I HC THI NGUYấN TRNG I HC KHOA HC ========== NGUYN VN HIP T BI TON GII PHNG TRèNH TI BI TON DNG HèNH Chuyờn ngnh: Phung phỏp toỏn s cp Mó s: 60.46.40 LUN VN THC S PHNG PHP TON S CP Thỏi Nguyờn - 2010 S húa bi Trung tõm Hc liu - i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Mc Lc Li cm n Li núi u Chng Nhỡn chung v bi toỏn gii phng trỡnh 1.1 Bi toỏn chng minh i tng tha iu kin 1.2 Bi toỏn tỡm i tng tha iu kin 1.3 ng thc 1.3.1 nh ngha 1.3.2 Vớ d 1.4 Phng trỡnh 1.4.1 Phng trỡnh v nghim ca phng trỡnh 1.4.2 Vớ d 10 1.4.3 Gii phng trỡnh, ng li chung gii mt phng trỡnh 10 1.4.4 Phng trỡnh h qu, phng trỡnh tng ng 16 1.4.5 Phng trỡnh cú tham s 16 Chng T bi toỏn gii phng trỡnh ti bi toỏn dng hỡnh 16 2.1 Cỏi nhỡn tng quan 19 2.1.1 Mt kt lun khỏc thng 44 2.1.2 Mt kt lun quan trng 45 2.1.3 V hỡnh li gii bi toỏn dng hỡnh bng phng phapsboons bc .18 2.2 Vớ d 18 Kt lun 43 Ti liu tham kho 44 S húa bi Trung tõm Hc liu - i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn LI CM N Bn lun ny c hon thnh di s hng dn ca TS Nguyn Minh H Tỏc gi xin by t lũng bit n sõu sc nht n Thy v cụng tỏc ging dy cựng vi s hng dn tn tỡnh thi gian tỏc gi hc cao hc v hon thnh lun Trong quỏ trỡnh hc tp, tỏc gi ó nhn c s quan tõm giỳp v s ging dy nhit tỡnh ca cỏc Thy, Cụ cụng tỏc ti trng i Hc Khoa Hc i hc Thỏi Nguyờn, Khoa Cụng Ngh Thụng Tin i Hc Thỏi Nguyờn, Trng i Hc S Phm i Hc Thỏi Nguyờn, Vin Toỏn Hc Tỏc gi xin by t lũng bit n sõu sc n cỏc Thy, Cụ Tỏc gi xin chõn thnh cm n Ban Giỏm Hiu Trng THPT Lc Ngn s 4, Ban Giỏm Hiu Trng THPT B H, ó to iu kin thun li thi gian tỏc gi hc cao hc v hon thnh lun Tỏc gi xin chõn thnh cm n cỏc anh ch, cỏc bn hc viờn cao hc, bn bố, ng nghip v gia ỡnh, ó giỳp rt nhiu quỏ trỡnh hc v hon thnh lun Thỏi nguyờn ngy thỏng 11 nm 2010 Tỏc gi Nguyn Vn Hip S húa bi Trung tõm Hc liu - i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn LI NểI U Bi toỏn dng hỡnh l mt ba bi toỏn tỡm i tng tha iu kin c bn ca chng trỡnh toỏn ph thụng: bi toỏn gii phng trỡnh, bi toỏn qu tớch, bi toỏn dng hỡnh Dy cho hc sinh hiu c bn cht logic ca bi toỏn dng hỡnh l mt tng i khú, bi nhng lớ sau: + Tỡm kim bng cụng c hon ton mi (compa v thc k), i tng cn tỡm mi v a dng (im, tam giỏc, ng trũn ) + Hc sinh ph thụng c hc qỳa ớt v dng hỡnh (thi lng quỏ ớt, c th cỏc em c hc khong t n tit v bi toỏn dng hỡnh) Lm th no cỏc em hc sinh ph thụng cú th hiu c bn cht logic ca bi toỏn dng hỡnh? Lm th no cỏc em hc sinh ph thụng cú th gii bi toỏn dng hỡnh mt cỏch n gin? Cõu tr li m tụi tỡm thy l: Ly s vng vng bi toỏn gii phng trỡnh khc phc s non nt bi toỏn dng hỡnh Bi nhng gỡ ó phõn tớch trờn, tụi chn cho lun ca mỡnh ti T bi toỏn gii phng trỡnh ti bi toỏn dng hỡnh Lun ny bao gm hai chng: Chng Nhỡn chung v bi toỏn gii phng trỡnh Tụi a cỏc cỏch gii ca hai bi toỏn: bi toỏn chng minh i tng tha iu kin v bi toỏn tỡm kim i tng tha iu kin Tụi gii thiu vi hc sinh mt cỏch tng quan v bi toỏn gii phng trỡnh Chng T bi toỏn gii phng trỡnh ti bi toỏn dng hỡnh Tụi phõn tớch cho hc sinh thy rừ s ng nht v mt logic gia bi toỏn gii phng trỡnh v bi toỏn dng hỡnh, ng thi cng phõn tớch hc sinh thy c nhng khỏc bit