Header Page of 145 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG NGUYỄN THỊ NGÂN ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHƠNG GIAN METRIC NĨN Chun ngành: Phương pháp Tốn sơ cấp Mã số: 60.46.01.13 TĨM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng- Năm 2015 Footer Page of 145 Header Page of 145 Cơng trình hồn thành ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Người hướng dẫn khoa học: TS LƯƠNG QUỐC TUYỂN Phản biện 1: TS Phan Đức Tuấn Phản biện 2: TS Trịnh Đào Chiến Luận văn bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ khoa học họp Đại học Đà Nẵng vào ngày 27 tháng 06 năm 2015 Có thể tìm hiểu luận văn tại: Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng Footer Page of 145 Header Page of 145 LỜI MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Lý thuyết điểm bất động lĩnh vực Tốn học đóng vai trị quan trọng tốn học khoa học ứng dụng Lý thuyết đạt số kết tiếng từ kỷ XX gắn liền với tên tuổi nhà Toán học lớn Brouwer, Banach, Schauder, Kakutani, Một hướng nghiên cứu nhà toán học lĩnh vực xây dựng không gian mới, sau mở rộng kết kinh điển “Nguyên lý ánh xạ co Banach” (1992) cho lớp ánh xạ Cùng với ý tưởng đó, năm 2007, L.-G Huang X Zhang đưa khái niệm không gian metric nón cách thay hàm metric nhận giá trị thực không gian metric hàm nhận giá trị không gian định chuẩn Sau L.-G Huang X Zhang, số tác giả khác phát triển lý thuyết đạt kết sâu sắc Bài tốn điểm bất động khơng gian metric nón ln thu hút quan tâm nghiên cứu nhiều nhà toán học giới Với lý định hướng thầy giáo Lương Quốc Tuyển, định chọn đề tài nghiên cứu: “Định lý điểm bất động khơng gian metric nón” Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu nhằm tìm hiểu cách chi tiết có hệ thống định lý điểm bất động khơng gian metric nón Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đề tài không sâu vào nghiên cứu ứng dụng định lý điểm bất động mà trình bày khái niệm nón, số tính chất nón khơng gian Banach, khái niệm khơng gian metric nón, cuối trình bày chứng minh lại định lý điểm bất động có báo: “Cone metric Footer Page of 145 Header Page of 145 spaces and fixed point theorems of contractive mappings” L.-G Huang X Zhang cách chi tiết có hệ thống Phương pháp nghiên cứu Tham khảo tài liệu, hệ thống hóa kiến thức Thu thập báo khoa học tác giả nghiên cứu liên quan đến “Định lý điểm bất động không gian metric nón” Thể tường minh kết nghiên cứu đề tài Trao đổi thảo luận với giáo viên hướng dẫn Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Đề tài có ý nghĩa mặt lý thuyết, sử dụng tài liệu tham khảo dành cho học viên, sinh viên người quan tâm lý thuyết điểm bất động Cấu trúc luận văn Luận văn bao gồm hai chương Chương 1: Các