Đang tải... (xem toàn văn)
Trong Toán học hay Vật lý, cũng như nhiều lĩnh vực khác của đời sống, ta có thể dễ dàng bắt gặp hình ảnh của elip hay elipxoit. Đối với hình học phẳng, elip cùng với parabol và hyperbol là bộ 3 đường Conic. Đây là một nền tảng quan trọng của Toán học nói riêng và khoa học tự nhiên nói chung. Trong không gian, elipxoit cũng là một phần quan trọng trong các mặt bậc hai. Elip và elipxoit có khá nhiều ứng dụng trong thực tế như trong các công trình kiến trúc độc đáo, trong khoa học kỹ thuật,…Các kiến thức về đường elip trong mặt phẳng khá phổ biến và được đưa vào chương trình dạy học bắt đầu từ năm lớp 9. Tuy nhiên hiện nay chưa có nhiều giáo trình nghiên cứu sâu, cụ thể về elip và các mặt elipxoit trong không gian.
Nghiên cứu elip-elipxoit GVHD: Phan Thị Quản MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN MỞ ĐẦU 1.Lý chọn đề tài .5 Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu .5 a Mục đích nghiên cứu b Nhiệm vụ nghiên cứu Đối tượng, phạm vi nghiên cứu a Đối tượng nghiên cứu b Phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Cấu trúc nghiên cứu Chương 1: ELIP TRONG MẶT PHẲNG 1.1 Định nghĩa elip mặt phẳng 1.2 Phương trình tắc elip 1.3 Hình dạng, tính chất elip 10 1.4 Liên hệ đường tròn đường elip 11 1.5 Định nghĩa hình học khác 12 1.6 Phương trình dạng đại số-cách nhận dạng elip đường bậc 13 1.7 Elip tổng quát .22 SVTH: Trần Chính Ngọc Trang Nghiên cứu elip-elipxoit GVHD: Phan Thị Quản Chương : ELIP TRONG KHÔNG GIAN 23 MẶT TRỤ ELIPTIC MẶT ELIPXOIT 2.1 Định nghĩa mặt bậc hai .23 2.2 Elip không gian 23 2.3 Mặt trụ eliptic .24 2.3.1 Tổng quát mặt trụ không gian 24 2.3.2 Mặt trụ eliptic 25 2.4 Elipxoit .26 2.4.1 Elipxoit tròn xoay 26 2.4.1.1 Mặt tròn xoay 26 2.4.1.2 Elipxoit tròn xoay 28 2.4.2 Mặt Elipxoit 28 Chương : NHẬN DẠNG MẶT TRỤ ELIPTIC MẶT ELIPXOIT TRONG CÁC MẶT BẬC HAI 31 3.1 Phương pháp dùng phép biến đổi trực giao 31 3.1.1 Phép biến đổi trực giao 31 3.1.2 Nhận dạng mặt Elipxoit, mặt trụ eliptic 33 3.2 Phương pháp phân tích thành bình phương .42 3.2.1 Trường hợp phương trình bậc hai có số hạng vuông .42 3.2.2 Trường hợp phương trình bậc hai số hạng vuông 44 3.2.3 Kết luận chung 45 SVTH: Trần Chính Ngọc Trang Nghiên cứu elip-elipxoit GVHD: Phan Thị Quản 3.2.4 Nhận dạng mặt trụ eliptic, mặt elipxoit 45 Chương : ỨNG DỤNG CỦA ELIP TRONG THỰC TIỄN 48 4.1 Elip công trình kiến trúc .48 4.1.1 Elip xây dựng sân vận động .48 4.1.2 Tại trần nhà hát lại có hình elip? 49 4.1.3 Kiến trúc xanh – nhà suốt hình elip cực lạ 51 4.1.4 Thư viện hình elip tuyệt đẹp Thụy Sỹ 51 4.2 Elip ngành khoa học kỹ thuật .52 4.3 Elip sống thường ngày 54 KÉT LUẬN 56 TÀI LIỆU THAM KHẢO 57 SVTH: Trần Chính Ngọc Trang Nghiên cứu elip-elipxoit GVHD: Phan Thị Quản LỜI CẢM ƠN Đầu tiên em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến cô Phan Thị Quản, cô hướng dân tận tình để em hoàn thành tốt khóa luận Em xin gửi lời cảm ơn đến ban Giám hiệu nhà trường