c th gia bi toỏn gii phng trỡnh (tỡm giỏ tr ca n cho phng trỡnh tr thnh ng thc ỳng) v bi toỏn dng hỡnh (tỡm bng thc v compa hỡnh (H) tho nhng rng buc no ú) Tip theo l mt s vớ d v bi toỏn dng hỡnh, cú li gii, kốm theo nhn xột nhm lm sỏng t hn v mi liờn h gia bi toỏn gii phng trỡnh v bi toỏn dng hỡnh S húa bi Trung tõm Hc liu - i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn CHNG I NHèN CHUNG V BI TON GII PHNG TRèNH 1.1 Bi toỏn chng minh i tng tha iu kin Bi toỏn chng minh i tng tha iu kin, v hỡnh thc nú c phỏt biu nh sau: Cho i tng A( ) chng minh rng i tng B() V phng din logic, bi toỏn chng minh i tng tho iu kin ch cú hai phng phỏp gii, c mụ hỡnh hoỏ nh sau Phng phỏp 1, chng minh trc tip* A( ) B() Phng phỏp 2, chng minh phn chng B() A( ) Hai phng phỏp gii bi toỏn chng minh i tng tho iu kin khỏ n gin, tng i d hiu i vi hc sinh 1.2 Bi toỏn tỡm i tng tha iu kin Bi toỏn tỡm kim i tng tho iu kin c phỏt biu nh sau: Tỡm tt c cỏc i tng A( ) Bi toỏn tỡm i tng tho iu kin ch cú ba phng phỏp gii, c mụ hỡnh hoỏ nh sau Phng phỏp 1, bin i h qu v th li* Bc 1, bin i h qu* A( ) A T Bc 2, th li* A T A( ) Phng phỏp 2, bin i tng ng* A( ) A T Chỳ ý V phng din lụgic, phng phỏp bin i tng ng cng chớnh l phng phỏp bin i h qu v th li Tuy nhiờn, li gii mi bi toỏn tỡm kim i tng c th, s dng phng phỏp no hai phng phỏp trờn l khụng n gin ũi hi ngi gii toỏn phi cú k nng Phng phỏp 3, oỏn nhn v khng nh* Bc 1, oỏn nhn* Bng mt cỏch no ú ch rng T A( ) Bc 2, khng nh* A T A( ) A T A( ) Chỳ ý Nu s dng phng phỏp oỏn nhn v khng nh thỡ ta phi cú thao tỏc oỏn nhn hp T trc tin hnh thao tỏc nh khng: chng minh S húa bi Trung tõm Hc liu - i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn A T A( ) Nh vy, phng phỏp on nhn v khng nh khụng t nhiờn bng phng phỏp bin i h qu v th li Vỡ lớ trờn, phng phỏp oỏn nhn v khng nh ớt c s dng hn phng phỏp bin i h qu v th li Kớ hiu A( ) biu th i tng A cú tớnh cht Cựng vi kớ hiu A( ), ta cũn dựng kớ hiu A( ) biu th i tng A khụng cú tớnh cht Cỏc kớ hiu A( ) v A( ) cú hiu lc ton b lun ny Trong bi toỏn 2, thut ng tỡm cn phi hiu l tỡm ht ch khụng phi l tỡm c Núi mt cỏch chớnh xỏc, tỡm hp A A( ) Trong cỏc bi toỏn tỡm i tng tho iu kin ca chng trỡnh toỏn ph thụng, ba bi toỏn sau c coi l in hỡnh 1) Bi toỏn tỡm i tng tho iu kin th nht, gii phng trỡnh Tỡm giỏ tr ca n cho thay giỏ tr ú vo v trớ ca n, phng trỡnh tr thnh ng thc ỳng 2) Bi toỏn tỡm i tng tho iu kin th hai, qu tớch Tỡm hỡnh (H) gm tt c cỏc im A( ) 3) Bi toỏn tỡm i tng tho iu kin th ba, dng hỡnh Tỡm (bng thc v compa) hỡnh A( ) 1.3 ng thc 1.3.1 nh ngha Hai biu thc ni vi bi mt du bng c gi l ng thc Mi mt biu thc núi nh ngha trờn c gi l mt v ca ng thc 1.3.2 Vớ d = (ng thc ỳng) = (ng thc sai) 2x + = (vỡ giỏ tr ca x cha c th nờn ta cha th núi ng thc ny l ỳng hay l sai) 3x2 +xy3 = 5zy +z4 (vỡ giỏ tr ca x, y, z cha c th nờn ta cha th núi ng thc ny l ỳng hay l sai) Nờn chỳ ý rng vic kim tra tớnh ỳng, sai ca mt ng thc núi chung khụng n gin S húa bi Trung tõm Hc liu - i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn 1.4 Phng trỡnh 1.4.1 Phng trỡnh v nghim ca phng trỡnh Hai biu thc cú cha cỏc s cha