BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG NGUYỄN CHIẾN THẮNG PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỈ Chuyên ngành: Phƣơng pháp toán sơ cấp Mã số: 60 46 01.13 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng – Năm 2016 Công trình hoàn thành ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN NGỌC CHÂU Phản biện 1: TS Phạm Quý Mười Phản biện 2: PGS.TS Huỳnh Thế Phùng Luận văn bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ Khoa học họp Đại học Đà Nẵng vào ngày 13 tháng năm 2016 Có thể tìm hiểu luận văn tại: - Trung tâm Thông tin – Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong chương trình toán bậc phổ thông phương trình, bất phương trình, hệ phương trình hệ bất phương trình chủ đề quan trọng, chứa nhiều dạng toán hay khó Có nhiều phương pháp giải phương trình bất phương trình mà chưa giới thiệu đầy đủ sách giáo khoa Việc tìm hiểu phương pháp giải phương trình, bất phương trình nói chung phương trình bất phương trình vô tỉ nói riêng việc làm cần thiết có ý nghĩa người dạy toán Chính vậy, để đáp ứng nhu cầu giảng dạy học tập, chọn đề tài “Phương pháp giải phương trình bất phương trình vô tỉ” cho luận văn Thạc sĩ Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu - Tìm hiểu cách tổng quan phương trình bất phương trình vô tỉ - Nghiên cứu phương pháp giải phương trình bất phương trình vô tỉ - Xây dựng quy trình định hướng cho phương pháp giải ví dụ minh họa - Nghiên cứu trợ giúp máy tính cầm tay vào việc giải phương trình vô tỉ Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu - Các toán phương trình bất phương vô tỉ thuộc chương trình phổ thông, phương pháp giải cho lớp phương trình bất phương trình vô tỉ tương ứng - Các chức máy tính cầm tay VINACAL 570ES PLUS hỗ trợ cho việc giải phương trình vô tỉ Phƣơng pháp nghiên cứu - Thu thập, tổng hợp, hệ thống tài liệu có nội dung liên quan đến đề tài luận văn - Phân tích, nghiên cứu tài liệu để thực đề tài luận văn - Trao đổi, thảo luận, tham khảo ý kiến người hướng dẫn, chuyên gia đồng nghiệp Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu kết luận, nội dung luận văn chia thành bốn chương Chương Các kiến thức chuẩn bị Chương Phương pháp giải phương trình vô tỉ Chương Phương pháp giải bất phương trình vô tỉ Chương Giải phương trình vô tỉ với trợ giúp máy tính cầm tay CHƢƠNG CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương trình bày sơ lược số tính chất, kết hàm số biến bất đẳng thức quen biết nhằm làm tiền đề cho chương sau Các chi tiết liên quan tìm xem 1.1 MỘT SỐ TÍNH CHẤT VÀ ĐỊNH LÝ CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN 1.1.1 Tính chất hàm số biến 1.1.2 Định lý Rolle Định lý Lagrange 1.2 MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN 1.2.1 Bất đẳng thức AM – GM 1.2.2 Bất đẳng thức Bunhiacowsky 1.2.3 Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz 1.2.4 Bất đẳng thức Minkowski 1.3 ĐỊNH LÝ VIÈTE 1.3.1 Định lý Viète thuận 1.3.2 Định lý Viète đảo CHƢƠNG PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỈ Chương trình bày số phương pháp giải phương trình vô tỉ 2.1 PHƢƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƢƠNG ĐƢƠNG 2.1.1 Phƣơng pháp nâng lên lũy thừa Nội dung phương pháp nâng lên lũy thừa với số mũ phù hợp Một số phép nâng lên lũy thừa thường sử dụng:  f  x  g  x  2n f x  2n g x       f  x      g  x    f  x   g 2n  x   2n f x  g x         g  x   n 1 f  x   g  x   f  x   g n1  x  Ví dụ 2.9 Giải phương trình: x3   x   x2  x   x  x3 Giải: Điều kiện: x  1 Phương trình cho tương đương với:  x3    x 3    x3      x2  x   x   x3   x3   ( x  3)  ( x  x  1)  ( x  1)( x  x  1)  ( x  1) x3 x3    x2  x  x3  x2  x    x   thỏa điều kiện phương trình   Vậy tập nghiệm phương trình T   3;  2.1.2 Phƣơng pháp liên hợp Như biểt x0 nghiệm phương trình f ( x)   x0  D f điều có nghĩa  ta đưa phương trình  f ( x0 )  f ( x)  dạng ( x  x0 ) f1 ( x)  Khi việc giải phương trình f ( x)  quy phương trình f1 ( x)  có bậc nhỏ Phương pháp nhân thêm lượng liên hợp hay tách thành biểu thức liên hợp hỗ trợ đắc lực cho phương án xử lý Ví dụ 2.14 Giải phương trình: x2  3x   x2  5x   x  Phân tích: - Nhận thấy ( x2  3x  1)  (5x  1)  x2  x giá trị x để biểu thức nhân liên hợp Từ ta nhân thêm lượng liên hợp để xuất nhân tử chung  x  x  Giải: Phương trình cho tương đương với:      x  x   x   ( x  x)  x2  2x x  3x    x  3x  1  x  1     ( x  x)     2  5x    ( x  x)     0 2 2 3  x  3x    x  3x  1  x  1  x       0, x x   x2  x    Vậy tập nghiệm phương trình T  0;2 x  Ví dụ 2.17 Giải phương trình: x3  x2   x  x   Phân tích Nhận thấy x  nghiệm phương trình, lúc đó: x3  x   x  x   Từ ta thực phép nhân liên hợp để xuất nhân tử ( x  2) Giải: Điều kiện x  Phương trình cho tương đương với:      x3  x   x   2x   x2     ( x  2)     x3  x   x  x3  x   x 2( x  2) 2x     0 2x   x3  x   x x3  x   x   x2  0, x   x  thỏa mãn điều kiện phương trình Vậy phương trình cho có nghiệm x  2.2 Phƣơng pháp đặt ẩn phụ Nội dung phương pháp đặt biểu thức chứa biểu thức theo ẩn mà ta gọi ẩn phụ, chuyển phương trình cho phương trình hệ phương trình với ẩn phụ đặt Giải phương trình hệ phương trình theo ẩn phụ để tìm nghiệm thay vào biểu thức vừa đặt để tìm nghiệm theo ẩn ban đầu Ví dụ 2.29 Giải phương trình:   x    x      x   x   a   x Giải: Đặt:   a  b3   b   x a3  b3  Từ ta có hệ:  hệ đối xứng loại I a  b   ab  a 1 Dễ dàng giải hệ ta   a  - Với a    x   x  - Với a    x   x  6 Vậy tập nghiệm phương trình là: T  6; 1 Ví dụ 2.30 Giải phương trình: x3   x   Phân tích Ta nhận thấy phương trình cho có dạng f n ( x)  b  a n a f ( x)  b nên ta đưa hệ phương trình đối xứng loại II Giải: Đặt x   y  y3  x  , ta có hệ phương trình:  x3   y  x3  y   x  y     y   2x   x  y   x2  xy  2   x y x 1 Với x  y , ta có: x  x   x3  x      x   1    Vậy tập nghiệm phương trình là: T   ; 1;    2.3 PHƢƠNG PHÁP HÀM SỐ Sử dụng tính chất hàm số để giải phương trình phương pháp quen thuộc Ta có hướng áp dụng sau đây: Dạng 1: Giải phương trình f  x   k k  a; b , có G   f  b  ; f  a  Khi đó: số, f  x  hàm liên tục, đơn điệu miền giá trị G   f  a  ; f  b  - Nếu k  G , phương trình vô nghiệm - Nếu k  G , tồn x0   a; b để f  x0   k , x0 nghiệm phương trình Chú ý: Trong số phương trình nghiệm x0 nói nhận