Đ I H C QU C GIA HÀ N I TRƯ NG Đ I H C KHOA H C T NHIÊN M T S L P PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN D NG CH P LU N VĂN TH C SĨ TOÁN H C HÀ N I - 2015 Đ I H C QU C GIA HÀ N I TRƯ NG Đ I H C KHOA H C T NHIÊN M T S L P PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN D NG CH P LU N VĂN TH C SĨ TOÁN H C CHUYÊN NGÀNH : TOÁN GI MÃ S : 60 46 01 02 I TÍCH Ngư i th c hi n: NGUY N TH HOÀN Cao h c khóa 2013-2015 Ngư i hư ng d n: TS NCVC NGUY N VĂN NG C HÀ N I - 2015 M cl c M đu Bi n đ i Fourier toán biên Riemann 1.1 M t s ki n th c b tr 1.1.1 Không gian Lp 3 đ ng th c đ nh lý v tích phân p phân b ch n 1.2 Bi n đ i Fourier L1(R) 31.1.2 Các b t 41.1.3 Tích ch 51.1.4 Bi n 1.2.1 Đ nh nghĩa bi n đ i Fourier L (R) 1.2.2 Các tính ch t b n c a bi n đ i Fourier 1.2.3 Công th c ngư c L1(R) 12 1.3 Bi n đ i Fourier L (R) 1.4 Tích phân Cauchy tích phân Fourier α 1.4.1 L p hàm Holder C0, 1.4.2 Các l p hàm {0} {{0}} 1.4.3 Giá tr c a tích phân Cauchy 1.4.4 Hàm đ u 1.4.5 Tích phân Cauchy 1.4.6 Tích phân Fourier 1.5 Bài toán biên Riemann đ i v i n a m t ph ng 1.5.1 Ch s 1.5.2 Phát bi u toán 1.5.3 Bài toán bư c nh y 1.5.4 Bài toán thu n nh t Hàm t c 1.5.5 Bài toán không thu n nh t 14 15 15 15 15 16 18 18 19 19 20 20 21 22 ii M t s l p phương trình 2.1 Phương trình tích ch p 2.2 Phương trình tích ch p 2.3 Phương trình tích ch p tích phân d l m t lo i hai n a tr c ng ch p tr (Wiener- Hopf) c th c 24 24 26 30 Phương trình c p tích phân d ng ch p ng d ng 3.1 Phương trình c p tích phân v i nhân ph thu c vào hi u bi n s 3.2 Phương trình c p tích phân v i nhân ph thu c vào hi u t ng bi n s 3.3 Bài toán biên h n h p đ i v i phương trình đa u hòa n a m t ph ng 3.3.1 Phương trình đa u hòa 3.3.2 Bài toán 3.3.3 Bài toán 33 33 35 38 38 39 40 K t lu n 42 Tài li u tham kh o 43 iii M đu Phương trình tích phân kỳ d phương trình tích phân d ng ch p đư c xây d ng phát tri n r t m nh m vòng n a th k , t năm 1920 đ n năm 1970 Các k t qu g n li n v i tên tu i nhi u nhà toán h c n i ti ng Noether, Muskhelishvili, Gakhov,Vekua, Cùng song hành ti p sau s đ i c a hàng lo t lý thuy t toán t kỳ d tr u tư ng không gian n tính t ng quát g n v i lý thuy t phương trình tích phân kỳ d v i d ch chuy n liên h p ph c nhi u d ng toán biên khác T i Vi t Nam, t nh ng năm 1980, có r t nhi u ngư i quan tâm đ n lĩnh v c toán biên Riemann, phương trình tích phân kỳ d Cauchy, phương