Đang tải... (xem toàn văn)
Phần 1: MỞ ĐẦU 1. Lý do viết đề tài Trong các kỳ thi học sinh giỏi các cấp chúng tôi thấy rằng học sinh thường mất điểm khi không giải được các bài tập tổ hợp. Nhiều học sinh cho rằng đó là bài tập mà các em thường không giải được, do tính chất đặc thù của loại toán mang tính tư duy và trừu tượng cao. Vì vậy học sinh thường mất nhiều thời gian hoặc không làm được loại bài này. Qua nhiều năm dạy đội tuyển học sinh giỏi (HSG) chúng tôi rất trăn trở và suy nghĩ mình phải làm thế nào để học sinh yêu thích giải các bài tập bài tập tổ hợp hơn. Vì nếu các em có phương pháp giải các bài tập đó một cách thành thạo thì việc tư duy và thuật toán để giải các loại bài tập khác sẽ nhanh nhẹn hơn, giúp các em có thể đạt được kết quả cao trong các kỳ thi học sinh giỏi các cấp. Do vậy chúng tôi mạnh dạn viết chuyên đề “Sử dụng nguyên lí Dirichlet và nguyên lí cực hạn trong việc giải các bài toán số học và hình học ”. Nhằm giúp các em có cách nhìn tổng quát và những suy nghĩ để mở rộng các kiến thức đã học từ những bài toán đơn giản đã học ở lớp 6. Từ đó các em tự vận dụng và phát triển tư duy với các bài tập tương tự, tổng quát và liên hệ một cách lôgic với các dạng toán đã học. 2. Mục đích nghiên cứu Trong chuyên đề này trước hết nhằm củng cố cho học sinh lý thuyết về nguyên lí Dirichlet và nguyên lí cực hạn. Cung cấp cho học sinh một số bài toán cụ thể và cách tổng quát hóa dạng bài thông qua từng ví dụ. Giúp cho học sinh có kĩ năng phân loại bài và phương pháp làm từng loại bài cụ thể ấy.Từ đó rèn cho học sinh tư duy linh hoạt, sáng tạo trong giải toán. Học sinh thấy được vai trò và ứng dụng rộng rãi của nguyên lí Dirichlet và nguyên lí cực hạn. Cũng thông qua đề tài này nhằm giúp học sinh có thói quen tìm tòi trong học toán và sáng tạo khi giải toán.Từ đó tạo cho học sinh có phương pháp học tập đúng đắn, biến cái đã học (kiến thức của thầy) thành cái của bản thân, nắm bắt nó, vận dụng nó, phát triển nó đúng hướng. Qua đó giúp các em tạo niềm tin, hưng phấn, hứng thú và say mê học môn toán học. Sử dụng làm tài liệu tham khảo cho giáo viên và học sinh. 3. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu: +) Đối tượng nghiên cứu: Học sinh giỏi lớp 6, 7, 8, 9 và học sinh luyện thi THPT chuyên. +) Phạm vi nghiên cứu: Nguyên lí Dirichlet và nguyên lí cực hạn. Các bài tập cơ bản và nâng cao về nguyên lí Diirchlet và nguyên lí cực hạn trong chương trình trung học cơ sở. 4. Phương pháp nghiên cứu: +) Phương pháp nghiên cứu lý thuyết
Phần 1: MỞ ĐẦU Lý viết đề tài Trong kỳ thi học sinh giỏi cấp thấy học sinh thường điểm không giải tập tổ hợp Nhiều học sinh cho tập mà em thường không giải được, tính chất đặc thù loại toán mang tính tư trừu tượng cao Vì học sinh thường nhiều thời gian không làm loại Qua nhiều năm dạy đội tuyển học sinh giỏi (HSG) trăn trở suy nghĩ phải làm để học sinh yêu thích giải tập tập tổ hợp Vì em có phương pháp giải tập cách thành thạo việc tư thuật toán để giải loại tập khác nhanh nhẹn hơn, giúp em đạt kết cao kỳ thi học sinh giỏi cấp Do mạnh dạn viết chuyên đề “Sử dụng nguyên lí Dirichlet nguyên lí cực hạn việc giải toán số học hình học ” Nhằm giúp em có cách nhìn tổng quát suy nghĩ để mở rộng kiến thức học