Đ I H C QU C GIA HÀ N I TRƯ NG Đ I H C KHOA H C T NHIÊN TR N VĂN TUÂN CÁC TIÊU CHU N L A CH N MÔ HÌNH CHU I TH I GIAN Chuyên ngành: Lí thuy t xác su t th ng kê Toán h c Mã s : 60 46 01 06 LU N VĂN TH C SĨ KHOA H C NGƯ I HƯ NG D N KHOA H C TS TR N M NH CƯ NG HÀ N I - 2015 M cl c L i nói đ u Chương Gi i thi u m t s chu i th i gian d ng 1.1 Các khái ni m b n 1.1.1 Quá trình c p 1.1.2 Hàm trung bình, hàm t hi p phương sai hàm t tương quan 61.1.3 Quá trình d ng 1.2 M t s trình d ng quan tr ng 10 1.2.1 Quá trình trung bình trư t c p 10 Quá 1.2.2 trình trung bình trư t c p q 11 Quá trình 1.2.3 trung bình trư t c p vô h n 12 Quá trình t h i quy 1.2.4 c p 14 Quá trình t h i quy c p 1.2.5 17 Quá trình t h i quy c p 1.2.6 p 20 Quá trình h n h p 1.2.7 ARMA(p,q) 21 Chương M t s tiêu chu n l a ch n mô hình 2.1 Tiêu chu n thông tin Akaike 24 2.1.1 Kho ng cách Kullback - Leibler 24 2.1.2 Ư c lư ng h p lý c c đ i kho ng cách Kullback - Leibler 26 24 2.2 2.1.3 Đ nh nghĩa AIC 32 2.1.4 AIC kho ng cách Kullback - Leibler 34 Tiêu chu n thông tin Bayesian (BIC) 40 2.2.1 Ngu n g c c a BIC 40 2.2.2 Đ nh ngĩa BIC 42 2.3 Xác đ nh b c c a mô hình ARMA b ng ACF PACF 47 2.3.1 AFC: Hàm t tương quan 47 2.3.2 PACF: Hàm t tương quan riêng 49 Chương ng d ng 3.1 D li u 55 3.2 55 Phân tích 55 3.3 Code R 59 Tài li u tham kh o 63 L i nói đ u L a ch n mô hình (Model selection) toán b n c a th ng kê nhi u nghành khoa h c khác Theo R.A Fisher có toán th ng kê suy lu n d báo g m - Xác đ nh mô hình (model specification) - Ư c lư ng tham s (estimation of model parameters) - D báo (prediction) Trư c nh ng năm 1970 h u h t nghiên c u t p trung vào hai toán sau v i gi thi t mô hình bi t Sau xu t hi n công trình c a Akaike (1973) toán l a ch n mô hình thu hút đư c s quan tâm c a c ng đ ng làm th ng kê V i m t b d li u đưa ra, mô hình t t nh t? Đ tr l i cho câu h i trên, ngư i ta đưa tiêu chu n thông tin đ l a ch n mô hình phù h p tiêu chu n thông tin c a Akaike (AIC) tiêu chu n thông tin c a Bayesian (BIC), Vi c l a ch n mô hình phù h p trung tâm cho t t c công tác thông kê v i d li u L a ch n bi n đ s d ng mô hình h i quy m t nh ng ví d quan tr ng Lu n văn c a trình bày hai tiêu chu n thông tin quan tr ng tiêu chu n thông tin c a Akaike tiêu chu n thông tin c a Bayesian Lu n văn g m ba chương Chương Gi i thi u m t s chu i th i gian d ng Chương trình bày m t s khái ni m b n: trình c p 2, hàm trung bình hàm t hi p phương sai