thấy ngay, trường hợp ngược lại ta nhờ đến giúp đỡ máy tính cầm tay Dạng 2: Phương trình f  x   biến đổi dạng f  u   f  v  , u  u  x  , v  v  x  f  x  hàm đơn điệu Khi từ tính đơn điệu f  x  ta có u  x   v  x  , giải phương trình ta tìm nghiệm phương trình ban đầu Ví dụ 2.32 Giải phương trình:  x  1      x  x   3x  x   Giải: Phương trình cho tương đương:  x  1 2   x  1      3x    3x  3   f  x  1  f  3x    Xét hàm số f  t   t  t  , t   t  t2  f '(t )   t   t    t    0, t   t2   t 3  Do f  t  hàm đồng biến Từ tính đơn điệu hàm số f ta có: f  x  1  f  3x   x   3x  x   Vậy phương trình cho có nghiệm là: x   Ví dụ 2.33 Giải phương trình: x   8x3  x  Giải: Phương trình cho tương đương với: x   x   (2 x)3  x Xét hàm f (t )  t  t hàm số đồng biến Vậy 6x   x  8x3  x  Nhận xét: - Nếu x  x2    8x3  x  x (4 x  3)  (vô lý) - Nếu x  , ta đặt x  cos t , t  0;  phương trình cho trở thành 1  2  cos3t   t    k , k  2 5 7    Vậy tập nghiệm phương trình là: T  cos ; cos ; cos  9  4cos3 t  3cos t  2.4 PHƢƠNG PHÁP ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ Phương pháp hiệu cho lớp dạng toán Tìm điều kiện tham số để: Dạng 1: Phương trình có nghiệm Dạng 2: Phương trình có nghiệm với giá trị tham số Dạng 3: Phương trình có nghiệm với x  D Dạng 4: Phương trình cho tương đương với phương trình với bất phương trình khác Khi ta thực theo bước: Bước 1: Đặt điều kiện để biểu thức phương trình có nghĩa Bước 2: Tìm điều kiện cần cho phương trình dựa việc đánh giá tính đối xứng phương trình Bước 3: Kiểm tra điều kiện đủ phương trình Ví dụ 2.36 Tìm m để phương trình sau nghiệm x  x2  x  m2  2m   x  m  (1) Giải: Điều kiện cần: Giả sử (1) có nghiệm x   x  nghiệm (1), đó: 10 Đối với số phương trình mũ có lũy thừa biểu thức chứa việc giải toán phức tạp, lớp toán trở nên khó khăn trình biến đổi tương đương sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ thông thường Chính việc sử dụng định lý Lagrange làm cho lớp toán trở nên đơn giản nhiều Để giải lớp toán này, ta thực theo bước sau: Bước 1: Đặt điều kiện có nghĩa cho biểu thức phương trình Bước 2: Biến đổi phương trình dạng thích hợp f  a   f b  , từ hàm số f (t ) khả vi liên tục  a; b Khi theo định lý Lagrange c   a; b  , cho: f ' c   f b  f  a  (1) ba Bước 3: Gọi  nghiệm phương trình, vào (1), ta xác định  Bước4: Thử lại Để rõ ta xét ví dụ sau: Ví dụ 2.41 Giải phương trình: x  x 1  12 x2  x  x2  x x 1 Giải: Điều kiện: x  x    x  Phương trình cho tương đương:  12 x2  x 7 x2  x  x2  x x2  x  12 2 x2  x x2  x  27 x2  x Đặt u  x  x , u  Khi phương trình có dạng: 12u  7u  7u  2u Giả sử phương trình cho có nghiệm  , đó: 12  7  7  2 (1) 11 Xét hàm số f  t    t  5  t  , với t   Từ (1), ta nhận f    f   , theo định lý Lagrange tồn c   2;7  cho : f '  c      c1        Thử lại thấy u  u  thỏa mãn, đó: x  x 1   x2  x     x  , thỏa mãn điều kiện phương trình   x  x    1 x   1    Vậy, phương trình có tập nghiệm là: T   ; 0; 1;       c    1 2.6.2 Sử dụng định lý Rolle Xét phương trình: f  x   , f  x  hàm khả vi, f '  x  đơn điệu D Để giải phương trình ta thực sau: Bước 1: Tìm điều kiện đề phương trình có nghĩa