ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - TRẦN VĂN THIỆN HÀM TOÀN PHƯƠNG LỒI SUY RỘNG VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - TRẦN VĂN THIỆN HÀM TOÀN PHƯƠNG LỒI SUY RỘNG VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS NGUYỄN NĂNG TÂM Hà Nội - 2015 M cl c M t s kí hi u Ki n th c chu n b 1.1 Không gian Ơclit Tpl i 5 1.2 Hàm l 1.3 i Hàm t a l 1.4 i Hàm gi l i 10 1.5 M i quan h gi a nh ng hàm l i suy r 14 1.6 ng 16 Hàm toàn phương l i suy r ng 2.1 Nh c l i m t s đ nh nghĩa M t s tính 18 18 2.2 ch t c a hàm toàn phương l i suy r ng Tiêu chu n ki m 19 2.3 tra theo giá tr riêng véctơ riêng Tiêu chu n ki m tra 23 2.4 theo ma tr n Hessian tăng cư ng Tiêu chu n ki m tra 32 2.5 theo đ nh th c biên Tiêu chu n xác đ nh cho 33 2.6 oc-tan không âm Tính gi l i oc - tan n a 34 2.7 dương oc - tan không âm 51 ng d ng vào lý thuy t t i ưu 3.1 ng d ng vào toán t i ưu v i ràng bu c hình h c 54 54 3.2 57 ng d ng vào toán t i ưu có ràng bu c b t đ ng th c Tài li u tham kh o 64 B ng kí hi u đư ng th ng th c không gian Euclid n - chi u R Rn t p s th c suy r ng R = R ∪ {−∞, +∞} f :X→R int A ánh x t X vào R ph n c a A A bao đóng c a A dom(f ) mi n h u hi u c a f epi(f ) ϕ đ th c a f (x) đ o hàm c a ϕ t i x gradient c a f t i x f (x) ϕ (x) đ o hàm b c hai c a ϕ t i x ma tr n Hessian c a f t i x f (x) tích vô hư ng Rn , af f (A) chu n không gian Rn tr t đ i c a s x coA bao l i affine c a A (x, y) = {λx + (1 − λ)y | λ ∈ (0, 1)} (x, y] bao l i c a A ||.|| |x| = {λx + (1 − λ)y | λ ∈ (0, 1]} [x, y] = {λx + (1 − λ)y | λ ∈ [0, 1]} L(f, α) = {x ∈ X | f (x) đo n th ng m n i x y đo n th ng m n i x y đo n th ng đóng n i x y α} t p m c dư i M đu Trong quy ho ch phi n kinh t lư ng, tính t a l i gi l i đư c xem s m r ng quan tr ng c a tính l i M t tr ng i làm vi c v i nh ng khái ni m l i suy r ng chúng không d ki m tra Vì v y, ngư i ta mong mu n đưa nh ng tiêu chu n th c ti n đ ki m tra tính l i suy r ng Lu n văn trình bày m t cách có h th ng nh ng n i dung b n nh t v l p hàm toàn phương l i suy r ng m t s ng d ng c a vào lý thuy t t i ưu Lu n văn đư c trình bày g m chương Chương 1: Ki n th c b n Tác gi trình bày ki n th c b n v t p l i, hàm l i, hàm t a l i, hàm gi l i m i quan h gi a hàm l i suy r ng Các ki n th c b n đư c s d ng đ nghiên c u v n đ chương Chương 2: Hàm toàn phương t a l i hàm toàn phương gi l i N i dung c a chương t p trung trình bày tiêu chu n ki m tra tính l i suy r ng c a hàm toàn phương Các tiêu chu n đư c nêu chương g m: tiêu chu n ki m tra theo giá tr riêng véc tơ riêng, tiêu chu n ki m tra theo ma tr n Hessian tăng cư ng, tiêu chu n ki m tra theo đ nh th c biên, tiêu chu n ki m