II Biện pháp 2: Dạy học theo dạng tập - Tái kiến thức SGK Định lí Vi-et ứng dụng Định lí Vi-et: • Định lí Vi-ét NÕu x1 , x2 l hai nghiệm ca phơng trình ax + bx + c = ( a ≠ ) th× x1 + x2 = − c b vµ x1.x2 = a a • TÝnh nhÈm nghiƯm: NÕu a + b + c = phơng trình ax + bx + c = ( a ≠ ) cã c¸c nghiƯm c a NÕu a - b + c = phơng trình ax + bx + c = ( a ≠ ) cã nghiệm x1 =1, x2 = x1 = 1, x2 = c a ã Tìm số biÕt tỉng vµ tÝch cđa chóng: NÕu hai sè cã tổng bng S tích bng P hai s ú hai nghiệm phơng trình: x Sx + P = Điều kiện để có hai số S − P ≥ - Hướng dẫn lưu ý cho học sinh tốn có chứa tham số phân loại dạng tập tốn đưa toán bậc hai quen thuộc học sinh - Phân tích nhận biết dấu hiệu chung, nhận biết tính chất để làm xuất hệ thức có chứa dấu hiệu cần tìm - Trong q trình tìm tịi giải tập hướng dẫn phân loại cho em số dạng tập có ứng dụng Định lí Vi-et như: Nhẩm nghiệm phương trình bậc hai 1.1 Dạng đặc biệt: Phương trình bậc hai có nghiệm – Cách làm: Xét tổng a + b + c a – b + c Ví dụ 1: Nhẩm nghiệm phương trình sau: a) 3x + x − 11 = b) x + x + = Giải: a) Ta có: a + b + c = + + (−11) = nên phương trình có nghiệm x1 = , nghiệm lại x = − c 11 = a b) Ta có: a − b + c = − + = nên phương trình có nghiệm x1 = −1 , nghiệm lại x = c = a Bài tập áp dụng: Bài 1: Tìm nghiệm phương trình: a) x + 24 x + 19 = b) x − (m + 5) x + m + = 1.2 Cho phương trình bậc hai, có hệ số chưa biết, cho trước nghiệm, tìm nghiệm cịn lại hệ số chưa biết phương trình: Ví dụ 2: a) Phương trình x − px + = có nghiệm 2, tìm p nghiệm cịn lại phương trình b)Phương trình x + x + q = có nghiệm 5, tìm q nghiệm cịn lại phương trình b) Phương trình x − x + q = biết hiệu hai nghiệm 11 Tìm q hai nghiệm phương trình c) Phương trình x − qx + 50 = có hai nghiệm nghiệm gấp đơi nghiệm kia, tìm q hai nghiệm Phân tích: - Câu a b ta làm sau: + Thay giá trị nghiệm vào phương trình để tìm hệ số p q + Áp dụng định lí Vi-et viết hệ thức liên hệ hai nghiệm (tổng tích hai nghiệm) để tính nghiệm cịn lại Giải: a) Thay x1 = vào phương trình ta − p + = ⇒ 9− 4p = ⇒ p = 9 Phương trình cho trở thành x − x + = 5 9 Từ x1 x = ⇒ x2 = x = ( x1 + x2 = ⇒ x = − x1 = − = ) 2 2 Câu b tương tự - Câu c d: vai trị hai nghiệm nên ta làm sau: + Viết hệ thức liên hệ hai nghiệm theo đề kết hợp với hệ thức Định lí Vi-et để tìm nghiệm + Tìm hệ số chưa biết Giải: Giả sử hai nghiệm phương trình x1 , x có vai trị c) Theo đề ta có x1 − x = 11 Theo định lí Vi-et ta có x1 + x =  x1 − x = 11 ta x1 = 9, x = −2  x1 + x = Giải hệ phương trình  q = x1 x = 9(−2) = −18 d) Ta có x1 = 2x2 Theo định lí Vi-et ta có x = 2 x1 x = 50 ⇒ x = 50 ⇔ x = 25 ⇔   x = −5 Với x = x1 = 10 , q = x1 + x = 10 + = 15 Với x = −5 x1 = −10 , q = x1 + x = (- 10) + (- 5) = - 15 Bài tập áp dụng: Bài 2: Xác định m tìm nghiệm cịn lại phương trình a) x + mx − 35 = biết nghiệm – b) x − (m + 4) x + m = biết nghiệm – c) mx − 2(m − 2) x + m − = biết nghiệm Lập Phương trình bậc hai 2.1.Lập phương trình bậc hai biết hai nghiệm Ví dụ 3: Lập phương trình bậc hai chứa hai nghiệm Giải: S = x1 + x = + =  P = x1 x = 3.2 = Theo Định lí Vi-et ta có  Vậy hai nghiệm phương trình: x − Sx + P = hay x − x + Bài tập áp dụng: Bài 3: Lập phương trình bậc hai có nghiệm là: a) -3 b) 36 – 104 c) + − d) + 2+ 2.2.Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thoả mãn biểu thức chứa hai nghiệm phương trình cho trước Ví dụ 4: Cho phương trình x − 3x + = có hai nghiệm x1 ; x 1 Hãy lập phương trình bậc hai có nghiệm y1 = x + x ; y = x1 + x - Nhận xét: toán dạng có hai giải: Cách 1: + Tính trực tiếp y1 ; y cách: Tìm nghiệm x1 ; x phương trình cho thay vào biểu thức tính y1 ; y Phương trình x − 3x + = có a + b + c = + (−3) + = nên phương trình có hai nghiệm x1 = 1; x = 1 1 Ta có y1 = x + x = + = 3; y = x1 + x = + = 2 + Lập phương trình bậc hai biết hai nghiệm y1 ; y (dạng 2.1) = 2 P = y1 y = = 2 S = y1 + y = + 9 Phương trình cần lập có dạng: y − Sy + P = hay y − y + = ( y − y + = ) Cách 2: Khơng tính y1 ; y mà áp dụng Định lí Vi-et tính S = y1 + y ; P = y1 y sau lập phương trình bậc hai có nghiệm y1 ; y Theo Định lí Vi-et ta có: S = y1 + y = x + ( x2 + 1 x + x2 1  + x1 + = ( x1 + x ) +  +  = ( x1 + x ) + = 3+ = x1 x2 x1 x 2  x1 x  1 1 ).( x1 + ) = x1 x + + + = +1+1+ = x1 x2 x1 x 2 9 Phương trình cần lập có dạng: y − Sy + P = hay y − y + = ( y − y + = ) * Lưu ý: Có toán với nội dung phương trình ban đầu khơng nhẩm nghiệm dễ dàng có nghiệm vơ tỉ việc tính nghiệm x1 ; x tính y1 ; y phức tạp Ví dụ 5: Cho phương trình 3x + x − = có hai nghiệm x1 ; x Hãy lập phương 1 trình bậc hai có nghiệm y1 = x1 + x ; y = x2 + x Nhận xét: - Nếu làm theo Cách 1: Phương trình 3x + x − = có ∆ = − 4.3.(−6) = 97 nên có hai nghiệm vô tỉ là: x1 = − + 97 − − 97 ;x = 6 Việc tính y1 ; y , S, P phức tạp nhiều thời gian y1 = x1 + 6 = ; y = x2 + = x + 97 x1 − 97 S = y1 + y = − ; P = y1 y = − 5 Phương trình cần lập: y − Sy + P = hay y + y − = ( hay y + y − = ) - Cách thích hợp phương trình ban đầu có nghiệm x1 ; x hữu tỉ nên chọn Cách để việc tính tốn đơn giản nhanh hơn, cụ thể: Theo Định lí Vi-et, ta có: −   x + x 1 1 5 S = y1 + y = x1 + + x + = ( x1 + x ) +  +  = ( x1 + x ) + =− + =− x2 x1 x1 x −2  x1 x  P = y1 y = ( x1 + 1 1 ).( x + ) = x1 x + + + = −2 + + + =− x2 x1 x1 x −2 Phương trình cần lập: y − Sy + P = hay y + y − = (hay y + y − = ) Bài tập áp dụng: Bài : Cho phương trình x − x − = có hai nghiệm x1 ; x Hãy lập phương trình bậc hai có nghiệm y1 = x1 ; y = x Bài : Cho phương trình x − x − = có hai nghiệm x1 ; x Hãy lập phương trình bậc hai có nghiệm y1 = x1 − 3; y = x2 − Bài : Lập phương trình bậc hai có nghiệm nghịch đảo nghiệm phương trình x + mx − Bài : Cho phương trình x − x − m = có hai nghiệm x1 ; x Hãy lập phương trình bậc hai có nghiệm y1 = x1 − 1; y = x − Bài : Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm x1 ; x thỏa mãn  x1 − x =  3  x1 − x = 26 Hướng dẫn: - Giải hệ phương trình tìm x1 ; x - Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm x1 ; x tìm Tìm hai số biết tổng tích chúng