Header Page of 145 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG PHẠM PHÚ HOÀNG LAN ĐA GIÁC NỘI, NGOẠI TIẾP ĐƯỜNG TRÒN VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60.46.01.13 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng, 2015 Footer Page of 145 Header Page of 145 Công trình hoàn thành ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH NGUYỄN VĂN MẬU Phản biện 1: TS Cao Văn Nuôi Phản biện 2: PGS.TS Huỳnh Thế Phùng Luận văn bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ Khoa học họp Đại học Đà Nẵng vào ngày 27 tháng năm 2015 Có thể tìm hiểu luận văn tại:  Trung tâm Thông tin-Học liệu, Đại học Đà Nẵng  Thư viện trường Đại học , Đại học Đà Nẵng Footer Page of 145 Header Page of 145 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Các hệ thức tam giác, tứ giác nội, ngoại tiếp đường tròn vấn đề xạ lạ với học sinh dạng toán khiến học sinh phải lúng túng Đặc biệt dạng toán chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức hình học Trong chương trình toán THCS THPT có nêu toán chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức Song thời lượng giảng dạy khiêm tốn nên ta chưa thể thấy hết đa dạng, phong phú lột tả hết kì diệu yếu tố hình học thể toán Ở đây, mục tiêu luận văn giới thiệu đẳng thức, bất đẳng thức liên quan đến yếu tố tam giác, tứ giác đa giác nội, ngoại tiếp hình tròn Các toán đưa từ đến nâng cao, mở rộng Bên cạnh việc thể mối liên hệ yếu tố đa giác nội, ngoại tiếp đường tròn ta phân loại phương pháp kĩ thuật để chứng minh toán đẳng thức, bất đẳng thức Và hết, ta thấy phong phú phạm vi ứng dụng bất đẳng thức Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu 2.1 Mục đích nghiên cứu - Hệ thống toán chứng minh đẳng thức yếu tố hình học tam giác, tứ giác đa giác nội, ngoại tiếp hình tròn - Hệ thống toán chứng minh bất đẳng thức yếu tố hình học tam giác, tứ giác đa giác nội, ngoại tiếp hình tròn Footer Page of 145 Header Page of 145 2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu tổng quan đa giác nội, ngoại tiếp đường tròn - Nghiên cứu phương pháp, kĩ thuật chứng minh toán liên quan Đối tượng phạm vi nghiên cứu 3.1 Đối tượng nghiên cứu - Các toán chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức yếu tố hình học 3.2 Phạm vi nghiên cứu - Trong chương trình sách toán giáo khoa, sách toán nâng cao THCS, THPT, sách chuyên đề liên quan Các đề thi học sinh giỏi quốc gia, quốc tế Phương pháp nghiên cứu 4.1 Phương pháp tài liệu - Thu thập tài liệu đẳng thức, bất đẳng thức từ sách giáo khoa, sách giáo viên, tài liệu chuyên đề hình học, đại số liên quan - Khảo sát, phân tích, tổng hợp tài liệu để hệ thống phân loại dạng toán đẳng thức, bất đẳng thức 4.2 Phương pháp thực nghiệm - Trao đổi, thảo luận, tham khảo ý kiến giáo viên hướng dẫn để thực đề tài - Quan sát, đánh giá thực tế trình tiếp thu