tra cho Oc-tan không âm xét tính gi l i c a m t hàm toàn phương oc-tan n a dương oc - tan không âm Chương 3: ng d ng vào toán t i ưu Lu n văn trình bày v d ng c a hàm toàn phương l i suy r ng vào nghiên c u toán t i ưu ng toàn phương v i ràng bu c hình h c toán t i ưu v i ràng bu c b t đ ng th c Nhân d p này, tác gi lu n văn xin bày t lòng kính tr ng bi t ơn sâu s c t i PGS.TS Nguy n Năng Tâm hư ng d n t n tình tác gi hoàn thành lu n văn Tác gi xin bày t lòng bi t ơn chân thành đ n th y ph n bi n dành th i gian đ c đóng góp nhi u ý ki n quý báu cho tác gi Tác gi xin trân tr ng c m ơn ban lãnh đ o khoa Toán - Cơ - Tin h c, khoa Sau đ i h c th y cô giáo trư ng Đ i h c Khoa h c T nhiên, Đ i h c Qu c gia Hà N i trang b ki n th c, t o u ki n thu n l i cho tác gi su t th i gian tác gi h c t p t i trư ng Cu i cùng, tác gi xin c m ơn gia đình, b n bè đ ng nghi p quan tâm, đ ng viên chia s đ tác gi hoàn thành lu n văn c a Hà N i, ngày 02 tháng 10 năm 2015 Tác gi lu n văn Tr n Văn Thi n Chương Ki n th c chu n b Chương trình bày m t s n i dung ki n th c b n v t p l i, hàm l i, hàm t a l i, hàm gi l i m i quan h gi a hàm l i suy r ng Nh ng n i dung đư c trình bày chương ch y u ch n t tài li u Mathematics of Optimization: Smooth and Nonsmooth Case c a G Giorgi, A Guerraggio and J Thierfelder [17] nh ng tài li u trích d n 1.1 Không gian Ơclit Tph p Rn := {x = (x1, , xn) | x1, , xn ∈ R} v i hai phép toán (x1, , xn) + (y1, , yn) := (x1 + y1, , xn + yn) λ(x1, , xn) := (λx1, , λxn), λ∈R l p thành m t không gian véc tơ Ơclit n−chi u N u x = (x1, , xn) ∈ R xi g i thành ph n ho c t a đ th i c a x Véc tơ không c a không gian g i g c c a Rn đư c kí hi u đơn gi n 0, v y = (0, , 0) Trong Rn ta đ nh nghĩa tích vô hư ng t c , sau: v i x = (x1, , xn), y = (y1, , yn) ∈ Rn, n x, y = i=1 xiy i Khi v i m i x = (x1, , xn) ∈ Rn ta đ nh nghĩa n x := x, x = i=1 (xi)2 g i chu n Euclid c a véc tơ x 1.2 Tpl i Đ nh nghĩa 1.1 T p C ⊂ Rn đư c g i l i, n u ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ R : ≤ λ ≤ ⇒ λx + (1 − λ) y ∈ C M nh đ 1.2 Cho C ⊂ Rn (α ∈ I) t p l i, v i I t p ch s α b t kì Khi C = C l i α∈I α M nh đ 1.3 Cho t p Ci ⊂ Rn l i, λi ∈ R (i = 1, 2, , m) Khi λ1C1 + + λmCm t p l i M nh đ 1.4 Cho t p Ci ⊂ Rni l i, (i = 1, 2, , m) Khi tích Đ C1 ⋅ ⋅ Cm t p l i Rn1 ⋅ ⋅ Rnm Đ nh nghĩa 1.5 Véc tơ x ∈ Rn đư c g i t hmp l i c a véctơ x1, , xm thu c Rn, n u ∃λi ≥ (i = 1, 2, , m) , λi = cho i=1 m x= xi λi i=1 Đ nh lý 1.6 Cho t p C ⊂ Rn l i; x1, , xm ∈ C Khi C ch a t t c t h p l i c a x1, , xm Đ nh nghĩa 1.7 Cho C ⊂ Rn Giao c a t t c t p l i ch a C đư c g i bao l i c a t p C, kí hi u coC Đ nh nghĩa 1.8 Gi s C ⊂ Rn Giao c a t t c t p