Ví dụ 6: Tìm hai số a b biết S = a + b = - 3, P = ab = - Giải: Hai số a b nghiệm phương trình x + 3x − = Giải phương trình ta x1 = 1; x = −4 Vậy a = b = - 4; a = - b = * Lưu ý: khơng phải lúc ta tìm hai số thỏa mãn u cầu đề Ví dụ 7: Tìm hai số a b biết S = a + b = 3, P = ab = Giải: Hai số a b nghiệm phương trình x − 3x + = ∆ = − 4.1.6 = − 24 = −15 < Phương trình vơ nghiệm nên khơng tồn hai số a b thỏa mãn đề * Lưu ý: Với trường hợp ta nhận xét S − P = − 4.6 = − 24 = −15 < nên không tồn hai số a b thỏa mãn yêu cầu đề mà chưa cần lập phương trình Bài tập áp dụng: Bài : Tìm hai số biết tổng S = tích P = 20 Bài 10: Tìm hai số x, y biết: a) x + y = 11; xy = 28 b) x – y = 5; xy = 66 Bài 11: Tìm hai số x, y biết: x + y = 25; xy = 12 Dạng toán biểu thức liên hệ nghiệm phương trình bậc hai * Cách biến đổi số biểu thức thường gặp: x12 + x2 = ( x12 + x1 x2 + x2 ) − x1 x2 = ( x1 + x2 ) − x1 x2 x13 + x2 = ( x1 + x2 )( x12 − x1 x2 + x2 ) = ( x1 + x2 ) ( x1 + x2 ) − 3x1 x2  x14 + x2 = ( x12 ) + ( x2 ) = ( x12 + x2 ) − x12 x2 = [( x1 + x2 ) − x1 x2 ] − x12 x2 1 x + x2 + = x1 x2 x1 x2 Và tương tự học sinh biến đổi nhiều biểu thức theo S = x1 + x2 ; P = x1 x2 4.1 Tính giá trị biểu thức chứa nghiệm Với dạng toán ta khơng giải phương trình để tìm nghiệm mà biến đổi biểu thức cần tính giá trị theo tổng tích nghiệm, sau áp dụng Định lí Vi-et để tính Ví dụ 8: Cho phương trình x − x + 15 = có hai nghiệm x1 ; x2 tính 1 x b) x + x a) x12 + x2 x c) x + x Giải: b a c a Ta có x1 + x2 = − = 8; x1 x2 = = 15 2 2 a) x1 + x2 = ( x1 + x2 ) − x1 x2 = − 2.15 = 64 − 30 = 34 b) 1 x + x2 + = = x1 x2 x1 x2 15 x1 x2 x12 + x2 34 = c) + = x2 x1 x1 x2 15 Nhận xét: Với dạng ta khơng cần giải phương trình để tìm nghiệm Bài tập áp dụng: Bài 12 : Cho phương trình x − 72 x + 64 = có hai nghiệm x1 ; x2 tính a) x12 + x2 1 b) x + x Bài 13 : Cho phương trình x − 14 x + 29 = có hai nghiệm x1 ; x2 tính a) x13 + x23 1− x 1− x b) x + x 4.2 Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm phương trình khơng phụ thuộc tham số Ta làm theo bước sau: + Tìm điều kiện tham số để phương trình có nghiệm x1 ; x2 ( a ≠ 0; ∆ ≥ ) + Viết hệ thức S = x1 + x2 ; P = x1 x2 Nếu S P khơng chứa tham số ta có hệ thức cần tìm Nếu S P chứa tham số khử tham số từ S P sau đồng vế ta hệ thức liên hệ nghiệm khơng phụ thuộc tham số Ví dụ 9: Cho Phương trình mx − (2m + 3) x + m − = ( m tham số) a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 b) Tìm hệ thức liên hệ x1 ; x2 không phụ thuộc vào m Giải: a) Để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 m ≠ a ≠ m ≠  ⇔ ⇔  ∆ ≥ 28m + ≥  m ≥ − 28 2m + 3   x1 + x2 = m = + m (1) b) Theo định lí Vi-et ta có:   x x = m − = − (2)  m m 12 = x1 + x2 − ⇒ = 4( x1 + x2 ) − 8(3) m m 12 (2) ⇒ = − x1 x2 ⇒ = − x1 x2 (4) m m (1) ⇒ Từ (3) (4) ta được: 4( x1 + x2 ) − = − x1 x2 hay 4( x1 + x2 ) + 3x1 x2 = 11 Ví dụ 10: Gọi x1 ; x2 nghiệm phương trình (m − 1) x − 2mx + m − = Chứng minh biểu thức A = 3( x1 + x2 ) + x1 x2 − không phụ thuộc giá trị m Nhận