Bước 2: Tính f '  x  f ''  x  để kiểm tra tính đơn điệu f ' x  Bước 3: Tìm nghiệm phương trình Bước 4: Kết luận Để rõ ta xét ví dụ sau: Ví dụ 2.42 Giải phương trình: x   3x2  8x  Giải: Điều kiện: x  1 Phương trình cho tương đương với (1) x   3x2  8x   Xét hàm số f ( x)  x   3x  8x  miền D   1;   , 12 ta có: f '( x)   f ''( x)   x 1 ( x  1)3  x  suy ra:   0, x  D  f '  x  nghịch biến D Vậy phương trình (1) có không hai nghiệm Dễ thấy: f  0  f  3  Vậy tập nghiệm phương trình T  0;3 2.7 PHƢƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ Để giải phương trình vô tỉ phương pháp đánh giá đòi hỏi người giải phải phân tích kỹ điều kiện toán, phải nhận dạng áp dụng linh hoạt bất đẳng thức quen thuộc từ giúp nhìn nhận phương pháp đánh giá cách gần gũi 2 Ví dụ 2.44 Giải phương trình :  x  x  x 1  Phân tích 2    - Nhận thấy x 1   x    x x  x    , từ đó:        x 1 x 1  x 1   x 1  2 2    x    2  x 1    x9   x    x           Áp dụng bất đẳng thức Bunyacovsky ta có: 2  2   x   x      2 2    2  x        x        x  x  x  x              -      x  Vì việc sử dụng phương pháp đánh giá với nhanh gọn hiệu Giải: Điều kiện x  13    Áp dụng bất đẳng thức Bunyacovsky ta có: 2 2   2   x     x   2  x     x9   x    x    x 1        Dấu xảy khi: 2   x 1  x   x    x    (1) thỏa mãn điều kiện phương trình Vậy nghiệm phương trình x  Giải (1) ta x  CHƢƠNG PHƢƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỈ Chương trình bày số phương pháp giải bất phương trình vô tỉ 3.1 PHƢƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƢƠNG ĐƢƠNG Ví dụ 3.8 Giải bất phương trình: x  x 1  x  x 1  Giải: Viết lại phương trình cho dạng: x 1 x 1 1  x 1 x 1 1   ( x   1)  ( x   1)  Điều kiện: x  Khi phương trình trở thành: x   1 | x   1|  14  x      x     x  2      x  x   x          Kết hợp với điều kiện nghiệm bất phương trình x  3.2 PHƢƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ Tương tự phương pháp đặt ẩn phụ chương 2, mục đích phương pháp chuyển bất phương trình cho bất phương trình hệ bất phương trình gồm phương trình Các cách đặt ẩn phụ nêu cụ thể mục 2.2 chương 1  Ví dụ 3.15 Giải bất phương trình:  (1) x  x2  x0 Giải: Điều kiện:  2  x  Đặt y   x  kết hợp với (1), ta có hệ: x y 1  2   2  x y xy      x2  y  ( x  y )2  xy    x  y 2  xy   xy  ( x  y )   (2) (3) Lấy (3) (2) ta ( x  y)2  , suy ra: ( x  y)2   xy   x  x   x   2 x  y 2   Vậy, tập nghiệm bất phương trình (1) là: S   2;0 3.3 PHƢƠNG PHÁP HÀM SỐ 3.3.1 Sử dụng tính đơn điệu hàm số 15 Sử dụng tính đơn điệu hàm số để giải bất phương trình phương pháp quen thuộc Để giải bất phương trình tính đơn điệu hàm số ta thực sau: Bước 1: Đặt điều kiện bất phương trình Bước 2: Biến đổi bất phương trình cho dạng f  u   f  v  , u  u  x  , v  v  x  f hàm đơn điệu Khi từ tính đơn điệu hàm số f ta có u  x   v  x  u  x  v x Bước 3: Giải bất phương trình u  x   v  x  u  x   v  x  từ ta tìm nghiệm bất phương trình ban đầu Ví dụ 3.17 Giải bất phương trình: x2  x   x2  x  11   x  x   Phân tích - Đưa bất phương trình dạng:  x2  x   x    x  x  x  11 ( x  1)2   x   (3  x)2    x - Nhận thấy bất phương trình có dạng f (u)  f (v) nên