l i đóng ch a C đư c g i bao l i đóng c a t p C kí hi u coC M nh đ 1.9 Cho C ⊂ Rn l i Khi đó, i) Ph n intC bao đóng C c a C t p l i; ii) N u x1 ∈ intC, x2 ∈ C, {λx1 + (1 − λ)x2 : < λ ≤ 1} ⊂ intC 1.3 Hàm l i Đ nh nghĩa 1.10 Cho hàm f : C → R, C ⊂ Rn, t p epi(f ) = {(x, α) ∈ C ⋅ R | f (x) ≤ α} , đư c g i đ th c a f Đ nh nghĩa 1.11 Cho C ⊂ Rn m t t p l i, f : C → R Hàm f đư c g i l i C n u đ th epi(f ) c a m t t p l i Rn ⋅ R Hàm f đư c g i lõm C n u −f hàm l i C Ta nh c l i m t s đ c trưng tính ch t c a hàm l i m t bi n kh vi Đ nh lý 1.12 Cho ϕ : (a, b) → R i) N u ϕ kh vi (a, b) ϕ l i (a, b) ch ϕ không gi m (a, b) ii) N u ϕ có đ o hàm b c hai (a, b) ϕ l i (a, b) ch ϕ (t) v i m i t ∈ (a, b) iii) N u ϕ l i [a, b] ϕ liên t c (a, b) Đ nh lý 1.13 Cho C t p l i không gian Rn f : C → R Khi đó, u ki n sau tương đương: a) f (λx + (1 − λ) y) ≤ λf (x) + (1 − λ) f (y) , ∀λ ∈ [0, 1] , ∀x, y ∈ C b) f (λx + (1 − λ) y) λf (x) + (1 − λ) f (y) , ∀λ > 1, ∀x, y ∈ C cho λx + (1 − λ) y ∈ C c) f (λx + (1 − λ) y) λf (x) + (1 − λ) f (y) , ∀λ < 0, ∀x, y ∈ C cho λx + (1 − λ) y ∈ C d)(B t đ ng th c Jensen) V i b t kì x1, , xm ∈ C, i = 1, , m v i b t kì λi ∈ [0, 1], i = 1, , m, m i=1 λi = b t đ ng th c sau đúng: f (λ1x1 + + λmxm) ≤ λ1f (x1) + + λmf (xm) e) V i m i x ∈ C, v i m i y ∈ Rn, hàm ϕx,y(t) = f (x + ty) hàm l i đo n Tx,y = {t ∈ R | x + ty ∈ C} f) V i m i x, y ∈ C, hàm ψx,y(λ) = f (λx + (1 − λ)y) l i đo n [0, 1] g) Trên đ th c a f t p l i Rn+1 Đ nh lý 1.14 Gi s C ⊂ Rn m t t p l i m , f : C → R Khi đó, f ∗ l i C ch v i m i x0 ∈ C, t n t i x ∈ Rn cho f (x) − f (x0) ∗ x (x − x0), x ∈ C Đ nh lý 1.15 Cho C ⊂ Rn m t t p l i f : C → R Khi đó, n u f l i C thì, v i m i α ∈ R t p m c dư i c a f L(f, α) = {x ∈ C | f (x) ≤ α} t p l i Ví d Xét hàm s f : R → R xác đ nh b i f (x) = x3 Ta có f không l i R, L(f, α) = {x ∈ R | x3 ≤ α} = {x ∈ R | x ≤ α1/3} t p l i v i m i α ∈ R Đ nh lý 1.16 Cho C ⊂ Rn m t t p m f : C → R kh vi C Khi kh ng đ nh sau tương đương: a) f l i C Gi s x0 x1 hai nghi m c c ti u đ a phương khác c a (QP1) Q(x0) ≤ Q(x1) Khi đó, Q(x) t a l i ch t C nên ta có Q(tx0 + (1 − t)x1) < Q(x1) v i m i t ∈ (0, 1) x1 không ph i nghi m đ a phương Như v y ch có nhi u nh t m t nghi m c c ti u đ a phương Vì x0 nghi m đ a phương nên t n t i ε > cho Q(x0) ≤ Q(x) v i m i x ∈ B(x0, ε), B(x0, ε) c u m tâm x0, bán kính ε Gi s r ng t n t i x2 ∈ Q, không thu c B(x0, ε), cho Q(x2) < Q(x0) Vì Q t a l i ch t, ta có Q(tx2 + (1 − t)x0) < Q(x0), Nhưng, v i λ < δ x2−x0 ∀t ∈ (0, 1) (3.1) ta có tx2 + (1 − t)x0 ∈ C ∩ B(x0, ε) δ x2−x0 Q(x0) ≤ Q(λx2 + (1 − t)x0) v i < t < x0 nghi m toàn c c , mâu thu n v i (3.1) V y Đ nh lý 3.2 Gi s r ng Q t a l i C Khi