học sinh Footer Page of 145 Header Page of 145 Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài - Đề tài sử dụng tài liệu tham khảo cho học sinh THCS, THPT, bồi dưỡng học sinh giỏi Cấu trúc luận văn Luận văn gồm Mở đầu, Kết luận ba chương Chương Các kiến thức chuẩn bị Chương Đẳng thức bất đẳng thức tam giác với đường tròn nội, ngoại tiếp Chương Đẳng thức bất đẳng thức đa giác nội, ngoại tiếp đường tròn Cùng với hướng dẫn Thầy giáo GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu, chọn đề tài "Đa giác nội, ngoại tiếp đường tròn toán liên quan" cho luận văn thạc sĩ Footer Page of 145 Header Page of 145 CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Một số khái niệm liên quan Đường tròn qua tất đỉnh đa giác gọi đường tròn ngoại tiếp đa giác, đa giác gọi đa giác nội tiếp đường tròn Đường tròn tiếp xúc với tất cạnh đa giác gọi đường tròn nội tiếp đa giác, đa giác gọi đa giác ngoại tiếp đường tròn Điều kiện cần đủ đề tứ giác ngoại tiếp đường tròn tổng cạnh đối Đa giác có đường tròn ngoại tiếp, đường tròn nội tiếp Tâm hai đường tròn trùng gọi tâm đa giác 1.2 Một số kiến thức đại số liên quan Định lý 1.1 (Bất đẳng thức Cauchy) Với n ≥ số dương tùy ý x1 , x2 , , xn ta có trung bình cộng chúng không nhỏ trung bình nhân số √ x1 + x2 + · · · + xn ≥ n x1 x2 xn n Định lý 1.2 (Bất đẳng thức Bunhiacovsky) Cho số thực a1 , a2 , , an b1 , b2 , , bn Khi (a21 + a22 + · · · + a2n )(b21 + b22 + · · · + b2n ) ≥ (a1 b1 + a2 b2 + · · · + an bn )2 Dấu đẳng thức xảy bi = kai , i = 1, , n Footer Page of 145 Header Page of 145 Định lý 1.3 (Bất đẳng thức Nesbit) Chứng minh với số a, b, c lớn ta có a b c + + ≥ b+c c+a a+b 1.3 Một số kiến thức hình học liên quan 1.3.1 Tam giác đồng dạng Định lý 1.4 (Định lý Ta - lét tam giác) Nếu đường thẳng song song với cạnh tam giác cắt hai cạnh lại định hai cạnh đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ Định lý 1.5 (Định lý đảo định lý Ta - lét tam giác) Nếu đường thẳng cắt hai cạnh tam giác định hai cạnh đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ cạnh song song với cạnh lại tam giác Định lý 1.6 (Hệ định lý Ta - lét) Nếu đường thẳng cắt hai cạnh tam giác song song với cạnh lại tạo thành tam giác có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh tam giác cho Định lý 1.7 (Tính chất đường phân giác tam giác (hay định lý Stewart 1)) Trong tam giác, đường phân giác góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn Footer Page of 145 Header Page of 145 1.3.2 Các hệ thức lượng tam giác đường tròn Định lý 1.8 (Định lý hàm số cosin) a2 = b2 + c2 − 2bc cos A b2 = a2 + c2 − 2bc cos B c2 = a2 + b2 − 2bc cos C Định lý 1.9 (Định lý hàm số sin) a b c = = = 2R sin A sin B sin C Định lý 1.10 (Công thức tính độ dài đường trung tuyến) m2a = b2 + c2 a2 − m2b = a2 + c2 b2 − m2c = a2 + b2 c2 − Định lý 1.11 (Công thức