Chinh phục HÌNH KHÔNG GIAN (Pro-S) – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 Tài liệu giảng (Chương trình Pro-S) KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG – P1 Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN DẠNG KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC Ví dụ 1: [ĐVH] Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi cạnh 2a , tam giác ABC đều, hai mặt phẳng ( SAB ) ( SAC ) vuông góc với đáy mặt phẳng ( SBC ) tạo với đáy góc 600 Tính khoảng cách đường thẳng sau: a) SA BD b) BD SC Lời giải: ( SAB ) ⊥ ( ABC ) a) Ta có:  ⇒ SA ⊥ ( ABC ) ( SAC ) ⊥ ( ABC )  AI ⊥ BD Gọi I tâm hình thoi ta có:   SA ⊥ AI nên AI đường vuông góc chung ta có: AC d ( SA; BD ) = AI = =a  BD ⊥ SA b) Ta có:  ⇒ BD ⊥ ( SAC )  BD ⊥ AC Dựng IK ⊥ SC ta có IK đường vuông góc chung BD SC Dựng AE ⊥ BC , ta có BC ⊥ SA ⇒ BC ⊥ ( SAE ) ⇒ SEA = 600 Do ∆ABC nên AE = AB sin 600 = a Suy SA = AE tan 600 = 3a AF 1 6a Khi dựng AF ⊥ SC suy IK = Mặt khác = 2+ ⇒ AF = 2 AF SA AC 13 3a Do d ( SC ; BD ) = 13 Ví dụ 2: [ĐVH] Cho khối chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật ABCD có AB = 2a; AD = a , hình chiếu vuông góc S mặt đáy trung điểm H AB Biết SC tạo với đáy góc 600 , tính khoảng cách đường thẳng SD HC Lời giải: Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2017! Chinh phục HÌNH KHÔNG GIAN (Pro-S) – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 Ta có H trung điểm AB nên HA = HB = a Khi HC = HB + BC = a Lại có SCH = 600 ⇔ SH = HC tan 600 = a Dễ thấy HD = HC = a 2; CD = AB = 2a nên tam CH ⊥ DH giác DHC vuông cân H ta có  suy CH ⊥ SH CH ⊥ ( SHD ) , dựng HK ⊥ SD suy HK đường vuông góc cung HC SD 1 a = + ⇒ HK = Ta có : 2 HK HD SH a Vậy d = Ví dụ 3: [ĐVH] Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vuông cạnh a Hai mặt phẳng ( SAB ) ( SAD ) vuông góc với đáy Biết góc SB mặt phẳng đáy 600 Tính: a) Khoảng cách hai đường thẳng BC SA , AD SB b) Khoảng cách hai đường thẳng BD SC Lời giải: ( SAB ) ∩ ( SAD ) = SA a) Ta có  ( SAB ) , ( SAD ) ⊥ ( ABCD ) ⇒ SA ⊥ ( ABCD ) ( SB, ( ABCD ) ) = SBA = 60  AB ⊥ BC Ta có  ⇒ AB = d ( SA, BC ) = a  AB ⊥ SA Kẻ AH ⊥ SB  AD ⊥ SA Ta có  ⇒ AD ⊥ ( SAB ) ⇒ AD ⊥ AH  AD ⊥ AB  SB ⊥ AH ⇒ AH = d ( SB, AD )   AD ⊥ AH Mà AH = AB.sin SBA = a.sin 600 = a a ⇒ d ( SB, AD ) = 2 b) Kẻ Cx / / BD ⇒ d ( BD, SC ) = d ( BD, ( SCx ) ) = d ( O, ( SCx ) ) = d ( A, ( SCx ) ) Kẻ AK ⊥ SC Cx ⊥ SA Ta có  ⇒ Cx ⊥ ( SAC ) ⇒ Cx ⊥ AK mà AK ⊥ SC ⇒ AK ⊥ ( SCx ) ⇒ AK = d ( A, ( SCx ) ) Cx ⊥ AC Ta có SA = AB tan SBA = a tan 600 = a , AC = Xét ∆SAC : AB + BC = a + a = a 1 1 a a = + = + = ⇒ AK = ⇒ d ( BD, SC ) = 2 AK AS AC 3a 2a 6a 5 Ví dụ 4: [ĐVH] Cho tứ diện ABCD có cạnh a Gọi M , N , P, Q trung điểm AB, CD, AD, AC a) Chứng minh MN ⊥ PQ Tính khoảng cách hai đường thẳng MN , PQ b) Gọi G trọng tâm tam giác BCD Tính khoảng cách hai đường thẳng AG , BC Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2017! Chinh phục HÌNH KHÔNG GIAN (Pro-S) – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 Lời giải: a) Gọi K trung điễm BC , O giao điễm PK MN Ta có MD = MC ⇒ MN ⊥ DC ⇒ MN ⊥ PQ (1) NA = NB ⇒ MN ⊥ AB ⇒ MN ⊥ KQ ( ) Từ (1) , ( ) ⇒ MN ⊥ ( PQK ) Kẻ OH ⊥ PQ Vì MN ⊥ ( PQK ) ⇒ MN ⊥ OH mà OH ⊥ PQ ⇒ OH = d ( MN , PQ ) Ta có PK = AK − AP = a Tam giác PQK cân Q ⇒ QO ⊥ PK a OQ = PQ − OP = 2 1 1 Xét ∆POQ : = + = 2 2 OH OP OQ 4a ⇒ OH = 2a = d ( MN , PQ ) b) G trọng tâm tam giác BCD ⇒ AG ⊥ ( BCD ) GK ⊥ AG Ta có  ⇒ GK = d ( AG, BC ) GK ⊥ BC a a Mà DK = ⇒ GK = DK = = d ( AG, BC ) 3 Ví dụ 5: [ĐVH] Cho hình lập phương ABCDA′B′C ′D′ cạnh a Tính khoảng cách cặp đường thẳng sau: a) AC ′ BD b) AC ′ DA′ Lời giải: a) Gọi O giao điễm AC BD , M trung điễm CC ' Ta có OM / / AC ' ⇒ d ( AC ', BD ) = d ( AC ', ( MBD ) ) = d ( A, ( MBD ) ) = d ( C , ( MBD ) ) Kẻ CH ⊥ MO ⇒ CH = d ( C , ( MBD ) ) Xét ∆OCM : 1 a = + = ⇒ CH = = d ( AC ', BD ) 2 CH CO CM a b) Kẻ AN / / A ' D ⇒ d ( AC ', DA ') = d ( A ' D, ( ANC ') ) = d ( A ', ( ANC ') ) Kẻ A ' E ⊥ C ' N , A ' F ⊥ AE ⇒ A ' F ⊥ ( ANC ') ⇒ A ' F = d ( A ', ( ANC ') ) Xét ∆AEA ' : 1 a = + = ⇒ A' F = = d ( AC ', DA ' ) 2 A' F A' E A' A a Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2017! Chinh phục HÌNH KHÔNG GIAN (Pro-S) – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 Ví dụ 6: [ĐVH] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vuông A B với AB = BC = 2a; AD = 3a Hình chiếu vuông góc S lên mặt phẳng (ABCD) điểm H thuộc AB với AH = HB Biết góc mặt phẳng (SCD) mặt phẳng (ABCD) 600 a) tính góc CD SB b) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD) c) Tính khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SBC) d) Tính khoảng cách hai đường thẳng AD SB e) Tính khoảng cách hai đường thẳng AC SE với E điêm thuộc AD cho AE = a Lời giải: a) Dựng HI ⊥ CD dễ thấy CD ⊥ ( SHI ) Gọi K = AB ∩ CD Ta có : KB = 4a, AB = 2a, AH = a ⇒ KH = 5a HI KH = = ⇒ HI = Ta có: d ( A; CD) KA Mặt khác: HC = , dễ dàng suy I ≡ C (Chú ý: e sử dụng ∆HCD để c/m HCD = 900 , cách tổng quát hơn) SH Xét ∆SHI vuông H ta có: tan SHI = = tan 600 ⇒ SH = 15a HC Dựng BE//CD tính SBE : Xét ∆SBE , SB = 4a , BE = a 5, SE = a 17 ⇒ cos SBE = 6 15 15 b) AK = HK ⇒ d ( A; ( SCD)) = d ( H ; ( SCD)) = a=a 5 5 15 c) Do AD // BC ta có: d ( D;( SBC )) = d ( A;( SBC )) = d ( A; SB ) = 2d ( H ; SB ) = a 15 d) Ta có d ( AD; SB) = d ( AD;( SBC )) = d ( A;( SBC )) = a e) Dễ thấy HE // BJ mặt khác BJ ⊥ AC ( ABCJ hình vuông (CJ//AB)) AC ⊥ HE , AC ⊥ SH ⇒ AC ⊥ ( SEH ) Do d ( AC ; SE ) = d ( N ; SE ) = 1 30 d ( H ; SE ) = a 2 17 Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2017! Chinh phục HÌNH KHÔNG GIAN (Pro-S) – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 Ví dụ 7*: [ĐVH] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AD > AB = 2a Gọi M trung điểm cạnh CD, tam giác SAM cân nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Biết ( SD; ABCD ) = α với cos α = 6a khoảng cách từ A tới mặt phẳng (SCD) 13 a) Tính khoảng cách từ C đến (SAD) b) Tính khoảng cách hai đường thẳng SA DN, với N ∈ BC : CN = BN Lời giải: a) Gọi H trung điểm AM tam giác SAM cân nằm mặt phẳng vuông góc với đáy nên ta có: SH ⊥ AM ⇒ SH ⊥ ( ABCD ) Ta có: d ( A; ( SCD ) ) = 2d ( H ; ( SCD ) ) = HK Khi đó: HK = 3a có SDH = α Đặt SH = h; HM = x có HM = DH = x = Ta có: tan α = Do x = AM SH h 1 = =9 + = HD x x h 9a a 13 9a 13 ;h = ⇒ AD = 3a 14 Khi đó: d ( C ; ( SAD ) ) = 2d ( M ; ( SAD ) ) = 4d ( H ; ( SAD ) ) a Dựng HI ⊥ AD ⇒ HI = CD = , dựng HJ ⊥ SI ta có d ( C ; ( SAD ) ) = HJ = HI SH SH + HI = 126 13 4226    b) Lại có : AM DN =  AD + AB  AB + AD  = AD − AB =    Do đó: AM ⊥ DN , gọi F = DN ∩ AM dựng FG ⊥ SA ta có FG đường vuông góc chung DN SA Ta có: AF AM = AD ⇒ AF = 9a 13 13 9a 14 13 = 81a Khi đó: SH AF = FG.SA ⇔ FG = 2 3289 h + AH Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2017! ... đáy hình vuông cạnh a Hai mặt phẳng ( SAB ) ( SAD ) vuông góc với đáy Biết góc SB mặt phẳng đáy 600 Tính: a) Khoảng cách hai đường thẳng BC SA , AD SB b) Khoảng cách hai đường thẳng BD SC ... điểm AB, CD, AD, AC a) Chứng minh MN ⊥ PQ Tính khoảng cách hai đường thẳng MN , PQ b) Gọi G trọng tâm tam giác BCD Tính khoảng cách hai đường thẳng AG , BC Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E:... phẳng (SCD) c) Tính khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SBC) d) Tính khoảng cách hai đường thẳng AD SB e) Tính khoảng cách hai đường thẳng AC SE với E điêm thuộc AD cho AE = a Lời giải: a) Dựng HI ⊥