Thaygiaongheo – Video – Tài liệu học toán THPT Tổng hợp lý thuyết hình học A- LÝ THUYẾT CẦN NHỚ : Chương I: Hệ thức lượng tam giác vuông 1- Hệ thức cạnh đường cao tam giác vuông 1- a 2=b 2+c2 2- b2=a.b' ; c2=a.c' 3- h2= b'.c' 4- b.c=a.h A c h c' b 5- ┐ b' B H a 1  2 2 h b c C 2- Tỷ số lượng giác góc nhọn tam giác vuông : + Định nghĩa : Xét góc nhọn  tam giác vuông : Sin  = , cos  = canh ke canhhuyen , tg  = , cotg  = Nhận xét : < sin < , < cos < tg  cotg  hai giá trị nghịch đảo Ta có tg.cotg = + Tỉ số lượng giác hai góc nhọn phụ : Định lý : Nếu hai góc nhọn phụ sin góc cosin góc kia, tang góc cotg góc SinB = CosC Cos B = SinC TgB = Cotg C CotgB = TgC + Tỉ số lượng giác góc đặc biệt : 300 450 600 Sin α sin  Cos α cos Tan  α tg α Cot cotg  Ghé thăm blog thaygiaongheo.net thường xuyên để cập nhật tài liệu hay, Thaygiaongheo – Video – Tài liệu học toán THPT + Các công thức lượng giác đơn giản : sin2  + cos2 = , tg  cotg = , tg  = + tg2  = , cotg  = , + cotg2  = + Nhận xét : Khi góc  tăng từ 00 đến 90 sin tg tăng cos cotg giảm Với hai góc nhọn ,  : Một số hệ thức cạnh góc tam giác : Định lý : Trong tam giác vuông, mổi cạnh góc vuông : - Cạnh huyền nhân với sin góc đối nhân với cosin góc kề b = a sinB = a cosC c = a sin C = a cosB - Cạnh góc vuông nhân với tg góc đối nhân với cotg góc kề b = c tgB = c cotg C c = b tgC = b cotg B Suy ra: a = b/ sinB = b/ cosA Áp dụng giải tam giác vuông : Trong tam giác vuông, biết trước hai cạnh cạnh góc nhọn ta tìm tất cạnh góc lại Bài toán đặt gọi toán “ Giaỉ tam giác vuông ” Để giải tam giác cần biết : hai cạnh góc nhọn cạnh Chương II: Đường tròn Đường tròn : + Định nghĩa : Đường tròn tâm O bán kính R ( với R > ) hình gồm điểm cách O khoảng R Đường tròn tâm O bán kính R kí hiệu ( O; R), ta kí hiệu (O) không cần ý đến bán kính +Lưu ý : Hình tròn tâm O bán kính R ( với R > ) hình gồm điểm có khoảng cách đến O nhỏ R + Cách xác định đường tròn - Một đường tròn xác định biết tâm bán kính đường tròn - Một đường tròn xác định biết đoạn thẳng đường kính đường tròn - Qua ba điểm không thẳng hàng, ta vẽ đường tròn Chú ý : Không vẽ đường tròn qua ba điểm thẳng hàng + Vị trí tương đối điểm đường tròn : Xét đường tròn (O;R) điểm M , OM = d M thuộc đường tròn (O;R) M nằm đường tròn (O;R) M nằm đường tròn (O;R) Ghé thăm blog thaygiaongheo.net thường xuyên để cập nhật tài liệu hay, Thaygiaongheo – Video – Tài liệu học toán THPT d =R d < R M O d > R M M A O A O A + Đường tròn ngoại tiếp tam giác ( tam giác nội tiếp đường tròn ) : - Đường tròn qua ba đỉnh tam giác gọi đường tròn ngoại tiếp tam giác ( tam giác gọi tam giác nội tiếp đường tròn ) - Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác giao điểm ba đường trung trực tam giác - Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác nhọn nằm tam giác - Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác tù nằm tam giác - Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông trung điểm cạnh huyền - Trong tam giác đều, đường trung tuyến đường trung trực, đường phân giác, đường cao nên trọng tâm, - Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác có cạnh a - Nếu tam giác có cạnh đường kính đường tròn ngoại tiếp tam giác tam giác vuông + Tâm đối xứng, trục đối xứng đường tròn : - Đường tròn hình có tâm đối xứng Tâm đường tròn tâm đối xứng đường tròn - Đường tròn hình có trục đối xứng Bất kỳ đường kính trục đối xứng đường tròn Đường kính dây đường tròn + So sánh độ dài đường kính dây: Định lý1 : Trong dây đường tròn, dây lớn đường kính + Quan hệ vuông góc đường kính dây: Định lý2 : Trong đường tròn, đường kính vuông góc với dây qua trung điểm dây Định lý3 : Trong đường tròn, đường kính qua trung điểm dây không qua tâm vuông góc với dây Nếu ∆ABC vuông A A, B, C thuộc đường tròn đường kính BC C (Định lý dùng để chứng minh toán yêu cầu chứng minh điểm thuộc đường tròn) A B Ghé thăm blog thaygiaongheo.net thường xuyên để cập nhật tài liệu hay, Thaygiaongheo – Video – Tài liệu học toán THPT Ví dụ: Cho tam giác ABC có đường cao BD, CE Chứng minh: B, E, D, C thuộc đường tròn Xác định tâm I A Ta có: ∆BEC vuông E (CE  AB) => B, E, C thuộc đtròn đkính BC (1) Ta có: ∆BDC vuông D (BD  AC) => B, D, C thuộc đtròn đkính BC (2) D Từ (1) (2) => B, E, D, C thuộc đường tròn đường kính BC E Tâm I trung điểm BC C B A Đường tròn (O) có: +∆ABC nội tiếp +BC đường kính => ∆ABC vuông A B C B O O Đường tròn (O) có: +AB đkính, CD dây +AB  CD H => H trung điểm CD A H H Đường tròn (O) có: +OH đoạn qua tâm, CD dây +OH  CD H => H trung điểm CD C C O D H D Đường tròn (O) có: +OA bkính, CD dây +OA  CD H => H trung điểm CD C O O D D B C C A H O A H D O H D Đường tròn (O) có: +AB đường kính, CD dây +AB cắt CD tđiểm H CD (gt) => AB  CD H Liên hệ dây khoảng cánh từ tâm đến dây Định lý1 : Trong đường tròn : a) Hai dây cách tâm b) Hai dây cách tâm Định lý2 : Trong đường tròn : a) Dây lớn dây gần tâm Ghé thăm blog thaygiaongheo.net thường xuyên để cập nhật tài liệu hay, C Thaygiaongheo – Video – Tài liệu học toán THPT Ba vị trí tương đối đường thẳng đường tròn : Xét đường tròn (O; R) đường thẳng a OH  a H OH = d ( OH khỏang cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng ) 4.1 Đường thẳng đường tròn không giao nhau ( Đường thẳng đường tròn điểm chung ) chung ) 4.2 Đường thẳng đường tròn tiếp xúc ( Đường thẳng đường tròn có điểm R>d R =d O O a H a H Đường thẳng a tiếp tuyến đường tròn H tiếp điểm 4.3 Đường thẳng đường tròn giao ( Đường thẳng đường tròn có điểm chung ) R =d Đường thẳng a cát tuyến đường tròn O H M a N Tính chất tiếp tuyến đường tròn : 5.1 Tính chất tiếp tuyến đường tròn : Định lý : Nếu đường thẳng tiếp tuyến đường tròn vuông góc với bán kính qua tiếp điểm 5.2 Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến đường