SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10, 11 THPT NĂM HỌC 2016 - 2017 ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI MÔN: TOÁN 10- THPT Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề Câu (2,0 điểm) a Tìm tập xác định hàm số y  b Chứng minh hàm số y  Câu (1,5 điểm) Giải phương trình 2016  x  2017 x  3x nghịch biến tập xác định x2 3x 1  x   x   Câu (1,0 điểm) Tìm tham số m để hàm số y  x  2mx  m   có tập xác định x 1 đoạn có độ dài   y  x3  3x  y 16 y  x 11 Câu (1,5 điểm) Giải hệ phương trình    ( y  2) x   ( x  9) y  x   x  y    Câu (3,0 điểm) a Cho tam giác ABC với cạnh tương ứng BC  a, CA  b, AB  c Chứng minh sin A  sin B  2sin C tam giác ABC vuông 2cos B  cos C b Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O Gọi I trung điểm AC M     điểm thỏa mãn OM  2OA  OB  2OC Biết OM vuông góc với BI AC  3BC.BA ABC Tính góc  c Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có góc  ACB tù Hai điểm D(4;1), E(2; 1) chân đường cao kẻ từ đỉnh A B tam giác ABC Trung điểm cạnh AB điểm N (1; 2) , trung điểm cạnh AC điểm M nằm đường thẳng có phương trình x  y   Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC , biết điểm M có hoành độ lớn Câu (1,0 điểm) Cho ba số thực không âm a, b, c thỏa mãn a  b  0, a  c  0, b  c  Chứng minh a b c ab  bc  ca     bc ca a b a b c HẾT Thí sinh không sử dụng tài liệu máy tính cầm tay Cán coi thi không giải thích thêm Họ tên thí sinh:…………………….……… ……….….…… ; Số báo danh:…………………… SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10, 11 THPT NĂM HỌC 2016 - 2017 (Đáp án có 04 trang) ĐÁP ÁN MÔN: TOÁN 10 - THPT I LƯU Ý CHUNG: - Hướng dẫn chấm trình bày cách giải với ý phải có Khi chấm học sinh làm theo cách khác đủ ý cho điểm tối đa - Điểm toàn tính đến 0,25 không làm tròn - Câu 5c học sinh không vẽ hình vẽ hình sai không cho điểm II ĐÁP ÁN: Câu Nội dung trình bày Điểm a (1,0 điểm)   x  2017  Điều kiện xác định:      x  3x   x  2017      x         x  Vậy tập xác định hàm số D  (;0)  (3;2017)  (2017; ) b (1,0 điểm) Tập xác định hàm số D  (2; ) Với giá trị x1 , x2  (2; ), x1  x2 ta có f ( x2 )  f ( x1 )   0,25 0,5 0,25 0,25 x   x2  1   x2  x1  x1  x2  0,25 f ( x2 )  f ( x1 )  x1   x2   1   0   x2  x1 x2  x1  x1  x2   x1  x2  x1   x2    Vậy hàm số nghịch biến D  (2; ) (1,5 điểm) ĐKXĐ: x  Khi phương trình trở thành 0,25 0,25 0,25 3x 1   x   x   3x   3x 1  3x   ( x  2)(2 x  7)  3x 1  ( x  2)(2 x  7)  x    4(3x 1)  x  3x 14  x  x 18      x  Kết hợp điều kiện, suy phương trình có nghiệm x  (1,0 điểm) Điều kiện xác định: x2  2mx  m   (*) Hàm số cho có tập xác định đoạn có độ dài bpt (*) có tập nghiệm đoạn có độ dài Vì bpt (*) có hệ số a  1  nên tập nghiệm (*) đoạn có độ dài phương trình x2  2mx  m   có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 x1  x2  0,5 0,5 0,25 0,25 0,25   m2  m    '      Ycbt       x1  x2    m  m 3      m  1  29 m  m          m  m     29   m   1 29 1  29 Vậy giá trị m m  , m 2 (1,5 điểm)    x40  x 4  Điều kiện:     2 y  x    2 y  x     0,25 0,25 0,5 Phương trình thứ tương đương ( y  2)3  4( y  2)  ( x 1)3  4( x 1) 2   y  x 1  y  2   y  2 x 1   x 1  4   y  x 1   Thế