tính diện tích tam giác) S∆ABC = aha = ab sin C abc = 4R = pr √ = p(p − a)(p − b)(p − c) Footer Page of 145 Header Page of 145 Định lý 1.12 Cho đường tròn (O; R) điểm M cố định Một đường thẳng thay đổi qua M cắt đường tròn −−→ −−→ hai điểm A B tích vô hướng M A.M B số không đổi Định nghĩa 1.1 (Phương tích điểm −−→ −−→ đường tròn) Giá trị không đổi M A.M B gọi phương tích điểm M đường tròn (O) Kí hiệu PM/(O) tính công thức PM/(O) = d2 − R2 Trong d khoảng cách từ điểm M đến tâm O 1.3.3 Các hệ thức vectơ ⃗a.⃗b = |⃗a| ⃗b cos(⃗a; ⃗b) ≤ |⃗a| ⃗b Dấu "=" xảy hai vectơ ⃗a, ⃗b hướng Suy ⃗a.⃗b cos(⃗a; ⃗b) = |⃗a| ⃗b ⃗ = (OA ⃗ + OB) ⃗ AB = AB ⃗ + OB ⃗ = ⃗0 Với O trung điểm AB OA ⃗ OB+ ⃗ OC ⃗ = ⃗0 Với O trọng tâm tam giác ABC OA+ 1.3.4 Các phép biến hình a Các phép dời hình mặt phẳng - Phép tịnh tiến - Phép đối xứng trục - Phép đối xứng tâm - Phép quay b Phép vị tự phép đồng dạng - Phép vị tự - Phép đồng dạng 1.3.5 Một số định lí liên quan Footer Page of 145 Header Page 10 of 145 Định lý 1.13 (Định lý Ptô - lê - mê) Với tứ giác nội tiếp, tích đường chéo tổng hai tích cạnh bên Định lý 1.14 (Định lý Stewart) Gọi D điểm nằm cạnh AC tam giác ABC Khi ta có AB DC + BC AD − BD2 AC = AC.DC.AD Định lý 1.15 (Định lý Euler) Cho R, r bán kính đường tròn ngoại tiếp nội tiếp tam giác Khi khoảng √ cách d hai tâm hai đường tròn R(R − 2r) hay nói cách khác d2 = R2 − 2Rr Định lý 1.16 (Định lý Carnot) Tổng khoảng cách từ tâm vòng tròn ngoại tiếp tam giác đến cạnh tổng bán kính đường tròn nội tiếp ngoại tiếp Định lý 1.17 (Hệ định lý Carnot) Cho tam giác ABC gọi R, r bán kính đường tròn ngoại tiếp nội tiếp Chứng minh R + r = R(cos A + cos B + cos C) Định lý 1.18 (Định lý Euler cho tam giác thùy túc) Cho (O; R) đường tròn ngoại tiếp tam giácABC Xét điểm M tùy ý nằm tam giác Kí hiệu A1 B1 C1 hình chiếu M R2 − OM SA1 B1 C1 lên cạnh tam giác = SABC 4R2 Ta có định nghĩa tam giác thùy túc sau: Cho tam giác ABC điểm M mặt phẳng tam giác Hạ M A1 , M A2 , M A3 vuông góc với BC, CA, AB Khi đó, A1 B1 C1 gọi tam giác thùy túc (hoặc tam giác bàn đạp tam giác pedal) tam giác ABC ứng với điểm M Footer Page 10 of 145 Header Page 12 of 145 10 Bài toán 2.6 Cho ∆ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) có AH đường cao Gọi D giao điểm AO với BC Chứng minh HB DB AB + ≥2 HC DC AC Bài toán 2.7 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O Phân giác góc A cắt BC A1 cắt đường tròn (O) A2 Định nghĩa tương tự cho điểm B1 , B2 C1 , C2 tương ứng Chứng minh A1 A2 B1 B2 C1 C2 + + ≥ BA2 + A2 C CB2 + B2 A AC2 + C2 B 2.1.2 Dạng toán vận dụng tích vô hướng hai vectơ Dưới số toán mà việc vận dụng tích vô hướng hai vectơ vào giải toán xem phương án tối ưu Bài toán 2.8 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O Gọi H trực tâm tam giác, G trọng tâm tam giác cho Chứng minh ⃗ + HB ⃗ + HC ⃗ = 2HO, ⃗ a) HA ⃗ + OB ⃗ + OC ⃗ = OH, ⃗ b) OA ⃗ = 3OG ⃗ c) OH Bài toán 2.9 Chứng minh tam giác ABC ta có a2 + b2 + c2 ≤ 9R2 Bài toán 2.10 (Phương tích trọng tâm) Chứng minh khoảng cách từ trọng tâm G đến tâm vòng tròn ngoại tiếp O tam giác ABC tính theo công thức OG = Footer Page 12 of 145 1√ 9R − (a2 + b2 + c2 ) Header Page 13 of 145 11 Bài toán 2.11 Chứng minh tam giác ABC ta có R ≥ (ma + mb + mc ) Bài toán 2.12 Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) Chứng minh với số thực x, y, z ta có yz cos 2A + zx cos 2B + xy cos 2C ≥ − (x2 + y + z ) Bài toán 2.13 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R Gọi G trọng tâm tam giác Các đường thẳng AG, BG, CG cắt đường tròn O A1 , B1 , C1 Chứng minh GA1 + GB1 + GC1 ≥ GA + GB + GC 2.1.3 Dạng toán vận dụng hệ thức lượng tam giác đường tròn Bài toán 2.14 Cho tam giác ABC có góc Aˆ nhọn nội tiếp đường tròn (O; R) Chứng minh BC = 2R sin BAC Bài toán 2.15 (Phương tích trực tâm) Chứng minh khoảng cách từ trực tâm H đến tâm vòng tròn ngoại tiếp O tam giác ABC tính theo công thức √ OH = R2 (1 − cos A cos B cos C) Bài toán 2.16 Cho tam giác ABC Chứng minh cot A + cot B + cot C = R(a2 + b2 + c2 ) abc Bài toán 2.17 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), xy đường thẳng tiếp xúc với (O) điểm thuộc cung BC Footer Page 13 of 145 Header Page 14 of 145 12 không chứa A Gọi hA , hB , hC độ dài đoạn thẳng vuông góc với xy vẽ từ A, B, C Chứng minh √ √ √ hA sin A = hB sin B + hC sin C Bài toán 2.18 Cho tam giác ABC M điểm tùy ý tam giác Gọi khoảng cách từ M đến BC, CA, AB h1 , h2 , h3 Chứng minh √ √ √ a2 + b2 + c2 ≥ 2R( h1 + h2 + h3 )2 Bài toán 2.19 Cho tam giác ABC nội tiếp lb l1 lc , db = , la , lb , lc đường tròn đặt da = , dc = La Lb Lc độ dài đoạn phân giác kẻ từ đỉnh A, B, C đến cạnh đối diện tam giác, La , Lb , Lc độ dài đoạn phân giác kẻ từ đỉnh đến giao điểm đường phân giác với đường tròn nói Chứng tỏ da db dc + + ≥ 2 sin A sin B sin2 C Bài toán 2.20 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Ba đường trung tuyến AA1 , BB1 , CC1 cắt đường tròn tâm (O) A2 , B2 , C2 Chứng minh AA1 BB1 CC1 + + ≤ AA2 BB2 CC2 Bài toán 2.21 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có AM trung tuyến đỉnh A Đường thẳng qua A đối xứng với M qua phân giác góc A cắt (O) điểm N Chứng minh AB.N C = AC.N B 2.1.4 Dạng toán vận dụng phép biến hình Bài toán 2.22 Tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Đường phân giác góc BAC cắt đường tròn (O) D Chứng minh 2AD > AB + AC Footer Page 14 of 145 Header Page 15 of 145 13 Bài toán 2.23 Tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm (O) BC cạnh lớn Gọi H chân đường cao tam giác BC Gọi P, Q chân đường vuông góc hạ từ H xuống AB, AC Gọi K giao điểm AO P Q D điểm thứ hai AO với đường tròn (O) Chứng minh AH = AK.AD Bài toán 2.24 