ĐẠI CƢƠNG VỀ ĐƢỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG (PHẦN 1) I KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU Mặt phẳng Mặt phẳng bề dày giới hạn Ta dùng chữ in hoa chữ Hy Lạp đặt dấu ngoặc () để ghi tên mặt phẳng Cách biểu diễn không gian: Dùng hình bình hành hay miền góc ghi tên mặt phẳng vào góc hình biểu diễn Điểm thuộc mặt phẳng Điểm A thuộc mặt phẳng    kí hiệu: A     Điểm B không thuộc mặt phẳng    kí hiệu: B     Một số quy tắc biểu diễn hình học không gian Hình biểu diễn đường thẳng đường thẳng Hình biểu diễn đường thẳng cắt đường thẳng cắt Hình biểu diễn đường thẳng song song đường thẳng song song Hình biểu diễn đoạn thẳng đoạn thẳng Hình biểu diễn phải giữ nguyên quan hệ thuộc điểm đường thẳng Đường nhìn thấy vẽ nét liền Đường bị che khuất vẽ nét đứt II CÁC TÍNH CHẤT THỪA NHẬN Tính chất Có đường thẳng qua hai điểm phân biệt Tính chất Có mặt phẳng qua ba điểm không thẳng hàng Tính chất Nếu đường thẳng có hai điểm phân biệt thuộc mặt phẳng điểm đường thẳng thuộc mặt phẳng Nếu điểm đường thẳng d thuộc mặt phẳng    ta nói đường thẳng d nằm    hay    chứa d Kí hiệu d     Tính chất Tồn điểm không thuộc mặt phẳng Những điểm thuộc mặt phẳng điểm đồng phẳng Những điểm không thuộc mặt phẳng điểm không đồng phẳng Tính chất Nếu hai mặt phẳng phân biệt có điểm chung chúng có điểm chung khác Đường thẳng chung d hai mặt phẳng phân biệt (P) (Q) gọi giao tuyến hai mặt phẳng (P) (Q) Tính chất Trên mặt phẳng, kết biết hình học phẳng III CÁC CÁCH XÁC ĐỊNH MẶT PHẲNG điểm không thẳng hàng xác định mặt phẳng Kí hiệu mp(ABC) điểm đường thẳng không chứa xác định mặt phẳng Kí hiệu mp(A, d) đường thẳng cắt xác định mặt phẳng Kí hiệu mp(d’, d) Ví dụ 1: Trong mp () lấy bốn điểm A, B, C, D cho ABCD tứ giác lồi có cặp cạnh đối không song song Gọi S điểm nằm mp() Tìm giao tuyến mặt phẳng a) (SAD) (SCD) b) (SBD) (SAC) Ví dụ 2: Trong không gian cho điểm A, B, C, D không đồng phẳng Gọi O điểm miền tam giác BCD; M, N hai điểm cạnh AD, AC cho MN không song song với CD a) Tìm giao tuyến (OMN) (BCD) b) Tìm giao điểm BC (OMN) IV HÌNH CHÓP VÀ HÌNH TỨ DIỆN Hình chóp Hình gồm đa giác A1 A2 An n tam giác SA1 A2 , SA2 A3 , , SAn A1 gọi hình chóp SA1 A2 An Đỉnh S, mặt đáy A1 A2 An Các cạnh đa giác đáy cạnh đáy n tam giác SA1 A2 , SA2 A3 , , SAn A1 mặt bên Các đoạn thẳng SA1 , SA2 , ,SAn cạnh bên Hình tứ diện Hình chóp tam giác gọi hình tứ diện (tứ diện) Tứ diện có cạnh gọi tứ diện ĐẠI CƢƠNG VỀ ĐƢỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG (PHẦN 2) I XÁC ĐỊNH GIAO TUYẾN GIỮA HAI MẶT PHẲNG Phƣơng pháp Tìm điểm chung mặt phẳng Đường thẳng qua điểm giao tuyến cần tìm Ví dụ Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD, ABCD tứ giác có cặp cạnh đối không song song M điểm đoạn SD Tìm giao tuyến mặt phẳng: a) (SAB) (SCD) b) (MBC) (SAD) Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD Gọi I, K trung điểm hai đoạn AD BC a) Tìm giao tuyến (IBC) (KAD) b) Gọi M, N hai điểm lấy hai đoạn thẳng AB AC Tìm giao tuyến (IBC) (DMN) (Bài 7/54 – SGK Hình học 11) Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD, ABCD hình bình hành tâm O Gọi M, N, P trung điểm BC, CD SO a) Tìm giao tuyến (MNP) (SAC) b) Tìm giao tuyến (MNP) (SAD) II XÁC ĐỊNH GIAO ĐIỂM GIỮA ĐƢỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG