BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG VÕ THỊ CẨM VÂN MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH, BẤT PHƢƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT Chuyên ngành: Phƣơng pháp toán sơ cấp Mã số: 60 46.01.13 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC ĐàNẵng–Năm2016 Công trình hoàn thành ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS TRẦN ĐẠO DÕNG Phảnbiện 1: TS Lê Hải Trung Phảnbiện 2: GS TS Lê Văn Thuyết Luận văn bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ Phương pháp toán sơ cấp họp Đại học Đà Nẵng vào ngày 13 tháng năm 2016 Có thể tìm hiểu luận văn tại: - Trung tâm Thông tin – Học liệu, Đạihọc Đà Nẵng - Thư viện trường Đi học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Phương trình, bất phương trình mũ logarit chủ đề quan trọng chương trình toán bậc phổ thông trung học Các dạng toán thường xuyên xuất kỳ thi đại học, cao đẳng có mối liên quan mật thiết với Việc dạy học chủ đề đưa vào chương trình bậc trung học phổ thông đóng vai trò trọng tâm việc trang bị kiến thức cho học sinh Tuy nhiên thời gian hạn hẹp chương trình phổ thông, không nêu đầy đủ chi tiết tất dạng toán phương trình bất phương trình chứa mũ logarit Vì học sinh thường gặp khó khăn giải dạng toán nâng cao phương trình, bất phương trình mũ logarit đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng Mặc dù có nhiều tài liệu tham khảo chủ đề nói với nội dung khác chưa có chuyên đề riêng khảo sát phương trình, bất phương trình mũ logarit cách hệ thống Đặc biệt, nhiều dạng toán đại số hàm số mũ logarit có quan hệ chặt chẽ, khăng khít, tách rời thường cần đến trợ giúp công cụ đại số, giải tích ngược lại Do đó, để có điều kiện tìm hiểu thêm chủ đề gợi ý thầy giáo hướng dẫn, chọn đề tài: “Một số phương pháp giải phương trình, bất phương trình mũ logarit” làm đề tài cho luận văn nhằm hệ thống kiến thức phương trình, bất phương trình mũ logarit kết hợp với kiến thức đại số, giải tích để tổng hợp, chọn lọc phân loại phương trình, bất phương trình mũ logarit xây dựng số toán Mục tiêu nội dung nghiên cứu đề tài Mục tiêu đề tài nhằm nghiên cứu tìm hiểu toán phương trình, hệ phương trình, bất phương trình mũ logarit, vận dụng phương pháp thích hợp đại số, giải tích để giải toán nêu chương trình phổ thông trung học Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu đề tài toán phương trình, bất phương trình mũ logarit Phạm vi nghiên cứu đề tài vận dụng phương pháp giải toán thích hợp đại số giải tích để giải toán phương trình, bất phương trình mũ logarit Phƣơng pháp nghiên cứu - Thu thập, tổng hợp tài liệu liên quan đến nội dung đề tài luận văn - Phân tích, nghiên cứu tài liệu thu thập để thực đề tài - Tham gia buổi seminar thầy hướng dẫn để trao đổi kết nghiên cứu