PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÙ NINH ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU LỚP Năm học 2015 - 2016 Môn: TOÁN Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Bài (4,0 điểm) Cho A = + 32 + 33 + … + 32015 + 32016 a) Tính A b) Tìm chữ số tận A c) A có số phương không? Vì sao? Bài (4,0 điểm) a) Tìm x, biết: x − +2 = b) Tìm phân số có tổng chúng 1 , tử chúng tỉ lệ với 3; 4; 70 mẫu số tương ứng chúng tỉ lệ với 5; 1; Câu (3,0 điểm) Cho hàm số: y = f(x) = ax + có đồ thị qua điểm A(a + 1; a2 – a) a) Tìm a b) Với a vừa tìm được, tính giá trị x thỏa mãn: f(3x- 1) = f(1- 3x) Câu (6,0 điểm) Cho tam giác ABC có Â < 90 Vẽ phía tam giác hai đoạn thẳng AD vuông góc AB; AE vuông góc AC a) Chứng minh: DC = BE DC ⊥ BE b) Gọi N trung điểm DE Trên tia đối tia NA lấy M cho NA = NM Chứng minh: AB = ME ΔABC = ΔEMA c) Chứng minh: MA ⊥ BC Câu (3,0 điểm): 1) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A= x − 2016 + 2017 x − 2016 + 2018 2) Tìm số nguyên x, y cho: x - 2xy + y = - Hết -Họ tên thí sinh: ………………………………………………… Số báo danh http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÙ NINH HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU LỚP NĂM HỌC 2015 – 2016 Môn thi: Toán Bài (4,0 điểm) Câu Ta có: a/ (1,5 đ) Nội dung Điểm 2015 2016 A= 3+3 +3 +…+3 +3 0,5 3A = 32 + 33 + 34 + … + 32016 + 32017 Suy ra: 3A - A = (32 + 33 + 34 + … + 32016 + 32017 )- (3 + 32 + 33 + … 0,5 + 32015 + 32016) A= b/ (1,5 đ) c/ (1,0 đ) 32017 − 0,5 Ta có: A = (3 + 32 + 33 + 34) + … +(32013 + 32014 + 32015 + 32016) = 3(1 + + 32 + 33) + + 32013(1 + + 32 + 33) = 3.40 + + 32013.40 = 40.(3 + 35 + + 32013) Suy A có chữ số tận Lập luận A chia hết cho Lập luận A không chia hết cho 32 Mà số nguyên tố nên suy A không số phương 0,75 0,5 0,25 0,25 0,25 0,5 Câu (4,0 điểm) Câu a/ (2,0 đ) b/ (2,0 đ) Nội dung Lập luận x − +2 > Điểm 0,5 Nên x − +2 = ⇒ x − +2 = ⇒ x − = 0,75 ⇒ x -1 = x – = -1 ⇒ x = x = Vậy x = ; x = a b c Gọi phân số cần tìm ; ; ta có x y z a b c a b c x y z + + =1 = = ; = = x y z 70 5 0,5 0,25 ⇒ a x b y c z : = : = : 5 a b c y ⇒ x3 = = 5z Theo tính chất dãy tỉ số ta có: a b c a b c + + x = y = z = x y z = 70 = ⇒ a = ; b = ; c = x 35 y z 14 5 71 + + 5 10 ; ; Vậy phân số cần tìm 35 14 Câu 3: (4,0 điểm) http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 0,5 0,75 0,5 0,25 a/ (1,5đ) b/ (1,5đ) Đồ thị hàm số y = ax + qua điểm A(a+1; a2- a) nên có: a2- a = a(a+1) +4 ⇒ a2 - a = a2 +a + ⇒ a = -2 Vậy a = -2 đồ thị qua điểm A(a + 1; a2 – a) Với a = -2 ta có hàm số y = f(x) = -2x + ⇒ f(3x- 1) = -6x + 6; f(1- 3x) = 6x + Do đó: f(3x- 1) = f(1- 3x) ⇒ -6x + = 6x + ⇒ x = Vậy x = f(3x- 1) = f(1- 3x) 0,5 0,75 0,25 0,5 0,75 0,25 Câu 4: (6 điểm) a/ Xét ΔADC ΔBAF ta có: DA = BA(gt) AE = AC (gt) DAC = BAE ( 900 + BAC ) => ΔDAC = ΔBAE(c.g.c ) => DC = BE Xét ΔAIE ΔTIC I1 = I2 ( đđ) E1 = C1( ΔDAC = ΔBAE) => EAI = CTI => CTI = 900 => DC ⊥ BE b/ Ta có: ΔMNE = ΔAND (c.g.c) 2,0 => D1 = MEN, AD = ME mà AD = AB ( gt) => AB = ME (đpcm) (1) Vì D1 = MEN => DA//ME => DAE + AEM = 1800 ( phía ) mà BAC + DAE = 1800 => BAC = AEM ( ) Ta lại có: AC = AE (gt) ( 3) Từ (1),(2) (3) => ΔABC = ΔEMA (đpcm) c/ Kéo dài MA cắt BC H Từ E hạ EP ⊥ MH Xét ΔAHC ΔEPA có: CAH = AEP (do phụ với góc PAE) AE = CA ( gt) PAE = HCA (do ΔABC = ΔEMA câu b) http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 2,0 => ΔAHC = ΔEPA => EPA = AHC => AHC = 900 => MA ⊥ 2,0 BC (đpcm) Câu (3,0 điểm): Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A= A= x − 2016 + 2017 x − 2016 + 2018 x − 2016 + 2018 − x − 2016 + 2018 A=1 − x − 2016 + 2018 Đặt B= x − 2016 + 2018 x − 2016 + 2018 ≥ 2018 Với giỏ trị x Mà tử số dương không đổi mẫu số đạt GTNN 2018 dấu “=” xẩy x − 2016 = ⇒ x = 2016 Vậy B đạt GTLN mà số dương không đổi ⇒ A=1-B đạt 2018 2017 GTNN ⇒ MinA= 1= 2018 2018 x – 2xy + y = 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 (2x – 1) (1 – 2y) = –1 Z nên (2x – 1) (1 – 2y) 0,25 0,25 2x – – 4xy + 2y = –1 Vì x, y 0,25 Z 0,25 TH 1: ( Thỏa mãn ) TH 2: ( Thỏa mãn ) Vậy ( ; ) = ( 1;1), (0;0) - Hết - http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 0,25 0,25 ...PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÙ NINH HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU LỚP NĂM HỌC 2015 – 2016 Môn thi: Toán Bài (4,0 điểm) Câu Ta có: a/ (1,5 đ) Nội dung Điểm 2015 2016 A= 3+3 +3 +…+3 +3... 0,5 3A = 32 + 33 + 34 + … + 32016 + 320 17 Suy ra: 3A - A = (32 + 33 + 34 + … + 32016 + 320 17 )- (3 + 32 + 33 + … 0,5 + 32015 + 32016) A= b/ (1,5 đ) c/ (1,0 đ) 320 17 − 0,5 Ta có: A = (3 + 32 +... http://violet.vn/nguyenthienhuongvp 77 2,0 => ΔAHC = ΔEPA => EPA = AHC => AHC = 900 => MA ⊥ 2,0 BC (đpcm) Câu (3,0 điểm): Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A= A= x − 2016 + 20 17 x − 2016 + 2018 x − 2016 + 2018 − x − 2016 + 2018