ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TRẦN THỊ TÂM PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC Á TUYẾN TÍNH CẤP HAI VỚI HAI BIẾN ĐỘC LẬP LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN – 2012 1Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TRẦN THỊ TÂM PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC Á TUYẾN TÍNH CẤP HAI VỚI HAI BIẾN ĐỘC LẬP Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Hà Tiến Ngoạn THÁI NGUYÊN – 2012 2Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Mở đầu Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Lớp hàm Holder ……………………………………………… 1.1.1 Liên tục Holder ……………………………………… 1.1.2 Không gian C k ,   ………………………………… 1.2 Đánh giá ánh xạ bảo giác…………………………… 1.2.1 Đánh giá tích phân Dirichlet ánh xạ bảo giác………………………………………………… 1.2.2 Đánh giá chuẩn Holder ánh xạ bảo giác……… 12 Bài toán biên Dirichlet cho phương trình elliptic tuyến tính cấp hai với hai biến độc lập 16 2.1 Đánh giá địa phương chuẩn Holder cho đạo hàm cấp nghiệm phương trình tuyến tính cấp hai……………… 16 2.2 Đánh giá toàn cục chuẩn Holder cho đạo hàm cấp nghiệm phương trình tuyến tính cấp hai………………… 20 2.3 Tính giải toán biên Dirichlet cho phương trình elliptic tuyến tính cấp hai……………………………… 22 2.4 Tính giải toán biên Dirichlet cho phương trình elliptic không tuyến tính cấp hai………………………… 28 2.5 Sự tương đương độ nghiêng bị chặn điều kiện ba điểm 35 Kết luận 38 Tài liệu tham khảo 39 3Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mở đầu Lý chọn Luận văn Phương trình đạo hàm riêng cấp hai loại elliptic có trình phát triển lâu dài Trường hợp phương trình với hai biến độc lập có mối liên quan chặt chẽ với lý thuyết hàm chỉnh hình ánh xạ bảo giác mặt phẳng phức Mục tiêu Luận văn trình bày lý thuyết phương trình elliptic tuyến tính cấp hai với hai biến độc lập Khác với trường hợp số biến lớn ba, trường hợp hai biến, người ta không đòi hỏi hệ số phương trình hàm trơn, mà cần hàm liên tục Phương pháp nghiên cứu Sử dụng kết phương pháp lý thuyết ánh xạ bảo giác lý thuyết phương trình elliptic cấp hai tuyến tính với phương pháp lặp Mục đích Luận văn Trình bày tính chất định tính độ trơn nghiệm phương trình elliptic tuyến tính cấp hai với hai biến độc lập Nội dụng luận văn Nội dung chủ yếu Luận văn dựa vào chương tài liệu [1] Trong chương Luận văn trình bày khái niệm ánh xạ bảo giác với đánh giá tiên nghiệm lớp Holder chúng Các kết chương áp dụng chương vào đánh giá tiên nghiệm tính giải toán Dirichlet cho phương trình tuyến tính elliptic không Đối với trường hợp elliptic không đều, toán Dirichlet xét miền lồi với kiện biên thoả 4Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn mãn điều kiện độ nghiêng bị chặn Luận văn điều kiện độ nghiêng bị chặn tương đương với điều kiện ba điểm Luận văn hoàn thành hướng dẫn bảo nhiệt tình PGS.TS Hà Tiến Ngoạn, Viện toán học Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban Giám hiệu, phòng Đào tạo, khoa Toán – trường Đại học sư phạm, Đại học Thái Nguyên tạo điều kiện thuận lợi suốt trình học tập trường Xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp thành viên lớp cao học toán K18B quan tâm, động viên, giúp đỡ suốt thời gian học tập trình làm Luận văn Tuy có nhiều cố gắng, song thời gian lực thân có hạn nên Luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Rất mong đóng góp ý kiến thầy cô toàn thể bạn đọc Thái Nguyên, tháng 08 năm 2012 Tác giả Trần Thị Tâm 5Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Lớp hàm Holder 1.1.1 Liên tục Holder Định nghĩa 1.1 Cho x0 điểm n f hàm xác định miền bị chặn D chứa x0 Nếu    , ta nói f liên tục Holder với số mũ  x0 nếu: f (1.1)  ; x0  sup f  x   f  x0  xD x  x0 x  x0  hữu hạn Ta gọi  f  ;x hệ số Holder bậc α f x0 Nếu f liên tục Holder x0 f liên tục x0 Khi (1.1) hữu hạn với   , f liên tục Lipschitz x0 Ví dụ 1.2 Hàm f B1  0 cho f  x   x ,    liên tục  Holder với số mũ  liên tục Lipschitz   1, B1  0 hình cầu đơn vị Định nghĩa 1.3 Ta nói f liên tục Holder D với số mũ  đẳng thức: 6Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn f (1.2)  sup  ;D x , yD x y f  x  f  y x y  ,    1, hữu hạn Ta nói f liên tục Holder địa phương với số mũ  D f liên tục Holder với số mũ  tập compact D 1.1.2 Không gian C k ,   Cho  tập mở n k số nguyên không âm C k ,   không gian hàm f  C k    