vào phương trình thứ hai ta ( x  3) x   ( x  9) x 11  x2  x 10  ( x  3)( x   3)  ( x  9)( x 11  4)  x  x  35  x 3  x 9  ( x  5)    ( x  7)  (*)  x    x 11  x 3 x4 x 9 x 10 Từ x 4 , nên ; suy   2 x 11  x  3 x 3 x 9 x  x 10   ( x  7)    ( x  7)  2 x  3 x 11  Do (*)  x  Với x   y  Vậy hệ có nghiệm ( x; y)  (5;6) a (1,0 điểm) Gọi R bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC a b Áp dụng định lý Sin, Cosin tam giác ABC ta có sin A  ; sin B  ; 2R 2R a  c  b2 a  b2  c c ; cos C  sin C  ; cos B  2ac 2ab 2R sin B  2sin C b  2c a Khi sin A  a  c  b2 a  b2  c 2cos B  cos C  ac 2ab 2 2  2a b  2c b  2b  b c  ca  c   (2b  c)(a  b2  c )   a2  b2  c2   a2  b2  c2 Vậy tam giác ABC vuông A b (1,0 điểm)        Ta có OM  BI  2OM BI   (2OA  OB  2OC )( BA  BC )              5OB  BA  BC BA  BC   5OB.BA  5OB.BC  BA  BC     Gọi H , K tương ứng trung điểm đoạn AB, BC Khi   0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25       5OB.BA  5OB.BC  BA  BC           OH  HB BA  OK  KB BC  BA  BC    5   BA2  BC  BA2  BC  2.2 BA.BC  2   BA  BC  2. AB  BC  AC    AC  ( AB  BC ) 2 4 AC  AC 2 2 BA  BC  AC Do cos  ABC  3  , suy  ABC  60 2.BA.BC AC c (1,0 điểm)         0,25 A N B M C D E Do ADEB nội tiếp nên  (1) AED   ABD   Tam giác ABD vuông D , suy BND cân N  ABD  BDN (2)   DNM  (so le trong) Lại có BDN (3)   Từ (1), (2), (3) suy MND  MED  MDEN nội tiếp đường tròn Gọi phương trình đường tròn qua bốn điểm M , D, E, N có dạng x2  y  2ax  2by  c  ( a  b2  c  ) Vì D(4;1), E(2; 1) , N (1; 2) thuộc đường tròn, ta có:  a    16 1 8a  2b  c      (thoả mãn)  1 4a  2b  c   b           2a  4b  c   c   Vậy phương trình đường tròn qua M , D, E, N là: x2  y  x  y    x  ; y 1  2x  y      Tọa độ điểm M nghiệm hệ   2   2 x  y  x  y    x  ; y   0,25 0,25 7  Do M có hoành độ lớn 3, nên M  ; 2   Phương trình đường thẳng AC : y  x  Đặt A(t; 2t  5) , ta có NA  NE  t  AB  (t 1)2  (2t  7)  10   t  Với t   A(2; 1)  E (loại) Với t   A(4;3), suy B(2;1) C (3;1)     Thử lại CA  (1;2), CB  (5;0)  CACB  5   C  90 (thoả mãn) Vậy A(4;3) , B(2;1) , C (3;1) (1,0 điểm) Không tính tổng quát, giả sử a  b  c, a  ab b2 ac c2   a c bc a b b c ab b Thật   ab(b  c)  b2 (a  c)  bc(a  b)  (Đúng) a c bc ac c2  Tương tự chứng minh a b b c 0,25 0,25 Ta chứng minh: Khi Vậy b c bc ab ac b2 c2       bc  ca a b a a c a b bc bc 0,25 0,25 a(b  c)  bc a b c ab  bc  ca bc a       bc ca a b a b c a b c a  (b  c) a  b  c a(b  c) a  b  c a(b  c)   2  (Do bc  ) a b c a(b  c) a(b  c) a  b  c  bc     Dấu đẳng thức xảy  a  (b  c)  a(b  c)     a  b  c 3 Hệ có vô số nghiệm, chẳng hạn c  0, b  1, a  Vậy bất đẳng thức chứng minh HẾT - 0,25 0,25 ...SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10, 11 THPT NĂM HỌC 2016 - 2017 (Đáp án có 04 trang) ĐÁP ÁN MÔN: TOÁN 10 - THPT I LƯU Ý CHUNG: - Hướng dẫn chấm trình bày cách... Điểm a (1,0 điểm)   x  2017  Điều kiện xác định:      x  3x   x  2017      x         x  Vậy tập xác định hàm số D  (;0)  (3 ;2017)  (2017; ) b (1,0 điểm) Tập... x  9) x 11  x2  x 10  ( x  3)( x   3)  ( x  9)( x 11  4)  x  x  35  x 3  x 9  ( x  5)    ( x  7)  (*)  x    x 11  x 3 x4 x 9 x 10 Từ x 4 , nên ; suy