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O; R) Đường tròn (O′ ; R′ ) tiếp xúc với đường tròn (O) điểm M cung nhỏ BC Kẻ tiếp tuyến AA′ , BB ′ , CC ′ với đường tròn (O′ ) Chứng minh AA′ = BB ′ + CC ′ 2.2 Đẳng thức bất đẳng thức tam giác với đường tròn nội tiếp Bài toán Hình tròn nội tiếp hình tròn lớn chứa tam giác 2.2.1 Dạng toán vận dụng tam giác đồng dạng Bài toán 2.25 Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I) Gọi D, E, F theo thứ tự tiếp điểm cạnh BC, AB, AC Gọi H chân đường cao vẽ từ D đến EF Chứng minh BHE = CHF Bài toán 2.26 Cho đường tròn (O; r) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với BC D Vẽ đường kính DE; AE cắt BC M Chứng minh BD = CM Bài toán 2.27 Từ điểm M đường tròn nội tiếp tam giác ABC cạnh a kẻ đường thẳng song song với AB AC , chúng cắt BC P, Q tương ứng Chứng a2 minh BP + P Q2 + QC = Footer Page 15 of 145 Header Page 16 of 145 14 2.2.2 Dạng toán vận dụng tích vô hướng hai vectơ Bài toán 2.28 Cho tam giác ABC có I tâm đường − → −→ −→ − → tròn nội tiếp Chứng minh aIA + bIB + cIC = Bài toán 2.29 Cho tam giác ABC có I tâm đường tròn nội tiếp Gọi Ao , Bo , Co hình chiếu I −−→ −−→ −−→ − → BC, CA, AB Chứng minh aIAo + bIBo + cICo = Bài toán 2.30 Cho tam giác ABC có I tâm đường tròn IA2 IB IC nội tiếp Chứng minh + + = bc ca ab 2.2.3 Dạng toán vận dụng hệ thức lượng tam giác đường tròn Bài toán 2.31 Các góc tam giác thỏa mãn bất ˆ > Cˆ Hỏi đỉnh tam giác nằm gần tâm đẳng thức Aˆ > B đường tròn nội tiếp cả? Bài toán 2.32 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Chứng minh + hb + hc ≥ 9r Dấu "=" xảy nào? Bài toán 2.33 Cho tam giác ABC , chứng minh r = (p − a) tan A B C = (p − b) tan = (p − a) tan 2 Bài toán 2.34 Cho I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC có diện tích S nửa chu vi p Chứng minh IA + IB + 6S IC ≥ Dấu xảy nào? p Bài toán 2.35 Chứng minh khoảng cách từ trọng tâm G đến tâm I đường tròn nội tiếp tam giác ABC tính theo công thức 1√ IG = 9r − 3p2 + 2(a2 + b2 + c2 ) Footer Page 16 of 145 Header Page 17 of 145 15 Bài toán 2.36 Cho tam giác ABC , đường tròn nội tiếp tam giác tiếp xúc với ba cạnh BC, AC, AB M, N, P Đặt N P = a1 , M P = b1 , M N = c1 Chứng minh ( )2 ( )2 ( )2 a b c + + ≥ 12 a1 b1 c1 Bài toán 2.37 Cho ∆ABC Chứng minh 1 1 + + ≤ 2 a b c 4r 2.2.4 Dạng toán vận dụng phép biến hình Bài toán 2.38 Đường tròn nội tiếp tam giác tiếp xúc với cạnh AB AC tương ứng điểm C ′ B ′ Chứng minh AC > AB CC ′ > BB ′ Bài toán 2.39 Cho đường tròn tâm (O) nội tiếp tam giác ABC , tiếp điểm thuộc AB, BC, CA I, J, K Chứng minh −→ −−→ −−→ OA sin A + OB sin B + OC sin C = 2.3 Đẳng thức bất đẳng thức liên hệ đường tròn ngoại tiếp đường tròn nội tiếp tam giác 2.3.1 Dạng toán vận dụng tam giác đồng dạng Bài toán 2.40 Cho tam giác ABC.R, r bán kính đường tròn ngoại tiếp nội tiếp tam giác ABC Chứng minh R ≥ 2r Dấu "=" xảy