Cấu trúc luận văn Mở đầu - Chương 1: Các kiến thức sở - Chương 2: Phương pháp giải phương trình mũ logarrit - Chương 3: Phương pháp giải bất phương trình mũ logarit CHƢƠNG CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ Chương nhắc lại số kiến thức sở Hàm lũy thừa, hàm mũ hàm logarit có liên quan đến việc nghiên cứu chương Các nội dung trình bày chương chủ yếu tham khảo tài liệu [3], [5], [9] 1.1 HÀM MŨ VÀ HÀM LŨY THỪA 1.1.1 Hàm lũy thừa a Khái niệm hàm lũy thừa b Đạo hàm hàm lũy thừa với số mũ tổng quát 1.1.2 Hàm mũ a Định nghĩa b Tính chất hàm mũ c Bảng biến thiên đồ thị hàm mũ d Mệnh đề 1.2 HÀM LOGARIT 1.2.1 Định nghĩa 1.2.2 Định nghĩa 1.2.3 Tính chất hàm logarit 1.2.4 Bảng biến thiên đồ thị hàm logarit 1.2.5 Định nghĩa 1.2.6 Số e logarit tự nhiên 1.2.7 Tính chất logarit CHƢƠNG PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT Trong chương này, trình bày số phương pháp giải phương trình mũ logarit.Các kiến thức trình bày chương tham khảo tài liệu [5], [6], [7] [9] 2.1 PHƢƠNG TRÌNH MŨ 2.1.1 Phƣơng pháp đƣa số *Phƣơng pháp giải: Ta sử dụng phép biến đổi tương đương sau: a f (x) a g(x) a f (x)  a g(x) a     0  a    f (x)  g(x)  a     a  1 f (x)  g(x)   Sau số ví dụ minh họa: Ví dụ 2.1 Giải phương trình sau: 2x  x 8  413x Ví dụ 2.2 Giải phương trình sau: 8x Ví dụ 2.3 Giải phương trình sau:  2x   4x  x 1 2x 4x 3x 0,125  Ví dụ 2.4 Giải phương trình sau: (2  3)3x 1  (2  3)5x 8 2.1.2 Phƣơng pháp logarit hóa *Phƣơng pháp giải : Ta sử dụng công thức sau g(x)  Dạng a f (x)  g(x) (0  a  1)   f (x)  log a g(x) Dạng a f (x)  bg(x)   a,b  1  loga a f (x)  loga bg(x)  f (x)  g(x).loga b Dạng a f (x) bg(x)  c  f (x)  g(x).loga b  loga c Sau số ví dụ minh họa: Ví dụ 2.5 (Đại học kinh tế Quốc Dân 1998) Giải phương trình sau: 5x.8 x 1 x  500 Ví dụ 2.6 Giải phương trình sau: 49.2x  16.7x x Ví dụ 2.7 Giải phương trình : 2x  2.3x  4x 36 x 1 2.1.3 Phƣơng pháp đặt ẩn phụ *Phƣơng pháp giải: Phương pháp đặt ẩn phụ phương pháp phổ biến toán phương trình Các toán giải phương trình mà ta sử dụng phương pháp này, dễ thấy dấu hiệu biểu thức chứa biến lặp lặp lại nhiều lần, khó hơn, ta cần biến đổi khéo léo, chủ yếu đưa hình dạng sơ khai toán, phương trình với biểu thức chứa biến lặp lại Cũng có trường hợp toán yêu cầu ta phải đặt thêm nhiều ẩn phụ khác nhằm tạo phương trình dễ dàng giải Trong phần này, ta có dạng ẩn phụ chủ yếu sau:   Dạng Ta có dạng tổng quát toán là: F a f (x)  Với dạng ta đặt t= a f (x) , t  chuyển phương trình F(t)=0, giải tìm nghiệm dương t phương trình, từ ta tìm x Ta thường gặp dạng: m.a 2f (x)  n.a f (x)  p  Dạng m.a f (x)  n.bf (x)  p  0, a.b  Đặt t  a f (x) , t   bf (x)  t Dạng m.a 2f (x)  n(a.b)f (x)  p.b2f (x)  Chia vế phương trình cho b a đặt t    b 2f (x) f (x) ; t0 Ta có phương trình: mt  nt  p  Dạng Lượng giác hóa Sau số ví dụ minh họa: Ví dụ 2.8 Giải phương trình sau: 2.16x  15.4x   Ví dụ 2.9 (Đại học tổng hợp TP.HCM khối D năm 1994- Đại học quốc gia TP.HCM năm 1996) Giải phương trình sau: 2  3  2  3 x Ví dụ 2.10 Giải phương trình sau: 7     x  5 3 2  x   1 x  x 4 1  Ví dụ 2.11 (Đại học quốc gia Hà Nội năm 1997)  Giải phương trình sau:  21  x    21 1  x  2x 3 Ví dụ 2.12 Giải phương trình sau: 2.4 x  x  x Ví dụ 2.13 Giải phương trình sau: 2x 18   x 1 1 x x 1 x 1  2   Ví dụ 2.14 Giải phương trình sau: 4.33x  3x 1   9x 2.1.4 Phƣơng pháp hàm số *Phƣơng pháp giải: Đoán nghiệm Chứng minh nghiệm Ta thực theo bước sau: + Chuyển phương trình cho dạng f (x)  k Nhẩm nghiệm x  x , ta chứng minh x  x nghiệm + Xét hàm số y  f (x) Dùng lập luận khẳng định tính đơn điệu hàm số (giả sử hàm số đồng biến) + Nhận xét: ● Với x  x  f (x)  f (x )  k , suy x  x nghiệm phương trình ● Với x  x  f (x)  f (x )  k , suy phương trình vô nghiệm ● Với x  x  f (x)  f (x )  k , suy phương trình vô nghiệm ● Tính chất 2.1 Nếu hàm số y  f (x) đồng biến (hoặc nghịch biến)  a,b  số nghiệm phương trình: f (x)  k (trên (a;b)) không nhiều f (u)  f (v)  u  v, u, v   a,b  ● Tính chất 2.2 Nếu hàm số y  f (x) liên tục đồng biến (hoặc nghịch biến); hàm số y  g(x) liên tục nghịch biến (hoặc đồng biến) D số nghiệm D phương trình f (x)  g(x) không nhiều ● Định lý 2.1 (Định lý Lagrange) Cho hàm số f ( x) :  a, b  liên tục  a, b khả vi  a, b  Khi tồn f (b)  f (a) ba ● Định lý 2.2 (Định lý Rolle) Cho hàm số f ( x) :  a, b  số thực c   a, b  cho f (c)  liên tục  a, b  khả vi  a, b  , đồng thời f (a)  f (b) Khi tồn số thực c   a; b  cho f (c)  Một số hệ thường dùng định lý là: + Nếu hàm số f (x) : a,b  liên tục  a, b  khả vi  a,b  phương trình f(x) = có k nghiệm thuộc (a,b) f (x) = có k  nghiệm thuộc (a,b) + Nếu hàm số f (x) : a,b  liên tục  a, b  khả vi  a,b  , đồng thời đạo hàm cấp k hàm số f (x) không đổi dấu f (x)  phương trình f (x)  có không k nghiệm phân biệt thuộc  a, b  Sau số ví dụ minh họa 10 độ phức tạp f (x), g(x) Sau số ví dụ minh họa Ví dụ 2.22 (Học viện công nghệ bƣu viễn thông năm 2000) Giải phương trình:  log9 x  5x    log x 1  log3 x  Ví dụ 2.23 Giải phương trình: log2 x  log3 x  log4 x  log20 x Ví dụ 2.34 Giải phương trình:       log x  x  log5 x  x   log 20 x  x  2.2.2 Phƣơng pháp mũ hóa *Phƣơng pháp giải: Sử dụng công thức sau  0  a  ● loga f (x)  b   b  f (x)  a ● loga f (x)  log b g(x) Đặt t= loga f (x) Khi đó: a t  f (x); b t  g(x) , từ ta thu phương trình mũ Sau số ví dụ minh họa   Ví dụ 2.25 Giải phương trình: log3  log9 x   9x   2x   Ví dụ 2.26 Giải phương trình: log5 log2 x  log2 log5 x   Ví dụ 2.27 Giải phương trình: 3log3  x  x  2log x 2.2.3 Phƣơng pháp đặt ẩn phụ 11 *Phƣơng pháp giải: Việc giải phương