c a m t trình ng u nhiên, trình d ng m t s trình d ng quan tr ng như: trình trung bình trư t c p 1, c p q, c p vô h n; trình t h i quy c p 1, c p2, c p p, trình h n h p ARMA(p,q) Chương M t s tiêu chu n l a ch n mô hình Chương trình bày khái ni m kho ng cách Kullback - Leibler, m i liên h gi a c lư ng h p lý c c đ i kho ng cách Kullback - leibler, đ nh nghĩa AIC, m i liên h gi a AIC kho ng cách Kullback - Leibler, ngu n g c đ nh nghĩa BIC Chương ng d ng Chương trình bày v ng d ng ph n m m th ng kê R đ v đ th c a hàm t tương quan t tương quan riêng mô hình liên quan đ n d li u v t ng thu nh p qu c dân ly M t quý năm 1947 đ n quý năm 2002 (đư c website http://research.st louisfed.org/), xác đ nh AIC BIC mô hình ARMA(i,j) v i i, j = 0, 1, 2, Do th i gian trình đ h n ch nên lu n văn không tránh kh i nh ng thi u sót, tác gi mong nh n đư c nhi u ý ki n đóng góp t th y cô giáo b n đ c đ lu n văn đư c hoàn ch nh L I C M ƠN Sau m t th i gian h c t p t i khoa Toán - Cơ - Tin h c, trư ng Đ i h c Khoa h c T Nhiên, dư i s hư ng d n ch b o t n tình c a TS Tr n M nh Cư ng, hoàn thành lu n văn th c s v i đ tài "M t s tiêu chu n l a ch n mô hình" Trong su t trình h c t p tri n khai nghiên c u đ tài, nh n đư c r t nhi u s giúp đ c a th y, cô b môn Xác su t th ng kê, th y cô khoa Toán - Cơ - Tin h c trư ng Đ i h c Khoa h c T Nhiên, Đ i h c Qu c gia Hà N i, đ c bi t th y Tr n M nh Cư ng Tôi bày t lòng bi t ơn chân thành sâu s c đ n th y Tr n M nh Cư ng, ngư i t n tình ch b o giúp đ r t nhi u trình nghiên c u làm đ tài Tôi g i l i c m ơn đ n ban giám hi u, phòng sau đ i h c, th y cô khoa Toán - Cơ - Tin h c nói chung th y, cô b môn Xác su t th ng kê nói riêng t o nh ng u ki n thu n l i nh t đ có th hoàn thành lu n văn Chương Gi i thi u m t s chu i th i gian d ng 1.1 1.1.1 Các khái ni m b n Quá trình c p Gi x X(t), t ∈ T m t trình ng u nhiên Quá trình X(t), t ∈ T đư c g i m t trình c p n u: E|X(t)|2 < ∞, ∀t ∈ T 1.1.2 Hàm trung bình, hàm t hi p phương sai hàm t tương quan Gi x X(t), t ∈ T m t trình ng u nhiên Hàm trung bình, kí hi u m(t) đư c đ nh nghĩa b i công th c sau m(t) = EX(t) Hàm t hi p phương sai, kí hi u r(s, t) đư c đ nh nghĩa b i công th c sau r(s, t) = cov(X(s), X(t)) = E(X(s) − m(s))(X(t) − m(t)) = EX(s)X(t) − m(s)m(t) Vì V arX(t) = cov(X(t), X(t)) nên V arX(t) = r(t, t) 1.1.3 Quá trình d ng Đ nh nghĩa 1.1.1 Gi s X(t), t ∈ R m t trình c p X(t) đư c g i m t trình d ng (y u) n u hàm trung