Phƣơng pháp Để tìm giao điểm đường thẳng d mặt phẳng (P), ta làm sau: Chọn mặt phẳng (Q) chứa d (giao tuyến (Q) (P) có sẵn dễ tìm) d’ d Tìm giao tuyến d’ mặt phẳng (P) (Q) (nếu chưa có sẵn giao tuyến) Giao điểm d d’ giao điểm d (P) P Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD, ABCD có cặp cạnh đối không song song Gọi M, N hai điểm SD SB cho MN không song song với BD Tìm giao điểm của: a) MN (ABCD) b) MN (SAC) Q Ví dụ 5: Cho tứ diện ABCD Gọi M, N trung điểm hai đoạn AC BC Trên đoạn BD, lấy P cho NP CD cắt Tìm giao điểm của: a) CD (MNP) b) AD (MNP) Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD, ABCD hình bình hành Gọi M, N trung điểm AB SC a) Tìm giao điểm I AN (SBD) b) Tìm giao điểm K MN (SBD) ĐẠI CƢƠNG VỀ ĐƢỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG (PHẦN 3) III XÁC ĐỊNH THIẾT DIỆN TẠO BỞI MẶT PHẲNG VÀ HÌNH CHÓP Phƣơng pháp Để xác định thiết diện tạo mặt phẳng (P) hình chóp, ta làm sau: Xác định giao tuyến (P) với mặt bên mặt đáy hình chóp Khi giao tuyến khép kín tạo thành đa giác đa giác thiết diện cần tìm Ví dụ Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD Gọi H, K trung điểm AB, BC Trên đoạn thẳng CD, lấy điểm M cho KM không song song với BD Tìm thiết diện mặt phẳng (HKM) tứ diện ABCD Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành ABCD Gọi M, N trung điểm BC, CD P điểm đoạn SA Tìm thiết diện hình chóp S.ABCD mp(PMN) Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành ABCD Trong mặt phẳng đáy, vẽ đường thẳng d qua A không song song với cạnh hình bình hành, d cắt BC E Gọi C’ điểm nằm cạnh SC a) Tìm giao điểm M CD (C’AE) b) Tìm thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng (C’AE) (Bài 9/54 – SGK Hình học 11) IV CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG Phƣơng pháp Để chứng minh ba điểm thẳng hàng, ta chứng minh chúng điểm chung mặt phẳng phân biệt Ví dụ Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABC Mặt phẳng (Q) cắt cạnh bên SA, SB, SC A’, B’, C’ Giả sử AB cắt A’B’ I , BC cắt B’C’ J , AC cắt A’C’ K Chứng minh I, J, K thẳng hàng Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD với ABCD hình thang có đáy lớn AD Gọi I trung điểm SC Một mặt phẳng (Q) qua AI cắt SB, SD M, N IM cắt BC P, IN cắt CD K Chứng minh PK qua điểm cố định V CHỨNG MINH BA ĐƢỜNG THẲNG ĐỒNG QUI Phƣơng pháp Để chứng minh ba đường thẳng đồng quy, ta chứng minh giao điểm hai đường thuộc đường thẳng thứ ba Ví dụ Ví dụ 6: Cho tứ diện ABCD Gọi E, F, G ba điểm ba cạnh AB, AC, BD cho EF cắt BC I, EG cắt AD H Chứng minh CD, IG, HF đồng quy Ví dụ 7: Cho hình chóp S.ABCD với ABCD tứ giác có cặp cạnh đối không song song Gọi O giao điểm AC BD Một mặt phẳng (P) cắt cạnh SA, SB, SC, SD A’, B’, C’, D’ Giả sử AB cắt CD E, A’B’ cắt C’D’ E’ a) Chứng minh S, E, E’ thẳng hàng b) Chứng minh A’C’, B’D’, SO đồng quy HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU VÀ HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG (PHẦN 1) I VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN Định nghĩa Cho a, b hai đường thẳng không gian Trường hợp 1: Có mặt phẳng chứa a b (a b đồng phẳng)  a b cắt M Kí hiệu a  b  M  a b điểm chung hay a b song song Kí hiệu a // b  a trùng b Kí hiệu a  b Trường hợp 2: Không có mặt phẳng chứa a b Ta nói a b chéo II TÍNH