kiến thức chuẩn bị Chương trình bày kiến thức liên quan đến không gian metric, không gian định chuẩn Chương : Định lý điểm bất động không gian metric nón Chương trình bày chi tiết có hệ thống khái niệm, tính chất nón khơng gian Banach, khơng gian metric nón số định lý điểm bất động không gian metric nón Footer Page of 145 Header Page of 145 CHƯƠNG CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, chúng tơi trình bày số khái niệm, tính chất khơng gian metric, khơng gian định chuẩn nguyên lý ánh xạ co Banach Đây kiến thức sở nhằm phục vụ cho chương sau luận văn Hầu hết kết tham khảo sách “Tôpô đại cương - Độ đo tích phân” tác giả Nguyễn Xuân Liêm 1.1 KHÔNG GIAN METRIC Định nghĩa 1.1.1 Cho X tập khác rỗng Ta gọi ánh xạ d : X × X −→ R (x, y) −→ d(x, y) metric X d thỏa mãn ba tiên đề sau với x, y, z ∈ X (1) d(x, y) ≥ 0, d(x, y) = x = y; (2) d(x, y) = d(y, x); (3) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) Khi đó, tập X với metric d cho gọi không gian metric kí hiệu (X, d) Ví dụ 1.1.2 Cho X = R d ánh xạ xác định d : R × R −→ R (x, y) −→ d(x, y) = |x − y| Khi đó, d metric R (X, d) khơng gian metric Ví dụ 1.1.3 Cho X = Rk d ánh xạ xác định Footer Page of 145 Header Page of 145 d : X × X −→ R k (x, y) −→ d(x, y) = |xi − yi |2 , i=1 x = (x1 , x2 , , xk ), y = (y1 , y2 , , yk ) ∈ X Khi đó, d metric X (X, d) khơng gian metric Ví dụ 1.1.4 Gọi C[a,b] tập hợp hàm số thực liên tục [a, b] Khi đó, C[a,b] khơng gian metric với metric d(x, y) = sup |x(t) − y(t)|, x, y ∈ C[a,b] a≤t≤b Định nghĩa 1.1.5 Cho (X, d) không gian metric {xn } dãy X Ta nói {xn } hội tụ đến phần tử x ∈ X lim d(xn , x0 ) = n→∞ Khi đó, x0 gọi điểm giới hạn dãy {xn } ta viết lim xn = x0 hay xn → x0 n→∞ Như vậy, lim xn = x0 với ε > 0, tồn n→∞ n0 ∈ N∗ cho d(xn , x0 ) < ε với n ≥ n0 Định lý 1.1.6 Cho {xn }, {yn } dãy không gian metric (X, d) Khi đó, (1) Giới hạn dãy hội tụ (2) Nếu dãy {xn } hội tụ đến x, dãy {xnk } hội tụ đến x (3) Nếu lim xn = x lim yn = y, n→∞ n→∞ lim d(xn , yn ) = d(x, y) n→∞ Footer Page of 145 Header Page of 145 Định nghĩa 1.1.7 Cho (X, d) không gian metric, x0 ∈ X, r > E, F tập X Khi đó, (1) Tập hợp B(x0 , r) = {x ∈ X : d(x, x0 ) < r} gọi cầu mở tâm x0 , bán kính r (2) Tập hợp B[x0 , r] = {x ∈ X : d(x, x0 ) ≤ r} gọi cầu đóng tâm x0 , bán kính r (3) Điểm x0 gọi điểm E E gọi lân cận x0 tồn r > cho B(x0 , r) ⊂ E (4) E gọi tập mở điểm E điểm E (5) Hợp tất tập mở chứa E gọi phần E, kí hiệu IntE (6) F gọi tập đóng X\F tập mở (7) Giao tất tập đóng chứa F gọi bao đóng F , kí hiệu F Nhận xét 1.1.8 Cho X không gian metric, E, F tập X Khi đó, khẳng định sau (1) Các tập X ∅ tập vừa đóng, vừa mở (2) Mỗi hình cầu mở tập mở, hình cầu đóng tập đóng (3) IntE tập mở tập