bình m(t) h ng s (không ph thu c vào t) hàm t hi p phương sai r(s, t) ch ph thu c vào s−t Như v y X(t), t ∈ T trình d ng ch khi: a) m(t) = m = const b) T n t i hàm γ(t) cho r(s, t) = γ(s − t), ∀s, t ∈ R (hàm γ(t) đư c g i hàm t hi p phương sai c a trình d ng) Đ nh nghĩa 1.1.2 Gi s X(t), t ∈ R m t trình d ng v i hàm t hi p phương sai γ(t) Hàm t tương quan c a trình X(t) đư c đ nh nghĩa b i ρ(h) = γ(h) γ(0) Đ nh nghĩa 1.1.3 Quá trình X(t), t ∈ R đư c g i trình d ng m nh n u v i m i ∀h ∈ R v i m i t1 < t2 < < tn, phân ph i đ ng th i c a {X(t1 + h), X(t2 + h), , X(tn + h)} c a {X(t1), X(t2), , X(tn)} Nh n xét: m t trình d ng m nh có moment c p trình d ng y u Đi u ngư c l i nói chung không N u m t trình d ng y u trình Gauss s trình d ng m nh b i phân ph i h u h n chi u c a trình Gauss hoàn toàn đư c xác đ nh b i hàm trung bình hàm t hi p phương sai Ví d : Gi s U V hai đ i lư ng ng u nhiên không tương quan v i EU = EV = 0, EU = EV = σ2 V i λ m t s th c, xét trình X(t) = U cos λt + V sin λt Ta có: m(t) = cos λt.EU + sin λt.EV = r(s, t) = EX(s)X(t) = E[(U cos λs + V sin λs)(U cos λt + V sin λt)] = E[U2 cos λs cos λt + V sin λs sin λt + UV cos λs sin λt + UV sin λs cos λt] = σ2(cos λs cos λt + sin λs sin λt) = σ2 cos λ(t − s) V y X(t) trình d ng v i hàm t hi p phương sai γ(t) = σ2 cos λt Ví d : T ng quát hơn, gi s U1, U2, , Un V1, V2, , Vn đ i lư ng ng u nhiên có EUk = EVk = 0, EUk2 = EVk2 = σ2, k EUiUk = (i = k), EViVk = (i = k), EUiVj = Xét trình n (Uk cos λkt + Vk sin λkt) X ( t) = k=1 λ1, λ2, , λn h ng s th c.Tương t ví d 1.1 ta ch ng minh đư c X(t) trình d ng v i n m(t) = EX(t) = 0, γ(t) = σ2 cos λkt k k=1 Ví d : Gi s N(t), t ≥ trình Poisson v i cư ng đ λ > L > m t h ng s Ta xét trình sau X(t) = N (t + L) − N (t) Như v y, n u N(t) s bi n c x y kho ng th i gian (0, t) X(t) s bi n c x y kho ng th i gian có đ dài L tính t th i m t Ta có: m(t) = EX(t) = E[N (t + L) − N (t)] = (t + L)λ − tλ = λL = const Bây gi ta tính hàm t hi p phương sai r(s, t) = cov(X(s), X(t)) c a X(t) Ta có th gi thi t ≤ s ≤ t phân bi t hai trư ng h p: a) t > s + L: Trong trư ng h p hai kho ng (s, s + L) (t, t + L) r i nhau, N(s + L) − N(s) N(t + L) − N(t) đ c l p, v y không tương quan, t c r(s, t) = b) s ≤ t ≤ s + L: Trong trư ng h p ta có r(s, t) = cov[N (s + L) − N (s), N (t + L) − N (t)] = cov[N(s + L) − N(t) + N(t) − N(s), N(t + L) − N(t)] = cov[N(s + L) − N(t), N(t + L) − N(t)] (vì N(t) − N(s) N(t + L) − N(t) đ c l p) L i có cov[N (s + L) − N (t), N (t + L) − N (t)] = = cov[N(s + L) − N(t), N(t + L) − N(s + L) + N(s + L) − N(t)] = cov[N(s + L) − N(t), N(s + L) − N(t)] = V ar[N(s + L) − N(t)] (vì N(s + L) − N(t) N(t + L) − N(s + L) đ c l p) Vì th r(s, t) = V ar[N(s + L) − N(t)] = λ(s + L − t) = λ[L − (t − s)] Tương t v i ≤ t ≤ s tính đ i x ng, cu i ta đư c r(s, t) =  λ(L − |t − s|) n u |t − s| ≤ L  n u |t − s| > L   V y X(t) m t trình d ng v i hàm t hi p phương sai    λ( L −| t|) n Hàm t tương quan (ACF) c a Xt ρ(h) = γ(h) γ(0) Ta có th tìm ACF c a ARMA(p, q) theo cách sau đây: p γ(h) = cov(Xt+h, Xt) = E[( j=1 q p φjγ(h − j) + σ2 ε = ∞ k =0 φjXt+h−j + j=0 θjWt+h−j)Xt] (2.18) θjψj−h, h ≥ j=1 Do Xt = q j= h ψkεt−k v i h ≥ ta có: ∞ E(εt+h−jXt) = E[εt+h−j( ψkεt−k)] = ψj−hσ2 ε k=0 T (2.18) ta có phương trình γ(h) − φ1γ(h − 1) − − φpγ(h − p) = 0, h ≥ max(p, q + 1) (2.19) v i u ki n ban đ u p γ(h) − q φjγ(h − j) = σ2 j=1 θjψj−h, ≤ h < max(p, q + 1) j =h T (2.19), (2.20) chia v cho γ(0) ta có phương trình cho phép tìm đư c ACF c a ARMA(p, q) Như v y: Đ i v i mô hình MA(q), hàm t tương quan (ACF) ρ(h) s b ng v i m i |h| > q n a θq = nên ρ(q) = Do ACF cho ta bi t thông tin v b c ph thu c c a mô hình MA(q) 2.3.2 PACF: Hàm t tương quan riêng Trư c h t, ta xét mô hình nhân qu AR(1) Xt = φXt−1 + εt Khi γ(2) = cov(Xt, Xt−2) = cov(φXt−1 + εt, Xt−2) = cov(φ2Xt−2 + φXt−1 + εt, Xt−2) = φ2γ(0) 49 (2.20) Do Xt−2 ch liên quan đ n εt−2, εt−3, không tương quan v i εt−1 εt H s tương quan gi a Xt Xt−2 khác Xt ph thu c vào Xt−2 thông qua Xt−1 Ta có cov(Xt − φXt−1, Xt−2 − φXt−1) = cov(εt, Xt−2 − φXt−1) = Đ đ nh nghĩa h s tương quan riêng (PACF) cho chu i th i gian d ng, ta đ t xh−1 h i quy c a Xh d a Xh−1, , X1, nghĩa h Xh−1 = β1Xh−1 + β2Xh−2 + + βh−1X1 h (2.21) Do EXt = nên (2.21) h s t G i Xh−1 h i quy c a X0 d a X1, , Xh−1, t c Xh−1 = β1X1 + β2X2 + + βh−1Xh−1 (2.22) Có th ch ng minh r ng h s β1, , βh−1 phương trình (2.21) (2.22) Đ nh nghĩa 2.3.1 H s tương quan riêng (PACF) c a trình d ng Xt ký hi u φhh, v i h = 1, 2, , φ11 = cov(X1, X0) = ρ(1) Và φhh = cov(Xh − Xh−1, X0 − Xh−1), h ≥ h Chú ý r ng c Xh −Xh−1 X0 −Xh−1 không tương quan v i X1, X2, , Xh−1 Do h tính d ng ta có φhh h s tương quan gi a Xt Xt−h sau lo i b ph thu c n tính c a Xt−1, Xt−2, , Xt−(h−1) t c φhh h s tương quan gi a Xt Xt−h theo phân b có u ki n c a (Xt, Xt−h) bi t Xt−1, , Xt−(h−1) Ví d : H s tương quan riêng c a trình nhân qu Xét