CHẤT Định lí Trong không gian, qua điểm không nằm đường thẳng cho trước, có đường thẳng song song với đường thẳng Nhận xét: a // b xác định mặt phẳng Kí hiệu: mp (a, b) hay (a, b) Tính chất: Cho ba vectơ a, b, c tùy ý  ab  ba     ab c  a bc   a0  0a  a Hiệu hai vectơ Vectơ ngược hướng có độ dài với a gọi vectơ đối vectơ a Kí hiệu a   Hiệu hai vectơ a b vectơ a  b  a  b Quy tắc điểm : Cho điểm A, B, C tùy ý, ta có AB  BC  AC Quy tắc trừ : Cho điểm A, B, C tùy ý, ta có AB  AC  CB Quy tắc hình bình hành: Cho ABCD hình bình hành, ta có AB  AD  AC Quy tắc hình hộp: AB  AD  AA '  AC Tích vectơ với số Định nghĩa: Tích vectơ a số k vectơ kí hiệu k.a Nếu k > k.a a hướng Nếu k < k.a a ngược hướng Độ dài k.a  k a Quy ước: 0.a  k.0  Các tính chất: Cho hai vectơ a, b số h, k, ta có k.(a  b)  k.a  k.b (h  k).a  h.a  k.a h.(k.a)  (hk).a 1.a  a,  1 a  a Tính chất trung điểm: Nếu I trung điểm AB với điểm M MA  MB  2MI Tính chất trọng tâm: Nếu G trọng tâm tam giác ABC GA  GB  GC  Ví dụ 3: Cho tứ diện ABCD Gọi M, N trung điểm canh AD, BC G trọng tâm tam giác BCD Chứng minh rằng: a) 2MN  AB  DC b) AB  AC  AD  3AG III ĐIỀU KIỆN ĐỒNG PHẲNG CỦA BA VECTƠ Khái niệm đồng phẳng ba vectơ không gian Ba vectơ a, b, c gọi đồng phẳng chúng có giá song song với mặt phẳng Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng Định lí 1: Trong không gian cho ba vectơ a, b, c , a, b không phương Điều kiện cần đủ để ba vectơ a, b, c đồng phẳng có cặp số m, n cho c  ma  nb Định lí 2: Trong không gian cho ba vectơ a, b, c không đồng phẳng Khi với vecto x bất kì, ta tìm ba số m, n , k cho x  ma  nb  kc Ví dụ 4: Cho tứ diện ABCD Gọi M, N trung điểm AB, CD Chứng minh ba vectơ BC, AD,MN đồng phẳng Ví dụ 5: Cho tứ diện ABCD Gọi M, N điểm cạnh AB, CD cho AM = 2BM, ND  2ND Chứng minh b avectơ BC, AD,MN đồng phẳng Ví dụ 6: Cho hình hộp ABCD EFGH có AB  a, AD  b, AE  c Gọi I trung điểm đoạn BG Hãy biểu thị vectơ AI qua ba vectơ a,b,c HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC I TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN Góc hai vectơ   Góc hai vectơ u v kí hiệu u, v   00  u, v  1800 Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD có H trung điểm cạnh AB Hãy tính góc       cặp vectơ: AB, AC , CD,DA , CH,BC Tích vô hướng hai vectơ không gian Tích hai vectơ u v khác số, kí hiệu u.v , xác định   u.v  u v cos u, v Nếu u  v  u.v  Ví dụ 2: Cho tứ diện OABC có cạnh OA, OB, OC đôi vuông góc OA = OB = OC = Gọi M trung điểm cạnh AB Tính góc hai vectơ OM,BC II VECTƠ CHỈ PHƯƠNG CỦA ĐƯỜNG THẲNG Định nghĩa Vectơ a  gọi vectơ phương đường thẳng d giá vecto a song song trùng với đường thẳng d Nhận xét Nếu a vecto phương đường thẳng d k.a,k  vectơ phương đường thẳng d Ta xác định đường thẳng d qua điểm A cho trước nhận a làm vecto phương Hai đường thẳng a b song song hai vecto phương chúng phương III GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN Định nghĩa Góc hai đường thẳng a b không gian góc hai đường thẳng a’ b’ qua điểm song song với a b Nếu gọi  góc hai đường thẳng 00    900 Nhận xét Ta xác định góc hai đường thẳng a b sau: Chọn điểm O đường thẳng b, qua điểm O dựng đường thẳng a’ song song với a Khi góc hai đường thẳng a b với góc hai đường thẳng a’ b Gọi u, v vectơ phương hai đường thẳng a b Nếu       00  u, v  