bit (gi l n) ni vi bi mt du bng c gi l phng trỡnh Mi biu thc núi nh ngha trờn c gi l mt v ca phng trỡnh Nhng giỏ tr ca n lm cho phng trỡnh tr thnh ng thc ỳng c gi l nghim ca phng trỡnh 1.4.2 Vớ d = (phng trỡnh nhn mi giỏ tr ca n lm nghim) = (phng trỡnh vụ nghim) 2x + = (phng trỡnh (n x) cú nht nghim x = 2; phng trỡnh n (x, y) cú vụ s nghim dng (2, y); ) 3x2 +xy3 = 5zy +z4 (phng trỡnh n (x, y, z); phng trỡnh n (x, y, z, t); ) Tr mt vi loi phng trỡnh c hc chng trỡnh toỏn ph thụng, nhỡn chung vic tỡm cỏc nghim ca mt phng trỡnh khụng h n gin 1.4.3 Gii phng trỡnh, ng li chung gii mt phng trỡnh Gii phng trỡnh tc l tỡm ht cỏc nghim ca phng trỡnh ú Nh vy bi toỏn gii phng trỡnh l mt cỏc bi toỏn tỡm i tng tho iu kin Do ú, v phng din logic nú ch cú th c gii bi mt ba phng phỏp sau: bin i h qu v th li; bin i tng ng; oỏn nhn v khng nh Cỏc vớ d di õy l s c th hoỏ ba phng phỏp gii Vớ d 1.1, bin i h qu v th li Gii phng trỡnh sau x x Li gii Bc 1, bin i h qu Gi s x0 l nghim ca phng trỡnh, theo nh ngha nghim ca phng trỡnh, ta thy: x x l ng thc ỳng x x 02 6x l ng thc ỳng x 20 7x 10 l ng thc ỳng S húa bi Trung tõm Hc liu - i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn (x 2)(x 5) l ng thc ỳng x đẳng thức x đẳng thức x đẳng thức x đẳng thức Bc 2, th li Vỡ nờn khụng phi l nghim ca phng trỡnh Vỡ nờn l nghim ca phng trỡnh Kt lun Phng trỡnh cú nghim l Vớ d 1.2, bin i tng ng Gii phng trỡnh sau x x(x 3) Li gii Cỏch Ta thy: x0 l nghim ca phng trỡnh x x (x 3) l ng thc ỳng x x (x 3) x tuyển hai hệ đẳng thức bất đẳng thức (x 1) x (x 3) x x 2x 0 x tuyển hai hệ đẳng thức bất đẳng thức x 4x 0 x S húa bi Trung tõm Hc liu - i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn x x x tuyển hai hệ đẳng thức bất đẳng thức x x x x x tuyển ba đẳng thức x Kt lun Phng trỡnh cú nghim l 2.; 3; Cỏch Trng hp x Ta thy: x0 l nghim ca phng trỡnh x x (x 3) l ng thc ỳng x 2x l ng thc ỳng x l tuyn hai ng thc ỳng x Kt hp vi iu kin x 0, ta thy: x0 l nghim ca phng trỡnh x l ng thc ỳng Trng hp x Ta thy: x0 l nghim ca phng trỡnh (x 1) x (x 3) l ng thc ỳng x 4x l ng thc ỳng x l tuyn hai ng thc ỳng x Kt hp vi iu kin x 0, ta thy: S húa bi Trung tõm Hc liu - i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn x0 l nghim ca phng trỡnh x l tuyn hai ng thc ỳng x Kt lun Kt hp c hai trng hp, ta thy phng trỡnh cú ba nghim l 2, 3, Vớ d 1.3, oỏn nhn v khng nh Gii phng trỡnh sau x 60 28 x Li gii Bc 1, oỏn nhn D thy, v l nghim ca phng trỡnh Bc 2, khng nh Khi x 4, ta thy x4 60 4 60 28 28 43 x Khi x 4, ta thy x4 60 4 60 28 28 43 x Túm li, x khụng phi l nghim ca phng trỡnh Kt lun Phng trỡnh cú hai nghim, v Vớ d 1.4, on nhn v khng nh x x Li gii Vỡ cỏc s di cn bc chn phi nhn giỏ tr khụng õm nờn < x < Vỡ < x < nờn x x Kt lun Phng trỡnh vụ nghim Chỳ ý Vỡ phng trỡnh vụ nghim nờn li gii trờn khụng cú bc oỏn nhn m ch cú bc khng nh S húa bi Trung tõm Hc liu - i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read ... phng phỏp bin i h qu v th li Kớ hiu A( ) biu th i tng A cú tớnh cht Cựng vi kớ hiu A( ), ta cũn dựng kớ hiu A( ) biu th i tng A khụng cú tớnh cht Cỏc kớ hiu A( ) v A( ) cú hiu lc ton b lun ny