trình AR(1) Xt = φXt−1 + εt 50 AR(1) v i |φ| < Theo đ nh nghĩa φ11 = ρ(1) = φ Đ tính φ22, ta xét h i quy c a X2 theo X1 t c X = β X1 Ta ch n β c c ti u E(X2 − βX1)2 = γ(0) − 2βγ(1) + β2γ(0) L y đ o hàm theo β cho b ng ta đư c β = γ(1) = ρ(1) = φ Do γ(0) X1 = φX1 Xét h i quy c a X0 theo X1 t c X = β X1 Ta ch n β c c ti u E(X0 − βX1)2 = γ(0) − 2βγ(1) + β2γ(0) Suy β = φ X1 = φX1 Theo đ nh nghĩa φ22 = corr(X2 − φX1, X0 − φX1) = γ(2) − 2φγ(1) + φ2γ(0) = Vì γ(h) = γ(0)φh Do φ22 = ví d ti p theo ta s th y r ng φhh = v i m i h > Ví d : Hàm t tương quan c a trình t h i quy nhân qu AR(p) Xét trình t h i quy p Xt = j=1 φjXt−j + εt 51 nghi m c a φ(z) n m hình tròn đơn v Nói riêng ta có p Xh = j=1 φjXh−j + εh Khi h > p, h i quy c a Xh theo Xh−1, Xh−2, , X1 p Xh−1 h = φjXh−j j=1 Ta th a nh n k t qu T k t qu ta có h > p φhh = corr(Xh − Xh−1, X0 − Xh−1) h = corr(εh, X0 − Xh−1) = h Do tính nhân qu nên X0 − Xh−1 ch ph thu c vào εh−1, εh−2, Khi h ≤ p φhh = φ11, , φp−1,p−1 không nh t thi t b ng S d ng l nh R sau ta có ACF PACF c a trình AR(2) (xem hình 2.1) > acf = ARM Aacf (ar = c(1.5, −0.75), ma = 0.24) > pacf = ARM Aacf ((ar = 1.5, −0.75), ma = 0.24, pacf = T ) > par(mf row = c(1.2)) > plot (acf, type = h , Xlab = lag ) > abline(h = 0) > plot (pacf, type = h , Xlab = lag ) > abline(h = 0) 52 Hình 2.1: Đ th hàm ACF PACF c a trình AR(2) Ví d : Hàm t tương quan c a trình MA(q) kh ngh ch V i trình MA(q) kh ngh ch ta có th vi t dư i d ng ∞ Xt = − j=1 πj X t − j + ε t Hơn n a, bi u di n h u h n không t n t i, t c πj = 0, ∀j ≥ M Do có th th y r ng hàm t tương quan riêng PACF φhh không b ng h đ l n đ i v i trình AR(p) V i trình MA(1) Xt = εt + θεt−1 |θ| < Tính toán tương t ví d 2.10 ta có θ2 − φ22 = + θ2 + θ4 T ng quát φhh = (−θ) (1h− θ ), h ≥ h − θ2( +1) Như v y dáng u c a hàm t tương quan riêng (PACF) c a trình MA gi ng hàm ACF c a trình AR dáng u c a hàm PACF c a 53 trình AR gi ng hàm ACF c a trình MA Vì trình ARMA kh ngh ch có bi u di n AR vô h n nên PACF không b ng đuôi Ta có th t ng k t k t qu theo b ng sau: B ng 1: Dáng u c a hàm ACF PACF cho trình ARMA kh ngh ch, nhân qu AR(p) ACF Đuôi nh MA(q) ARMA(p,q) B ng sau đ tr p Đuôi nh PACF B ng sau đ tr p Đuôi nh Đuôi nh T k t qu ta có th xác đ nh đư c b c p, q c a trình ARMA(p,q) 54 Chương ng d ng 3.1 D li u Ta xét d li u v t ng thu nh p qu c dân (GNP - Gross National Product) M theo quý b t đ u t quý năm 1947 đ n quý năm 2002, đơn v tính t USD D li u