mà đạo hàm riêng cấp k liên tục Holder với số số mũ   Để đơn giản ta viết:     C 0,     C     , C 0,   C   Và ta hiểu với    ký hiệu sử dụng nào, trừ có quy ước khác Cũng vậy, ta đặt:     C k ,0     C k    , C k ,0   C k     số không gian Chúng bao gồm không gian C k    , C k     với    Ta ký hiệu C C k ,    , C k ,  k ,   không gian hàm C k ,   có giá compact  Ta đặt: u   D k u 0;  supsup D  u , u   D k u  ;  sup  D  u  ; k ,0; (1.3) k , ;  k  k  0,1,2,  k Với nửa chuẩn này, ta định nghĩa chuẩn tương ứng: 7Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn u C    u k ;  u k ,0;   u  j ,0;    D ju  0; , j 0 j 0 k k k (1.4) u   C k ,   u k , ;  u k ;  u k , ;  u k ;   D k u  ; ,     không gian C k  , C k ,  tương ứng Đặc biệt, đôi lúc ta đưa vào     chuẩn không thứ nguyên C k  , C k ,  :  bị chặn, với d đường kính  , ta đặt, u C     u k ;   d j u  j ,0;   d j  D j u  0; , k k j 0 j 0 k (1.5) u C     u k , ;  u k ;  d k  u k , ;  u k ;  d k   D k u  ; k ,     Các không gian C k  , C k ,  với chuẩn tương ứng không gian Banach Ta ý rằng, tích hàm liên tục Holder liên tục Holder Thật       vậy, u  C   , v  C   , ta có uv  C      ,   , uv C    max 1, d    2  u  (1.6)   C  v   C  ; uv C    u C    v C      1.2 Đánh giá ánh xạ bảo giác Nhiều khái niệm phương pháp khác lý thuyết hàm đóng vai trò đặc biệt lý thuyết phương trình elliptic hai biến Ở chủ yếu quan tâm đến đánh giá tiên nghiệm phát sinh từ lý thuyết ánh xạ bảo giác Một ánh xạ khả vi liên tục p  p  x, y  , q  q  x, y  từ miền  8Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn mặt phẳng z   x, y  tới mặt phẳng w   p, q  bảo giác hay K  bảo giác, miền  với số K  , ta có: px2  p y2  qx2  q y2  2K  px q y  p y qx  (1.7) với  x, y   Mặc dù bất đẳng thức (1.7) thỏa mãn cho p q C1    , phần kết phát triển cho p, q liên tục có đạo hàm yếu bình phương khả tích Khi K  1, (1.7) kéo theo p q số ta giả thiết K  Với K  1, ánh xạ w  z   p  z   iq  z  hàm giải tích z Khi K  bất đẳng thức (1.7) có ý nghĩa hình học điểm không triệt tiêu Jacobian ánh xạ mặt phẳng z mặt phẳng w bảo toàn định hướng ánh xạ đường tròn đủ nhỏ vào đường elliptic đủ nhỏ với tâm sai bị chặn đều, tỉ số trục nhỏ tới trục lớn bị chặn   K   K  1  1/2 Ta quan tâm đến lớp ánh xạ tổng quát  x, y    p, q  xác định bất đẳng thức: (1.8) px2  p y2  qx2  q y2  K  px q y  p y qx   K ' K , K ' số, với K  1, K '  Mặc dù ý nghĩa hình học không giống nhau, ta gọi ánh xạ tuân theo (1.8)  K , K '  bảo giác Trong phát triển tiếp theo, ta thấy ánh xạ thỏa mãn (1.7) (1.8) phát sinh từ phương trình elliptic hai biến với p  q biểu diễn đạo hàm cấp nghiệm Mục đích phần đưa đánh giá tiên nghiệm lớp Holder cho ánh xạ  K , K '  bảo giác Kết hệ bổ đề liên quan đến công thức tính tích phân Dirichlet: 9Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (1.9) D(r , z )   Br   w Dw dx dy  (z) x 2   wy dx dy Br ( z ) ánh xạ  K , K '  bảo giác w lấy đĩa Br  z  Khi để đơn giản ta viết D r  thay cho D r , z  Br thay cho Br ( z ) 1.2.1 Đánh giá tích phân Dirichlet ánh xạ bảo giác Bổ đề 1.4 Giả sử w  p  iq  K , K '  bảo giác hình tròn BR  BR ( z0 ) thỏa mãn (1.8) với K  0, K  , giả sử p  M BR Khi với r  R / , ta có (1.10) 2 r D(r )   Dw dx dy  C   ,   K  ( K  1)1/2 , R Br với C  C1 ( K )(M  K ' R2 ) Nếu K '  , kết luận với K  Chứng minh Trước tiên thiết lập đánh giá cho tích phân Dirichlet hình tròn bán kính R / Từ (1.8) ta có với hình tròn đồng tâm Br  BR , ta có: D( z)   Dw (1.11) Br dx dy  K  Br  ( p, q ) dx dy  K ' r  ( x, y ) =2K  p Cr q ds  K ' r , s với s ký hiệu độ dài cung tròn Cr  Br lấy theo phương ngược chiều kim đồng hồ Mặt khác sử dụng D'( z )   Dw ds , ta thấy: Cr 10Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read ... phương trình elliptic tuyến tính cấp hai với hai biến độc lập 16 2.1 Đánh giá địa phương chuẩn Holder cho đạo hàm cấp nghiệm phương trình tuyến tính cấp hai …………… 16 2.2 Đánh giá toàn cục chuẩn... Luận văn trình bày lý thuyết phương trình elliptic tuyến tính cấp hai với hai biến độc lập Khác với trường hợp số biến lớn ba, trường hợp hai biến, người ta không đòi hỏi hệ số phương trình hàm... hàm cấp nghiệm phương trình tuyến tính cấp hai ……………… 20 2.3 Tính giải toán biên Dirichlet cho phương trình elliptic tuyến tính cấp hai …………………………… 22 2.4 Tính giải toán biên Dirichlet cho phương