trình tích phân d ng ch p thu đư c m t s k t qu nh t đ nh T đó, lý thuy t toán t phương trình tích phân kỳ d tr thành m t m ng l n h p d n toán h c hi n đ i Vi t Nam Tuy nhiên, cho đ n tài li u nghiên c u sâu v lĩnh v c v n r t ít, nh t là phương trình tích phân d ng ch p đ c bi t, phương trình Wiener-Hopf, phương trình c p tích phân, v.v Ngoài ra, vi c nghiên c u cho ta th y đư c s phong phú c a nhi u lo i phương trình tích phân nói chung phương trình tích phân d ng ch p nói riêng v lý thuy t ng d ng Xu t phát t nh ng lý nêu trên, ch n đ tài "M t s l p phương trình tích phân d ng ch p " làm lu n văn cao h c v i hy v ng s tìm hi u sâu lý thuy t ng d ng c a phương trình tích phân d ng ch p C u trúc lu n văn Lu n văn g m ph n M đ u, K t lu n, Tài li u tham kh o chương Chương trình bày m t s ki n th c b tr , tích ch p, bi n đ i Fourier L1(R) L2(R), tích phân Cauchy, tích phân Fourier toán biên Riemann đ i v i n a m t ph ng Chương trình bày m t s l p phương trình tích phân d ng ch p tr c th c: phương trình tích ch p lo i m t, lo i hai phương trình tích ch p n a tr c (phương trình Wiener-Hopf) Đ i v i m i l p phương trình đưa ví d minh h a Chương trình bày v phương trình c p tích phân d ng ch p ng d ng Đã xét phương trình c p tích phân v i nhân ph thu c vào hi u bi n s , ph thu c vào hi u t ng bi n s Trình bày ng d ng c a phương trình c p nói gi i toán bi n h n h p c a phương trình đa u hòa n a m t ph ng B n lu n văn đư c th c hi n dư i s hư ng d n c a TS Nguy n Văn Ng c Tôi bày t lòng bi t ơn sâu s c t i Th y dành nhi u công s c th i gian đ hư ng d n, ki m tra, giúp đ vi c hoàn thành b n lu n văn Tôi xin g i l i c m ơn đ n lãnh đ o th y, cô khoa Toán - Cơ - Tin h c, Trư ng Đ i h c Khoa h c T nhiên, ĐHQG Hà N i v ki n th c nh ng u t t đ p mang l i cho th i gian h c t p t i trư ng Tôi xin c m ơn t i Phòng Sau Đ i h c v nh ng u ki n thu n l i dành cho vi c hoàn thành th t c h c t p b o v lu n văn Cu i bày t lòng bi t ơn gia đình, ngư i thân ch d a v tinh th n v t ch t cho cu c s ng h c t p Hà N i, tháng 11 năm 2015 Nguy n Th Hoàn Chương Bi n đ i Fourier toán biên Riemann Chương trình bày m t s ki n th c b tr , tích ch p, bi n đ i Fourier L1(R) L2(R), tích phân Cauchy, tích phân Fourier toán biên Riemann đ i v i n a m t ph ng N i dung c a chương đư c hình thành ch y u t tài li u [1] [3] 1.1 1.1.1 M t s ki n th c b tr Không gian Lp V i p s th c: p < ∞, Ω ∈ Rn ta đ nh nghĩa Lp (Ω) l p hàm f(x) xác đ nh Ω, cho f S p = Ω |f (x)|pdx p < ∞, dx = dx1dx2 dxn f p đư c g i chu n c a hàm f(x) Lp (Ω) m t không gian Banach Đ c bi t, L2(Ω) m t không gian Hilbert v i tích vô hư ng (f, g) = f (x)g(x)dx, Ω g(x) liên h p ph c c a g(x) Hàm xác đ nh Ω đư c g i ch y u b ch n Ω, n u t n t i h ng s dương C, cho |f(x)| C h u kh p nơi Ω C n dư i l n nh t c a f(x) đư c ký hi u ess supx∈ |f(x)| Ω ∞ Ta ký hi u L (Ω) không gian c a t t c hàm ch y u b ch n Ω ∞ Chu n L (Ω) đư c xác đ nh theo công th c f ∞ = esssupx∈ |f (x)| Ω , sup l y t t c phân ho ch đơn v c a [a, b] Dư i m nh đ quan tr ng v s trù m t Lp Đ nh lý 1.1 (v s trù m t) (i) N u kho ng (a, b) h u h n l p hàm sau s trù m t kh p nơi Lp(a, b): M −l p hàm b ch n, C−l p hàm liên t c, S−l p hàm b c thang, P −l p đa th c đ i s , T −l p đa th c lư ng giác trù m t kh p nơi Lp(−π, π) (ii)L p Sc c a t t c hàm b c thang trù m t Lp(−∞, ∞), (p 1.1.2 1) Các b t đ ng th c đ nh lý v tích phân Đ nh lý 1.2 (b t đ ng th c H¨lder) N u f ∈ Lp, g ∈ Lq, p, q o fg f p g q, + = pq Đ nh lý 1.3 (b t đ ng th c Minkowski) N u p f +g f p 1, p+ g p Đ nh lý 1.4 (Đ nh lý Lebesgue) Gi s Ω cho dãy hàm kh t ng ∞ {fk(x)} h i t h u kh p nơi đ n hàm f (x) N u t n t i hàm th c F (x) 0, F (x) ∈ L1(Ω), cho |fk(x)| F (x), x ∈ Ω, ∀k f (x) ∈ L1(Ω) lim f (x)dx = k→∞ k Ω f (x) dx Đ nh lý 1.5 (Đ nh lý Fubini) Cho F (x, y) kh tích Ω1 ⋅ Ω2 Khi x → Ω2 F (x, y)dy kh tích Ω1, y → F (x, y)dx kh tích Ω2 Ngoài F (x, y) dy = dx Ω1 Ω1 Ω2 F (x, y) dx = dy Ω2 Ω1 F (x, y) dxdy Ω1⋅Ω2 1, 1.1.3 Tích ch p Gi s f,g hàm đư c xác đ nh R Hàm s h(x) = (f ∗ g)(x) đư c xác đ nh b i công th c (f ∗ g)(x) = f (x − y)g(y)dy, (1.1) R v i gi thi t tích phân t n t i h u kh p nơi v i m i x ∈ R đư c g i tích ch p c a f g T (1.1) d dàng suy f ∗ g = g ∗ f Đ nh lý 1.6 N u f, g ∈ L1(R) f ∗ g t n t i h u kh p nơi f ∗ g ∈ L1(R) Ngoài ||f ∗ g|| ≤ ||f ||1||g||1 Ch ng minh Theo Đ nh lý Fubini ta có |f ∗ g|dx ≤ |f (x − y)g(y)|dydx = R R R |f (x − y)|dx|g(y)|dy = = R |f (x)|dx R R R |g(y)|dy = ||f ||1||g||1 T suy đpcm Đ nh lý 1.7 Gi s ≤ p ≤ ∞ N u f ∈ Lp(R), g ∈ L1(R) f ∗ g ∈ Lp(R) ||f ∗ g||p ≤ ||f ||p||g||1 (1.2) Ch ng minh Trư ng h p p=1 đư c ch ng minh đ nh lý 1.6 Xét trư ng h p < p < ∞ 1/p+1/p'=1 Ta có |(f ∗ g)(x)| ≤ |f (x − y)||g(y)|dy (1.3) R Vì |g(y)| = g(y)1/p+1/p , theo b t đ ng th c Holder ta có |f (x − y)|p|g(y)|dy)1/p( |f (x − y)||g(y)|dy ≤ ( R R |g(y)|dy)1/p R Do |f ∗ g|pdx ≤ R R |f (x − y)|p|g(y)|dydx||g||p/p R S d ng đ nh lý Fubini, ta có ||f ∗ g||p = p |f (x − y)|p|g(y)|dydx||g||p/p p R |f ∗ g| dx ≤ R R 3.6) 1+ Các hàm x ) K ( ± F (x) đư c toán biên Riemann (3.7) đư c xác đ ( x ) nhtheo công th χ = Ind1 + K2(x) Riemann sau + K Ch s c a toán biên xác đ nh t Gi i toán F +(x) = ( biên Rie + − K2(x)F (x) man n + k2(x+ − (3.7) K1(x)G(x) − , G(x), x ∈ theo R ) côn g th c (2.1 2), l y bi nđi Four ier n g c , ta tì ϕm đư = c n g hi m c a p h ươ n g trì n h c p (3 ): G G ( x ) + F + ( x ) e ( x ) [ + ( x ) ] ( x + i ) k − i x t d + K ( x ) i + K x Đ RX 3.2 Phương trình c p tích phân v i nhân ph thu c vào hi u t ng bi n s Xét phương trình c p tích phân hai n a tr c sau [2]: ∞ ϕ −∞ ∞ ϕ(t) + √1 2π −∞ ϕ(τ ) [k1(t − τ ) + mk1(t + τ )]dτ = f1(t), t > 0, (3.12) ϕ(τ ) [k2(t − τ ) + mk2(t + τ )]dτ = f2(t), t < Phương trình (3.12) đư c g i phương trình c p ( dual equations, pair of equations) đ i v i n hàm ϕ(t), t ∈ (−∞, ∞), hàm đư c ch a hai phương trình khác hai kho ng (h kho ng)không giao có h p kho ng tích phân m = m t h ng s th c, ϕ(t) m t hàm chưa bi t, k1,k2, f1, f2 nh ng hàm thu c l p {0} Khi m=0 phương trình c p tích phân (3.12) có h ch ph thu c vào hi u bi n s (tích ch p Fourier) tr thành phương trình c p (3.1) V i m = phương trình c p tích phân (3.12) có nhân ph thu c vào hi u t ng bi n s (d ng ch p Fourier) Chúng ta luôn gi thi t r ng (3.13) m = 0, k1 = k2 Ngoài ra, gi s f (x) ∈ {0}: ∧ f ≡ F [f (τ )] = √1 π Chúng ta ký hi u R f1(t), t > 0, 0, t < 0, vi t l i phương trình c p (3.12) ϕ(t) + √1 π ϕ(t) + √1 π τ f (τ )eit dτ, t ∈ R (3.14) f+(t) = 0(t < 0), g+(t) = ∧ r ng m2 = Ký hi u f bi n đ i Fourier c a f (t) = 0(t > 0) − , g (t) = − f2(t), t < 0, 0, t > (3.15) (3.16) d ng R ϕ(τ ) [k1(t − τ ) + mk1(t + τ )]dτ = g+(t) + f (t), t ∈ R, (3.17) R ϕ(τ ) [k2(t − τ ) + mk2(t + τ )]dτ = g (t) + f+(t), t ∈ R, (3.18) − − 35 f+(t) = ϕ(t) + √1 2π f (t) = ϕ(t) + √1 − 2π R R ϕ(τ ) [k2(t − τ ) + mk2(t + τ )]dτ, t > 0, (3.19) ϕ(τ ) [k1(t − τ ) + mk1(t + τ )]dτ, t < (3.20) nh ng hàm chưa bi t n a tr c ±t > Ký hi u − F [f+(t)] = F +(x), F [f (t)] = F (x), x ∈ R (3.21) − ± D th y r ng hàm F (x) có th thác tri n gi i tích thành nh ng hàm ± F (z)(z = x + iy) n a m t ph ng ±y > L y bi n đ i Fourier theo bi n t hai v phương trình (3.17) , (3.18) ta s ∧ ϕ ∧ nh n h thóng nh ng phương trình đ i v i (x), ϕ(−x), x ∈ R :     [1 [1 ∧ − + k∧1(x)] ∧(x) + m k∧1(x) ∧(−x) = g +(x) + F (x) ϕ ϕ (3.22) ∧ + k∧2(x)] ∧(x) + m k∧2(x) ∧(−x) = g −(x) + F +(x) ϕ ϕ Cùng v i u ki n (3.13), gi thi t thêm r ng đ nh th c c a h (3.22) khác không v i m i x, t c ∧ ∧ D(x) := m k2(x) − k1(x) = 0, ∀x ∈ R (3.23) ∧ϕ ϕ ∧ Như v y t h (3.22) có th xác đ nh nh t (x) (−x) Ta có ∧ ϕ(x) = m D(x) ∧ ∧ − k2(x)F (x) − k1(x)F +(x) ∧ ∧ + Dmx) k2(x) g (x) − k1(x) g (x) , + ∧ ∧ − ( ∧ ∧ ∧ − ϕ(−x) = (1 + k1(x))F +(x) − (1 + k2(x))F (x) D(x) ∧ (3.24) ∧ + D1x) (1 + k1(x)) g (x) − (1 + k2(x)) g (x) ∧ ∧ − ( + (3.25) Trong (3.24) thay x b i -x r i đ ng nh t bi u th c nh n đư c v i (3.23), ta đư c m D(x) ∧ ∧ − k2(x)F (x) − k1(x)F +(x) (3.26) − = D(1 x) (1 + k1(−x))F +(−x) − (1 + k2(−x))F (−x) + g1(x), ∧ ∧ − 36 ∧ ∧ g1(x) = D1x) (1 + k1(x)) g (x) − (1 + k2(x)) g (x) ∧ − ( ∧ + ∧ − Dmx) k2(x) g (x) − k1(x) ∧ g (x) , ∧ ∧ − + (3.27) ( K ý h i u − F1+(x) = F +(x), F1 (x) = F +(−x), (3.28) − − − F2+(x) = F (−x), F2 (x) = F (x) (3.29) ± Các hàm Fj (x) có thác tri n gi i tích tương ng vào n a m t ph ng {y > 0} {y < 0} S d ng ký hi u trog (3.27) (3.28), vi t l i đ ng nh t th c (3.25) đ ng nh t th c nh n đư c t (3.25) b ng cách thay x b i − x d n − g −1 + k1(−x)F (x) D(x) D(−x) ∧ D(−x ) − + mD(2xx)F2 (x) − ∧ ∧ g1(x), x ∈ R, k( ∧ m k ( x (3.3 0) ) ∧ ∧ ∧ − + k1(x)F +(x) − m k2(−x)F (x) = −m − k1(−x)F (x) D (x ) D(−x) D (− x) ) ∧ − F + + k2(x)F2 (x) − g1(−x), x ∈ R D ( x ) + ( x (3.3 1) ) Do có toán Riemann đ i v i hai hàm ch nh − m k ( hình t ng m nh F1(x) F2(x) Phương pháp không ph i phương pháp chung đ gi i quy t m t cách hi u qu Nhưng may m n, m2 = có th đư c làm Chúng ta s xét trư ng h p Gi s u ki n sau đư c th a mãn ∧ − x ) ∧ F D1(x) ≡ +D1((xx))D(−2()−x) + = 0, x ∈ R k ( x ) (3 2) + x k ± Gi i h (3.29)-(3.30) theo Fj (j = 1, 2) ta đư c h phương trình d ng ∧ = ∧ F1+(x) =D 1(x) D(1 − x)F1 (x )+1 +D2((xx ))D(−2() − −x)F2 ( x) + d1(x), x ∈ R, (3.33) +k − x ∧ ∧ F 2+ (x) = ( D x 1(x) ) F +D1( (x−x) (+xk) − ( (3.3 − x) − D1x)F2 (x) + d2(x), x ∈ R, k 4) )D − ( d2, d2 nh ng hàm bi t D dàng có đư c toán biên Riemann cho hàm ch nh hình t ng m nh Trong trư ng h p m=1, ta có − − (3.35) − (3.36) F1+(x) + F2+(x) = G(x)[F1 (x) + F2 (x)]+g(x), x ∈ R Trong trư ng h p m=-1, ta có − F1+(x) − F2+(x) = G(x)[F1 (x) − F2 (x)]+g(x), x ∈ R, g(x) hàm bi t ∧ ∧ G(x) = + k∧2(x) + k1(∧−x) + k2(−x) + k1(x) Như v y G(∞) = G(−∞) = t (3.31) suy G(x) = 0, x ∈ R Vì th , bi t [1], nh ng u ki n đ đ xác đ nh hàm ch nh hình t ng m nh F1(z) + F2(z) F1(z) − F2(z) Ti p theo xác đ nh F2(z) v i s tr giúp F1(z) đ t vào phương trình (3.27) Chúng ta s có toán biên Riemann đ i v i hàm ch nh hình t ng m nh F1(z) Vì th hàm F1(z) F2(z) s đư c xác đ nh Ti p theo hàm gi i tích t ng m nh F (z)(z = x + iy) đư c đ nh nghĩa b i công th c y > 0, y < (3.37) F +(x) = F1(x), F (x) = F2(x) (3.38) F (z) = F1 (z ), F (z ), Như v y ta có − ϕ∧ Do ta có th xác đ nh (x) t phương trình (3.23) L y bi n đ i Fourier ngư c − ∧ ϕ(t) = F 1[ϕ(x)](t) ta tìm đư c hàm ϕ(t) nghi m c a phương trình c p (3.12) 3.3 3.3.1 Bài toán biên h n h p đ i v i phương trình đa u hòa n a m t ph ng Phương trình đa u hòa Cho D n a m t ph ng (y>0) u(x,y) nghi m đ u (regular) c a phương trình đa u hòa ∆nu = 0, (n ≥ 1) (3.39) 38 Hàm u(x, y) đư c g i nghi m đ u c a phương trình (3.38), n u th a mãn phương trình bên mi n D, ti n đ n không v i đ o hàm có c p nh n x2 + y2 → +∞ 3.3.2 Bài toán • Đi u ki n biên Đ nh nghĩa D hàm u(x,y)tri t tiêu vô c c b i u ki n n-1 R vk(x, 0) ≡ ∂ u k y=0 = fk(x), k = 0, 1, , l − 1, l + 1, n − (3.40) ∂ yk nh ng u ki n không đ a phương dư i đây: vl(x, 0) = vl(x, h1) + mvl(−x, h1) + fl(x), x > (3.41) vl(x, 0) = vl(x, h2) + mvl(−x, h2) + fl(x), x < h1 = h2 nh ng h ng s dương, m2 = 1, l s không đ i ≤ l ≤ n − 1, hàm fk(x) ∈ {0} Trong trư ng h p h1 = h2 r t đơn gi n cách gi i đư c vi t m t cách d dàng • Cách gi i Trư c tiên, ta c n l i gi i c a phương trình (3.38) D biên R cho u ki n biên (3.39) v i k=0,1, ,n-1 Nó có th đư c vi t dư i d ng: n−1 u(x, y) = (n y 1)! n k=0 (−1)kCk−1 ∂ k k n − P fn−1−k , y (3.42) (3.43) ∂y P f (x) = y đ i v i u(x,y) tri t tiêu ki n kh tích dư i đây: f (t)dt π R (t − x)2 + y2 vô c c, hàm fk cho c n ph i th a mãn u tlfk(x)dx = 0, l = 0, 1, , 2(m − 1), k = 1, n − R k=2m, ho c k=2m-1 Nh ng toán v i b t kỳ l có th đư c gi i quy t b ng nh ng cách gi ng Xét trư ng h p l=0 Như v y, fk(x), (k=1,2, ,n-1, x ∈ R bi t, u(x,0)=f0(x) hàm chưa bi t N u hàm sau đư c xác đ nh, l i gi i c a Bài toán s đư c cho b i công th c (3.41) (3.44) 39 T (3.40) (3.41) cho hàm chưa bi t f0(x) ≡ ϕ(x), x ∈ R, có th d dàng nh n đư c nh ng phương trình c p (3.12), hn(−1)n−1 ∂n−1 kj(x) = (jn − 1)!π ∂yn−1 x2 + y2 y=hj , j = 1, 2; x ∈ R (3.45) Các hàm kj(x) có bi n đ i Foorier Ft [kj(x)] (t) = j −| t|y hn(−1)n−1 ∂n−1 e √ (n − 1)! 