trình logarit phương pháp tương tự phương trình mũ Sau đây, xét ví dụ nhỏ nhằm làm sáng tỏ ý tưởng giải toán dạng Ví dụ 2.28 Giải phương trình sau:  log0,04 x   log0,2  Ví dụ 2.29 Giải phương trình sau:       log x  x  log5 x  x   log 20 x  x  Ví dụ 2.30 Giải phương trình sau: log  x. x  1   log x.log (x  x)     2.2.4 Phƣơng pháp hàm số *Phƣơng pháp giải:Ta sử dụng tính chất sau: Tính chất 2.3 Nếu hàm f (x) tăng (hoặc giảm) khoảng  a,b  phương trình f (x)  k có không nghiệm khoảng  a,b  Tính chất 2.4 Nếu hàm f (x) tăng khoảng  a,b  hàm g(x) hàm hàm giảm khoảng  a,b  phương trình f (x)  g(x) có nhiều nghiệm thuộc khoảng  a,b  (do tồn x   a,b  : f (x0 )  g(x0 ) nghiệm phương trình f (x)  g(x) ) Tính chất 2.5 12 Nếu hàm f (x) tăng (hoặc giảm) khoảng  a,b  f (u)  f (v)  u  v; u, v   a,b  Sau số ví dụ minh họa Ví dụ 2.31 Giải phương trình sau: lg  x     x Ví dụ 2.32 Giải phương trình sau:  x2  x   log    2x  6x  2x  4x    Ví dụ 2.33 Giải phương trình sau: log2 x  log3  2x  1  log5  7x    2.2.5 Phƣơng pháp đánh giá *Phƣơng pháp giải: Nhiều toán giải cách đánh giá tinh tế dựa các: ● Tính chất hàm logarit ● Bất đẳng thức Sau số ví dụ minh họa Ví dụ 2.34 Giải phương trình sau:     log3  x   log x  2x  Ví dụ 2.35 Giải phương trình sau: 3x  x  log x   log x   Ví dụ 2.36 Giải phương trình sau:   log3 x  x   3log3 x  log9  x  1 Ví dụ 2.37 Giải phương trình: log3 2    x  x  1 13 2.3 HỆ PHƢƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT 2.3.1 Các phép biến đổi tƣơng đƣơng *Phƣơng pháp giải: Sử dụng phương pháp đưa số, mũ hóa logarit hóa biết việc giải phương trình mũ logarit để biến đổi hệ ban đầu hệ dễ dàng giải Sau số ví dụ minh họa x  y4  Ví dụ 2.38 Giải hệ phương trình sau:  x log y  log y x  x  y  Ví dụ 2.39 Giải hệ phương trình sau:  log x  log y  Ví dụ 2.40 ( Đại học Quốc gia khối B năm 95)  xy  y x  32 Giải hệ phương trình sau: 4 log3  x  y    log  x  y  Ví dụ 2.41 (Đại học bách khoa năm 94)  x  log3 y  Giải hệ phương trình sau:  x  2y  y  12  81y   2.3.2 Phƣơng pháp hàm số *Phƣơng pháp giải: Áp dụng phương pháp hàm số phương trình phương trình hệ Kết cho ta hệ phương trình đại số mà ta dễ dàng tìm nghiệm hệ ban đầu Sau số ví dụ minh họa 14 x  y  ex  e y  Ví dụ 2.42 Giải hệ phương trình sau: log x  3log y   2  Ví dụ 2.43 (Đại học Quốc Gia năm 95) x y  2  =  y  x  xy   Giải hệ phương trình sau:  2   x +y =2 Ví dụ 2.44 2x  y 1 2x  y  )5   22x  y 1 (1  Giải hệ phương trình sau:    y  4x   ln(y  2x)  2.3.3 Phƣơng pháp đặt ẩn phụ *Phƣơng pháp giải: Lựa chọn ẩn phụ để biến đổi hệ ban đầu hệ đại số biết( hệ đối xứng, hệ đẳng cấp… ) Sau số ví dụ minh họa 9log2  xy     xy log23  Ví dụ 2.45 Giải hệ phương trình sau:  2  x  1   y  1   x log8 y  ylog8 x  Ví dụ 2.46 Giải hệ phương trình sau:  log x  log y  Ví dụ 2.47 (ĐH Quốc gia TP HCM 97) Giải hệ phương trình sau: 2  log1 x  2y  y  log1 y  2x  x   log  2y  log  2x        x  y      2.3.4 Phƣơng pháp đánh giá *Phƣơng pháp giải: Đối với nhiều toán ta giải cách đánh giá tinh tế dựa trên: 15 + Tam thức bậc hai + Tính chất hàm mũ logarit + Bất đẳng thức ………… Ta nhanh chóng nghiệm hệ biến đổi hệ dạng đơn giản Sau số ví dụ minh họa Ví dụ 2.48 (ĐH Thái Nguyên khối A-1997) x y  e  e   log y  log x  xy  1 Giải hệ phương trình sau:  2  x  y  Ví dụ 2.49 (Đại học kinh tế TP.HCM năm 99)   x  y   log y  log x   xy  Giải hệ phương trình sau:  3   x  y  16 Ví dụ 2.50  2x.3y2 1  2x  2x.3y2 1  Giải hệ phương trình sau:  2x.3y 1  CHƢƠNG PHƢƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƢƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT Trong chương này, trình bày số phương pháp giải bất phương trình mũ logarit, toán tổng hợp Các kiến thức 16 trình bày chương tham khảo tài liệu [5], [6], [7] [9] 3.1 BẤT PHƢƠNG TRÌNH MŨ 3.1.1 Phƣơng pháp đƣa số *Phƣơng pháp giải: Sử dụng công thức sau a    f (x)  g(x)  f (x)  a g(x)  a 0  a    f (x)  g(x)  f (x)  a g(x)  a Sau số ví dụ minh họa x 2x 1 Ví dụ 3.1 Giải bất phương trình:    x 1 9 Ví dụ 3.2 (Đại học Giao Thông Vận Tải năm 1998- Cao đẳng Sƣ phạm Nha Trang năm 2002) Giải bất phương trình:  10   x 3 x 1   10   x 1 x 3 Ví dụ 3.3 (Đại học Bách khoa Hà Nội năm 1997) Giải bất phương trình: x  2x 1    3 x  x 1 3.1.2 Phƣơng pháp logarit hóa *Phƣơng pháp giải: Sử dụng công thức sau  a   f (x) a b f (x)  log a b   ● 0  a  b    f (x)  log a b 17 ● af (x) b    f(x) coù nghóa   b  0,a   b    f(x)  loga b    b  0,0  a    f(x)  loga b ● a f (x)  bg(x)  lga f (x)  lg bg(x)  f (x).lga  f (x).lg b sử dụng logarit theo số a hay b Sau số ví dụ minh họa Ví dụ 3.4 Giải bất phương trình: 3x 1  5x 2  3x 2  5x 1 Ví dụ 3.5 (Đại học Sƣ phạm Hà Nội khối B, M, T năm 2001) 2.3x  2x  Giải bất phương trình: 1 3x  2x Ví dụ 3.6 Giải bất phương trình: 49.2x  16.7x 3.1.3 Phƣơng pháp đặt ẩn phụ *Phƣơng pháp giải: Các toán giải bất phương trình mà ta sử dụng phương pháp này, dễ thấy dấu hiệu biểu thức chứa biến lặp lặp lại nhiều lần, khó hơn, ta cần biến đổi khéo léo, chủ yếu đưa hình dạng sơ khai toán, bất phương trình với biểu thức chứa biến lặp lại Cũng có trường hợp toán yêu cầu ta phải đặt thêm nhiều ẩn phụ khác nhằm tạo bất phương trình dễ dàng giải Sau đây, xét ví dụ nhỏ nhằm làm sáng tỏ ý tưởng giải toán dạng 18 Ví dụ 3.7 (Đại học sƣ phạm Hà Nội khối B, D năm 2000) Giải bất phương trình: 32x  8.3x  Ví dụ 3.8  Giải bất phương trình:  21 x 4  9.9   5  x x 4 21  x 0  2x log2 Ví dụ 3.9 Giải bất phương trình: 2x  2x   22x 1  4x  3.1.4 Phƣơng pháp hàm số *Phƣơng pháp giải: Hướng 1: Thực theo bước sau: + Bước 1: Chuyển bất phương trình dạng : f (x)  k + Bước 2: Xét hàm số y  f (x) Dùng lập luận khẳng định hàm số đơn điệu + Bước 3: Nhận xét ● Với x  x  f (x)  f (x )  k , bất phương trình vô nghiệm ● Với x  x  f (x)  f (x )  k , bất phương trình nghiệm Kết luận: Tập nghiệm bất phương trình : T   x ;   Hướng 2: Thực theo bước sau: + Bước 1: Chuyển bất phương trình dạng f (u)  f (v) + Bước 2: Xét hàm số y  f (t) Dùng lập luận khẳng định hàm số đơn điệu + Bước 3: Khi f (u)  f (v)  u  v 19 Sau số ví dụ minh họa Ví dụ 3.10 ( Đại học Y Hà Nội năm 1999 ) Giải bất phương trình: 2.2x  3.3x  6x  Ví dụ 3.11 (Đại học Văn Lang năm 96) 32 x   2x Giải bất phương trình: 0 4x  Ví dụ 3.12 Giải bất phương trình: ex  x 1  e1 x 1  x 1 3.1.5 Phƣơng pháp đánh giá *Phƣơng pháp giải: Đối với nhiều bất phương trình, ta giải cách đánh giá tinh tế dựa trên: ● Tam thức bậc hai ● Tính chất hàm mũ ● Các bất đẳng thức như: côsi, bunhiacopxki… ● Tính chất giá trị tuyệt đối Ta nhanh chóng nghiệm bất phương trình Sau số ví dụ minh họa Ví dụ 3.13 Giải bất phương trình: 5x 1    x  5x 1  Ví dụ 3.14 2 Giải bất phương trình: 2sin x  2cos x   sin x+cos x  Ví dụ 3.15 Giải bất phương trình: 4x  2x 1  4x  3.2 BẤT PHƢƠNG TRÌNH LOGARIT 3.2.1 Phƣơng pháp đƣa số mũ hóa *Phƣơng pháp giải: Ta có công thức sau 20  a   0  f (x)  g(x)  log a f (x)  log a g(x)    0  a    f (x)  g(x)  0  a  f (x)    g(x)   a  1  f (x)  g(x)     a   b 0  f (x)  a  log a f (x)  b    0  a   f (x)  a b   a   b f (x)  a  log a f (x)  b    a      0  f (x)  a b  Sau số ví dụ minh họa Ví dụ 3.16 (Đại học khối B năm 2008)  x2  x  Giải bất phương trình: log 0,7  log 0 x4   Ví dụ 3.17 (Cao đẳng sƣ phạm Bắc Ninh năm 2004) log  x  3  log  x  3 Giải bất phương trình: x 1 0 Ví dụ 3.18 (Đại học Bách Khoa Hà Nội năm 1998) Giải bất phương trình: 21 log3 x  5x   log x   log  x  3 3 3.2.2 Phƣơng pháp đặt ẩn phụ *Phƣơng pháp giải: Việc giải bất phương trình logarit phương pháp tương bất phương trình mũ Sau số ví dụ minh họa Ví dụ 3.19 (Đại học ngoại thƣơng khối D năm 1998) Giải bất phương trình: log2 x  log3 x   log x.log3 x Ví dụ 3.20 Giải bất phương trình: log32 x  log 8x .log3 x  log x  Ví dụ 3.21 Giải bất phương trình: log3 x.log x  2log3 x  log x 3.2.3 Phƣơng pháp đánh giá *Phƣơng pháp giải: Đối với nhiều bất phương trình, ta giải cách đánh giá tinh tế dựa trên: ● Tam thức bậc hai ● Tính chất hàm logarit ● Các bất đẳng thức như: côsi, bunhiacopxki… ● Tính chất giá trị tuyệt đối Ta nhanh chóng nghiệm Sau số ví dụ minh họa Ví dụ 3.22 Giải bất phương trình:   log x    log   8  x 1    22 Ví dụ 3.23 (Đại học Sƣ phạm I-91) Giải bất phương trình:   log 1  cos 2x   log3  log sin x  3 Ví dụ 3.24 Giải bất phương trình:  5x  3x log5 x  4x  11  log11 x  4x  11         3.2.4 Phƣơng pháp hàm số *Phƣơng pháp giải: ● Dạng 1: f (x)  f (k) với k số Xét hàm số y  f (x) Dùng lập luận để khẳng định hàm số f đơn điệu + Nếu hàm số f đồng biến D f (x)  f (k)  x  k + Nếu hàm số f nghịch biến D f (x)  f (k)  x  k ● Dạng 2: f (u)  f (v) Xét hàm số y  f (x) Dùng lập luận để khẳng định hàm số f đơn điệu + Nếu hàm số f đồng biến D f (u)  f (v)  u  v + Nếu hàm số f nghịch biến D f (u)  f (v)  u  v Sau số ví dụ minh họa Ví dụ 3.25     Giải bất phương trình: log 2x   log3 4x   Ví dụ 3.26 Giải bất phương trình : 2x.log2 x x 1  40.2x 2   x  1.log x  40 23 2x  Ví dụ 3.27 Giải phương trình: log  x  1  2x  6x  3.3 CÁC BÀI TOÁN TỔNG HỢP Trong mục này, ta tìm hiêu số ví dụ tổng hợp phương trình, bất phương trình, hệ phương trình mũ logarit liên quan đến dạng toán nêu Ví dụ 3.28 Giải phương trình sau:  4x.log x  Ví dụ 3.29 (Tuyển tập 45 năm tạp chí Toán học tuổi trẻ) Cho a, b  Chứng minh phương trình: loga4 y  logb4 x  3log b2 x.loga2 y  8loga y.log b   16 loga2 y  log b2 x  80  có nghiệm đặt  x1; y1  ,  x ; y2  x1  x  y1  y2  Ví dụ 3.30 Tìm tất số thực  x; y  thỏa mãn đồng thời x  2x 3 log3  y4    y  y    y  3  Ví dụ 3.31 Chứng minh phương trình  x  1  x x 1 có x nghiệm dương Ví dụ 3.32 Giải phương trình: 2x log x  22 log x Ví dụ 3.33 Tìm tất giá trị a để bất phương trình sau nghiệm với x: a.9x   a  1 3x   a   Ví dụ 3.34 (Học sinh giỏi TP.Hà Nội 2005) 2 cos x Giải phương trình: 2 sin x x   3   2 Ví dụ 3.35 Giải phương trình sau: log 2x 4  log3x 9  log5x 25 x 9 4    2 24        log x  log3 x  log5 x   KẾT LUẬN Luận văn “Một số phương pháp giải phương trình, bất phương trình mũ logarit” thực mục tiêu nhiệm vụ đề ra, cụ thể luận văn đạt nội dung sau: Hệ thống số phương pháp giải phương trình, bất phương trình mũ logarit Đối với phương pháp, giới thiệu phương pháp giải chung kèm theo nhiều ví dụ minh họa Dựa vào phương pháp giải phương trình mũ logarit giải số hệ phương trình mũ logarit tương ứng Các kết đạt luận văn khiêm tốn góp phần giúp thân tìm hiểu làm rõ số vấn đề liên quan toán giải phương trình, bất phương trình mũ logarit Mặc dù thân cố gắng nhiều trình làm luận văn, nhiên thời gian lực hạn chế nên không tránh khỏi thiếu sót luận văn Rất mong quý thầy cô bạn đọc góp ý để luận văn hoàn thiện ... tài: Một số phương pháp giải phương trình, bất phương trình mũ logarit làm đề tài cho luận văn nhằm hệ thống kiến thức phương trình, bất phương trình mũ logarit kết hợp với kiến thức đại số, giải. .. văn Một số phương pháp giải phương trình, bất phương trình mũ logarit thực mục tiêu nhiệm vụ đề ra, cụ thể luận văn đạt nội dung sau: Hệ thống số phương pháp giải phương trình, bất phương trình. .. phương trình mũ logarit Đối với phương pháp, giới thiệu phương pháp giải chung kèm theo nhiều ví dụ minh họa Dựa vào phương pháp giải phương trình mũ logarit giải số hệ phương trình mũ logarit tương