từ toán đơn giản học lớp Từ em tự vận dụng phát triển tư với tập tương tự, tổng quát liên hệ cách lô-gic với dạng toán học Mục đích nghiên cứu Trong chuyên đề trước hết nhằm củng cố cho học sinh lý thuyết nguyên lí Dirichlet nguyên lí cực hạn Cung cấp cho học sinh số toán cụ thể cách tổng quát hóa dạng thông qua ví dụ Giúp cho học sinh có kĩ phân loại phương pháp làm loại cụ thể ấy.Từ rèn cho học sinh tư linh hoạt, sáng tạo giải toán Học sinh thấy vai trò ứng dụng rộng rãi nguyên lí Dirichlet nguyên lí cực hạn Cũng thông qua đề tài nhằm giúp học sinh có thói quen tìm tòi học toán sáng tạo giải toán.Từ tạo cho học sinh có phương pháp học tập đắn, biến học (kiến thức thầy) thành thân, nắm bắt nó, vận dụng nó, phát triển hướng Qua giúp em tạo niềm tin, hưng phấn, hứng thú say mê học môn toán học Sử dụng làm tài liệu tham khảo cho giáo viên học sinh Đối tượng, phạm vi nghiên cứu: +) Đối tượng nghiên cứu: Học sinh giỏi lớp 6, 7, 8, học sinh luyện thi THPT chuyên +) Phạm vi nghiên cứu: Nguyên lí Dirichlet nguyên lí cực hạn Các tập nâng cao nguyên lí Diirchlet nguyên lí cực hạn chương trình trung học sở Phương pháp nghiên cứu: +) Phương pháp nghiên cứu lý thuyết Đọc nghiên cứu tài liệu, giáo trình phương pháp dạy học toán, tài liệu có liên quan đến nguyên lí Dirichlet nguyên lí cực hạn ứng dụng + Phương pháp điều tra Tìm hiểu thực trạng dạy chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi giáo viên đồng thời tìm hiểu kết học tập học sinh nhằm xác định tính phổ biến nguyên nhân để chuẩn bị cho bước nghiên cứu + Phương pháp thảo luận Trao đổi với đồng nghiệp kinh nghiệm giảng dạy kĩ thuật vận dụng nguyên lí Dirichlet nguyên lí cực hạn + Phương pháp quan sát Thông qua tiết dự thao giảng bồi dưỡng học sinh giỏi đồng nghiệp để quan sát trực tiếp tình hình học sinh tiếp thu cách khai thác xây dựng bất đẳng thức phụ giáo viên + Phương pháp kiểm tra đánh giá Khi thực chuyên đề khảo sát so sánh kết đánh giá học sinh qua giai đoạn để đánh giá hiệu chuyên đề Tình hình nghiên cứu Trong trình giảng dạy môn Toán đặc biệt công tác bồi dưỡng học sinh giỏi trường trung học sở thấy toán tổ hợp nói chung vận dụng nguyên lí Dirichlet nguyên lí cực hạn nói riêng nội dung quan trọng Vấn đề có nhiều tài liệu tham khảo đề cập đến có nhiều giáo viên quan tâm nghiên cứu mức độ khác Kết họ có thành công định Song việc thực kết tùy thuộc vào nhiều yếu tố Những vấn đề tồn tại: Khi chuẩn bị thực chuyên đề này, kĩ giải toán tổ hợp học sinh gặp nhiều khó khăn Đặc biệt toán nguyên lí Dirichlet nguyên lí cực hạn Vì em thụ động buổi học bồi dưỡng nội dung Các em học sinh vận dụng nguyên lí Dirichlet nguyên lí cực hạn với toán đơn giản Các tài liệu tham khảo nội dung nêu toán cụ thể với bất ví dụ cụ thể mà chưa có nhiều tài liệu đề cập đến kĩ vận dụng nguyên lí Dirichlet nguyên lí cực hạn giải toán tổ hợp Ứng dụng thực tiễn: Chuyên đề có ứng dụng tốt công tác bồi dưỡng học sinh giỏi công tác ôn thi vào trường trung học phổ thông chuyên Chuyên đề tư liệu tốt để giáo viên học sinh tham khảo II CƠ SỞ LÍ THUYẾT VÀ THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ Cơ sở lý luận vấn đề nghiên cứu: Khi gặp toán nguyên lí Dirichlet nguyên lí cực hạn thường liên quan nhiều