đư c công b b i Federal Resevre Bank of St Louis (http://research.st louisfed.org/) Chi ti t xem b ng 3.1 trang 60,61 (trong Xt GNP t i th i m t) 3.2 Phân tích Hình dư i đ th plot c a d li u T đ th plot ta th y r ng c n ph i bi n đ i s li u d ng Xt = (1 + pt)Xt−1 Trong pt t l ph n trăm thay đ i gi a hai th i m t − t L y log hai v ta có log(Xt) − log(Xt−1) = log(1 + pt) Khi pt nh ta có Dif f (Xt) := log(Xt) − log(Xt−1) ≈ pt 55 Hình 3.1: Đ th plot c a d li u Hình 3.2: ACF c a chu i d li u gnp Dif f (Xt) đư c g i t c đ tăng trư ng (growth rate) T đ th ACF ta th y giá tr c a hàm ACF ρ(h) r t bé v i |h| > giá tr c a hàm PACF r t nh |h| > nên ta d đoán r ng trình Yt tuân theo mô hình MA(2) ho c AR(1) hay trình log(Xt) tuân theo mô hình ARIM A(0, 1, 2) ho c ARIM A(1, 1, 2) Tuy nhiên dư i ta s s d ng tiêu chu n AIC BIC đ l a ch n mô hình m t s mô hình ta đ xu t Các mô hình đ xu t cho Yt g m ARMA(i, j) v i i, j = 0, 1, 2, 56 Hình 3.3: Plot c a trình Yt = Diff(Xt) Hình 3.4: ACF PACF c a trình Yt Mô hình (0, 1) AIC = 1417.167 57 BIC = 1406.972 Mô hình (0, 2) AIC = 1424.496 BIC = 1410.876 Mô hình (1, 0) AIC = 1423.758 BIC = 1413.563 Mô hình (1, 1) AIC = 1422.625 BIC = 1409.032 Mô hình (1, 2) AIC = 1423.487 BIC = 1406.496 Như v y mô hình xét mô hình t t nh t mô hình M A(2) theo tiêu chu n AIC mô hình AR(1) t t nh t theo tiêu chu n BIC 58 3.3 Code R > gnp96 = read.csv ( D : /gnp96.csv , header = F ALSE) > gnp = ts(gnp96[, 2], start = 1947, f requency = 4) > plot(gnp) > acf (gnp, 50) > gnpgr = dif f (log(gnp))#growth rate > plot.ts(gnpgr) > par(mf row = c(2, 1)) > acf (gnpgr, 24) > pacf (gnpgr, 24) > gnpgr.ar = arima(gnpgr, order = c(1, 0, 0)) > gnpgr.ma = arima(gnpgr, ord = c(0, 0, 2)) > gnpgr.ar > gnpgr.ma > model < −arima(x = gnpgr, order = c(1, 0, 0), method = M L ) > model$aic > aic > bic = AIC(model, k = log(length(ts.sim))) > bic 59 B ng 3.1: d li u v t ng thu nh p qu c dân (GNP) M đo theo quý t quý năm 1947 đ n quý năm 2002 Năm GNP Năm GNP Năm GNP Năm GNP 1947.1 1488.9 1955.1 2071.6 1963.1 2654.8 1971.1 3691.3 1947.2 1496.9 1955.2 2104.3 1963.2 2688.2 1971.2 3712.8 1947.3 1500.5 1955.3 2132.4 1963.3 2739.8 1971.3 3738.4 1947.4 1524.3 1955.4 2143.9 1963.4 2760.3 1971.4 3749.2 1948.1 1546.6 1956.1 2136.4 1964.1 2823.2 1972.1 3823.4 1948.2 1571.1 1956.2 2152.8 1964.2 2855.7 1972.2 3910.0 1948.3 1577.6 1956.3 2150.8 1964.3 2894.7 1972.3 3950.7 1948.4 1580.5 1956.4 2184.1 1964.4 2900.5 