nào? Bài toán 2.41 Cho (I; r) đường tròn nội tiếp tam giác ABC M trung điểm BC , M I cắt đường cao AH tam giác ABC K Chứng minh AK = r 2.3.2 Dạng toán vận dụng tích vô hướng hai vectơ Footer Page 17 of 145 Header Page 18 of 145 16 Bài toán 2.42 Cho tam giác ABC , I tâm đường tròn −→ −→ −−→ −−→ nội tiếp Chứng minh (a + b + c)OI = aOA + bOB + cOC Bài toán 2.43 Với tam giác ABC , chứng minh OI = R2 − abc a+b+c 2.3.3 Dạng toán vận dụng hệ thức lượng tam giác đường tròn Bài toán 2.44 Cho tam giác ABC Gọi G, I, O trọng tâm, tâm đường tròn nội tiếp tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác Chứng minh IO ≥ OG Bài toán 2.45 Gọi H trực tâm tam giác ABC Chứng minh 2(AH.BH + AH.CH + BH.CH) = a2 + b2 + c2 + 8Rr + 4r2 − 8R2 Bài toán 2.46 Với kí hiệu thông thường, chứng minh 3r ≤ cos A + cosB + cosC ≤ R Bài toán 2.47 Chứng minh tam giác ta có h2a h2b h2 9r2 + + c ≥ bc ac ab R Bài toán 2.48 Cho tam giác ABC Các đường phân giác xuất phát từ A, B, C cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC A′ , B ′ C ′ tương ứng Chứng minh AA′ BB ′ CC ′ ≥ 16R2 r Bài toán 2.49 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R Gọi I tâm đường tròn nội tiếp tam Footer Page 18 of 145 Header Page 19 of 145 17 giác Các đường phân giác góc A, B C cắt đường tròn ngoại tiếp A1 , B1 C1 Chứng minh 1 + + ≤ IA1 IB1 IC1 R Bài toán 2.50 Chứng minh tam giác nhọn có Footer Page 19 of 145 ma mb mc R + + ≤1+ hb hc r 18 Header Page 20 of 145 CHƯƠNG ĐẲNG THỨC VÀ BẤT ĐẲNG THỨC TRONG ĐA GIÁC NỘI, NGOẠI TIẾP ĐƯỜNG TRÒN Trong chương này, trình bày toán đẳng thức, bất đẳng thức đa giác (số cạnh lớn 3) nội tiếp ngoại tiếp đường tròn 3.1 Đẳng thức bất đẳng thức đa giác nội tiếp đường tròn Bài toán 3.1 Cho hình tứ giác lồi ABCD có đường chéo AC = x, đường chéo BD = y góc tạo AC, BD α Gọi S diện tích tứ giác ABCD Chứng minh S = xy sin α Bài toán 3.2 Tứ giác nội tiếp với độ dài bốn cạnh a, b, c, d có diện tích S= √ (p − a)(p − b)(p − c)(p − d) Bài toán 3.3 (Hệ thức Feuerbach.) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn, chứng minh BD2 SACD = CD2 SABC + AD2 SBCD Bài toán 3.4 Tứ giác ABCD chứa tâm O đường tròn ngoại tiếp bán kính R Trên cạnh tứ giác chọn điểm, bốn điểm chọn tạo thành tứ giác Chứng minh chu vi 2SABCD tứ giác vừa tạo thành lớn R Bài toán 3.5 Cho tứ giác lồi ABCD nội tiếp đường tròn tâm O (với (O nằm bên tứ giác) Gọi M N P Q tứ giác mà đỉnh hình chiếu giao điểm hai đường Footer Page 20 of 145 Header Page 21 of 145 19 chéo tứ giác ABCD đến cạnh AB, BC, CD, DA Chứng minh SABCD SM N P Q ≤ Bài toán 3.6 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O; R) có AC⊥BD Chứng minh AB + CD2 = 4R2 Bài toán 3.7 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm (O) Gọi H, I theo thứ tự hình chiếu B lên AC, CD Gọi M, N theo thứ tự trung điểm AD, HI Chứng minh M N B = 90o Bài