mở lớn chứa E, F tập đóng tập đóng bé chứa F Footer Page of 145 Header Page of 145 (4) E mở ⇐⇒ IntE = E (5) F đóng ⇐⇒ F = F (6) Nếu E ⊂ F , IntE ⊂ IntF E ⊂ F Định lý 1.1.9 Trong không gian metric X, khẳng định sau (1) Hợp họ tùy ý tập mở tập mở (2) Giao hữu hạn tập mở tập mở (3) Giao họ tùy ý tập đóng tập đóng (4) Hợp họ hữu hạn tập đóng tập đóng Định lý 1.1.10 Giả sử (X, d) khơng gian metric F ⊂ X Khi đó, F tập đóng với dãy {xn } ⊂ F mà xn → x ∈ X, ta có x ∈ F Định lý 1.1.11 Cho (X, d) không gian metric, F ⊂ X x ∈ X Khi đó, x ∈ F với lân cận mở U x, ta có U ∩ F = ∅ Định lý 1.1.12 Cho (X, d) không gian metric, E ⊂ X x ∈ X Khi đó, x ∈ E tồn {xn } ⊂ E cho xn → x Định nghĩa 1.1.13 Giả sử (X, dX ), (Y, dY ) hai không gian metric, x0 ∈ X ánh xạ f : (X, dX ) → (Y, dY ) Khi đó, (1) f gọi liên tục điểm x0 với ε > 0, tồn δ > cho với x ∈ X mà dX (x, x0 ) < δ ta có dY (f (x), f (x0 )) < ε (2) f gọi ánh xạ liên tục X (hay liên tục) liên tục điểm x X Mệnh đề 1.1.14 Ánh xạ f : X → Y liên tục điểm x ∈ X với dãy {xn } ⊂ X mà lim xn = x, ta có n→∞ Footer Page of 145 Header Page of 145 lim f (xn ) = f (x) n→∞ Định nghĩa 1.1.15 Giả sử X, Y hai không gian metric song ánh f : X → Y Khi đó, f gọi phép đồng phôi f f −1 ánh xạ liên tục Hai không gian metric X Y gọi đồng phôi với tồn phép đông phôi f : X → Y Định nghĩa 1.1.16 Cho (X, d) không gian metric {xn } dãy X Khi đó, {xn } gọi dãy Cauchy (hay dãy bản) lim d(xm , xn ) = 0, m→∞ n→∞ nghĩa với ε > 0, tồn n0 ∈ N cho d(xm , xn ) < ε với m, n ≥ n0 Bổ đề 1.1.17 Cho (X, d) khơng gian metric Khi (1) Mọi dãy hội tụ không gian metric dãy Cauchy (2) Nếu {xn } dãy Cauchy có dãy {xnk } hội tụ đến x0 , {xn } hội tụ đến x0 Định nghĩa 1.1.18 Không gian metric (X, d) gọi không gian metric đầy đủ dãy Cauchy X hội tụ X Ví dụ 1.1.19 (1) Q khơng phải không gian metric đầy đủ (2) R, C không gian metric đầy đủ (3) Rk không gian metric đầy đủ (4) C[a,b] không gian metric đầy đủ Footer Page of 145 Header Page 10 of 145 Bổ đề 1.1.20 (Bổ đề Cantor) Giả sử {B[xn , rn ]} dãy gồm hình cầu đóng, lồng thắt khơng gian metric đầy đủ X, nghĩa B[x1 , r1 ] ⊃ B[x2 , r2 ] ⊃ ⊃ B[xn , rn ] ⊃ lim rn = n→∞ Khi đó, hình cầu có điểm chung 1.2 KHƠNG GIAN ĐỊNH CHUẨN Định nghĩa 1.2.1 Cho E không gian vectơ trường K Ánh xạ · : E −→ R x −→ x gọi chuẩn E thỏa mãn điều kiện sau với x, y ∈ E, λ ∈ K (1) x ≥ 0, x = x = 0; (2) λx = |λ| x ; (3) x+y ≤ x + y Định lý 1.2.2 Cho · chuẩn X Với x, y ∈ X, ta đặt d(x, y) = x − y Khi đó, d metric X thỏa mãn điều kiện sau với x, y, z ∈ X, λ ∈ K (1) d(x + z, y + z) = d(x, y), (2) d(λx, λy) = |λ|d(x, y) Footer Page 10 of 145 10 Header Page 12 of 145 (3) Nếu chuỗi không hội tụ, ta nói phân kỳ ∞ Định lý 1.2.8 Nếu chuỗi xn không