đó, n u x0 nghi m c c ti u đ a phương ch t c a (QP1) x0 nghi m c c ti u toàn c c nh t c a toán (QP1) Ch ng minh Gi s x0 nghi m c c ti u đ a phương ch t c a (QP1), nghĩa t n t i lân c n m U c a x0 Rn cho v i m i x ∈ U ∩ C, x = x0 ta có Q(x0) < Q(x) Gi s r ng x0 không ph i c c ti u toàn c c nh t Khi t n t i x ∈ C, x = x0 cho Q(x) ≤ Q(x0) Vì Q t a l i, ta có Q(tx + (1 − t)x0) ≤ Q(x0), ∀t ∈ [0, 1] Th nhưng, v i t đ nh ta có tx + (1 − t)x0 ∈ U ∩ C, mâu thu n v i u x0 nghi m đ a phương ch t Đ nh lý 3.3 Gi s r ng Q gi l i t p m D C ⊂ D Khi đó,x0 nghi m c c ti u đ a phương ch t c a (QP1) ch (x − x0), Q(x0) 0, 55 ∀x ∈ C Ch ng minh N u x0 nghi m c a (QP1) hàm ϕ(t) = Q(x0+λ(x−x0)) đ t c c ti u đo n [0, 1] t i t = (x − x0), Q(x0) = ϕ (0) Đi u ngư c l i suy tr c ti p t đ nh nghĩa c a hàm gi l i H qu 3.4 N u Q hàm gi l i t p l i m C x0 nghi m c a (QP1) ch Q(x0) = Gi s r ng, Q kh vi t p m D ch a C Kí hi u t p nghi m c a (QP1) Sol(QP1) Đ nh lý 3.5 a) N u Q t a l i C Sol(QP1) t p l i b) N u Q gi l i ch t ho c t a l i ch t C Sol(QP1) ch a nhi u nh t m t ph n t , nghĩa là: x0 ∈ Sol(QP1) =⇒ Sol(QP1) = {x0} Nói cách khác, n u Sol(QP1) = ∅ ch có m t ph n t ∗ ∗ Ch ng minh a) V i α = min{Q(x) | x ∈ C}, ta có Sol(QP1) = L(Q, α ) ∗ Vì Q t a l i nên L(Q , α ) l i Sol(QP1) l i b) V i hàm Q gi l i ch t ho c t a l i ch t C k t qu suy t đ nh lý 3.1 H qu 3.6 N u Q hàm gi l i ch t t p l i m C ta có: Sol(QP1) = {x0} ch Q(x0) = Đ nh nghĩa 3.7 Cho C ⊂ Rn Ta nói m x0 nghi m c c ti u toàn c c theo tia c a toán (QP1) n u v i m i y ∈ Rn m i t 0, x0 m c c ti u toàn c c (nh nh t) c a Q t p Q ∩ {x ∈ Rn | x = x0 + ty, t 0} Đ nh nghĩa 3.8 Cho C ⊂ Rn Ta nói m x0 nghi m c c ti u đ a phương theo tia c a toán (QP1) n u v i m i y ∈ Rn t n t i t0(y) cho Q(x0) m c c ti u toàn c c (nh nh t) c a Q t p C ∩ {x ∈ Rn | x = x0 + ty, t ∈ (0, t0(y))} Lưu ý r ng, m c c ti u đ a phương theo tia không nh t thi t ph i m c c ti u đ a phương Ví d n i ti ng sau c a G Peano: Hàm 56 f : R2 → R, f (x, y) = (y − x2)(y − 2x2), có m đ a phương theo tia t i x0 − (0, 0), x0 = (0, 0) không ph i m c c ti u đ a phương Tuy nhiên, ta có Đ nh lý 3.9 Xét toán (QP1) N u Q hàm t a l i C m i nghi m c c ti u đ a phương theo tia đ u nghi m c c ti u đ a phương Ch ng minh Xem [36] Đ nh lý 3.10 Xét toán (QP1) N u Q hàm t a l i n a ch t C x0 nghi m c c ti u toàn c c ch x0 nghi m c c ti u đ a phương theo tia Ch ng minh Xem [36] 3.2 ng d ng vào toán t i ưu có ràng bu c b t đ ng th c Bây gi ta xét toán quy ho ch toàn phương {Q (x) | x ∈ C, Qi(x) + αi 0, i = 1, , m} , (QP2) C ⊂ Rn t p l i Q, Qi : Rn → R, i = 1, , m, hàm toàn ∗ ∗ phương Kí hi u x m t nghi m c a (QP2), đ t I(x ) = {i | ∗ ∗ Qi(x ) + αi = 0} g i t p ch s ràng bu c ho t t i x Đ nh lý 3.11 Gi s hàm Q (QP2) hàm t a l i ch t C, v i ∗ m i i ∈ I(x ) hàm Qi t a l i C Khi / ∗ min{Q(x) | x ∈ C, Qi(x) + αi ∗ 0, i ∈ I(x )} = Q(x ) x Ch ng minh Gi s ph n ch ng r ng, t n t i x0 ∈ C cho Qi(x0)+αi ≤ v i m i ∗ ∗ i ∈ I(x ) Q(x0) < Q(x ) Khi đó, v i m i t ∈ (0, 1) ta có 57 ∗ xt = tx0 + (1 − t)x ∈ t ∗ Q(xt) < Q(x ), ∗ ∗ Qi(xt) + αi ≤ max{Qi(x0) + αi, Qi(x ) + αi}, ∗ ∗ ∀i ∈ I(x ) (3.2) ∗ V i m i i ∈ I(x ), Qi(x ) + αi < và, Qi liên t c t i x , ta có / Qi(xt) + αi < v i m i t đ nh Do đó, xt th a mãn u ki n ràng bu c ∗ c a toán (QP2) (3.2) mâu thu n v i x nghi m t i ưu Bây gi ta xét toán sau đây: (QP3) : c c ti u v i u ki n Q0(x) =1 xT A0x + bT x Qi(x) =1 xT Aix + bT x + ci i Ax b, 0, i = 1, 2, , l + Q0(x) hàm toàn phương t a l i t p đa di n {x ∈ Rn | Ax b} t t c hàm toàn phương ràng bu c Qi(x) l i (i = 1, 2, , m) Chú ý r ng, toán (QP3) có ràng bu c đa di n Ta có k t qu sau: Đ nh lý 3.12 (Lou-Zhang) Gi s r ng (QP3) có m t t p ch p nh n đư c khác r ng hàm m c tiêu b ch n t p ch p nh n đư c Hơn n a, gi s r ng hàm m c tiêu Q0(x) t a l i m t t p đa di n {x : Ax ≤ b} Khi đó, t p nghi m t i ưu c a (QP3) khác r ng Ch ng minh Chúng ta s s d ng phép quy n p theo m (m s ràng bu c c a d ng toàn phương) N u m = đ nh lý Gi s r ng đ nh lý v i m l Hơn n a, Q0(x) hàm t a l i, không m t tính t ng quát có th gi s r ng: Q0(x) = −x2 + x2 + + x2 r Ax b ⇒ Q0(x) 58 0, x1 Bây gi ta xét trư ng h p m = l + Ta xây d ng m t dãy c a toán ch t sau: c c ti u Q0(x) =1xT A0x + bT x (QP3)k v i u ki n Qi(x) =1xT Aix + bT x + ci i Ax b, x 0, i = 1, 2, , l + k, k = 1, 2, V i m i (QP3)k t n t i m t nghi m t i ưu tính compact c a mi n ch p nh n đư c Gi s , kí hi u xk nghi m có chu n c c ti u c a (QP3)k Ch c ch n, n u m t dãy c a xk : k = 1, 2, b ch n đ nh lý l p t c Không m t tính t ng quát, ta gi s r ng xk → ∞ k lim k→∞ x xk = u, v i m t vài u có ||u|| = T Q0(xk) : k = 1, 2, dãy đơn u gi m Qi(x) hàm toàn phương l i v i i = 1, 2, , l + cho ta k t qu : uT A0u =0 uT Aiu =0, i = 1, 2, , l + b 0, i = 1, 2, , l + i T Au Bây gi ,chúng ta xét riêng hai trư ng h p Trư ng h p : T n t i j ∈ {1, 2, , l + 1} cho bT u < Không m t j tính t ng quát, ta gi s j = l + Trong trư ng h p ta xét (QP3)k : c c ti u Q0(x) =1xT A0x + b0x v i u ki n: Qi(x) =1xT Aix + bT x + ci Ax b, 0, i = 1, 2, , l + i Có hai kh v i toán c c ti u hóa trên: ho c v a không b ch n ho c có th đ t đư c nghi m c c ti u b ng gi thi t quy n p 59 Trong c hai tình hu ng, tính liên t c c a Q0(x) nghi m x cho Q0(x ) = inf1 Q0 xk k≥ Qi(x ) t n t i m t 0, i = 1, 2, , l Ax b N u Ql+1(x ) ch ng minh Bây gi x nghi m t i ưu c a (QP3) th đ nh lí đư