 6, y = To cỏc im B, D l cỏc nghim ca h: 2 x = 2, y = ợ( x - 4) + ( y - 3) = Vy: B(6;3), C (4;1), D(2;3) hoc B(2;3), C (4;1), D(6;3) Cõu 32 Trong mt phng to Oxy, cho hỡnh vuụng ABCD cú M l trung im ca BC, phng trỡnh ng thng DM : x - y - = , nh C(3; -3) , nh A nm trờn ng thng d : x + y - = Xỏc nh to cỏc nh cũn li ca hỡnh vuụng ú 4t - 2.4 ột = t = -1 2 ị A(3; -7) hoc A(-1;5) Mt khỏc, A v C nm v hai phớa i vi DM nờn ch cú A(-1;5) ã Gi s A(t;2 - 3t ) ẻ d Ta cú: d ( A, DM ) = 2d (C , DM ) Trang 58 = Trn S Tựng PP to mt phng tho uuur uuur Gi D(m; m - 2) ẻ DM ị AD = (m + 1; m - 7) , CD = (m - 3; m + 1) uuur uuur ỡ(m + 1)(m - 3) + (m - 7)(m + 1) = ỡ DA.DC = ABCD l hỡnh vuụng nờn ớ 2 2 m=5 ợ DA = DC ợ(m + 1) + (m - 7) = (m - 3) + (m + 1) uuur uuur ị D(5;3) ; AB = DC ị B(-3; -1) Vy: A(-1;5) , B(-3; -1) , D(5;3) Chõn thnh cm n cỏc bn ng nghip v cỏc em hc sinh ó c ti liu ny transitung_tv@yahoo.com Trang 59 ... + 2) ỗ + ữ = 10 ị - 10 Ê x + y Ê 10 ứ ố ỡx y ổ 10 10 ù = + x + y Ê 10 Du "=" xy Mỗ ; ữ 5 ố ứ ùợ x + y = 10 ỡx y ổ 10 10 ù = + x + y - 10 Du "=" xy Mỗ;ữ 5 ứ ố ùợ x + y = - 10 ã Gi s M (... = 2, b = -1, c = -10 ộ D : x - y - 10 = T: ị a = 1, b = 2, c = -10 ị D : x + y - 10 = ở ùcos(d , D) = ợ Cõu 20 Trong h to Oxy , cho ng trũn (C ) : ( x - 1)2 + ( y - 1)2 = 10 v ng thng d : x... F1MF2 = 1200 (F1, F2 l hai tiờu im ca (E)) x y2 + = Tỡm cỏc im M ẻ (E) 100 25 ã Ta cú: a = 10, b = ị c = Gi M(x; y) ẻ (E) ị MF1 = 10 F1F22 = MF12 + MF22 - MF1.MF2 cosã F1MF2 3 x , MF2 = 10 + x
- Xem thêm -

Xem thêm: Bài tập hình học phương trình đường thẳng và đường tròn (có đáp án), Bài tập hình học phương trình đường thẳng và đường tròn (có đáp án), Bài tập hình học phương trình đường thẳng và đường tròn (có đáp án)

Gợi ý tài liệu liên quan cho bạn

Từ khóa liên quan

Nhận lời giải ngay chưa đến 10 phút Đăng bài tập ngay
Nạp tiền Tải lên
Đăng ký
Đăng nhập