gian định chuẩn n=1 E hội tụ, thỏa mãn điều kiện với ε > 0, tồn n0 ∈ N∗ cho với n ≥ n0 , p ≥ 1, ta có sn+p − sn = xn+1 + + xn+p < ε Ngược lại, E khơng gian Banach, chuỗi thỏa mãn điều kiện hội tụ Định lý 1.2.9 Nếu chuỗi ∞ n=1 Định nghĩa 1.2.10 Chuỗi chuỗi ∞ xn hội tụ, lim xn = ∞ n→∞ xn gọi hội tụ tuyệt đối n=1 xn hội tụ n=1 Định lý 1.2.11 Không gian định chuẩn E Banach chuỗi hội tụ tuyệt đối E hội tụ 1.3 NGUYÊN LÝ ÁNH XẠ CO BANACH Định nghĩa 1.3.1 Cho f : X → X ánh xạ Khi đó, x0 ∈ X gọi điểm bất động ánh xạ f f (x0 ) = x0 Định nghĩa 1.3.2 Cho X không gian metric ánh xạ f : X → X Khi đó, f gọi ánh xạ co X tồn số α ∈ [0, 1) cho d(f (x), f (y)) ≤ αd(x, y) với x, y ∈ X Định lý 1.3.3 (Nguyên lý ánh xạ co Banach) Giả sử X không gian metric đầy đủ f : X → X ánh xạ co Khi đó, f có điểm bất động Chứng minh Lấy tùy ý điểm x0 ∈ X đặt xn+1 = f (xn ) với n = 0, 1, 2, Footer Page 12 of 145 11 Header Page 13 of 145 Ta chứng tỏ {xn } dãy Cauchy X Thật vậy, f ánh xạ co nên tồn số α ∈ [0, 1) cho với n ≥ 1, ta có d(xn , xn+1 ) = d(f (xn−1 ), f (xn )) ≤ αd(xn−1 , xn ) = αd(f (xn−2 ), f (xn−1 )) ≤ α2 d(xn−2 , xn−1 ) ≤ αn d(x0 , x1 ) Do đó, với m ≥ n với α ∈ [0, 1), ta có d(xn , xm ) ≤ d(xn , xn+1 ) + + d(xm−1 , xm ) ≤ αn d(x0 , x1 ) + + αm−1 d(x0 , x1 ) ≤ (αn + + αm−1 )d(x0 , x1 ) ≤ (αn + αn+1 + )d(x0 , x1 ) αn d(x0 , x1 ) ≤ 1−α Bởi α ∈ [0, 1) nên αn → n → ∞ Do đó, với ε > 0, tồn N ∈ N∗ cho với m, n ≥ N , ta có d(xn , xm ) ≤ αn d(x0 , x1 ) < ε 1−α Điều chứng tỏ {xn } dãy Cauchy X Hơn nữa, X không gian metric đầy đủ nên tồn giới hạn x∗ = lim xn Ta có, n→∞ n→∞ ≤ d(xn , f (xn )) = d(xn , xn+1 ) ≤ αn d(x0 , x1 ) −−−→ 0, ta để ý hàm f, d liên tục, lim d(xn , f (xn )) = d(x∗ , f (x∗ )), n→∞ Footer Page 13 of 145 12 Header Page 14 of 145 suy d(x∗ , f (x∗ )) = hay f (x∗ ) = x∗ Điều chứng tỏ x∗ điểm bất động f Bây giờ, ta chứng minh x∗ điểm bất động f Thật vậy, giả sử x∗ , y ∗ điểm bất động f Khi đó, với α ∈ [0, 1) ta có d(x∗ , y ∗ ) = d(f (x∗ ), f (y ∗ )) ≤ αd(x∗ , y ∗ ), suy (1 − α)d(x∗ , y ∗ ) ≤ với α ∈ [0, 1), kéo theo d(x∗ , y ∗ ) = Điều chứng tỏ x∗ = y ∗ suy điểm bất động f Footer Page 14 of 145 13 Header Page 15 of 145 CHƯƠNG ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHƠNG GIAN METRIC NĨN Trong chương này, chúng tơi trình bày khái niệm nón chứng minh số tính chất nón khơng gian Banach, trình bày khái niệm số tính chất khơng gian metric nón, cuối trình bày chứng minh lại định lý điểm bất động ánh xạ co khơng gian metric nón đầy đủ có báo “Cone metric spaces and fixed point theorems of contractive mappings” tác giả L.