1972.4 4018.7 1949.1 1558.2 1957.1 2198.8 1965.1 2974.0 1973.1 4125.0 1949.2 1553.6 1957.2 2195.0 1965.2 3014.6 1973.2 4168.3 1949.3 1570.7 1957.3 2215.5 1965.3 3073.6 1973.3 4158.0 1949.4 1553.9 1957.4 2189.2 1965.4 3144.5 1973.4 4192.5 1950.1 1618.4 1958.1 2131.0 1966.1 3222.6 1974.1 4168.1 1950.2 1667.2 1958.2 2143.6 1966.2 3234.8 1974.2 4176.5 1950.3 1733.1 1958.3 2190.9 1966.3 3254.7 1974.3 4126.5 1950.4 1763.9 1958.4 2239.7 1966.4 3283.7 1974.4 4098.0 1951.1 1782.9 1959.1 2286.2 1967.1 3313.4 1975.1 4040.1 1951.2 1814.9 1959.2 2345.5 1967.2 3310.7 1975.2 4075.6 1951.3 1851.6 1959.3 2345.5 1967.3 3336.6 1975.3 4148.4 1951.4 1855.8 1959.4 2354.1 1967.4 3360.8 1975.4 4206.7 1952.1 1876.7 1960.1 2405.4 1968.1 3429.2 1976.1 4304.2 1952.2 1878.2 1960.2 2393.9 1968.2 3488.3 1976.2 4341.2 1952.3 1889.9 1960.3 2398.9 1968.3 3513.4 1976.3 4362.0 1952.4 1951.9 1960.4 2369.3 1968.4 3528.1 1976.4 4398.4 1953.1 1987.4 1961.1 2383.7 1969.1 3582.2 1977.1 4457.6 1953.2 2004.3 1961.2 2427.1 1969.2 3590.6 1977.2 4535.9 1953.3 1990.2 1961.3 2467.2 1969.3 3610.3 1977.3 4616.4 1953.4 1958.6 1961.4 2517.5 1969.4 3593.3 1977.4 4616.6 1954.1 1949.7 1962.1 2561.0 1970.1 3589.1 1978.1 4636.0 1954.2 1952.6 1962.2 2590.3 1970.2 3597.4 1978.2 4804.8 1954.3 1973.7 1962.3 2615.7 1970.3 3628.3 1978.3 4854.6 1954.4 2014.1 1962.4 2625.1 1970.4 3587.6 1978.4 4925.8 60 Năm GNP Năm GNP Năm GNP Năm GNP 1979.1 4939.6 1985.1 5664.3 1991.1 6667.4 1997.1 8025.1 1979.2 4949.3 1985.2 5710.9 1991.2 6692.1 1997.2 8145.6 1979.3 4995.6 1985.3 5788.6 1991.3 6704.7 1997.3 8225.1 1979.4 5011.4 1985.4 5839.6 1991.4 6749.4 1997.4 8276.9 1980.1 5028.8 1986.1 5887.3 1992.1 6811.1 1998.1 8405.4 1980.2 4922.5 1986.2 5901.9 1992.2 6873.8 1998.2 8448.7 1980.3 4911.3 1986.3 5959.0 1992.3 6923.3 1998.3 8517.6 1980.4 4986.3 1986.4 5981.7 1992.4 7015.1 1998.4 8662.0 1981.1 5086.4 1987.1 6027.6 1993.1 7020.9 1999.1 8755.5 1981.2 5048.1 1987.2 6095.8 1993.2 7056.0 1999.2 8801.8 1981.3 5110.5 1987.3 6145.8 1993.3 7092.4 1999.3 8906.4 1981.4 5056.8 1987.4 6254.1 1993.4 7182.1 1999.4 9071.1 1982.1 4969.4 1988.1 6302.0 1994.1 7249.8 2000.1 9119.7 1982.2 4996.9 1988.2 6372.8 1994.2 7346.3 2000.2 9233.0 1982.3 4963.4 1988.3 6402.0 1994.3 7385.1 2000.3 9238.2 1982.4 4964.8 1988.4 6487.4 1994.4 7476.0 2000.4 9274.0 1983.1 5021.5 1989.1 6565.6 1995.1 7510.2 2001.1 9241.7 1983.2 5142.2 1989.2 6599.7 1995.2 7528.6 2001.2 9224.3 1983.3 5233.9 1989.3 