xét: Bài toán cho trước biểu thức liên hệ hai nghiệm phương trình nội dung khơng khác Ví dụ Khi làm cần lưu ý: + Ta tìm điều kiện m để phương trình có nghiệm + Biểu thức A có giá trị số xác định với m thỏa mãn điều kiện Cụ thể: Để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 m ≠ a ≠ m − ≠  ⇔ ⇔  ∆ ≥ 5m − ≥ m ≥ 2m   x1 + x2 = m − Theo định lí Vi-et ta có:  x x = m − m −1  Thay vào A ta được: A = 3( x1 + x2 ) + x1 x2 − = 2m m−4 + −8 = =0 m −1 m −1 m −1 Vậy A = 3( x1 + x2 ) + x1 x2 − = với ∀m ≠ m ≥ hay biểu thức A không phụ thuộc vào m Bài tập áp dụng: Bài 12 : Cho phương trình x − (m + 2) x + 2m − = có hai nghiệm x1 ; x2 Hãy lập hệ thức liên hệ x1 ; x2 cho chúng độc lập (không phụ thuộc) với m Bài 13: ( Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT năm học 2008 – 2009) Cho phương trình x − 2(m + 1) x + m − = 0(1) a) Giải phương trình (1) m = b) Tìm tất giá trị m để (1) có nghiệm c) Tìm hệ thức kiên hệ hai nghiệm x1 ; x2 (1) cho hệ thức khơng phụ thuộc tham số m 4.3 Tìm giá trị tham số thỏa mãn biểu thức nghiệm cho trước Cách làm: + Tìm điều kiện tham số để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 + Từ biểu thức chứa nghiệm cho, áp dụng hệ thức Vi-et để giải phương trình tìm m + Đối chiếu với điều kiện để xác định m Ví dụ 11: Cho phương trình mx − 6(m − 1) x + 9(m − 3) = Tìm giá trị tham số m để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn x1 + x2 = x1 x2 Giải: Điều kiện để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 a ≠ m ≠ m ≠ ⇔ ⇔  ∆ ' ≥ 9(m − 1) ≥  m ≥ −1 6(m − 1)   x1 + x2 = m Theo định lí Vi-et ta có:  9( m − 3) x x =  m Từ x1 + x2 = x1 x2 ⇒ 6(m − 1) 9(m − 3) = m m ⇔ 6m − = 9m − 27 ⇔ 3m = 21 ⇔ m = (TMĐK) 10 Cho phương trình x − 2(m − 1) x − − m = Tìm m để hai nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn x12 + x2 ≥ 10 Xét dấu nghiệm phương trình bậc hai Khi xét dấu nghiệm phương trình bậc hai xảy trường hợp sau: hai nghiệm trái dấu, dấu ( dương âm) Dấu nghiệm liên quan với ∆ ; S; P nào? Ta có bảng xét dấu sau: Dấu hai nghiệm x1 ; x2 ∆ x1 x2 < Trái dấu >0 Cùng dương ≥0 ( x1 x2 > ; x1 + x2 > ) Cùng âm Cùng dấu Điều kiện S >0 ≥0 ; x1 + x2 < ) Ví dụ 15: Khơng giải phương trình cho biết dấu nghiệm? P 0 >0 a )5 x + x + = b) x − 13 x + 40 = c)3 x + x − = Cách làm: Tính S; P theo hệ thức Vi – et dựa theo bảng xét dấu Giải: c a a) P = x1 x2 = = b > ; S = x1 + x2 = − = − < nên hai nghiệm dấu âm a Tương tự với phần b c b) P = 40 > 0; S= 13 > nên hai nghiệm dấu dương c) P = − < nên hai nghim trỏi du Vớ d 16: Cho phơng trình x − (m − 1) x + m − m + = ( m lµ tham sè) Chứng minh phơng trình đà cho có nghiệm dÊu ∀ m Gi¶i : 14 1 3 ac = m − m + = m − m + + = (m − ) + 4 2 1 1 3    m − ÷ ≥ ⇒  m − ÷ +1 ≥ ⇒ ac ≥ 2 2 4   ⇒ P > 0, ∀m Vậy phơng trình có nghiệm cựng dấu vi m Ví dụ 17: Xác định m để phương trình x − (3m +1) x + m − m − = có hai nghiệm trái dấu Giải: Để phương trình có hai nghiệm trái dấu thì: ( m − ) > ∆ > ∀m ≠  ⇔  m2 − m − ⇔ ⇔ −2 < m <  P < ( m − 3)( m + 2) <