-G Huang X Zhang cách chi tiết, có hệ thống 2.1 NĨN TRONG KHƠNG GIAN BANACH Định nghĩa 2.1.1 Cho E không gian Banach trường số thực P tập E Ta nói P nón thỏa mãn điều kiện sau (1) P tập đóng, khác rỗng P = {0}; (2) ax + by ∈ P với x, y ∈ P , a, b ∈ R mà a, b ≥ 0; (3) Nếu x ∈ P −x ∈ P , x = Nhận xét 2.1.2 Áp dụng điều kiện (2) Định nghĩa 2.1.1 cho trường hợp a = b = ta suy ∈ P Định nghĩa 2.1.3 Cho nón P ⊂ E, ta định nghĩa quan hệ “≤” P sau x ≤ y y − x ∈ P Bổ đề 2.1.4 “≤” quan hệ thứ tự E Ta kí hiệu x < y để x ≤ y x = y; x ≪ y y − x ∈ IntP Footer Page 15 of 145 14 Header Page 16 of 145 Bổ đề 2.1.5 Cho P nón khơng gian Banach E α số thực dương Khi đó, αIntP ⊂ IntP, nghĩa với α ∈ R mà α > 0, x ∈ IntP , αx ∈ IntP Bổ đề 2.1.6 Cho P nón khơng gian Banach E, α ∈ R mà α = u, v, x, y ∈ E Khi đó, (1) Nếu x ≤ y α > 0, αx ≤ αy (2) Nếu x ≤ y α < 0, αx ≥ αy (3) Nếu x ≤ u y ≤ v, x + y ≤ u + v Định nghĩa 2.1.7 Cho P nón khơng gian Banach E Ta nói P nón chuẩn tắc tồn số K > cho với x, y ∈ E mà ≤ x ≤ y, ta có x ≤K y Số nguyên dương nhỏ thỏa mãn tính chất gọi số chuẩn tắc P Định nghĩa 2.1.8 Cho P nón khơng gian Banach E Ta nói P nón quy dãy tăng bị chặn hội tụ, nghĩa {xn } dãy cho x1 ≤ x2 ≤ ≤ xn ≤ ≤ y với y ∈ E, tồn x ∈ E cho xn − x → Bổ đề 2.1.9 Nón P khơng gian Banach E quy dãy giảm bị chặn hội tụ Định lý 2.1.10 Mọi nón quy nón chuẩn tắc Bổ đề 2.1.11 Cho P nón chuẩn tắc với số chuẩn tắc K Khi đó, c ∈ P c ≪ ε với ε ∈ P, c = Footer Page 16 of 145 15 Header Page 17 of 145 Mệnh đề 2.1.12 Nếu K số chuẩn tắc nón P , K ≥ Định lý 2.1.13 Một nón chuẩn tắc chưa nón quy Định lý 2.1.14 Với số thực k > 1, tồn nón chuẩn tắc với số chuẩn tắc K > k Ví dụ sau tồn nón khơng chuẩn tắc Ví dụ 2.1.15 Cho không gian Banach E = C[0,1] với chuẩn f = f ∞ + f′ ∞, f ∞ = sup |f (x)| x∈[0;1] Đặt P = {f ∈ E | f ≥ 0} Khi đó, P nón khơng chuẩn tắc 2.2 KHƠNG GIAN METRIC NĨN Định nghĩa 2.2.1 Cho E không gian Banach, P nón E cho IntP = ∅ X tập khác rỗng Ta gọi ánh xạ d : X × X −→ E (x, y) −→ d(x, y) metric nón X d thỏa mãn ba tiên đề sau với x, y, z ∈ X (1) d(x, y) ≥ 0, d(x, y) = x = y; (2) d(x, y) = d(y, x); (3) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) Khi đó, tập X với metric nón d cho gọi khơng gian metric nón kí hiệu (X, d) Ví dụ 2.2.2 Cho E = R2 , X = R, α ≥ 0, P = {(x, y) ∈ E | x, y ≥ 0} ⊂ R2 ánh xạ d : X × X −→ E xác định Footer Page 17 of 145 16 Header Page 18 of 145 d(x, y) = (|x − y|, α|x − y|) Khi đó, (X, d) khơng gian metric nón Mở rộng ví dụ 2.2.2, ta thu ví dụ sau Ví dụ 2.2.3 Cho E = Rn , X = R, αi ≥ 0, i = 1, 2, , n, P = {(x1 , x2 , , xn ) | xi ≥ 0, i = 1, 2, , n} ánh xạ d : X × X −→ E xác định d(x, y) = (|x − y|, α1 |x − y|, , αn−1 |x − y|) Khi đó, (X, d) khơng gian metric nón 2.3 SỰ HỘI TỤ TRONG KHƠNG GIAN METRIC NĨN Định nghĩa 2.3.1 Cho (X, d) không gian metric nón, {xn } dãy X x ∈ X Ta nói {xn } dãy