Đại học Sư phạm Đà Nẵng, ban chủ nhiệm khoa Toán tạo điều kiện thuận lợi để em hoàn thành khóa luận kế hoạch quy định Em xin bày tỏ lòng biết ơn đến thầy cô khoa Toán truyền đạt, dạy cho em kiến thức bổ ích quý báu suốt năm học vừa qua Cuối em xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè - người cổ vũ động viên, tạo điều kiện thuận lợi để em hoàn thành khóa luận SVTH: Trần Chính Ngọc Trang Nghiên cứu elip-elipxoit GVHD: Phan Thị Quản MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài: Trong Toán học hay Vật lý, nhiều lĩnh vực khác đời sống, ta dễ dàng bắt gặp hình ảnh elip hay elipxoit Đối với hình học phẳng, elip với parabol hyperbol đường Conic Đây tảng quan trọng Toán học nói riêng khoa học tự nhiên nói chung Trong không gian, elipxoit phần quan trọng mặt bậc hai Elip elipxoit có nhiều ứng dụng thực tế công trình kiến trúc độc đáo, khoa học kỹ thuật,…Các kiến thức đường elip mặt phẳng phổ biến đưa vào chương trình dạy học năm lớp Tuy nhiên chưa có nhiều giáo trình nghiên cứu sâu, cụ thể elip mặt elipxoit không gian Nhận thấy elip elipxoit mảng quan trọng, thú vị nhiều ứng dụng Toán học, định chọn nghiên cứu đề tài “Nghiên cứu ElipElipxoit” Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu: a, Mục đích nghiên cứu: Nghiên cứu sâu, cụ thể đặc điểm, tính chất đường elip, elip không gian, mặt trụ eliptic, mặt elipxoit cách nhận dạng chúng đường, mặt bậc hai b, Nhiệm vụ nghiên cứu: - Định nghĩa, phương trình, tính chất elip mặt phẳng, không gian cách nhận dạng elip đường bậc hai - Định nghĩa, cách xây dựng, phương trình, tính chất mặt trụ eliptic, mặt elipxoit cách nhận dạng chúng mặt bậc hai SVTH: Trần Chính Ngọc Trang Nghiên cứu elip-elipxoit GVHD: Phan Thị Quản Đối tượng, phạm vi nghiên cứu: a, Đối tượng nghiên cứu: -Đường elip mặt phẳng, không gian -Mặt trụ eliptic -Elipxoit tròn xoay, elipxoit b, Phạm vi nghiên cứu: Cách xây dựng đối tượng nghiên cứu hệ trục tọa độ Descartes vuông góc, phương trình tắc, đặc điểm tính chất cách nhận dạng chúng đường, mặt bậc hai với tảng kiến thức hình học Euclid Phương pháp nghiên cứu: Sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết trình nghiên cứu đề tài thực theo quy trình sau: (1) Tham khảo tài liệu hệ thống hóa kiến thức (2) Thu thập tài liệu có liên quan đến elip, elipxoit (3) Thể tường minh kết nghiên cứu đề tài (4) Trao đổi thảo luận với giảng viên hướng dẫn Cấu trúc nghiên cứu: Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, nội dung khóa luận gồm chương: Chương 1: ELIP TRONG MẶT PHẲNG Trong chương này, giới thiệu định nghĩa elip mặt phẳng, cách vẽ elip, phương trình dạng tắc, dạng đại số, nghiên cứu tính chất elip SVTH: Trần Chính Ngọc Trang Nghiên cứu elip-elipxoit GVHD: Phan Thị Quản mặt phẳng; cách nhận dạng đường elip đường bậc phương pháp: phương pháp biến đổi trực giao phương pháp sơ cấp thông qua phép quay phép tịnh tiến Chương 2: ELIP TRONG KHÔNG GIAN MẶT TRỤ ELIPTIC ELIPXOIT