c ta xét kh khác, ví d Ql+1(x ) > Nh l i r ng Q0(xk) → Q0(x ) Q0(x) hàm t a l i m t mi n Chúng ta đòi h i r ng uT Q0 (x ) Đ th y u ta nh l i k t qu r r (xi) , xk i=2 x1 i=2 xk 2, ∀k i T đ nh nghĩa c a Q0(x) có r T 2x1xk +2 ( Q0 (x )) (x − x ) = − i=2 xixk − 2Q0(x ) i − r 2x1xk +2 (xi) r x k i=2 i − 2Q0(x ) i=2 r −2 r i=2 ( xi (xk − ) (xi) r = xk + i=2 r x k i i=2 k Q (x xk 2) − 2Q0(x ) i ) − 2Q0(x ) i=2 Chia hai v cho xk − x cho k → ∞ có k→∞ T lim sup ( Q0 (x )) xk − x x k −x ≤0 ∗ Bây gi đ nh nghĩa vô hư ng dương t := −QQ+1(xu ) l ∗ T l+1 ∗ đ t x (t ) := x + t u Rõ ràng, ∗ ∗ Ql+1 (x (t )) =Ql+1 (x ) + t ( Ql+1 (x ))T u ∗ =Ql+1 (x ) + t bT+1u l =0, ∗ ta s d ng Al+1u = đ nh nghĩa t S d ng k t qu ta có: ∗ ∗ Qi (x (t )) =Qi (x ) + t ( Qi (x ))T u ∗ =Qi (x ) + t bT u i Qi (x ) v i m i i = 1, 2, , l Cu i ta có ∗ ∗ Q0 (x (t )) = Q0 (x ) + t uT Q0 (x ) ≤ Q0 (x ) = inf ((QP3)) ∗ T k t lu n ta k t lu n r ng x (t ) m t nghi m t i ưu c a (QP3) Trư ng h p : bT u = v i m i i = 1, 2, , l + Trong trư ng h p i bi t r ng c u −u phương ch p nh n đư c cho toán (QP3) V i k c đ nh b t kỳ, t Q0(xp) < Q0(xk) v i m i p > k t tính t a l i c a Q0(x) suy r ng xp − xk T Q0 xk ≤ 0, ∀p > k Chia hai v hai v cho ||xp| | cho p → ∞ ta có: uT Q0 x k ≤ Vì u phương ch p nh n đư c (QP3) b ch n dư i, ta k t lu n r ng uT Q0 xk = 0, ∀k = 1, 2, 61 Bây gi , u = klim xk xk , ta suy r ng v i k đ l n ta có uT xk > 0, →∞ ( Au)i < ⇒ (Ax − b)i < k ta có s kéo theo v i m i i Đi u có nghĩa là, t n t i ε0 > cho v i m i < ε ε0 , (ε) := x − εu k k x m t nghi m ch p nh n đư c v i (QP3) (QP3)k Do ta có Q0(xk(ε)) = Q ( x k ) v i < ε ε có chu n c c ti u Do trư ng c hp h o hai : không T u y n h i ê n , bao gi k ( ε K ) < (ε) = xk −T2ε uk x2 + ε k v d o v y x t x k Đ i m toàn phương v i ràng bu c hình h c â toán t i ưu v i ràng bu c b t đ ng th c u c h n n v ε i > x n h s a o n Trong chương 3, tác gi trình bày ng d n ng c a hàm toàn phương y l i suy r ng vào nghiên c u toán t i ưu t h u đ l u u t a x y k l n g h i m K t lu n Lu n văn trình bày m t cách có h th ng n i dung sau: M t s khái ni m nh ng tính ch t b n c a hàm l i hàm l i suy r ng M t s tính ch t c a hàm toàn phương l i suy r ng, m t s tiêu chu n đ ki m tra tính l i suy r ng c a hàm toàn phương ng d ng tính l i suy r ng vào nghiên c u toán t i ưu toàn phương v i ràng bu c hình h c ràng bu c b t đ ng th c Vì kh u ki n có h n, lu n văn ch c ch n không th tránh đư c thi u sót Kính mong th y cô đ ng nghi p góp ý ki n đ có u ki n ch nh s a lu n văn đư c t t 63 Tài li u tham kh o [1] Arrow, K J., and Enthoven, A D.(1961), "Quasiconcave Programming, Econometrica",29, pp 779-800 [2] Avriel, L.