Bài 7: Cho một góc nhọn xOy và một đờng thẳng d cắt Ox tại I, cắt Oy tại J; A và B là hai điểm thuộc đoạn thẳng IJ. Tìm một điểm M trên Ox và một điểm N trên Oy sao cho tổng MA + MN + NB nhỏ nhất. Bài 8: Chứng minh rằng giao điểm của các đờng trung trực của các đoạn thẳng MA, MB nằm trên một đờng thẳng cố định không phụ thuộc vào vị trí của điểm M trên d. Bài 9: Cho tam giác ABC vuông góc tại đỉnh A. Kẻ đờng cao AH, D và E theo thứ tự là hình đói xứng của H qua các đơng thẳng AB, AC. Chứng minh rằng: a) Ba điểm D, A, E thẳng hàng. b) Tứ giác BCED là hình thang vuông. c) DHE = 90 0 . d) DE = 2AH. (Để học tốt hình học 8) V. Các bài toán về hình bình hành - đối xứng tâm Bài toán 1: (Bài toán cơ bản) Cho hình bình hành ABCD. Lấy các điểm E, F lần lợt trên các cạnh AB, DC sao cho AE = CF. Chứng minh rằng: AF = CE. Nhận xét 1: Chúng ta dễ dàng nhận thấy tứ giác EBFD là hình bình hành. Khi đó ta có bài toán sau: Bài 1.1: Cho hình bình hành ABCD. Lấy các điểm E, F lần lợt trên các cạnh AB, DC sao cho AE = CF. Chứng minh rằng: DE = BF. Nhận xét 2: Và nếu gọi M, N lần lợt là giao điểm của CE, AF với BD ta cũng nhận đợc tứ giác AMCN là hình bình hành. Do vậy nếu gọi O là giao điểm của AC và BD, chúng ta sẽ có O là trung điểm cuae EF và MN. Từ đó ta có các bài toán sau: Bài 1.2: Cho hình bình hành ABCD. Lấy các điểm E, F lần lợt trên các cạnh AB, DC sao cho AE = CF. Chứng minh rằng: AE = CF. Bài 1.3: Cho hình bình hành ABCD. Lấy các điểm E, F lần lợt trên các cạnh AB, DC sao cho AE = CF. Chứng minh rằng các đờng thẳng AC, BD, EF đồng quy. Bài 1.4: Cho hình bình hành ABCD. Lấy các điểm E, F lần lợt Trên các cạnh AB, DC sao cho AE = CF. AF và CE cắt BD lần Lợt tại N, M. Chứng minh rằng các đoạn thẳng MN và BD cắt nhau tại trung điểm chung. A D B CE F A D B CE F N M A D B CE F Nhận xét 3: Ta cũng nhận ra rằng đã có MB = DN, do vậy nếu muốn có MB = MN = DN thì E, F trở thành trung điểm của các cạnh AB, DC. Khi đó ta có bài toán sau: Bài 1.5: Cho hình bình hành ABCD. Lấy các điểm E, F lần lợt là trung điểm các cạnh AB, DC. AF và CE cắt BD lần lợt tại N, M. Chứng minh rằng: MB = MN = DN.(Bài 78 - SBT) Nhận xét 4: Trở lại bài toán 1.3, nếu gọi I là giao điểm của AM và BC, K là giao điểm của CN và AD, ta nhận đợc tứ giác AICK là hình bình hành. Từ đó ta có bài toán sau: Bài 1.6: Cho hình bình hành ABCD. Lấy các điểm E, F lần lợt trên các cạnh AB, DC sao cho AE = CF. AF và CE cắt BD lần lợt tại N, M. AM cắt BC tại I, CN cắt AD tại K. Chứng minh rằng các đờng thẳng AC, BD, EF, IK đồng qui. (Bài 84 - SBT) Bài toán 2(Bài toán cơ bản): Cho hình bình hành ABCD. Qua A vẽ đ- ờng thẳng xy chỉ có một điểm chung A với hình bình hành. Gọi BB', CC', DD' là các đờng vuông góc vẽ từ B, C, D đến đờng thẳng xy. Chứng minh rằng BB' + DD' = CC' (Bài 85 - SBT) Nhận xét 1: Chúng ta cũng nhận ra rằng O ' là trung điểm của AC ' và B'D'. Suy ra AD ' = B ' C ' . Từ đó ta có bài toán sau: Bài 1.1 : Cho hình bình hành ABCD. Qua A vẽ đờng thẳng xy chỉ có một điểm chung A với