ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC DƯƠNG VĂN THẮNG NỘI SUY CÁC BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ ĐỒNG BẬC LUẬN VĂN THẠC SĨ Chuyên ngành : PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số : 60 46 01 13 Giáo viên hướng dẫn: GS.TSKH NGUYỄN VĂN MẬU THÁI NGUYÊN, 2012 Mục lục Mở đầu Các 1.1 1.2 1.3 bất đẳng thức cổ điển Bất đẳng thức Cauchy Bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân Bất đẳng thức Bernoulli toán liên quan 5 13 28 Một số toán nội suy bất đẳng thức 2.1 Nội suy bất đẳng thức bậc hai đoạn 2.2 Nội suy tam thức bậc tùy ý 2.3 Nội suy bất đẳng thức lớp hàm đơn điệu 38 38 46 53 Kết luận Tài liệu tham khảo 75 76 Mở đầu Lý chọn đề tài Bất đẳng thức nội dung quan trọng chương trình toán phổ thông thường, dạng toán thường xuất đề thi chọn học sinh giỏi nước Quốc tế Với hệ thống lí thuyết, tập phương pháp giải đa dạng nên việc dạy học chuyên đề gặp nhiều khó khăn Với mong muốn có tài liệu để bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên đề này, đồng thời giúp học sinh tìm hiểu kết bất đẳng cổ điển nhà toán học nghiên cứu có nhìn nhận khái quát nhiều bất đẳng thức mà học sinh thường gặp, để từ sáng tác nhiều toán bất đẳng thức nên tìm hiểu nghiên cứu đề tài Mục đích nghiên cứu Mục tiêu mà đề tài cần phải đạt từ toán quen thuộc hay bất đẳng thức biết, ta cần khái quát, mở rộng chúng để từ tạo nhiều bất đẳng thức Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đề tài tập trung nghiên cứu vài bất đẳng thức cổ điển toán nội suy bất đẳng thức thông qua ví dụ Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu trực tiếp từ tài liệu giáo viên hướng dẫn, tủ sách chuyên toán kỷ yếu hội thảo khoa học chuyên toán từ học kinh nghiệm giảng dạy đồng nghiệp bạn học viên lớp Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Tạo đề tài phù hợp cho việc giảng dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi cấp trung học phổ thông Cấu trúc luận văn Luận văn gồm phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo chương Chương 1.Các bất đẳng thức cổ điển Nội dung chương bất đẳng thức: Bất đẳng thức Cauchy, bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân, bất đẳng thức Bernoulli Đây sở lý thuyết để vận dụng cho toán chương sau Chương 2.Một số toán nội suy Chương trình bày số toán nội suy: Nội suy bất đẳng thức bậc hai đoạn, nội suy tam thức bậc tùy ý nội suy bất đẳng thức lớp hàm đơn điệu Luận văn hoàn thành hướng dẫn GS.TSKH Nhà giáo nhân dân Nguyễn Văn Mậu Tác giả xin bày tỏ sâu sắc tới Giáo sư tận tình giúp đỡ tác giả hoàn thành luận văn Trong trình học tập làm luận văn, tác giả nhận quan tâm, giúp đỡ Khoa Toán, Phòng đào tạo Sau đại học Trường Đại học Khoa học-Đại học Thái Nguyên, thầy cô tham gia giảng dạy lớp cao học Toán K4C Tác giả xin chân thành cảm ơn giúp đỡ quý báu Chương Các bất đẳng thức cổ điển Nội dung chương trình bày bất đẳng thức cổ điển quan trọng bất đẳng thức Cauchy, bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân, bất đẳng thức Bernoulli Đây sở lý thuyết để vận dụng cho toán chương sau 1.1 Bất đẳng thức Cauchy Định lý 1.1 (Xem [1]) Với số xi , yi , ta có bất đẳng thức sau n xi yi n n x2i ≤ i=1 i=1 yi2 i=1 Dấu đẳng thức (1.1) xảy hai số xi , yi với nhau, tức tồn cặp số α, β không đồng thời 0, cho αxi + βyi = 0, ∀i = 1, 2, , n Chứng minh Xét tam thức bậc hai sau n (xi t − yi )2 f (t) = i=1 Sau khai triển ta có n f (t) = t n x2i i=1 (1.1) − 2t n yi2 xi yi + i=1 i=1 tỉ lệ 0, ∀t ∈ R nên theo định lý dấu tam thức bậc hai Mặt khác f (t) ta có n ∆ ≤0⇔ xi yi n − i=1 Hay n n x2i yi2 ≤ i=1 xi y i n n x2i ≤ i=1 i=1 i=1 yi2 i=1 Hệ 1.1 Với hai số xi yi , yi > 0, ∀ i = 1, 2, , n, ta có x21 x22 x2n (x1 + x2 + · · · + xn )2 + + ··· + ≥ y1 y2 yn y1 + y2 + · · · + yn Bất đẳng thức thường gọi bất đẳng thức Schwarz Chứng minh Áp dụng định lý 1.1 với hai số xi √ yi , ta có √ , yi x1 √ x2 √ xn √ y1 + √ y2 + · · · + √ yn √ y1 y2 yn x21 x22 x2n ≤ + + ··· + y1 y yn ⇔ x1 + x2 + · · · + xn y1 + y2 + · · · + yn x2n x21 x22 + + ··· + ≤ y1 y yn y1 + y2 + · · · + yn Hay x21 x22 x2n (x1 + x2 + · · · + xn )2 + + ··· + ≥ y1 y2 yn y1 + y2 + · · · + yn Một số bất đẳng thức liên quan Định lý 1.2 (Xem [1]) Với cặp dãy số thực a = (a1 , a2 , , an ) b = (b1 , b2 , , bn ) ≤ x ≤ 1, ta có n ak b k + x k=1 b j i=j n n a2k ≤ k=1 + 2x b2k + 2x aj i