PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN THIỆU HOÁ Đề thức (Đề gồm 01 trang) ĐỀ THẨM ĐỊNH HSG LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC: 2015 - 2016 MÔN TOÁN Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề Ngày thi: 12 tháng năm 2016  x2   10 − x    + + : x − + Câu (4,0 điểm): Cho biểu thức: A =    x+2  x − x − 3x x +   a) Rút gọn biểu thức A b) Tính giá trị biểu thức A với giá trị x thoả mãn |x+1| = |- 1| c) Tìm giá trị nguyên x để A có giá trị nguyên Câu (4,0 điểm): x +1 x −1    a) Giải phương trình: x + x + − x − x + = x x + x + ( ) b) Tìm số nguyên (x; y) thỏa mãn: y(x – 1) = x2 + Câu (3,0 điểm): a) Chứng minh m; n số tự nhiên thỏa mãn: 4m + m = 5n + n thì: (m - n) ( 5m + 5n + ) số phương b) Cho các số a; b; c thỏa mãn: 12a − b = 12b − c = 12c − a = 2015 670a + b + c 670b + c + a 670c + a + b + + Tính giá trị của biểu thức: P = a b c Câu (5,0 điểm): Cho tam giác ABC vuông A Lấy điểm M cạnh AC Từ C vẽ đường thẳng vuông góc với tia BM, đường thẳng cắt tia BM D, cắt tia BA E · · a) Chứng minh: EAD = ECB · b) Cho BMC = 120 SAED = 36cm2 Tính SEBC? c) Kẻ DH ⊥ BC (H ∈ BC) Gọi P, Q trung điểm đoạn thẳng BH DH Chứng minh CQ ⊥ PD Câu (2,0 điểm): Cho điểm D thay đổi cạnh BC tam giác nhọn ABC (D khác B C) Từ D kẻ đường thẳng song song với AB cắt cạnh AC điểm N Cũng từ D kẻ đường thẳng song song với AC cắt cạnh AB điểm M Tìm vị trí D để đoạn thẳng MN có độ dài nhỏ Câu (2,0 điểm): Tìm số có chữ số: a1a a thoã mãn đồng thời điều kiện sau: ( a1a 2a = a a ) ( ) a 4a 5a 6a a = a a Họ tên thí sinh: Số báo danh: http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN THIỆU HÓA HƯỚNG DẤN CHẤM ĐỀ THẨM ĐỊNH HSG NĂM HỌC: 2015 - 2016 MÔN TOÁN Thời gian làm 150 phút Câu Biểu điểm Nội dung a) (2,0 điểm): ĐKXĐ : x ≠ 0, x ≠ ± Câu (4,0 điểm) Rút gọn A = 0,5đ 1,5đ 2−x b) (1, điểm): |x+1 | = | - 1| ⇔ x = -2 x = Với x = x = -2 không thoả mãn ĐKXĐ nên A giá trị c) (1,0 điểm): Vì x nguyên nên để A có giá trị nguyên - x ∈{1;−1} ⇒x ∈{1;3} 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ a) (2,0 điểm): Câu (4,0 điểm) 1 1   Ta có: x + x + =  x + ÷ + > ; x − x + =  x − ÷ + > 2 2   1  x + x + =  x + ÷ + > nên phương trình xác định với x ≠ 2  x +1 x −1 Phương trình x + x + − x − x + = x x + x + ⇔ ⇔ 0,5đ ( x + 1) ( x − x + 1) − ( x − 1) ( x + x + 1) x3 (x +1− ( x ) + x + x2 − x + −1 x + x +1 )( )= ( = ) 0,5đ 4 x x + x2 + ( ) 4 ⇔ = 2 x + x + x x + x2 + x x + x +1 ( ) ( ) ⇔ x = ⇔ x = (thỏa mãn) 0,5đ 0,25đ 0,25đ Vậy phương trình cho có nghiệm x = b) (2,0 điểm): Với x = ta có: 0y = (phương trình vô nghiệm) x2 + Xét x ≠ ta có : y = =x+1+ x −1 x −1 Vì x, y ∈ Z nên x – ước Ta có trường hợp sau: http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 0,25đ 0,25đ 0,25đ x – = ⇔ x = ⇒ y = (thỏa mãn) x – = -1 ⇔ x = ⇒ y = -2 (thỏa mãn) x– = ⇔ x = ⇒ y = (thỏa mãn) x – = -3 ⇔ x = -2 ⇒ y = -2 (thỏa mãn) Vậy (x, y) ∈ {(4, 6), (2, 6) , (-2, -2), (0,-2)} • • • • Câu (3,0 điểm) 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ a) (1,5 điểm): Ta có 4m + m = 5n + n 0,25đ ⇔ 5( m − n ) + m − n = m ⇔ ( m − n )( 5m + 5n + 1) = m (*) Gọi d ƯCLN(m - n; 5m + 5n + 1) ⇒ (m - n)  d và (5m + 5n + 1)  d 0,25đ (m - n)  d ⇒ 5m - 5n  d ⇒ (5m + 5n + 1) + (5m - 5n) d ⇒ 10m + 1 d Mặt khác từ (*) ta có: m d ⇒ m d Mà 10m + 1 d nên 1 d 0,5đ ⇒ d = (Vì d là số tự