ta sử dụng phương pháp hàm số để giải  x 1  Giải: Điều kiện:   1 x  3  x  Viết lại bất phương trình dạng: ( x  1)2   x   (3  x)2    x (1) Xét hàm f (t )  t   t , xác định t  1   , t  nên f (t ) hàm Ta có f '(t )  t2 t đồng biến 1;3 Khi (1) biến đổi sau: f ( x  1)  f (3  x)  x 1   x  x  Vậy, tập nghiệm bất phương trình cho S   2; 3 16 3.4 PHƢƠNG PHÁP ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ Cũng phương pháp hàm số, phương pháp điều kiện cần đủ tỏ hiệu cho lớp toán “Tìm điều kiện tham số để”: Dạng 1: Bất phương trình có nghiệm Dạng 2: Bất phương trình nghiệm với x  D Khi ta thực theo bước: Bước 1: Đặt điều kiện bất phương trình Bước 2: Tìm điều kiện cần để bất phương trình có nghiệm nghiệm Bước 3: Kiểm tra điều kiện đủ Ví dụ 3.20 Tìm m để bất phương trình: x2  2m  mx2 (1) có nghiệm Giải: Điều kiện cần: Giả sử (1) có nghiệm x  x0 suy  x0 nghiệm (1), (1) có nghiệm khi: x0   x0  x0  Thay x0  vào (1), ta m  Vậy m  điều kiện cần để bất phương trình có nghiệm Điều kiện đủ: Giả sử m  , (1) có dạng: x2   x  nghiệm bất phương trình Vậy m  bất phương trình cho có nghiệm 3.5 PHƢƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ Để giải bất phương trình vô tỉ phương pháp đánh giá đòi hỏi người giải phải phân tích kỹ điều kiện toán, phải nhận dạng áp dụng linh hoạt bất đẳng thức quen thuộc từ giúp nhìn nhận phương pháp đánh giá cách gần gũi Ví dụ 3.23 Giải bất phương trình: 17 x  x2   x  x2   (1)  Phân tích  - Ta nhận xét  x  x    x  x    nên ta    giải toán cách đặt ẩn phụ t   x  x      x  x    Nhưng sau giải ẩn t ta phải giải tiếp     t bất phương trình bậc bốn tốn nhiều thời gian - Tuy nhiên với việc nhận xét  x  x   x  x    , ta dùng bất đẳng thức AM-GM, ta       nhanh chóng thu nghiệm Giải: Điều kiện bất phương trình x  Áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho vế trái ta được: VT  4  x  x   x  x    x  x    x  x       Bất phương trình có nghiệm khi: VT   x  x2   x  x   x  thỏa mãn điều kiện bất phương trình Vậy, nghiệm bất phương trình x  CHƢƠNG GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỈ VỚI SỰ TRỢ GIÚP CỦA MÁY TÍNH CẦM TAY Chương trình bày trợ giúp máy tính cầm tay cho việc giải phương trình vô tỉ 4.1 GIỚI THIỆU VỀ MÁY TÍNH CẦM TAY VINACAL 570ES PLUS II 18 VINACAL 570ES PLUS II dòng máy tính cầm tay dành cho học sinh trung học Năm 2013, Bộ GD&ĐT xác nhận máy tính VINACAL 570ES PLUS II phép mang vào phòng thi theo văn số 3125/BGDĐT-CNTT ngày 13/5/2013 Đây dòng máy tính hỗ trợ cho người sử dụng việc học thi, đặc biệt kỳ thi giải toán máy tính cầm tay Sở, Bộ GD&ĐT tổ chức hàng năm VINACAL 570ES PLUS II khả giải toán bản, dòng máy giải dạng toán cao cấp tích phân, tổ hợp, chỉnh hợp… Đặc biệt, VINACAL 570ES PLUS II trợ giúp giải phương trình vô tỉ Máy tính cầm tay VINACAL 570ES PLUS II Sau số chức máy tính VINACAL 570ES PLUS II thường dùng để hỗ trợ cho việc giải phương trình vô tỉ Chức CALC: Cho phép ta tính giá trị hàm số f  x  điểm thuộc miền xác định D f  x  Để sử dụng chức ta thực sau: Bước 1: Nhập hàm f  x  vào máy Bước 2: Bấm phím [CALC] + [ x0 ] + [=], với x0  D , ta giá trị f  x0  Chức TABLE: Cho phép nhận biết khoảng chứa nghiệm phương trình (nếu phương trình có nghiệm) lập bảng 19 giá trị hàm số (suy từ phương trình), từ giúp ta đoán nhận tính đơn điệu hàm số Để sử dụng chức ta thực sau: Bước 1: Giả sử phương trình cho có dạng g  x   h  x  , với tập xác định  a; b  Ta biến đổi dạng f  x   g  x   h  x  , xem f hàm số xác định đoạn  a; b  Bước 2: Bấm phím [MODE] + [7] Bước 3: Nhập hàm f  x  vào máy bấm [=] + [=] + [a] + [b] + [c] + [=], với c bước nhảy (khoảng cách hai biến) Từ ta dãy giá trị tăng dần biến x, với dãy giá trị tương ứng hàm f  x  hiển thị hình máy tính Bước 4: Đoán nhận tính đơn điệu khoảng chứa nghiệm phương trình Chức SOLVE: Cho phép nhận biết phương trình có nghiệm hay không Để sử dụng chức ta cần thực sau: Bước 1: Tìm khoảng chứa nghiệm (nếu có) phương trình Bước 2: Nhập phương trình cần giải vào máy Bước 3: Thực bấm phím [SHIFT] + [CALC] + [CONST] + [=], với CONST số thuộc khoảng chứa nghiệm, CONST = không tìm khoảng chứa nghiệm Khi máy tính nghiệm (nếu có) cho biết phương trình vô nghiệm Ví dụ 4.5 Giải phương trình: x3  x   x   3x2   (1)  Phân tích: - Điều kiện phương trình : x  2 - Dùng chức TABLE máy tính cầm tay ta thu bảng sau: 20 Bấm [MODE]+[7] ta chức TABLE Nhập hàm: f  x   x3  x   x   3x  Vì điều kiện : x  2 nên ta bấm: [=]+[=]+[-2]+[2]+[0,5]+[=], ta bảng bên phải Qua bảng ta có nhận xét sau: - Phương trình có nghiệm nằm khoảng  0,5; 1 - Dự đoán hàm số đơn điệu tăng x f  x -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1.5 -14 -18.29 -10 -3.688 -2 -1.168 10.588 54.39 162 - Dùng chức SOLVE máy tính cầm tay: - Nhập phương trình cho vào máy tính - Bấm phím [SHIFT] + [CALC] + [0,6] + [=], ta thu bên cạnh - Từ ta biết nghiệm: x  0.618033988 phương trình - Dùng chức CALC máy tính cầm tay: - Nhập vào máy biểu thức x  - Bấm [CALC]+[ 0.618033988 ]+[=], ta thu hình bên: - Từ chức CALC, ta thay giá trị x  0.618033988 vào biểu thức x  ta được: 1  x  0.618033988 x - Từ phân tích ta dùng phương pháp hàm số để giải phương trình Giải: Điều kiện x  2 Phương trình (1) tương đương với: x3  x   x   3x2  (2) x   1.618033988  21 Nhận thấy x  nghiệm (2), nên ta chia hai vế phương trình (2) cho x Khi đó, (2) tương đương với: 3  x   3 x      x   x   x    x x x x 3 (3)  x2 3 x2   x x Xét hàm số: f  t   2t  3t , với t    Ta có: f '  t   6t   0, t  , từ (3) ta có: 1 f x2  f     x    , nên f  t  hàm đống biến  x x  1 x  x  x2   x x  1   x   x  1  x  x  1   x x2  1  thỏa mãn điều kiện phương trình Vậy phương trình có nghiệm x  Ví dụ 4.6.Giải phương trình: 1  x2  x    x  1 x2  x    x2 2  Phân tích: - Điều kiệncủa phương trình: x  2 - Sử dụng chức TABLE máy tính cầm tay ta thu bảng sau: Bấm [MODE)]+[7] ta chức x f  x TABLE -2 2,727 Xét hàm: -1.5 -1.707 x2  x  -1 -1.5 f  x    x  1 x   x  2x  -0.5 -1.671 Vì điều kiện : x  2 nên ta bấm: -2.08 [=]+[=]+[-2]+[5]+[0,5]+[=], ta bảng 0.5 -2.371 bên phải -1.964 Qua bảng ta có nhận xét sau:   22 Phương trình có hai nghiệm phân biệt, nghiệm x  , nghiệm nằm  3; 3,5 Hàm số không đơn điệu D cho phép ta dự đoáng hàm số đơn điệu tăng 1   ;   2  1.5 2.5 3.5 4.5 -0.899 0.34 0.2223 -0.189 -0.792 -1.531 -2.347 - Dùng chức SOLVE máy tính cầm tay: Nhập phương trình cho vào máy tính Bấm phím [SHIFT] + [CALC] + [3,2] + [=], ta thu bên cạnh Từ ta biết thêm nghiệm: x  3.302775638 phương trình - Vậy phương trình cho có hai nghiệm x1  x2  3.302775638 - Dùng chức CALC máy tính cầm tay: Nhập vào máy biểu thức x  Bấm [CALC]+[ 3.302775638 ]+[=], ta thu hình bên: - Từ chức CALC, ta thay giá trị x2  3.302775638 vào biểu thức - x   x   x2  x  ta được: Với x1  thì:     13  x2 2 x2 2  x2 0  x      0 x        x22    x  x    x   x     x   x    - Từ phân tích ta dùng phương pháp biến đổi tương đương để giải phương trình này: 23 Giải: Điều kiện: x  2 x2  x  Ta có:   x  1 x   x  2x   x  2 x  4  x   x       x2  x   x2 2 x 1   x4   x  2     x2 2  x  2x    x  4    x  2   x  2  x  4   x     x  1  x  x  3 x  x  3  x22   x   x3  x  x  5  Ta thấy x  nghiệm thỏa điều kiện phương trình Xét phương trình:  x  4 x   x3  x2  x   (1)  Phân tích: - Từ phân tích phần trước ta biết phương trình  13 x (1) có nghiệm là: hàm 1  f  x    x  4 x   x3  x2  x  có khả đơn điệu  ;   2  nên ta sử dụng phương pháp hàm số để giải phương trình (1)  13 - Cũng từ phân tích phần trước nghiệm x   x   x  Phương trình (1) tương đương:  x    x   x3  x  x    Bằng phương pháp đồng thức ta có: a  x  1  b  x  1  c  x  1  a    x2 b   x2 c  x2 , dễ dàng tìm a  1, b  2, c  Khi phương trình (1) tương đương:  x  1   x  1   x  1    x2 2  x2  2   x  (2) 24 Xét hàm: f (t )  t  2t  2t , với t  , ta có: f '  t   3t  4t   0, t  Do f (t ) hàm đồng biến liên tục 0;  Đồng thời từ (2) ta có: f  x  1  f  x2   x  1  x   x2     x   13 thỏa mãn điều kiện phương trình  x    13    Vậy, tập nghiệm phương trình là: T  2;       x 1  KẾT LUẬN Luận văn “Phương pháp giải phương trình bất phương trình vô tỉ” đạt mục đích nhiệm vụ đề ra, cụ thể luận văn thực vấn đề sau: Tìm hiểu trình bày số phương pháp giải phương trình vô tỉ, bất phương trình vô tỉ Đối với phương pháp có phân tích định hướng cách giải rõ ràng, đồng thời cho nhiều ví dụ minh họa cho phương pháp Giới thiệu máy tính cầm tay VINACAL 570ES PLUS II, dòng máy tính Bộ GD&ĐT cho phép học sinh mang vào phòng thi Trình bày số chức dòng máy tính này, mà hỗ trợ cho việc giải phương trình vô tỉ , kèm theo ví dụ minh họa Trong thời gian tới, nội dung luận văn tiếp tục hoàn thiện mở rộng nữa, nhằm tài liệu tham khảo cho học sinh, sinh viên, cho quan đến việc giải phương trình bất phương trình vô tỉ ... Chương Phương pháp giải phương trình vô tỉ Chương Phương pháp giải bất phương trình vô tỉ Chương Giải phương trình vô tỉ với trợ giúp máy tính cầm tay CHƢƠNG CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương trình. .. điều kiện phương trình Vậy nghiệm phương trình x  Giải (1) ta x  CHƢƠNG PHƢƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỈ Chương trình bày số phương pháp giải bất phương trình vô tỉ 3.1 PHƢƠNG PHÁP BIẾN... tài Phương pháp giải phương trình bất phương trình vô tỉ cho luận văn Thạc sĩ Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu - Tìm hiểu cách tổng quan phương trình bất phương trình vô tỉ - Nghiên cứu phương pháp