hội tụ đến x với c ∈ E mà ≪ c, tồn N ∈ N∗ cho d(xn , x) ≪ c với n ≥ N Khi đó, x gọi điểm giới hạn dãy {xn } ta viết lim xn = x xn → x n→∞ Định lý 2.3.2 Cho (X, d) khơng gian metric nón, P nón chuẩn tắc với số chuẩn tắc K {xn } dãy X Khi đó, {xn } hội tụ đến x d(xn , x) → Chứng minh (1) Điều kiện cần Giả sử {xn } ⊂ X xn → x X Ta cần chứng minh d(xn , x) → E Trước hết, ta chứng minh với ε > 0, tồn c ∈ E cho ≪ c, K c < ε Thật vậy, P nón chuẩn tắc với số chuẩn tắc K nên theo Mệnh đề 2.1.12 ta suy K ≥ Mặt khác, IntP = ∅ nên tồn c∗ ∈ IntP Theo Bổ đề 2.1.5 ta suy Footer Page 18 of 145 17 Header Page 19 of 145 c∗ ∈ IntP với n ≥ n Hơn nữa, c∗ → nên với ε > 0, tồn N ∈ N∗ cho n ε c∗ < với n ≥ N n K Suy ε c∗ c∗ < Đặt c = , ta thu N K N c ∈ IntP K c < ε Bây giờ, ta chứng minh d(xn , x) → E Thật vậy, với ε > 0, theo cách chứng minh trên, tồn c ∈ E cho ≪ c K c < ε Khi đó, {xn } dãy hội tụ đến x nên tồn N ∈ N∗ cho d(xn , x) ≪ c với n ≥ N Mặt khác, K số chuẩn tắc P nên ta suy d(xn , x) ≤ K c < ε với n ≥ N Điều chứng tỏ d(xn , x) → E (2) Điều kiện đủ Giả sử d(xn , x) → E, ta chứng minh {xn } dãy hội tụ (X, d) Thật vậy, giả sử c ∈ E cho ≪ c, tức c ∈ IntP Khi đó, tồn δ > cho B(c, δ) ⊂ IntP Suy với y ∈ E mà c − (c − y) = y < δ, ta có c − y ∈ B(c, δ) ⊂ IntP Bởi d(xn , x) → E nên với δ xác định trên, tồn N ∈ N∗ cho Footer Page 19 of 145 18 Header Page 20 of 145 d(xn , x) < δ với n ≥ N Áp dụng cho y = d(xn , x) với n ∈ N∗ , ta suy c − d(xn , x) ∈ IntP , kéo theo d(xn , x) ≪ c với n ∈ N∗ Từ đó, sử dụng Định nghĩa 2.3.1 ta suy {xn } dãy hội tụ đến x (X, d) Bổ đề 2.3.3 Cho (X, d) khơng gian metric nón, P nón chuẩn tắc với số chuẩn tắc K {xn } dãy X Nếu {xn } hội tụ đến x {xn } hội tụ đến y, x = y, nghĩa giới hạn dãy {xn } Định nghĩa 2.3.4 Cho (X, d) khơng gian metric nón, {xn } dãy X Khi đó, {xn } gọi dãy Cauchy X với c ∈ E mà ≪ c, tồn N ∈ N∗ cho d(xn , xm ) ≪ c với n, m ≥ N Định nghĩa 2.3.5 Cho (X, d) khơng gian metric nón Khi đó, dãy Cauchy X hội tụ, (X, d) gọi khơng gian metric nón đầy đủ Ví dụ 2.3.6 Cho E = R2 , X = R, α, β ≥ 0, P = {(x, y) ∈ E | x, y ≥ 0} ⊂ R2 ánh xạ d : X × X −→ E xác định d(x, y) = (α|x − y|, β|x − y|) Khi đó, (X, d) khơng gian metric nón đầy đủ Bổ đề 2.3.7 Cho (X, d) khơng gian metric nón {xn } dãy X Khi đó, {xn } hội tụ đến x, {xn } dãy Cauchy Bổ đề 2.3.8 Cho (X, d) không gian metric nón, P Footer Page 20 of 145 19 Header Page 21 of 145 nón chuẩn tắc với số chuẩn tắc K {xn } dãy X Khi đó, {xn } dãy Cauchy d(xn , xm ) → Bổ đề 2.3.9 Cho (X, d) không gian metric nón, P nón chuẩn tắc với số chuẩn tắc K, {xn }, {yn } hai dãy X xn → x, yn → y Khi đó, d(xn , yn ) → d(x, y) 2.4 ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG ĐỐI VỚI ÁNH XẠ CO TRONG KHƠNG GIAN METRIC NĨN ĐẦY ĐỦ Định lý 2.4.1 Cho (X, d) khơng gian metric nón đầy đủ, P nón chuẩn tắc với số chuẩn tắc K T : X → X ánh xạ thỏa mãn điều kiện ánh xạ co d(T x, T y) ≤ kd(x, y) với x, y ∈ X, k ∈ [0, 1) số Khi đó, T có điểm bất động X với x ∈ X, dãy lặp {T n x} hội tụ đến điểm bất động T Chứng minh Ta lấy điểm x0 ∈ X đặt x1 = T x0 , x2 = T x1 = T x0 , xn+1 = T xn = T n+1 x0 , Ta chứng tỏ {xn } dãy Cauchy (X, d) Thật vậy, T ánh xạ co nên tồn số k ∈ [0, 1) cho với n ≥ 1, ta có Footer Page 21 of 145 20 Header Page 22 of 145 d(xn+1 , xn ) = d(T xn , T xn−1 ) ≤ kd(xn , xn−1 ) = kd(T xn−1 , T xn−2 ) ≤ k2 d(xn−1 , xn−2 ) ≤ kn d(x1 , x0 ) Do đó, với n ≥ m với k ∈ [0, 1), ta có d(xn , xm ) ≤ d(xn , xn−1 ) + d(xn−1 , xn−2 ) + d(xm+1 , xm ) ≤ kn−1 d(x1 , x0 ) + kn−2 d(x1 , x0 ) + + km d(x1 , x0 ) ≤ (kn−1 + kn−2 + + km )d(x1 , x0 ) ≤ (km + km+1 + )d(x1 , x0 ) km ≤ d(x1 , x0 ) 1−k Bởi k ∈ [0, 1) nên km m→∞ −−−−→ 0, kéo theo 1−k km m→∞ d(x1 , x0 ) −−−−→ 1−k Hơn nữa, P nón chuẩn tắc với số chuẩn tắc K nên d(xn , xm ) ≤ K km d(x1 , x0 ) → 1−k Suy d(xn , xm ) → m, n → ∞ Bởi (X, d) khơng gian metric nón nên theo Bổ đề 2.3.8 ta suy {xn } dãy Cauchy (X, d) Ngồi ra, (X, d) khơng gian metric đầy đủ nên tồn x∗ ∈ X cho xn → x∗ Footer Page 22 of 145 21 Header Page 23 of 145 (X, d) Sử dụng Định lý 2.3.2 ta suy d(xn , x∗ ) → E Mặt khác, ta có d(T x∗ , x∗ ) ≤ d(T xn , T x∗ ) + d(T xn , x∗ ) ≤ kd(xn , x∗ ) + d(xn+1 , x∗ ) Do đó, P nón chuẩn tắc với số chuẩn tắc K nên d(T x∗ , x∗ ) ≤ K kd(xn , x∗ ) + d(xn+1 , x∗ ) ≤ K[k d(xn , x∗ ) + d(xn+1 , x∗ ) ] → Suy d(T x∗ , x∗ ) = 0, kéo theo T x∗ = x∗ Điều chứng tỏ x∗ điểm bất động T Bây giờ, ta giả sử y ∗ điểm bất động T Khi đó, với k ∈ [0, 1) ta có d(x∗ , y ∗ ) = d(T x∗ , T y ∗ ) ≤ kd(x∗ , y ∗ ) Suy (1 − k)d(x∗ , y ∗ ) ≤ với k ∈ [0, 1) Do đó, d(x∗ , y ∗ ) = 0, kéo theo x∗ = y ∗ Như vậy, điểm bất động T Hệ 2.4.2 Cho (X, d) khơng gian metric nón đầy đủ, P nón chuẩn tắc với số chuẩn tắc K Với c ∈ E mà ≪ c x0 ∈ X, ta đặt B[x0 , c] = {x ∈ X | d(x0 , x) ≤ c} Giả sử ánh xạ T : X → X thỏa mãn điều kiện ánh xạ co d(T x, T y) ≤ kd(x, y) với x, y ∈ B[x0 , c], k ∈ [0, 1) số d(T x0 , x0 ) ≤ (1 − k)c Khi đó, T có điểm bất động B[x0 , c] Footer Page 23 of 145 22 Header Page 24 of 145 Hệ 2.4.3 Cho (X, d) không gian metric nón đầy đủ, P nón chuẩn tắc với số chuẩn tắc K T : X → X ánh xạ Khi đó, tồn n ∈ N∗ k ∈ [0, 1) cho d(T n x, T n y) ≤ kd(x, y) với x, y ∈ X, T có điểm bất động X Định lý 2.4.4 Cho (X, d) khơng gian metric nón đầy đủ, P nón chuẩn tắc với số chuẩn tắc K ánh xạ T : X → X thỏa mãn điều kiện ánh xạ co d(T x, T y) ≤ k[d(T x, x) + d(T y, y)] với x, y ∈ X, số Khi đó, T có điểm bất động X với x ∈ X, dãy lặp {T n x} hội