toán 3.8 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) Lấy điểm E đường chéo AC cho ABE = DAC Chứng minh hệ thức: a AB.DC = DB.AE b AB.DC + AD.BC = BD.AC Bài toán 3.9 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn Hai đường chéo AC BD cắt I Chứng minh AB CD BC AD IA IC IB ID + + + ≤ + + + CD AB AD BC IC IA ID IB Bài toán 3.10 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn O, hai đường chéo AC BD cắt I Gọi M trung điểm BC M I kéo dài cắt AB N Chứng minh DN DI = NA AI Bài toán 3.11 (Bài toán bướm) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) Gọi I giao điểm AC BD Đường thẳng vuông góc với IO I cắt AB, DC M, N Chứng minh IM = IN Footer Page 21 of 145 Header Page 22 of 145 20 Bài toán 3.12 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O; R) có AC⊥BD I Chứng minh AB + BC + CD2 + DA2 = 8R2 Bài toán 3.13 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn Chứng minh |AC − BD| ≤ |AB − CD| Bài toán 3.14 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R Chứng minh AB + AC + AD2 + 4R2 ≥ BC + CD2 + DB Bài toán 3.15 (Hàng điểm điều hòa.) Cho tứ giác ABCD hình thang nội tiếp đường tròn tâm (O) Giả sử góc đỉnh D tứ giác nhỏ AB cắt CD E , AD cắt BC F , AC cắt BD H Tia EH cắt (O) tai M N (M nằm E H ) cắt AD BC G L Tia F H cắt (O) P Q (P nằm F H ) cắt AB CD R S Chứng minh GA FA = GD FD Lúc bốn điểm D, G, A, F theo thứ tự gọi hàng điểm điều hòa Bài toán 3.16 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) Quay tứ giác quanh O góc α (0o < α < 90o ) Ta tứ giác A′ B ′ C ′ D′ Gọi M, N, P, Q giao điểm AB A′ B ′ , BC B ′ C ′ , CD C ′ D′ , DA D′ A′ Chứng minh M N = P Q Bài toán 3.17 Cho ngũ giác ABCDE Gọi I giao điểm AD BE Chứng minh DI = AI.AD Footer Page 22 of 145 Header Page 23 of 145 21 Bài toán 3.18 Cho ABCDE ngũ giác lồi nội tiếp đường tròn bán kính Nếu biết AB = a, BC = b, CD = c, DE = d, AE = a2 + b2 + c2 + d2 + abc + bcd < Bài toán 3.19 Cho đa giác cạnh A1 A2 A9 Chứng minh A1 A2 + A1 A3 = A1 A5 Bài toán 3.20 Cho lục giác nội tiếp đường tròn ABCDEF có AB = AF ; DC = DE Chứng minh AD > (BC + EF ) Bài toán 3.21 Cho đường tròn tâm O bán kính R ngoại tiếp ngũ giác lồi ABCDE có AB = BC = DE = R Gọi M, N trung điểm CD EA Chứng minh √ √ MN ≤ R + Bài toán 3.22 Trên cạnh ngũ giác có diện tích S nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R chọn điểm cho điểm tạo thành ngũ giác nội tiếp với ngũ giác cho Chứng minh ngũ giác cho chứa tâm chu vi 2S ngũ giác nội tiếp tạo thành lớn R Bài toán 3.23 Giả sử O tâm đa giác A1 A2 An , X điểm mặt phẳng Chứng minh −−→ −−→ −−→ − → a OA1 + OA2 + · · · + OAn = −−→ −−→ −−−→ −−→ b XA1 + XA2 + · · · + XAn = nXO c.A1 X +A2 X +· · ·+An X = n(R2 +d2 ) d = OX Footer Page 23 of 145 Header Page 24 of 145 22 3.2 Đẳng thức bất đẳng thức đa giác ngoại tiếp đường tròn Bài toán 3.24 a Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn (O) Chứng minh AB + CD = BC + AD b Cho tứ giác ABCD có AB + CD = BC + AD Chứng minh tứ giác ABCD ngoại tiếp Bài toán 3.25 Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn (O) Chứng minh SOAB + SOCD = SABCD Bài toán 3.26 Cho hình thang cân ABCD(AB ∥ CD) ngoại tiếp đường tròn (O; R) Chứng minh AB.CD = 4R2 Bài toán 3.27 Cho đường tròn tâm O nội tiếp hình thang ABCD, AB ∥ CD tiếp xúc với cạnh AB E , với cạnh CD BE DF F Chứng minh = AE CF 3.3 Đẳng thức bất đẳng thức đa giác vừa ngoại tiếp vừa nội tiếp đường tròn Bài toán 3.28 Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn (O; r), đồng thời nội tiếp đường tròn khác Gọi I, K, M, H theo thứ tự hình chiếu O lên AB, BC, CD, DA Chứng minh r2 = AK.CM = BI.DH Bài toán 3.29 Cho tứ giác nội tiếp ngoại tiếp ABCD cóAB = a, BC = b, CD = c, DA = d Khi diện tích S tứ √ giác tính công thức S = abcd Bài toán 3.30 Cho tứ giác ABCD vừa nội tiếp vừa ngoại tiếp đường tròn có diện tích S chu vi p Chứng minh p2 A B C D = tan + tan + tan + tan S 2 2 Footer Page 24 of 145 Header Page 25 of 145 23 Bài toán 3.31 Chứng minh đa giác có diện tích S nội tiếp hình tròn diện tích A ngoại tiếp hình tròn A+B diện tích B ta có S ≤ Footer Page 25 of 145 Header Page 26 of 145 24 KẾT LUẬN Nội dung luận văn trình bày có hệ thống toán đẳng thức bất đẳng thức liên quan đến đa giác nội, ngoại tiếp đường tròn Cụ thể tác giả hoàn thành công việc sau đây: Trình bày có hệ thống chứng minh số tính chất hình học đại số liên quan đến đa giác với đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp Trình bày toán cụ thể, logic, mạch lạc Các toán trình bày từ đến nâng cao Trình bày lời giải chi tiết đề thi học sinh giỏi, đề thi Olympic Trong khuôn khổ luận văn, tác giả trình bày chuyên sâu số dạng toán liên quan đến đa giác nội, ngoại tiếp đường tròn Đặc biệt dạng toán chứng minh đẳng thức bất đẳng thức Vẫn nhiều dạng toán mà luận văn hướng đến toán cực trị hình học, toán dựng hình, tìm tập hợp điểm, chứng minh tính chất hình học, Tác giả hi vọng cách truyền tải phần nội dung kiến thức hình học đến cho người đọc cách dễ hiểu gần gũi Tạo tiền đề cho việc vận dụng, phát huy vào giải toán chương trình cấp bậc cao Footer Page 26 of 145 ... đỉnh đa giác gọi đường tròn ngoại tiếp đa giác, đa giác gọi đa giác nội tiếp đường tròn Đường tròn tiếp xúc với tất cạnh đa giác gọi đường tròn nội tiếp đa giác, đa giác gọi đa giác ngoại tiếp đường. .. đẳng thức liên quan đến yếu tố tam giác, tứ giác đa giác nội, ngoại tiếp hình tròn Các toán đưa từ đến nâng cao, mở rộng Bên cạnh việc thể mối liên hệ yếu tố đa giác nội, ngoại tiếp đường tròn ta... ngoại tiếp đường tròn Điều kiện cần đủ đề tứ giác ngoại tiếp đường tròn tổng cạnh đối Đa giác có đường tròn ngoại tiếp, đường tròn nội tiếp Tâm hai đường tròn trùng gọi tâm đa giác 1.2 Một số