900 góc a b góc u, v Nếu u, v  90   góc a b 1800  u, v Ví dụ 3: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ Tính góc cặp đường thẳng sau đây: AB B’C’; AC B’C’ Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = AB = AC = a, BC = a Tính góc hai đường thẳng AB SC IV HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC Định nghĩa Hai đường thẳng a b gọi vuông góc với góc chúng 900 Kí hiệu a  b Nhận xét: Gọi u, v vecto phương hai đường thẳng a b Khi đó: a  b  u.v  Cho hai đường thẳng b c song song, đường thẳng a vuông góc với đường thẳng c hai đường thẳng a b vuông góc với Hai đường thẳng vuông góc không gian chéo cắt Ví dụ 5: Cho tứ diện ABCD có AB  AC; AB  BD Gọi P Q trung điểm AB CD Chứng minh hai đường thẳng AB PQ vuông góc với ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG I ĐIỀU KIỆN ĐỂ ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG Định nghĩa Đường thẳng d gọi vuông góc với mặt phẳng    d vuông góc với đường thẳng a nằm mặt phẳng    Kí hiệu d     d  ()  a  (), d  a d  () da Nhận xét:  a  () a  (), d  a  d  () Định lí: Nếu đường thẳng d vuông góc với đường thẳng a, b chứa mặt phẳng    a, b cắt d vuông góc với    Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có SA   ABCD  , đáy ABCD hình vuông Chứng minh: a) BC   SAB  b) BC  SB II TÍNH CHẤT Tính chất 1: Có mặt phẳng    qua điểm O vuông góc với đường thẳng d cho trước Đặc biệt: Nếu mặt phẳng    qua trung điểm I đoạn thẳng AB vuông góc với AB    gọi mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB Tính chất 2: Có đường thẳng d qua O vuông góc với mặt phẳng    III LIÊN HỆ GIỮA QUAN HỆ SONG SONG VÀ QUAN HỆ VUÔNG GÓC Tính chất 1: Cho hai đường thẳng song song Mặt phẳng vuông góc với đường thẳng vuông góc với đường thẳng Hai đường thẳng phân biệt vuông góc với mặt phẳng song song với Tính chất 2: Cho hai mặt phẳng song song Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng Hai mặt phẳng phân biệt vuông góc với đường thẳng song song với Tính chất 3: Cho đường thẳng a mặt phẳng    song song với Đường thẳng vuông góc với    vuông góc với đường thẳng a Nếu đường thẳng mặt phẳng(không chứa đường thẳng đó) vuông góc với đường thẳng khác chúng song song với Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M, N trung điểm AB, AC Chứng minh MN vuông góc với mặt phẳng (SAB) IV ĐỊNH LÍ BA ĐƯỜNG VUÔNG GÓC Phép chiếu vuông góc Cho đường thẳng   () Phép chiếu song song theo phương  lên mặt phẳng () gọi phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng () Định lí ba đường thẳng vuông góc Gọi a’ hình chiếu vuông góc a lên mặt phẳng () d đường thẳng chứa mặt phẳng () Khi đó: điều kiện cần đủ để d  a d  a' d  a  d  a' Góc đường thẳng mặt phẳng Cho đường thẳng d mặt phẳng () Trường hợp đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng () ta nói góc đường thẳng d mặt phẳng () 900 Trường hợp đường thẳng d không vuông góc với mặt phẳng () góc d hình chiếu d’ lên () gọi góc đường thẳng d mặt phẳng () Nếu gọi  góc đường thẳng d mặt phẳng () 00    900 Phương pháp xác định góc đường thẳng d mặt phẳng () Bước 1: Xác định giao điểm O  d  () Bước 2: Chọn điểm A tùy ý d (A khác O) Gọi H hình chiếu vuông góc A lên mặt phẳng () Bước 3:   AOH Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông ABCD cạnh a, SA  a , SA   