tụ đến điểm bất động T k ∈ 0, Định lý 2.4.5 Cho (X, d) không gian metric nón đầy đủ, P nón chuẩn tắc với số chuẩn tắc K T : X → X ánh xạ thỏa mãn điều kiện ánh xạ co d(T x, T y) ≤ k[d(T x, y) + d(T y, x)] với x, y ∈ X số Khi đó, T có điểm bất động X với x ∈ X, dãy lặp {T n x} hội tụ đến điểm bất động T k ∈ 0, Ví dụ 2.4.6 Cho E = R2 P = {(x, y) ∈ E | x, y ≥ 0} nón chuẩn tắc Giả sử X = {(x, 0) ∈ E | ≤ x ≤ 1} ∪ (0, x) ∈ E | ≤ x ≤ Footer Page 24 of 145 23 Header Page 25 of 145 ánh xạ d : X × X → E xác định |x − y|, |x − y| ; d((0, x), (0, y)) = |x − y|, |x − y| ; d((x, 0), (0, y)) = d((0, y), (x, 0)) = x + y, |x + y| 3 d((x, 0), (y, 0)) = Khi đó, (X, d) khơng gian metric đầy đủ Ngồi ra, ánh xạ T : X → X xác định T (x, 0) = (0, x) T (0, x) = x, , T thỏa mãn điều kiện ánh xạ co với (x1 , x2 ) ∈ X, (y1 , y2 ) ∈ X d(T (x1 , x2 ), T (y1 , y2 )) ≤ kd((x1 , x2 ), (y1 , y2 )) ∈ [0, 1) Khi đó, T có điểm bất động (0, 0) ∈ X k = Định lý 2.4.7 Cho (X, d) khơng gian metric nón đầy đủ, P nón chuẩn tắc với số chuẩn tắc K T : X → X ánh xạ thỏa mãn điều kiện ánh xạ co d(T x, T y) ≤ kd(x, y) + ld(y, T x) với x, y ∈ X k, l ∈ [0, 1) số Khi đó, T có điểm bất động X điểm bất động T k + l < Footer Page 25 of 145 24 Header Page 26 of 145 KẾT LUẬN Sau thời gian tìm hiểu, học hỏi từ tài liệu thầy Lương Quốc Tuyển cung cấp, tơi hồn thành đề tài Đề tài đề cập đến định lý điểm bất động khơng gian metric nón Những kết trình bày khóa luận bao gồm (1) Nhắc lại số kiến thức không gian metric, không gian định chuẩn, không gian Banach nguyên lý ánh xạ co Banach (2) Trình bày khái niệm nón khơng gian metric nón (3) Trình bày chứng minh chi tiết định lý, mệnh đề, bổ đề, nhận xét, có báo: “Cone metric spaces and fixed point theorems of contractive mappings” mà tác giả đưa chưa chứng minh chứng minh chưa chi tiết Mặc dù, cố gắng nhiều trình học tập nghiên cứu, song nhiều hạn chế thời gian trình độ hiểu biết nên trình thực luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Vì vậy, mong nhận bảo, dạy dỗ q thầy góp ý bạn bè để luận văn tơi hồn thiện Footer Page 26 of 145 ... Chương : Định lý điểm bất động khơng gian metric nón Chương trình bày chi tiết có hệ thống khái niệm, tính chất nón khơng gian Banach, khơng gian metric nón số định lý điểm bất động không gian metric. .. cập đến định lý điểm bất động khơng gian metric nón Những kết trình bày khóa luận bao gồm (1) Nhắc lại số kiến thức không gian metric, không gian định chuẩn, không gian Banach nguyên lý ánh xạ... định lý điểm bất động khơng gian metric nón Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đề tài không sâu vào nghiên cứu ứng dụng định lý điểm bất động mà trình bày khái niệm nón, số tính chất nón khơng gian