Chương gồm nội dung chính: -Phần nhắc lại định nghĩa mặt bậc định nghĩa liên quan -Phần nghiên cứu Elip không gian -Phần nghiên cứu mặt trụ eliptic -Phần nghiên cứu mặt Elipxoit Các phần nghiên cứu bao gồm nội dung: định nghĩa, cách xây dựng, phương trình, tính chất mặt Chương 3: NHẬN DẠNG MẶT TRỤ ELIPTIC,MẶT ELIPXOIT TRONG CÁC MẶT BẬC Nội dung chương giới thiệu cách nhận dạng mặt trụ eliptic, mặt elipxoit mặt bậc hai phương pháp: phương pháp biến đổi trực giao phương pháp Lagrange (phân tích thành bình phương đúng) Chương 4: ỨNG DỤNG CỦA ELIP TRONG THỰC TIỄN Chương nghiên cứu ứng dụng elip vào thực tiễn: công trình kiến trúc, ngành khoa học kỹ thuật ngành nghiên cứu khác Đà Nẵng, tháng năm 2017 Sinh viên Trần Chính Ngọc SVTH: Trần Chính Ngọc Trang Nghiên cứu elip-elipxoit GVHD: Phan Thị Quản Chương 1:ELIP TRONG MẶT PHẲNG 1.1 Định nghĩa elip mặt phẳng: Trong mặt phẳng cho điểm cố định F1, F2 độ dài không đổi 2a lớn F1F2 Elip tập hợp điểm M mặt phẳng cho F1M + F2M= 2a Các điểm F1 F2 gọi tiêu điểm elip Độ dài F1F2 = 2c gọi tiêu cự elip Hình Cách vẽ: Vẽ dây -Đóng đinh lên mặt phẳng điểm F1F2 -Lấy vòng dây kín không đàn hồi, có độ dài lớn hai lần khoảng cách F1F2 Quàng sợi dây vào đinh, đặt đầu bút chì vào vòng dây căng để vòng dây trở thành hình tam giác Di chuyển đầu bút chì cho dây căng áp sát mặt gỗ Khi đầu bút chì vạch đường mà ta gọi đường elip SVTH: Trần Chính Ngọc Trang Nghiên cứu elip-elipxoit GVHD: Phan Thị Quản Hình 1.2 Phương trình tắc elip: Hình Cho elip (E) có tiêu điểm F1M + F2 M = 2a F1 F2 Điểm M(x;y) thuộc elip Chọn hệ trục tọa độ Oxy cho F1 = (-c;0) F2 = (c;0).Với ∈ điểm M(x;y) (E) ta có: MF12 = ( x + c) + y MF2 = ( x − c)2 + y ⇒ MF12 − MF2 = 4cx; MF12 + MF22 = 2( x + y + c ) Ta có: MF1 − MF2 ≤ F1F2 = 2c < 2a ⇒ ( MF1 − MF2 )2 − 4a < SVTH: Trần Chính Ngọc Trang Nghiên cứu elip-elipxoit ∈ Mà M Vậy (E) nên MF1 + MF2 = 2a GVHD: Phan Thị Quản ⇒ ( MF1 + MF2 )2 − 4a = [( MF1 + MF2 ) − 4a ][( MF1 − MF2 ) − 4a ] = ⇔ ( MF12 − MF2 ) − 8a (MF12 + MF2 ) + 16a = ⇔ 16c x − 16a ( x + y + c ) + 16a = ⇔ ( c − a ) x − a y = a (c − a ) x2 y2 ⇔ + 2 =1 a a −c Đặt b2 = a2 − c2 x2 y + =1 a b2 (chia vế cho a (c − a ) ) (*) (*) trở thành : (1.1) Phương trình (1.1) gọi phương trình tắc Elip 1.3 Hình dạng, tính chất Elip: SVTH: Trần Chính Ngọc Trang 10 Nghiên cứu elip-elipxoit Nếu A= B =C =0 hệ số GVHD: Phan Thị Quản D, E , F đồng thời Vì phương trình (3.4) phương trình bậc Giả sử D≠0 Ta có: F ( x, y, z ) = Dxy + Exz + Fyz + 2Gx + Hy + Kz + L = Đặt: x = x '+ y ' y = x '− y ' z = z ' F ( x ', y ', z ') = D( x '+ y ')( x '− y ') + E ( x '+ y ') z '+ F ( x '− y ') z ' +2G ( x '+ y ') + H ( x '− y ') + Kz '+ L = ⇔ F ( x ', y ', z ') = Dx '2 − Dy '2 + 2( E + F ) x ' z '+ 2( E − F ) y ' z ' +2(G + H ) x '+ 2(G − H ) y '+ Kz '+ L = Đây dạng trường hợp 3.2.1 ta xét 3.2.3 Kết luận chung: Từ kết thu 3.2.1 3.2.2 ta rút ra: Mọi phương trình đại số bậc x, y, z có dạng (3.4) viết lại dạng sau đây: SVTH: Trần Chính Ngọc Trang 52 Nghiên cứu elip-elipxoit GVHD: Phan Thị Quản α P + β Q + γ R + δ = (α , β , γ ≠ 0) α P2 + β Q2 + R = (α , β ≠ 0) α P2 + β Q2 + γ = (α , β ≠ 0) α P2 + Q = (α ≠ 0) α P2 + β = (α ≠ 0) (3.6) 3.2.4 Nhận dạng mặt trụ eliptic, mặt elipxoit: Bây ta lấy mặt phẳng P=0 Q=0 R=0 làm mặt phẳng tọa độ làm mặt phẳng tọa độ làm mặt phẳng tọa độ X =0 Y =0 Z =0 Trong trường hợp phương trình mặt R ta chọn tùy ý mặt phẳng giao với mặt phẳng P=0 Q=0 , làm mặt phẳng tọa độ Z =0 Sau đổi tọa độ, phương trình (3.6) viết lại thành dạng sau đây: (1) (2) aX + bY + cZ + d = (a, b, c ≠ 0) aX + bY + Z = (a, b ≠ 0) SVTH: Trần Chính Ngọc Trang 53 Nghiên cứu elip-elipxoit (3) (4) (5) GVHD: Phan Thị Quản aX + bY + c = (a, b ≠ 0) aX + Y = (a ≠ 0) aX + c = (a ≠ 0) Ta dễ dàng nhận thấy : -Dạng (1) phương trình mặt elipxoit a=b a , b, c dấu Hơn elipxoit elipxoit tròn xoay -Dạng (3) phương trình mặt trụ eliptic a, b dấu Ta xét lại ví dụ thực 3.1 Ví dụ 3.3 Nhận dạng mặt bậc hai sau: x + y + z − xy + xz + x + y + 16 z − = Ta có: x + y + z − xy + xz + x + y + 16 z − = 2x ( y − z − 1) 2( y − z − 1) ⇔ x − ( y − z − 1) + − + y + z + y + 16 z − = y − z −1 2 ⇔ 6 x − ÷ + (13 y + 19 z + yz + 16 y + 44 z − 26) = SVTH: Trần Chính Ngọc Trang 54 Nghiên cứu elip-elipxoit GVHD: Phan Thị Quản 2 y − z −1 z + 243 10 ⇔ 6 x − + 13 y + + z + − 54 =0 ÷ ÷ ÷ 3 13 13 2 y − z − 13 z + 81 10 ⇔ 6+x− ÷ + y+ ÷ + z + ÷ = 18 3 13 13 9 X = x− Đặt 6X + y − z −1 2z + 10 ,Y = y + ,Z = z + 13 ,phương trình trở thành: 13 81 Y + Z = 18 13 X Y2 Z2 ⇔ + + =1 54 26 13 Đây phương trình mặt elipxoit, giống phần ta nhận dạng Ví dụ 3.4 Nhận dạng mặt bậc hai: x + y + z + xy − yz + x − y + z − = Ta có: x + y + z + xy − yz + x − y + z − = ( y + 1) ⇔ x + x( y + 1) + − ( y + 1) + y + z − yz − y + z − = SVTH: Trần Chính Ngọc Trang 55 Nghiên cứu elip-elipxoit GVHD: Phan Thị Quản y +1 2 ⇔ 4 x + ÷ + 2( y + z − yz − y + z + 1) = y +1 ⇔ 4 x + ÷ + 2( y − z − 1) = X = x+ Đặt y +1 ,Y = y − z − Z=z , phương trình trở thành: X2 Y2 ⇔ + =1 3 X + 2Y = Đây phương trình mặt trụ eliptic SVTH: Trần Chính Ngọc Trang 56 Nghiên cứu elip-elipxoit GVHD: Phan Thị Quản Chương 4: ỨNG DỤNG CỦA ELIP TRONG THỰC TIỄN 4.1 Elip công trình kiến trúc: Nếu để ý ta thấy elip xuất nhiều công trình kiến trúc Sau tìm hiểu điều thú vị mà người để ý đến: 4.1.1 Elip xây dựng sân vận động: - Từ thời La-mã, hình dạng elip nhà kiến trúc ứng dụng vào xây dựng đấu trường lớn Hình 13a.Đấu trường La-mã (Italia) Hình 14.Đấu trường Pu-la (Croatia) SVTH: Trần Chính Ngọc Trang 57 Hình 13b Nghiên cứu elip-elipxoit GVHD: Phan Thị Quản - Ngày nay, Worldcup 2010 lại cho thấy rõ hình dạng sân vận động Các sân vận động xây dựng theo hình elip Hình 15 4.1.2 Tại trần nhà hát lại có hình elip? Có lúc bạn ngồi nhà hát để thường thức âm nhạc tuyệt diệu, có bạn để ý đến hình dạng kiến trúc nhà hát hay không? Thông thường trần nhà hát không phẳng mà hình mặt cầu hay hình Elip Tại lại bạn có biết