đến đối tượng tập hợp hữu hạn Vì lẽ đó, toán mang mang đặc trưng rõ nét toán học rời rạc Khi giải toán tổ hợp vấn đề xác định dạng phương pháp làm cho dạng Từ HS áp dụng cho cụ thể cách linh hoạt với suy luận hợp lý để giải toán Thực trạng vấn đề nghiên cứu chuyên đề Trong chương trình toán trung học sở nguyên lí Dirichlet nguyên lí cực hạn không học chương trình học khóa Tuy nhiên kỳ thi, đặc biệt kỳ thi học sinh giỏi cấp nguyên lí Dirichlet nguyên lí cực hạn lại đề cập đến nhiều toán hay khó, đòi hỏi học sinh phải thực linh hoạt, sáng tạo có kỹ sử dụng thành thạo suy luận gải loại toán Trong đề thi HSG, loại tổ hợp khó học sinh Nó khó biến đổi, khó suy luận mà đa dạng dạng phong phú nội dung Từ thực tế bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi, nhận thấy toán tổ hợp mà cụ thể nguyên lí Dirichlet nguyên lí cực hạn đa dạng dạng bài, phong phú nội dung mà dạng toán khó, gây không khó khăn cho học sinh Vậy vấn đề đặt phải để tìm biện pháp khắc phục thực trạng giúp giáo viên có tài liệu tham khảo phù hợp đặc biệt giúp học sinh hết lúng túng tự tin gặp toán tổ hợp Tôi mạnh dạn đưa vấn đề buổi sinh hoạt tổ chuyên môn tổ Toán để đồng nghiệp thảo luận đưa hướng giải Phần 2: NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ I SỬ DỤNG NGUYÊN LÝ DIRICHLET ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN SỐ HỌC Nguyên lý: Nguyên lý Dirichlet (Gustav Lejeuve Dirichlet) : Nếu nhốt n thỏ vào m n + m − 1 thỏ m chuồng ( m ≥ ) tồn chuồng có Vận dụng: 2.1 Toán suy luận logic : Bài 1: Có 10 đội bóng thi đấu với giải, đội phải đấu trận với đội khác CMR vào lúc có hai đội đấu số trận GIẢI: Rõ ràng 10 đội bóng có đội chưa đấu trận đội lại đội thi đấu trận Như 10 đội có số trận đấu từ đến từ đến Vậy theo nguyên lý Đirichlê phải có đội có số trận đấu (Đội chưa đấu trận nào, số trận = 0) Bài 2: Có đội bóng thi đấu với (mỗi đội phải đấu trận với đội khác) CMR vào lúc có đội cặp đấu với chưa đấu với trận GIẢI: Giả sử đội bóng A,B,C,D,E,F Xét đội A Theo nguyên lý Đirichlê ta suy ra: A phải đấu không đấu với đội khác Không tính tổng quát, giả sử A đấu với B,C,D Nếu B,C,D cặp chưa đấu với toán chứng minh Nếu B,C,D có đội đấu với nhau, ví dụ B C đội A,B,C cặp đấu với Như lúc có đội cặp đấu với chưa đấu với trận Bài 3: CMR n người bất kì, tồn hai người có số người quen (kể trường hợp quen người) GIẢI: Tương tự ví dụ 1, ta xét n nhóm Bài 4: Trong 45 học sinh làm kiểm tra bị điểm 2, có học sinh điểm 10 CMR tìm học sinh có điểm kiểm tra (điểm kiểm tra số tự nhiên từ đến 10) GIẢI: Có 43 học sinh phân chia vào loại điểm (từ đến 9) Giả sử loại loại điểm điểm không học sinh lớp học có không 5.8=40 học sinh, 43 học sinh Vậy tồn học sinh có điểm kiểm tra Ứng dung toán chia hết: Trong phép tính số nguyên phép chia đặc biệt Phép chia có hàng loạt tính chất mà phép lại Chẳng hạn, phép toán cộng , trừ , nhân thực với số phép chia Vì lí đặc biệt mà toán học xây dựng hẳn lý thuyết phép chia Những ví dụ sau có liên quan mật thiết phép chia nguyên lý Dirchlet Bài 5: CMR tồn số tự nhiên gồm toàn chữ số chia hết cho 2007 GIẢI: Xét 2008 số có dạng 1,11, ,11 11 Theo nguyên tắc Đirichlê tồn hai số có số dư chia cho 2007 Giả sử hai số là: A={11 1}_{n} B={11 1}_{k} với k