tròn : 5.2.a) Nếu đường thẳng đường tròn có điểm chung đường thẳng tiếp tuyến đường tròn 5.2.b) Nếu khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng bán kính đường tròn đường thẳng tiếp tuyến đường tròn Định lý : Nếu đường thẳng qua điểm đường tròn vuông góc với bán kính qua điểm đường thẳng tiếp A tuyến đường tròn 5.3 Tính chất tiếp tuyến cắt đường tròn : Định lý : Nếu tiếp tuyến đường tròn cắt điểm : O - Điểm cách tiếp điểm - Tia kẻ từ điểm qua tâm tia phân giác góc tạo tiếp B tuyến - Tia kẻ từ tâm qua điểm tia phân giác góc tạo bán kính qua tiếp điểm A O Ghé thăm blog thaygiaongheo.net thường xuyên để cập nhật tài liệu hay, d M Thaygiaongheo – Video – Tài liệu học toán THPT Muốn chứng minh (d) tiếp tuyến đtròn (O) ta chứng minh ý sau: + d  OA A + OA bán kính (O) B AB AC đtròn (O) + AB = AC + OA + OA là tiếp tuyến nên O A phân giác góc BOC phân giác góc BAC C Đường tròn ngoại tiếp tam giác : - Đường tròn ngoại tiếp tam giác đường tròn qua đỉnh tam giác Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác giao điểm ba đường trung trực tam giác A A B C B O O O A B C C ABC tam giác nhọn nên tâm O O đường tròn ngoại tiếp tam giác tam giác nằm tam giác cạnh huyền ABC tam giác tù nên tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác nằm tam giác ABC vuông A nên tâm đường tròn ngoại tiếp trung điểm Đường tròn nội tiếp tam giác : A - Đường tròn nội tiếp tam giác đường tròn tiếp xúc ba cạnh tam giác ( Ba cạnh tam giác ba tiếp tuyến đường tròn ) Tâm đường tròn nội tiếp tam giác giao điểm ba đường phân giác tam giác O Tâm đường tròn nội tiếp tam giác nằm tam giác Đường tròn bàng tiếp tam giác : B - Đường tròn tiếp xúc với cạnh tam giác tiếp xúc với phần kéo dài hai cạnh gọi đường tròn bàng tiếp tam giác - Tâm đường tròn bàng tiếp tam giác góc A giao điểm hai đường phân giác góc B C giao điểm đường phân giác góc A đường phân giác góc B ( C ) - Với tam giác, có đường tròn bàng tiếp Ba vị trí tương đối hai đường tròn : B O A C Ghé thăm blog thaygiaongheo.net thường xuyên để cập nhật tài liệu hay, C Thaygiaongheo – Video – Tài liệu học toán THPT Xét đường tròn (O; R) đường tròn (O’; r), giả sử R > r OO’ = d 9.1 Hai đường tròn không giao ( đường tròn điểm chung ) O O' O O O' O' Hai đường tròn d > R+r Đường tròn (O) đựng (O’) d < R–r Hai đường tròn đồng tâm d=0 9.2 Hai đường tròn tiếp xúc ( đường tròn có điểm chung ) O A O O' O' Hai đường tròn tiếp xúc d = R+r A Hai đường tròn tiếp xúc d = R–r >0 9.3 Hai đường tròn giao ( đường tròn có điểm chung ) A O O' Hai đường tròn giao có điểm chung, có dây chung R–r < d < R+r Đường nối tâm trục đối xứng hình gồm hai đường tròn cắt B Định lý : ( Tính chất đường nối tâm ) a) Nếu hai đường tròn cắt hai giao điểm đối xứng qua đường nối tâm, tức đường nối tâm đường trung trực dây chung b) Nếu hai đường tròn tiếp xúc tiếp điểm nằm đường nối tâm 10 Tiếp tuyến