nhiên) Vậy (m - n);(5m + 5n + 1) số tự nhiên nguyên tố nhau, thỏa mãn (*) nên chúng số phương 0,5đ b) (1,5 điểm): 12a − b = 2015 12a = 2015 + b a >    4 Vì 12b − c = 2015 ⇔ 12b = 2015 + c ⇒ b > 12c − a = 2015 12c = 2015 + a c >    - Giả sử a < b ⇔ 12a < 12b ⇔ 12a – 12b < mà 12a – 12b = b4 – c4 ⇒ b4 – c4 < ⇔ b4 < c4 ⇔ b < c ( vì b ; c > ) (1) ⇔ 12b < 12c ⇔ 12b - 12c < Lại có: 12b – 12c = c4 – a4 ⇒ c4 – a4 < ⇔ c4 < a4 ⇔ c < a ( vì c; a > ) (2) Từ (1) và (2) ta có: b < c < a ⇒ Trái với giả sử - Giả sử a > b Chứng minh tương tự ta được b > c > a ⇒ Trái với giả sử Vậy a = b ⇒ 12a – 12b = ⇒ b4 – c4 = ⇒ b = c ( vì b; c > 0) ⇒ a=b=c 670a + b + c 670b + c + a 670c + a + b ⇒ P= + + a b c 672a 672b 672c + + = 672 + 672 + 672 = 2016 = a b c http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 0,25đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ E D A Câu (5,0 điểm) M Q B P I C H a) (2,0 điểm): - Chứng minh ∆ EBD đồng dạng với ∆ ECA (g-g) EB ED = ⇒ EA.EB = ED.EC - Từ suy EC EA - Chứng minh ∆ EAD đồng dạng với ∆ ECB (c-g-c) · · - Suy EAD = ECB b) (1,5 điểm): · - Từ BMC = 120o ⇒ ·AMB = 60o ⇒ ·ABM = 30o ED µ = 30o ⇒ ED = EB ⇒ = - Xét ∆ EDB vuông D có B EB 2 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ - Lý luận cho S EAD  ED  = ÷ từ S ECB  EB  ⇒ SECB = 144 cm2 c) (1,5 điểm): - Chứng minh PQ đường trung bình tam giác BHD ⇒ PQ // BD - Mặt khác: BD ⊥ CD (Giả thiết) - Suy ra: PQ ⊥ DC ⇒ Q trực tâm tam giác DPC Hay CQ ⊥ PD 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ Câu (2,0 điểm) http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 Dựng hình bình hành ABEC, gọi F giao DN AE BM BD = Theo định lý TaLet có: Từ DM // AC ⇒ AB BC BD AN = DN // AB ⇒ BC AC AN FN = NF // CE ⇒ AC EC BM FN = Từ suy ra: (1) AB EC Do AB = CE nên từ (1) ta có BM = FN Theo gt BM // FN nên BMNF hình bình hành, MN = BF Vậy MN nhỏ BF nhỏ Do B điểm cố định, AE cố định nên BF ngắn F chân đường vuông góc hạ từ B xuống AE Từ điểm D xác định sau: Từ B hạ BF ⊥ AE, dựng đường thẳng qua F song song với AB cắt BC D ( Ta có: a1a 2a = ( a a ) (1) a 4a a a a = a a Câu (2,0 điểm) ) 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ (2) Từ (1) (2) => 22 ≤ a7 a8 ≤ 31 0,5đ (2) => (a7 a8 )3 = a4 a5 a6 00 + a7 a8  (a7 a8 )3 - a7 a8 = a4 a5 a6 00  ( a7 a8 - 1) a7 a8 ( a7 a8 + 1) = 4.25 a4 a5 a6 Nhưng  ( a7 a8 - 1) ; a7 a8 ; ( a7 a8 + 1) số tự nhiên liên tiếp, có số chia hết cho 25, số nhỏ 50 (vì tích 48.49.50 = 117600 > a4 a5 a6 00 ) Suy có số 25 Nên có có khả năng: + a7 a8 + = 25 => a7 a8 = 24 => a1a a số 57613824 0,5đ 0,5đ + a7 a8 = 25 => a1a a số 62515625 + a7 a8 - = 25 => a7 a8 = 26 => Không thỏa mãn 0,5đ Lưu ý: Học sinh làm cách khác cho điểm tối đa http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 ... 22 ≤ a7 a8 ≤ 31 0,5đ (2) => (a7 a8 )3 = a4 a5 a6 00 + a7 a8  (a7 a8 )3 - a7 a8 = a4 a5 a6 00  ( a7 a8 - 1) a7 a8 ( a7 a8 + 1) = 4.25 a4 a5 a6 Nhưng  ( a7 a8 - 1) ; a7 a8 ; ( a7 a8 + 1) số...PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN THIỆU HÓA HƯỚNG DẤN CHẤM ĐỀ THẨM ĐỊNH HSG NĂM HỌC: 2015 - 2016 MÔN TOÁN Thời gian làm 150 phút Câu Biểu điểm Nội dung a) (2,0... tích 48. 49.50 = 117600 > a4 a5 a6 00 ) Suy có số 25 Nên có có khả năng: + a7 a8 + = 25 => a7 a8 = 24 => a1a a số 5761 382 4 0,5đ 0,5đ + a7 a8 = 25 => a1a a số 62515625 + a7 a8 - = 25 => a7 a8 =