(1976), "Nonlinear Programming: Analysis and Methods", Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey [3] Avriel, M., and Schaible, S.(1981), Second-Order Criteria for Pseudoconvex Functions, General Inequalities, Vol 1, pp 231-232, Edited by E F Beckenbach, Birkhauser-Verlag, Basel, Switzerland [4] Avriel, M., and Schaible, S.(1978), "Second-Order Characterizations of Pseudoconvex Functions", Mathematical Programming, Vol 14, pp 170-185 [5] Cottle, R W.(1967), "On the Convexity of Quadratic Forms over Convex Sets", Operations Research, Vol 15, pp 170-172 [6] Cottle, R W., and Ferland, J A.(1971), "On Pseudoconvex Functions of Non-negative Variables", Mathematical Programming, Vol 1, pp 95101 [7] Cottle, R W., and Ferland, J A.(1972), "Matrix-Theoretic Criteria for the Quasiconvexity and Pseudoconvexity of Quadratic Functions",Linear Algebra and Its Applications, Vol 5, pp 123-136 [8] Cottle, R W.(1974), "Manifestations of the Schur Complement", Linear Algebra and Its Applications, Vol 8, pp 189-211 64 [9] Crouzeix, J P.(1980), "Conditions for Convexity of Quasiconvex Functions",Mathe-matics of Operations Research, Vol pp 120-125 [10] J P Crouzeix and J A Ferland (1982), "Criteria for quasiconvexity and pseudoconvexity: relationships and comparisons", Math Programming, 23, 193-201 [11] W E Diewert, M Avriel and I Zang (1981), Nine kinds of quasi concave and concave, J Econ.Theory 25, 397-420 [12] Ferland, J A.(1971), "Quasi-Convex and Pseudo-Convex Functions on Solid Convex Sets",Stanford University, Operations Research House, Technical Report No 71-4 [13] Ferland, J A.(1972), "Maximal Domains of Quasi-Convexity and Pseudo-Convexity for Quadratic Functions",Mathematical Programming, Vol 3, pp 178-192 [14] Gantmacher, F R.(1959), The Theory of Matrices, Vol 1, Chelsea Publishing Company, New York [15] Gantmacher, F R.(1959), The Theory of Matrices, Vol 2, Chelsea Publishing Company, New York [16] Greenberg, H J., and Pierskalla, W P.(1971), "A Review of Quasiconvex Functions",Operations Research, Vol 19, pp 1553 - 1570 [17] G Giorgi, A Guerraggio and J Thierfelder (2004), Mathematics of Optimization: Smooth and Nonsmooth Case ,Elsevier B.V Amsterdam The Netherlands [18] Jacobson, D H.(1976), "A Generalization of Finslers Theorem for Quadratic Inequalities and Equalities", Quaestiones Mathematicae, Vol 1, pp 19-28 [19] S Karamadian (1967),Strictly quasi convex (concave) functions and duality in mathematical programming, J Math Anal Appl., 20, 344358 65 [20] D G Luenberger (1968), Quasiconvex programming, SIAM J Appl Math., 16, 1090-1095 [21] Mangasarian, O L.