chung hai đường tròn : - Tiếp tuyến chung hai đường tròn đường thẳng tiếp xúc với hai đường tròn Tiếp tuyến chung hai đường tròn không cắt đoạn nối tâm Tiếp tuyến chung hai đường tròn cắt đoạn nối tâm - Hai đường tròn không giao có tiếp tuyến chung trong, tiếp tuyến chung O O' O O' Ghé thăm blog thaygiaongheo.net thường xuyên để cập nhật tài liệu hay, Thaygiaongheo – Video – Tài liệu học toán THPT - Hai đường tròn tiếp xúc có tiếp tuyến chung trong, tiếp tuyến chung - Hai đường tròn tiếp xúc có tiếp tuyến chung O' O O O' - Hai đường tròn cắt có tiếp tuyến chung O O'  Vẽ tiếp tuyến chung đường tròn không giao ( trường hợp đường tròn nhau) Vẽ tiếp tuyến chung đường tròn (O ; R) ( O’; r) với R > r - Vẽ tam giác OO’I vuông I có cạnh huyền OO’ = d OI = R – r O’I = - OI cắt đường tròn (O;R) B - Vẽ bán kính O’C song song với OI ( B C thuộc nửa mặt phẳng bờ OO’ ) - Vẽ đường thẳng BC, BC tiếp tuyến chung đường tròn (O ; R) ( O’; r) B C I O O' OO' = d OI = R - r O'I = d2 - R-r  Ghé thăm blog thaygiaongheo.net thường xuyên để cập nhật tài liệu hay, Thaygiaongheo – Video – Tài liệu học toán THPT  Vẽ tiếp tuyến chung đường tròn không giao ( trường hợp đường tròn nhau) Vẽ tiếp tuyến chung đường tròn (O ; R) ( O’; r) với R > r - Vẽ tam giác OO’I vuông I có cạnh huyền OO’ = d OI = R + r O’I = - OI cắt đường tròn (O;R) B - Vẽ bán kính O’C song song với OI ( B C thuộc nửa mặt phẳng đối bờ OO’ - Vẽ đường thẳng BC, BC tiếp tuyến chung đường tròn (O ; R) ( O’; r) Chương 3: Góc với đường trũn 1-Góc tâm : Đ/n: Góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn gọi góc tâm Chú ý: Số đo góc tâm số đo cung bị chắn ; Sđ cung lớn 3600 - Sđcung lớn lại 2- Liên hệ cung dây đường tròn : A Đlí 1: Với hai cung nhỏ đường tròn : - Cung lớn căng dây lớn - Dây lớn căng cung lớn OÔ C Đlí 2: Với cung nhỏ đường tròn : B - Cung lớn căng dây lớn - Dây lớn căng cung lớn 3- Góc nội tiếp : Đ/n: Góc nội tiếp góc có đỉnh nằm đường tròn hai cạnh chứa hai dây đường tròn T/c: Số đo góc nội tiếp số đo cung bị chắn Hệ quả: Trong đường tròn : - Các góc nội tiếp chắn cung - Các góc nội tiếp chắn cung chắn hai cung - Các góc nội tiếp ≤ 90 góc tâm chắn cung - Góc nội tiếp chắn đường tròn 900 Ghé thăm blog thaygiaongheo.net thường xuyên để cập nhật tài liệu hay, ... giả sử R > r OO’ = d 9. 1 Hai đường tròn không giao ( đường tròn điểm chung ) O O' O O O' O' Hai đường tròn d > R+r Đường tròn (O) đựng (O’) d < R–r Hai đường tròn đồng tâm d=0 9. 2 Hai đường tròn... cung - Các góc nội tiếp chắn cung chắn hai cung - Các góc nội tiếp ≤ 90 góc tâm chắn cung - Góc nội tiếp chắn đường tròn 90 0 Ghé thăm blog thaygiaongheo.net thường xuyên để cập nhật tài liệu... có điểm chung ) O A O O' O' Hai đường tròn tiếp xúc d = R+r A Hai đường tròn tiếp xúc d = R–r >0 9. 3 Hai đường tròn giao ( đường tròn có điểm chung ) A O O' Hai đường tròn giao có điểm chung, có