Chinh phục HÌNH KHÔNG GIAN (Pro-S) – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 Tài liệu giảng (Chương trình Pro-S) KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG – P2 Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN DẠNG KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG BẤT KÌ Ví dụ 1: [ĐVH] Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vuông cân C có BC = AC = 3a Hình chiếu vuông góc đỉnh S mặt đáy trung với điểm H cho HC = HA , biết tam giác SAC tam giác vuông S Tính khoảng cách đường thẳng SB AC Lời giải: Ta có: AC = 3a ⇒ HA = a; HC = 2a Lại có ∆SAC vuông tai S có đường cao SH nên ta có: SH = HA = HC = 2a ⇒ SH = a Dựng Bx / / AC , dựng HE ⊥ Bx , HF ⊥ SE Ta có Bx ⊥ SH ⇒ BE ⊥ ( SHE ) ⇒ BE ⊥ HF Mặt khác HF ⊥ SE ⇒ H F ⊥ ( SBE ) Do Bx / / AC ⇒ d ( SB; AC ) = d ( AC ; ( SBE ) ) = d ( H ; ( SBE ) ) = HF 1 = + , HE = BC = 3a suy 2 HF SH HE 3a 22 3a 22 HF = ⇒ ( SB; AC ) = 11 22 Lại có: Ví dụ 2: [ĐVH] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, tam giác SAB tam giác cạnh 2a thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy , biết mặt phẳng ( SCD ) tạo với đáy góc 600 Tính khoảng cách đường thẳng SA BD Lời giải: Gọi H trung điểm AB ta có AH ⊥ AB , mặt khác ( SAB ) ⊥ ( ABCD ) nên SH ⊥ ( ABCD ) Dựng HK ⊥ CD ⇒ CD ⊥ ( SHK ) ⇒ SKH = 600 Ta có: SH = a , mặt khác HK tan 600 = SH Suy HK = a ; SA = AB = 2a Dựng Ax / / BD , dựng HE ⊥ Ax , HF ⊥ SE Ta có Ax ⊥ SH ⇒ AE ⊥ ( SHE ) ⇒ AE ⊥ HF Mặt khác HF ⊥ SE ⇒ H F ⊥ ( SAE ) Do Ax / / ABD ⇒ d ( SA; BD ) = d ( BD; ( SAE ) ) = d ( B; ( SAE ) ) = 2d ( H ( SAE ) ) = HF Dựng HM ⊥ BD; AN ⊥ BD ta có: AB AD 2a HE = HM = AN = = AB + AD Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2017! Chinh phục HÌNH KHÔNG GIAN (Pro-S) – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Khi đó: Facebook: Lyhung95 1 3 = + ⇒ HF = 2a ⇒ d = 4a 2 HF SH HE 19 19 Ví dụ 3: [ĐVH] Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông B, AB = a, BC = 2a , cạnh SA = 2a SA ⊥ ( ABC ) Gọi M , N trung điểm AB, SC a) Chứng minh MN ⊥ AB b) Tính khoảng cách AB, SC Lời giải:  BC ⊥ AB a) Ta có:  ⇒ SB ⊥ BC  SA ⊥ BC Khi ta có: BN = AN = SC ( tính chất trung tuyến tam giác vuông) Do tam giác NAB cân N có trung tuyến NM suy MN ⊥ AB ( dpcm ) b) Kẻ Cx / / AB ⇒ d ( AB; SC ) = d ( AB; SCx ) = d ( A; ( SCx ) ) CE ⊥ AE Dựng AE ⊥Cx; AF ⊥ SE Do  ⇒ CE ⊥ AF từ CE ⊥ SA suy AF ⊥ ( SCE ) Ta có: AE = BC = 2a AE.SA Do d ( AB; SC ) = AF = =a AE + SA2 Ví dụ 4: [ĐVH] Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vuông cạnh a Tam giác SAD nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Tính khoảng cách cặp đường thẳng sau: a) AC SB b) AD SB Lời giải a) Gọi H trung điểm AD ta có SH ⊥ AD Mặt khác ( SAD ) ⊥ ( ABCD ) ⇒ SH ⊥ ( ABCD ) a Dựng Bx / / AC ⇒ d ( AC ; SB ) = d ( AC ; ( SBx ) ) Trong SH = S A.sin 600 = Gọi G = AO ∩ BH ⇒ G trọng tâm tam