6633.4 1995.3 7572.3 2001.3 9199.8 1983.4 5342.0 1989.4 6663.4 1995.4 7645.2 2001.4 9283.5 1984.1 5452.6 1990.1 6743.6 1996.1 7703.1 2002.1 9367.5 1984.2 5544.3 1990.2 6760.8 1996.2 7820.4 2002.2 9376.7 1984.3 5591.1 1990.3 6742.6 1996.3 7853.5 2002.3 9477.9 1984.4 5627.1 1990.4 6713.3 1996.4 7947.9 2002.4 61 K T LU N Lu n văn "Các tiêu chu n l a ch n mô hình chu i th i gian" t p trung nghiên c u v n đ sau: Trình bày m t cách h th ng hai tiêu chu n thông tin quan tr ng đ l a ch n mô hình, tiêu chu n thông tin Akaike tiêu chu n thông tin Bayesian Trình bày ng d ng ph n m m th ng kê R b d li u th c t đ tính giá tr AIC, BIC cho mô hình khác đ l a ch n mô hình t t nh t theo hai tiêu chu n AIC BIC M c dù r t c g ng, v n đ đư c đ c p lu n văn tương đ i ph c t p đ i v i th i gian có h n nên luân văn h n ch chưa trình bày thêm đư c m t s tiêu chu n khác như: tiêu chu n Takeuchi, tiêu chu n AIC hi u ch nh, , chưa so sánh đư c s hi u qu c a hai tiêu chu n AIC BIC Lu n văn không tránh kh i nh ng thi u xót Tác gi r t mong nh n đư c s đóng góp ý ki n c a th y, cô b n đ c đ lu n văn đư c hoàn ch nh 62 Tài li u tham kh o [1] Đào H u H , Th ng Kê Toán H c, Nhà xu t b n Đ i h c Qu c Gia Hà N i, 2004 [2] Đ ng Hùng Th ng, M đ u v lý thuy t xác su t ng d ng, Nhà xu t b n Giáo d c, 2005 [3] Đ ng Hùng Th ng, Các mô hình xác su t ng d ng, ph n II, Nhà xu t b n Đ i h c Qu c Gia Hà N i, 2001 [4] Đ ng Hùng Th ng, Xác su t nâng cao, Nhà xu t b n Đ i h c Qu c gia Hà N i, 2013 [5] Nguy n Văn H u - Nguy n H u Dư, Phân tích th ng kê d báo, Nhà xu t b n Đ i h c Qu c Gia Hà N i [6] Allan D R McQuarrie Chinh-Ling Tsai, Regession and Time Series Model Selection, World Scientific [7] Cambridge Series in statistical and Probabilistic, Model Selection and Model Averaging [8] Genshiro Kitagama, Introduction to Time Series Modeling 63 ... t danh sách mô hình ng c viên, l a ch n mô hình t t nh t? Đ l a ch n mô hình t t nh t ngư i ta đưa tiêu chu n thông tin Trong chương s trình bày hai tiêu chu n thông tin quan tr ng tiêu chu n... đ s d ng mô hình h i quy m t nh ng ví d quan tr ng Lu n văn c a trình bày hai tiêu chu n thông tin quan tr ng tiêu chu n thông tin c a Akaike tiêu chu n thông tin c a Bayesian Lu n văn g m ba... s tiêu chu n l a ch n mô hình D li u đư c mô ph ng b ng nh ng cách khác Có th có nh ng phương pháp đơn gi n mà có th có nhi u tham s Khi có nhi u covarian đư c đo có th s d ng t t c chúng mô hình,