hay không? Trước tiên nghiên cứu xem hình Elip nào? Hình Elip có trục tương đối dài gọi trục đối xứng Giả sử giữ chặt trục sau cho Elip chuyển động quay quanh trục tạo hình Elip hay sao? Hình Elip giống bóng mà người ta sử dụng môn bóng bầu dục Hình Elip có hai tiêu điểm F1 F2, F1 F2 ngày tiến gần bạn thử suy nghĩ xem hình bầu dục thay đổi nào? Nếu hai tiêu điểm trùng hình Elip tròn dần cuối biến thành hình tròn, hai tiêu điểm trùng trở thành tâm đường tròn SVTH: Trần Chính Ngọc Trang 58 Nghiên cứu elip-elipxoit GVHD: Phan Thị Quản Tiêu điểm F1 hình Elip có tính chất đặc biệt Nếu F1 ta đặt đèn, ánh sáng đèn phản xạ qua bề mặt hình Elip tập trung tiêu điểm F2 ngược lại ánh sáng phát từ điểm F2 tập trung điểm F1 làm cho hai điểm sáng bừng lên giống vị trí hai tiêu điểm có đèn Âm vậy, diễn viên đứng hát tiêu điểm, âm mà phát phản xạ qua bề mặt hình Elip cuối tập trung tiêu điểm làm cho khán giả ngồi nghe thấy rõ Hiện tượng làm cho nhà hát giống có hai sân khấu Thính giả ngồi hai bên đồng thời nghe buổi biểu diễn Hình 16 Thời cổ đại người Hi Lạp thông thái từ ban đầu hiểu tính chất toán học hình Elip ứng dụng vào sống Từ hình vẽ giữ gìn ngày nhận thấy trần nhà hát họ đắp thành hình Elip, tường trần nhà hát nhẵn bóng vô cùng, gần liền thành khối với tường Làm làm nhà hát lớn mà lợi dụng tính chất hình Elip để xử lí hiệu âm nhà hát 4.1.3 Kiến trúc xanh - nhà suốt hình elip cực lạ: SVTH: Trần Chính Ngọc Trang 59 Nghiên cứu elip-elipxoit GVHD: Phan Thị Quản Kiến trúc sư Fernando Romero lên ý tưởng việc tạo công trình kiến trúc xanh độc đáo có tên Nest Pod, nhà thông minh hình elip suốt thích ứng với địa điểm giới Các phiên Nest Pod xây dựng theo cách sản xuất máy bay hay ô tô giống cách xây dựng nhà quen thuộc Được nâng lên khỏi mặt đất giúp công trình kiến trúc xanh tránh tác động bề mặt Trái Đất, Nest Pod rộng 95 mét vuông vào thông qua hệ thống cầu thang cánh cửa tự động đóng sập Được thiết kế kính giúp tối ưu hoá tầm nhìn bên ngoài, nói ý tưởng vô sáng tạo Hình 17a Hình 17b 4.1.4 Thư viện hình elip tuyệt đẹp Thụy Sỹ: SVTH: Trần Chính Ngọc Trang 60 Nghiên cứu elip-elipxoit GVHD: Phan Thị Quản Thư viện Luật thuộc đại học Zurich, Thụy Sĩ tòa nhà tiêu biểu cho kiến trúc đại, với đặc trưng hình elip tận dụng tối đa ánh sáng tự nhiên Thư viện thiết kế Santiago Calatrava (sinh năm 1951, người Tây Ba Nha), kiến trúc sư tiếng giới Đây thư viện có hình elip cao tầng, đặc biệt mái vòm làm hoàn toàn kính, có chiều dài 34 mét rộng 15 mét, đảm bảo lấy ánh sáng tự nhiên đủ để chiếu sáng xuống toàn thư viện bên Hình 18 4.2 Elip ngành khoa học kĩ thuật: Giô-han Kê-ple quy luật chuyển động hành tinh SVTH: Trần Chính Ngọc Trang 61 Nghiên cứu elip-elipxoit GVHD: Phan Thị Quản Kê-ple nhà thiên văn người Đức, ông tiếng nhờ phát minh định luật chuyển động hành tinh: Các hành tinh chuyển động quanh Mặt Trời theo quỹ dạo đường elip mà Mặt Trời tiêu điểm Đoạn thẳng nối từ Mặt Trời đến hành tinh quét