ABCD  Gọi M, N hình chiếu A lên SB, SD a) Tính góc đường thẳng SC mặt phẳng (ABCD) b) Tính góc đường thẳng SC mặt phẳng (MNP) HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC I GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG Định nghĩa Góc hai mặt phẳng góc hai đường thẳng vuông góc với hai mặt phẳng Nếu hai mặt phẳng song song trùng góc chúng 00 Phương pháp xác định góc hai mặt phẳng cắt Bước 1: Xác định giao tuyến d  ()  () Bước 2: Chọn điểm I  d Trong mặt phẳng () , vẽ đường thẳng a qua I a  d Trong mặt phẳng () , vẽ đường thẳng b qua I b  d Bước 3: Góc hai mặt phẳng () () góc hai đường thẳng a b Diện tích hình chiếu đa giác Gọi  góc hai mặt phẳng       S diện tích đa giác (H) mặt phẳng    Gọi đa giác (H’) hình chiếu vuông góc đa giác (H) lên mặt phẳng    S’ diện tích đa giác (H’) Ta có: S'  S.cos  Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác ABC cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy (ABC) SA = a a) Tính góc hai mặt phẳng (ABC) (SBC) b) Tính diện tích tam giác SBC II HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC Định nghĩa: Hai mặt phẳng gọi vuông góc với góc hai mặt phẳng 900 Hai mặt phẳng       vuông góc với kí hiệu       Các định lí Định lí 1: Điều kiện cần đủ để hai mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng chứa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Hệ 1: Nếu hai mặt phẳng vuông góc với đường thẳng nằm mặt phẳng vuông góc với giao tuyến vuông góc với mặt phẳng Hệ 2: Cho hai mặt phẳng       vuông góc với Nếu từ điểm thuộc mặt phẳng    ta dựng đường thẳng vuông góc với mặt phẳng    đường thẳng nằm mặt phẳng    Định lí 2: Nếu hai mặt phẳng cắt vuông góc với mặt phẳng thứ ba giao tuyến chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba III HÌNH LĂNG TRỤ – HÌNH HỘP CHỮ NHẬT – HÌNH LẬP PHƯƠNG Hình lăng trụ có cạnh bên vuông góc với đáy gọi hình lăng trụ đứng Khi đó, chiều cao hình lăng trụ đứng với độ dài cạnh bên Hình lăng trụ đứng có đáy đa giác gọi hình lăng trụ Hình lăng trụ đứng có đáy hình bình hành gọi hình hộp Hình lăng trụ đứng có đáy hình chữ nhật gọi hình hộp chữ nhật Hình lăng trụ đứng có đáy hình vuông mặt bên hình vuông gọi hình lập phương IV HÌNH CHÓP ĐỀU – HÌNH CHÓP CỤT ĐỀU Hình chóp đều: Một hình chóp gọi hình chóp có đáy đa giác có chân đường cao trùng với tâm đa giác đáy Nhận xét: Hình chóp có mặt bên tam giác cân Các mặt bên tạo với đáy góc Các cạnh bên tạo với đáy góc Hình chóp cụt Phần hình chóp nằm đáy thiết diện song song với đáy cắt cạnh bên hình chóp gọi hình chóp cụt Nhận xét: Hai đáy hình chóp cụt hai đa giác đồng dạng với Hình chóp cụt có mặt bên hình thang cân cạnh bên có độ dài KHOẢNG CÁCH I KHOẢNG CÁCH TỪ ĐIỂM ĐẾN ĐƯỜNG THẲNG – MẶT PHẲNG Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng a khoảng cách từ điểm O đến hình chiếu vuông góc H O lên đường thẳng a Kí hiệu d  O,a   OH d  O,a  khoảng cách ngắn từ điểm O đến điểm M a Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng    khoảng cách từ điểm O đến hình chiếu vuông góc H O lên mặt phẳng    Kí hiệu d  O,      OH d  O,     khoảng cách ngắn từ điểm O đến điểm M mặt phẳng    II KHOẢNG CÁCH GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG – GIỮA HAI MẶT PHẲNG SONG SONG Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng    Khoảng cách từ đường thẳng a đến mặt phẳng    khoảng cách từ điểm A đường thẳng a đến hình chiếu vuông góc A’ A lên mặt phẳng    Kí hiệu: d  a,      d  A,      AA ', A     d  a,     khoảng cách ngắn kể từ điểm M đường thẳng a đến điểm N nằm mặt phẳng    Khoảng cách hai mặt phẳng song song Cho hai mặt phẳng       song song Khoảng cách hai mặt phẳng       khoảng cách từ điểm M     đến hình chiếu vuông góc M’ M lên mặt phẳng    Kí hiệu: d     ,    d M,     MM',M     d     ,    khoảng cách ngắn kể từ điểm A     đến điểm B   Phương pháp tìm hình chiếu vuông góc M lên mặt phẳng    : Bước 1: Tìm mặt phẳng    chứa M       Bước 2: Xác định giao tuyến d        Bước 3: Từ điểm M mặt phẳng    , vẽ MM'  d M’ Khi đó: MM'    suy M’ hình chiếu vuông góc M lên    Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông tâm O, cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt (ABCD), SA = 2a a) Tính khoảng cách từ A đến SC, từ A đến mặt (SCD) b) Tính khoảng cách từ AD đến (SBC) III ĐƯỜNG VUÔNG GÓC CHUNG – KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG CHÉO NHAU Định nghĩa: Đường thẳng  cắt hai đường thẳng chéo a, b vuông góc với đường thẳng gọi đường vuông góc chung a b Nếu đường vuông góc chung  cắt hai đường thẳng chéo a, b M, N độ dài đoạn MN gọi khoảng cách hai đường thẳng chéo a b Cách tìm đoạn vuông góc chung hai đường thẳng chéo a b Bước 1: Tìm mặt phẳng    chứa b a  Bước 2: Tìm a’ hình chiếu vuông góc a mặt phẳng    Vì a  nên a // a’ Bước 3: Gọi mặt phẳng    chứa đường thẳng a, a’        Bước 4: Gọi N  a' b  đường thẳng qua N     Đường thẳng      nên   a  M Đường thẳng  cắt a, b vuông góc với a b nên  đường vuông góc chung a b Cách tìm khoảng cách hai đường thẳng chéo a b: Cách 1: Tìm đoạn vuông góc chung Khoảng cách đoạn vuông góc chung Cách 2: Tìm mặt phẳng chứa b song song với a Khoảng cách a b khoảng cách từ a đến mặt phẳng song song Cách 3: Tìm hai mặt phẳng song song chứa a b Khoảng cách a b khoảng cách hai mặt song song Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông tâm O, cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt (ABCD), SA = a a) Chứng minh BD vuông góc (SAC) b) Xác định đoạn vuông góc chung tính khoảng cách BD SC ÔN TẬP CHƯƠNG I TÓM TẮT LÝ THUYẾT Chứng minh vuông góc a Chứng minh hai đường thẳng vuông góc  Phương pháp 1: a  b  u.v  ( với u, v VTCP a b)  Phương pháp 2: b c a  c  a  b  Phương pháp 3: d     a      d  a  Phương pháp 4: Áp dụng tính chất hình học phẳng b Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng  Phương pháp 1: Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng a, b cắt nằm mặt phẳng    d vuông góc với     Phương pháp 2: a b a      b      Phương pháp 3:     a      a   c Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc Phương pháp: Nếu mặt phẳng    chứa đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng      vuông góc với    Ví dụ: Các mệnh đề sau đây, mệnh đề đúng, mệnh đề sai? a     2)  ab b       a  d 1)  a b b  d  a   a     b   3)   b  a  a 4)   b  a     b 5)   b  a                6)                      7)            b Phương pháp xác định góc a Phương pháp xác định góc hai đường thẳng  Phương pháp 1: Góc hai đường thẳng a b góc hai đường thẳng a’ b’ qua điểm O song song với hai đường a b  Phương pháp 2: Nếu