2π ∂yn−1 , j = 1, 2; t ∈ R y y=hj Vì hàm ch n theo t, nên u ki n (3.34),(3.35) s có d ng đơn gi n nh t: − − F1+(t) + F2+(t) = F1 (t) + F2 (t) + g(t), t ∈ R (3.46) ho c − − F1+(t) − F2+(t) = −(F1 (t) − F2 (t)) + g(t), t ∈ R (3.47) Các hàm gi i tích t ng khúc F1(z) + F2(z) ho c F1(z) − F2(z) đư c xác đ nh b i nh ng u ki n , trư ng h p đư c xác đ nh nh t đư c cho b i tích phân Cauchy Do hàm ϕ(x) s đư c xác đ nh m t cách nh t 3.3.3 Bài toán • Đi u ki n biên Xác đ nh D hàm u(x,y) tri t tiêu v i c c th a mãn u ki n biên R sau vk(x, 0) ≡ ∆ku y=0 = fk(x), x ∈ R, k = 0, 1, , l − 1, l + 1, n − (3.48) Đ i v i vl(x, 0) có u ki n biên h n h p (3.40) • Cách gi i Nghi m c a phương trình (3.38) D biên R cho u ki n biên (3.47) đ i v i k=0,1, ,n-1 có th đư c vi t dư i d ng: n−1 u(x, y) = P f0 + y π k=1 [(k − 1)!]2k fk(t)r2(k−1) ln r2dt, k (3.49) R r2 = (x − t)2 + y2 đ i v i u(x,y) tri t tiêu vô c c, hàm đưa ph i th a mãn u ki n: tlfk(t)dt = 0, k = 1, 2, , n − 1, l = 0, 1, , 2(k − 1) R 40 (3.50) Như (3.47), s xét l=0, f0(x) ≡ ϕ(x) hàm chưa bi t chưa Cho th a mãn u ki n biên h n h p (3.40), v n đ s đư c đưa đ n gi i phương trình c p d ng (3.12) 41 K t lu n Lu n văn trình bày v n đ sau đây: Tích ch p tính ch t c a ích ch p, đ c bi t b t đ ng th c Young, bi n đ i tích phân Fourier L1(R), L2(R), tích phân Cauchy tr c th c toán biên Riemann đ i v i n a n t ph ng Các ki n th c c n thi t b ích không ch đ i v i nghiên c u v phương trình tích phân d ng ch p, mà d i v i nhi u lĩnh v c khác, ch ng h n đ i v i phương trình tích phân kỳ d , tán x , nhi u x sóng, v.v Phương trình tích ch p lo i lo i toàn tr c, phương trình tích ch p n a tr c ( phương trình Wiener-Hopf), phương trình c p tích ch p, phương trình c p tích phân v i nhân ph thu c vào hi u t ng bi n s h n a tr c, ng d ng c a phương trình c p toán biên h n h p c a phương trình đa u hòa Lu n văn đưa m t s ví d v phương trình tích phân d ng ch p cho phép tìm nghi m c a chúng dư i d ng tư ng minh 42 Tài li u tham kh o [1] F D Gakhov, U I Cherski, Equations of Convolution Type (in Russian), " Nauka", Moscow, 1978 [2] Elena Obolashvili, Effective Solutions of Some Dual Integral Equations and Their Applications, Generalizations of Complex Analysis, Banach Center Publications, Volume 37, 251-257, 1996 [3] E C Titchmarsh, Introduction to Theory of Fourier Integrals, Second Edition, Oxford University Press, 1948 43