diện tích khoảng thời gian Chẳng hạn xem Mặt Trời tiêu điểm F khoảng thời gian t, hành tinh di chuyển từ M1 đến M2 từ M1’ đến M2’ diện tích hai hình FM1M1’ FM2M2’ Hình 19 3.Nếu gọi T1, T2 thời gian để hai hành tinh bay hết vòng quanh Mặt Trời gọi a1, a2 độ dài nửa trục lớn elip quỹ đạo hai hành tinh ta có: T12 T22 = a13 a23 Các định luật nói ngày thiên văn gọi ba định luật Kê-ple Hình vẽ biểu diễn quỹ đạo Trái Đất chuyển động quanh Mặt Trời, có dạng hình elip gần tròn, nên Mặt Trời gần trùng với tâm quỹ đạo SVTH: Trần Chính Ngọc Trang 62 Nghiên cứu elip-elipxoit GVHD: Phan Thị Quản Hình 20 4.3 Elip sống thường ngày: Ngay sống thường nhật, ta dễ dàng bắt gặp vật dụng có hình dạng elip: Hình 21.Dĩa hình elip SVTH: Trần Chính Ngọc Hình 22.Ghế hình elip Trang 63 Nghiên cứu elip-elipxoit Hình 23.Ống thép hình elip SVTH: Trần Chính Ngọc GVHD: Phan Thị Quản Hình 24.Khung tranh hình elip Trang 64 Nghiên cứu elip-elipxoit GVHD: Phan Thị Quản KẾT LUẬN Qua thời gian tìm hiểu, nghiên cứu, với hướng dẫn tận tình cô Phan Thị Quản, em hoàn thành khóa luận tốt nghiệp Khóa luận tập trung nghiên cứu đường elip mặt phẳng không gian Mở rộng mặt trụ eliptic, mặt elipxoit không gian Cụ thể định nghĩa, phương trình, cách xây dựng, tính chất trục đối xứng, mặt phẳng đối xứng,… Khóa luận nghiên cứu cách nhận dạng elip đường bậc hai phương pháp: phương pháp dùng phép biến đổi trực giao phương pháp sơ cấp thông qua phép quay phép tịnh tiến Trong không gian, nhận dạng mặt elipxoit, mặt trụ eliptic thực qua phương pháp: phương pháp dùng phép biến đổi trực giao phương pháp Lagrange (phân tích thành bình phương đúng) Do thời gian nghiên cứu khóa luận có hạn nên tránh khỏi sai sót Rất mong nhận góp ý thầy cô, hội đồng khoa học, sinh viên khoa Toán trường Đại học Sư phạm – Đại học Đà Nẵng để khóa luận hoàn chỉnh Em xin chân thành cảm ơn! SVTH: Trần Chính Ngọc Trang 65 Nghiên cứu elip-elipxoit GVHD: Phan Thị Quản TÀI LIỆU THAM KHẢO (1) – Đoàn Quỳnh – Văn Như Cương – Phạm Vũ Khuê – Bùi Văn Nghị, Sách giáo khoa Hình học 10, NXB Giáo dục (2) – Nguyễn Mộng Hy, Hình học cao cấp, NXB Giáo dục (3) – https://viwikipedia.org/wiki/Elip (4) – https://websrv1.ctu.edu.vn/coursewares/supham/hhgiaitich_b/chuong3.html2 (5) – https://popcornize.files.wordpress.com/2012/01/tieu-luan-hinh-hoc-giaitich.pdf SVTH: Trần Chính Ngọc Trang 66 ... định nghĩa mặt bậc định nghĩa liên quan -Phần nghiên cứu Elip không gian -Phần nghiên cứu mặt trụ eliptic -Phần nghiên cứu mặt Elipxoit Các phần nghiên cứu bao gồm nội dung: định nghĩa, cách xây... nghiên cứu: a, Mục đích nghiên cứu: Nghiên cứu sâu, cụ thể đặc điểm, tính chất đường elip, elip không gian, mặt trụ eliptic, mặt elipxoit cách nhận dạng chúng đường, mặt bậc hai b, Nhiệm vụ nghiên. .. nhiều giáo trình nghiên cứu sâu, cụ thể elip mặt elipxoit không gian Nhận thấy elip elipxoit mảng quan trọng, thú vị nhiều ứng dụng Toán học, định chọn nghiên cứu đề tài Nghiên cứu ElipElipxoit