hình bình hành. Gọi BB', CC', DD' là các đờng vuông góc vẽ từ B, C, D đến đờng thẳng xy. Chứng minh rằng AD ' = B ' C ' . Nhận xét 2: Ta cũng nhận ra rằng CC' AC. Giúp ta đến với các bài toán hay và khó sau: N O M A D B CE F I K N M A D B C E F y O A C D B x D' C' B' O' Bài 1.2: Cho hình bình hành ABCD. Qua A vẽ đờng thẳng xy chỉ có một điểm chung A với hình bình hành. Gọi BB', CC', DD' là các đờng vuông góc vẽ từ B, C, D đến đờng thẳng xy. Chứng minh rằng BB' + CC ' + DD' 2AC. Bài 1.3: Cho hình bình hành ABCD. Đờng thẳng xy quay quanh A và chỉ có một điểm chung A với hình bình hành. Gọi BB', CC', DD' là các đờng vuông góc vẽ từ B, C, D đến đờng thẳng xy. Xác định vị trí của đờng thẳng xy để tổng BB' + CC ' + DD' đạt giá trị lớn nhất. Nhận xét 3: Thử vẽ trờng hợp đờng thẳng xy qua A và cắt đoạn thẳng OB ta nhận ra rằng DD' - BB' = CC ' = 2OO ' . Do vậy giúp ta đến với các bài toán hay và khó sau: Bài 1.4: Cho hình bình hành ABCD. Qua A vẽ đờng thẳng xy chỉ có một điểm chung A với hình bình hành. Gọi BB', CC', DD' là các đờng vuông góc vẽ từ B, C, D đến đờng thẳng xy. Chứng minh rằng ' BB' = DD' CC= . Nhận xét 4: Di chuyển đờng thẳng xy để đờng thẳng xy Không có điểm chung với hình bình. Gọi AA ' , BB', CC', DD' là các đờng vuông góc vẽ từ A, B, C, D đến đờng thẳng xy, chắc hẳn chúng ta cũng nhận ra rằng ta có AA ' + CC' = BB' + DD'. Từ đó ta có bài toán sau: Bài 1.5: Cho hình bình hành ABCD và đờng thẳng xy Không có điểm chung với hình bình. Gọi AA ' , BB', CC', DD' là các đờng vuông góc vẽ từ A, B, C, D đến đờng thẳng xy. Tìm mối liên hệ giữa AA ' , BB', CC', DD'. Bài toán 3(Bài toán cơ bản): Cho tam giác ABC cân tại A. D là điểm trên cạnh BC. Vẽ DE // AC, DF // AB. Chứng minh rằng: DE = AF; AE = DF. Nhận xét 1: Nh vậy nếu gọi O là trung điểm của AD, ta sẽ có O là trung điểm của EF, suy ra E, O, F thẳng hàng. Từ đó ta có bài toán sau: Bài 1.1: Cho tam giác ABC cân tại A. D là điểm trên cạnh BC. Vẽ DE // AC, DF // AB. Chứng minh rằng: E, O, F thẳng hàng. Nhận xét 2: Hơn nữa ta còn có tam giác EBD cân tại E, tam giác FDC câc tại F nên AE + AF = AE + DE = AE + BE = AB. Giúp ta có các bài toán sau: Bài 1.2: Cho tam giác ABC cân tại A. D là điểm trên cạnh BC. Vẽ DE // AC, DF // AB. Chứng minh rằng chu vi tứ giác AEDF bằng 2AB. C' O A C D B x y D' B' O' O A C D B x y A' B' C' D' O' A B C E F Bài 1.3: Cho tam giác ABC cân tại A. D là điểm chuyển động trên cạnh BC. Vẽ DE // AC, DF // AB. Chứng minh rằng chu vi tứ giác AEDF không đổi. Nhận xét 3: Và nếu gọi G là điểm trên tia đối của tia CA sao cho CG = BE. Ta có, tứ giác DECG là hình bình hành nên DC đi qua trung điểm của EG. Giúp ta có bài toán sau: Bài 1.4: Cho tam giác ABC cân tại A . 90 0 . d) DE = 2AH. (Để học tốt hình học 8) V. Các bài toán về hình bình hành - đối xứng tâm Bài toán 1: (Bài toán cơ bản) Cho hình bình hành ABCD. Lấy. IK đồng qui. (Bài 84 - SBT) Bài toán 2(Bài toán cơ bản): Cho hình bình hành ABCD. Qua A vẽ đ- ờng thẳng xy chỉ có một điểm chung A với hình bình hành. Gọi