gọi u,v VTCP hai đường thẳng a b   cos u, v  u.v u.v b Phương pháp xác định góc đường thẳng mặt phẳng Góc đường thẳng d mặt phẳng    không vuông góc với góc đường thẳng d hình chiếu vuông góc d’ d lên    c Phương pháp xác định góc hai mặt phẳng  Phương pháp 1: Góc hai mặt phẳng       góc hai đường thẳng a b qua điểm I giao tuyến d        , đồng thời a b chứa hai mặt phẳng    ,    a, b vuông góc với d  Phương pháp 2: Gọi  góc hai mặt phẳng       Ta có: S '  S.cos  Phương pháp xác định loại khoảng cách a Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng a khoảng cách từ điểm O đến hình chiếu vuông góc H O lên đường thẳng a Kí hiệu: d  O,a  OH b Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng    khoảng cách từ điểm O đến hình chiếu vuông góc H O lên mặt phẳng    Kí hiệu: d  O,      OH c Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng    Khoảng cách từ đường thẳng a đến mặt phẳng    khoảng cách từ điểm A đường thẳng a đến hình chiếu vuông góc A’ A lên mặt phẳng    Kí hiệu: d  a,      d  A,      AA ', A     d Khoảng cách hai mặt phẳng song song Cho hai mặt phẳng       song song Khoảng cách hai mặt phẳng      khoảng cách từ điểm M     đến hình chiếu vuông góc M’ M lên mặt phẳng    Kí hiệu: d     ,    d M,    MM',M     e Đường vuông góc chung – khoảng cách hai đường thẳng chéo  Đường thẳng  cắt hai đường thẳng chéo a, b vuông góc với đường thẳng gọi đường vuông góc chung a b  Nếu đường vuông góc chung  cắt hai đường thẳng chéo a, b M, N độ dài MN gọi khoảng cách hai đường thẳng chéo a b II BÀI TẬP Bài tập 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông tâm O, cạnh a, mặt bên (SAB) (SAD) vuông góc với mặt đáy (ABCD), cạnh bên SC hợp với đáy góc 300 a) Chứng minh SA vuông góc với mặt đáy (ABCD) b) Chứng minh mặt bên tam giác vuông c) Chứng minh hai mặt phẳng (SAC) (SBD) vuông góc với d) Tính tan góc hai mặt phẳng (SBD) (ABCD) e) Tính khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SBC) Bài tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông tâm O, cạnh 2a, mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vuông góc với mặt đáy (ABCD) Gọi E, F trung điểm AB CD a) Chứng minh SE vuông góc với (ABCD) Tính tan góc SC mặt phẳng(ABCD) b) Chứng minh (SEF) vuông góc (SCD) Tính khoảng cách từ E đến mặt phẳng (SCD) c) Tính góc hai mặt phẳng (SAB) (SCD) d) Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (SCD) Bài tập 3: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Gọi I, J tâm hình vuông ABCD A’B’C’D’ a) Chứng minh IJ vuông góc với (A’B’CD) b) Gọi M, N trung điểm B’C’, C’D’ Chứng minh MD’ vuông góc (AA’N) c) Xác định đoạn vuông góc chung tính khoảng cách hai đường thẳng DD’ A’C ... bình hành: Một hình bình hành hình biểu diễn hình bình hành tùy ý cho trước (có thể hình bình hành, hình vuông, hình thoi, hình chữ nhật…) Hình thang: Một hình thang hình biểu diễn hình thang tùy... song hình lục giác không? Vì sao? A B C F E D III HÌNH BIỂU DIỄN CỦA MỘT HÌNH KHÔNG GIAN TRÊN MẶT PHẲNG Hình biểu diễn hình H không gian hình chiếu song song hình H mặt phẳng theo phương chiếu hình. .. song không làm thay đổi tỉ số độ dài hai đoạn thẳng nằm hai đường thẳng song song nằm đường thẳng Ví dụ 1: Hình chiếu song song hình vuông hình bình hành không? Vì sao? Ví dụ 2: Hình vẽ sau hình