giác ABD Khi d ( AC ; ( SBx ) ) = d ( G; ( SBx ) ) = d ( H ; ( SBx ) )  BE ⊥ HE Dựng HE ⊥Bx; HF ⊥ SE Do  ⇒ BE ⊥HF  BE ⊥ SH từ suy HF ⊥ ( SBE ) Gọi K = AO ∩ HE ta có: 3OB 3a HE = HK + KE = OD + OB = = 2 2 3a 9a ⇒ d ( AC ; SB ) = 5 SH + HE Ví dụ 5: [ĐVH] Cho hình lăng trụ đứng ABC A′B′C ′ có đáy ABC tam giác cân A, BAC = 1200 , AB = BB′ = a Tính khoảng cách cặp đường thẳng sau: a) BB′ AC Khi HF = SH HE 2 = Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2017! Chinh phục HÌNH KHÔNG GIAN (Pro-S) – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 b) BC AC ′ Lời giải: a) Ta có: BB '/ / CC ' ⇒ BB '/ / ( ACC ') d ( BB '; AC ) = d ( BB '; ACC ') Dựng BE ⊥ AC , mặt khác BE ⊥ CC ' suy BE ⊥ ( ACC ') ⇒ d ( BB '; ( ACC ') ) = BE a b) Dựng Ax / / BC ⇒ d ( BC ; C ' A) = d ( BC ; ( CAx ) ) Mặt khác BE = BA sin BAE = BA sin 600 = = d ( C ; ( C ' Ax ) )  AE ⊥ CE Dựng CE ⊥ Ax; AF ⊥ C ' E Do   AE ⊥ CC ' ⇒ AE ⊥CF từ suy CF ⊥ ( C ' AE ) Trong CE = d ( A; BC ) = AB sin ABC = Do CF = CE.CC ' CE + CC ' 2 = a a a ⇒ d ( BC ; AC ') = 5 Ví dụ 6: [ĐVH] Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, đáy ABCD hình chữ nhật với AB = a; AD = a 3, tam giác SAB nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi H trung điểm AB Tính khoảng cách a) từ A tới mặt phẳng (SBD) b) hai đường SH CD c) hai đường SH AC d) hai đường SB CD e) hai đường BC SA f) hai đường SC BD Lời giải: a) Ta có: AB = HB ⇒ d ( A; ( SBD ) ) = 2d ( H ; ( SBD ) ) Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2017! Chinh phục HÌNH KHÔNG GIAN (Pro-S) – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 Kẻ HE ⊥ BD ( E ∈ BD ) HI ⊥ SE ( I ∈ SE ) BD ⊥ ( SHE ) ⇒ BD ⊥ HI ⇒ HI ⊥ ( SBD ) ⇒ d ( H ; ( SBD ) ) = HI Ta có: 1 1 = + = + 2 2 HI SH HE SH HB.sin HBE ( ) = 3 20 ⇒ HI = a ⇒ d ( A; ( SBD ) ) = a 3a 20 b) Kẻ HK ⊥ CD ( K ∈ CD ) ⇒ HK ⊥ SH ⇒ d ( SH ; CD ) = HK = a c) Kẻ HF ⊥ AC ( F ∈ AC ) ⇒ HF ⊥ SH ⇒ d ( SH ; AC ) = AH sin HAF = d) d ( SB; CD ) = d ( CD; ( SAB ) ) = CB = a a e) d ( BC ; SA) = d ( BC ; ( SAD ) ) = BA = a f) Qua C kẻ đường thẳng song song với BD cắt HE L Kẻ EM ⊥ SL ( M ∈ SL ) EG / / SH ( G ∈ SL ) Ta có: d ( BD; SC ) = d ( BD; ( SLC ) ) = d ( E; ( SLC ) ) = EM EL = CD.sin CDE = a a 1 ⇒ = 2+ = ⇒ EM = a ; EG = SH = 2 EM EL EG 3a Ví dụ 7: [ĐVH] Cho hình chóp tam giác SABC, đáy ABC tam giác cạnh 2a Gọi I trung điểm BC, hình chiếu vuông góc S lên mặt phẳng (ABC) điểm H thuộc đoạn AI cho AH = HI Biết góc SC mặt đáy 600 Tính khoảng cách a) từ M tới mặt phẳng (SAI), với M trung điểm SC b) hai đường SA BC c) hai đường SB AM, với M trung điểm SC Lời giải: Hướng dẫn: Ta tính được: AI = a → AH = a 3 SH ⊥ ( ABC ) ⇒ ( SC; ( ABC ) ) = SCH = 60o Tam giác HCI vuông I nên: HC = IC + HI = a 21 → SH = tan 60o HC = a a) Từ M tới mặt phẳng (SAI), với M trung điểm SC Từ M kẻ MF / / SA ( → AF=FC ) ⇒ MF / / ( SAI ) ⇒ d ( M ; ( SAI ) ) = d ( F; ( SAI ) ) Kẻ FJ ⊥ AI ⇒ FJ / / CI ( FJ đường trung bình tam giác ACI)  FJ ⊥ AI a ⇒ FJ ⊥ ( SAI ) → d ( F ; ( SAI ) ) = FJ = CI = 2  FJ ⊥ SH Ta có:  b) Khoảng cách hai đường SA BC Từ A kẻ AD / / BC AD = BC ⇒ BC / / ( SAD ) Khi d ( SA;BC ) = d ( BC; ( SAD ) ) = d ( I ,( SAD ) ) = 3d ( H ; ( SAD ) ) Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2017! Chinh phục HÌNH KHÔNG GIAN (Pro-S) – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 AD ⊥ ( SHA ) → AD ⊥ HK   ⇒ HK ⊥ ( SAD ) → d ( H ,( SAD ) ) = HK = a 22 HK ⊥ SA Vậy d ( SA; BC ) = 3a 22 Kẻ HK ⊥ SA ta có: c) Khoảng cách hai đường SB AM, với M trung điểm SC Kẻ BE / / AI ( E ∈ AD )  AM ∈ ( AMI ) → SB / / ( AMI )  Ta có: MI / / SB ⇒ ( SBE ) / / ( AMI )   BE / / AI → BE / / ( AMI ) ⇒ d ( SB; AM ) = d ( ( SBE ) ; ( AMI ) ) = d ( H ,( SBE ) ) Kẻ HN ⊥ BE ( N ∈ BE ) ; HO ⊥ SN ( O ∈ SN )  HN ⊥ BE → BE ⊥ ( SHN ) → BE ⊥ HO → HO ⊥ ( SBE ) → d ( H ,( SBE ) ) = HO = a BE ⊥ SH 15  Lại có:  Ví dụ 8: [ĐVH] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB = a ; AD = 2a Biết tam giác SAB tam giác cân S có diện tích a2 Gọi H trung điểm AB Tính khoảng cách a) từ A đến (SBD) b) hai đường thẳng SH BD c) hai đường thẳng BC SA Lời giải: Hướng dẫn: a)Khoảng cách từ A đến (SBD) Tam giác SAB cân S, H trung điểm AB nên SH ⊥ AB ⇒ SH ⊥ ( ABCD ) Ta có: d ( A; ( SBD ) ) = 2d ( H ; ( SBD ) )  HE ⊥ BD Kẻ HE ⊥ BD →  → BD ⊥ ( SHE ) → BD ⊥ HI  SH ⊥ BD Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2017! Chinh phục HÌNH KHÔNG GIAN (Pro-S) – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95  BD ⊥ HI Lại có:  → HI ⊥ ( SBD ) → d ( H ; ( SBD ) ) = HI  HI ⊥ SE a a Dễ dàng tính được: SH = ; HE = HB.sin ABD = 3 1 a 2a Xét tam giác vuông SHE có: = + ⇔ HI = → d ( A; ( SBD ) ) = 2 3 HI HE SH b) Khoảng cách hai đường thẳng SH BD Kẻ HF / / BD ( F ∈ AD ) Lại có: HF ∈ ( SHF ) → BD / / ( SHF ) ⇒ d ( SH ; BD ) = d ( BD; ( SHF ) ) = HE = a 3 c) Khoảng cách hai đường thẳng BC SA Ta có: BC / / ( SAD ) → d ( BC;SA) = d ( BC; ( SAD ) ) = d ( B; ( SAD ) ) = 2d ( H ,( SAD ) ) Kẻ HK ⊥ SA ( K ∈ SA ) Khi đó: AD ⊥ ( SHA ) → AD ⊥ HK   → HK ⊥ ( SAD ) HK ⊥ SA → d ( H ; ( SAD ) ) = HK = a 2a → d ( BC; SA) = 5 Thầy Đặng Việt Hùng Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2017! ... trung điểm AB Tính khoảng cách a) từ A tới mặt phẳng (SBD) b) hai đường SH CD c) hai đường SH AC d) hai đường SB CD e) hai đường BC SA f) hai đường SC BD Lời giải: a) Ta có: AB = HB ⇒ d ( A; ( SBD... góc SC mặt đáy 600 Tính khoảng cách a) từ M tới mặt phẳng (SAI), với M trung điểm SC b) hai đường SA BC c) hai đường SB AM, với M trung điểm SC Lời giải: Hướng dẫn: Ta tính được: AI = a → AH =... giác cân S có diện tích a2 Gọi H trung điểm AB Tính khoảng cách a) từ A đến (SBD) b) hai đường thẳng SH BD c) hai đường thẳng BC SA Lời giải: Hướng dẫn: a)Khoảng cách từ A đến (SBD) Tam giác SAB