(1965), "Pseudo-Convex Functions", SIAM Journal on Control, Vol 3, pp 281-290 [22] Mangasarian, O L.(1969), Nonlinear Programming, McGraw-Hill Book Company, New York, New York [23] Martos, B.(1969), Subdefinite Matrices and Quadratic Forms, SIAM Journal on Applied Mathematics, Vol 17, pp 1215-1223 [24] Martos, B.(1971), Quadratic Programming with a Quasiconvex Objective Function, Operations Research, Vol 19, pp 82-97 [25] Martos, B., Nonlinear Programming: Theory and Methods, NorthHolland Publishing Company, Amsterdam, Holland, 1975 [26] K Otani (1983), A characterization of quasi convex functions, J Eco Theory 31, 194-196 [27] Ponstein, J.(1967), Seven Kinds of Convexity, SIMA Review, Vol 9, pp 115-119 [28] Schaible, S., J A Ferland (1971), Private Communication [29] Schaible, S.(1971), Beitrage zur Quasikonvexen Programmierung, Universitat Koln, Doctoral Dissertation [30] Schaible, S.(1972), Quasiconvex Optimization in Real Linear Space, Zeitschrift fur Operations Research, Vol 16, pp 205-213 [31] Schaible, S.(1973), Quasi-Concave, Strictly Quasi-Concave, and Pseudo-Concave Functions, Methods of Operation Research, Vol 17, pp 308-316 [32] Schaible, S.(1973), "Quasiconvexity and Pseudoconvexity of Cubic Functions", Mathematical Programming, Vol 5, pp 243-247 66 [33] Schaible, S.(1977), "Second-Order Characterizations of Pseudoconvex Quadratic Functions", Jounal of Optimization Theory and Applications, Vol 21, pp 15-26 [34] Schaible, S.(1977), "Generalized Convexity of Quadratic Functions",Generalized Concavity in Optimization and Economics ions, Vol 21, pp 15-26 [35] Schaible, S., and Cottle, R W.(1980), On Pseudoconvex Quadratic Forms, General Inequalities, Vol 2, pp 81-88, Edited by E F Beckenbach, Birk-hauser-Veriag, Basel, Switzerland [36] Schaible, S.(1981), Quasiconvex, Pseudoconvex and Strictly Pseudoconvex Quadratic Functions Vol 35 [37] Shuzhong Zhang, (1998), On Extensions of the Frank-Wolfe Theorems, Econometric Institute, Erasmus University Rotterdam, The Netherlands [38] W A Thompson and D W Parke (1973), Some properties of generalized concave functions, Operation Research, 21, 305-313 67 ... TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - TRẦN VĂN THIỆN HÀM TOÀN PHƯƠNG LỒI SUY RỘNG VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:... a m t hàm toàn phương oc-tan n a dương oc - tan không âm Chương 3: ng d ng vào toán t i ưu Lu n văn trình bày v d ng c a hàm toàn phương l i suy r ng vào nghiên c u toán t i ưu ng toàn phương. .. tính ch t c a m t s l p hàm l i suy r ng, m i quan h gi a hàm l i suy r ng 17 Chương Hàm toàn phương l i suy r ng Chương trình bày t p trung tính t a l i gi l i c a hàm toàn phương v i ba khái ni