PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP HUYỆN THẠCH THÀNH MÔN: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC NĂM HỌC: 2016 – 2017 (Đề thi gồm 01 trang) Ngày thi: 03/04/2017 Thời gian: 120 phút không tính thời gian ghi đề Câu 1: (4,5 điểm) Tính giá trị biểu thức sau:  −3   −4  a) A =  + ÷: +  + ÷:  11  11  11  11 212.35 − 46.92 b) B = (2 3) + Cho x y 5x + 3y = Tính giá trị biểu thức: C = 10x − 3y Câu 2: (4,5 điểm) Tìm số x, y, z, biết: a) x y y z = ; = x + y + z = 92 b) (x – 1)2016 + (2y – 1)2016 + |x + 2y – z|2017 = Tìm x, y nguyên biết: xy + 3x – y = Câu 3: (3,0 điểm) Tìm đa thức A biết: A – (3xy – 4y2) = x2 – 7xy + 8y2 Cho hàm số y = f(x) = ax + có đồ thị qua điểm A(a – 1; a2 + a) a) Tìm a b) Với a vừa tìm được, tìm giá trị x thỏa mãn: f(2x – 1) = f(1 – 2x) Câu 4: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A Vẽ phía tam giác ABC tam giác ABD ACE Gọi I giao điểm BE CD Chứng minh rằng: a) BE = CD b) V BDE tam giác cân · · c) EIC = 600 IA tia phân giác DIE Câu 5: (2,0 điểm) Tìm số hữu tỉ x, cho tổng số với nghịch đảo có giá trị số nguyên Cho số a, b, c không âm thỏa mãn: a + 3c = 2016; a + 2b = 2017 Tìm giá trị lớn biểu thức P = a + b + c http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 ĐÁP ÁN Câu 1:  −3   −4   −3  11  −4  11 a) A =  + ÷: +  + ÷: =  + ÷ +  + ÷  11  11  11  11  11   11  A= 11  −3   −4   11  −3 −4     11 11 + ÷ =  + ÷+   + ÷+  + ÷ = [ (−1) + 1] = =    11   11    7   11 11   7 212.35 − 46.92 212.35 − (22 )6 (32 ) 212.35 − 212.34 212.34 (3 − 1) = b) B = = 12 = 12 (2 3) + 3 + (23 ) 35 212.36 + 212.35 (3 + 1) B= Đặt 212.34.2 = 212.35.4  x = 3k x y = =k ⇔ Khi đó:  y = 5k 5x + 3y 5(3k) + 3(5k) 45k + 75k 120k = = C= = =8 10x − 3y 10(3k) − 3(5k) 90k − 75k 15k Câu 2: y x y x  = 10 = 15 x y z ⇔ ⇔ = = a) Ta có:  10 15 21 y = z y = z  15 21 Áp dụng tính chất dãy tỉ số x + y + z = 92, ta được: x y z x+y+z 92 = = = =2 = 10 15 21 10 + 15 + 21 46 x 10 =  x = 20  y  ⇒  = ⇔  y = 30 15  z = 42  z =  21  b ) Ta có: (x – 1)2016 ≥ (2y – 1)2016 ≥ ∀ x ∀ y |x + 2y – z|2017 ≥ ∀ x, y, z ⇒ (x – 1)2016 + (2y – 1)2016 + |x + 2y – z|2017 ≥ ∀ x, y, z http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 Mà (x – 1)2016 + (2y – 1)2016 + |x + 2y – z|2017 = nên dấu "=" xảy ⇔ ( x – 1) 2016 =  2016  =0 ( 2y – 1)  2017 =0  x + 2y – z  x = x =   1   ⇔ y = ⇔ y = 2     z = 1 + 2 – z = Ta có: xy + 3x – y = ⇔ x(y + 3) – (y + 3) = – ⇔ (x – 1)(y + 3) = = 1.3 = 3.1 = (– 1)(– 3) = (– 3)(– 1) Ta có bảng sau: x–1 –1 y+3 –3 x y –2 –6 Vậy: (x; y) = (2; 0) = (4; – 2) = (0; 6) = (– 2; – 4) –3 –1 –2 –4 Câu 3: Ta có: A – (3xy – 4y2) = x2 – 7xy + 8y2 A = x2 – 7xy + 8y2 + (3xy – 4y2) A = x2 – 4xy + 4y2 a) Vì đồ thị hàm số y = f(x) = ax + qua điểm A(a – 1; a2 + a) nên: a2 + a = a(a – 1) + ⇔ a2 + a = a2 – a + ⇔ 2a = ⇔ a = b) Với a = y = f(x) = x + Ta có: f(2x – 1) = f(1 – 2x) ⇔ (2x – 1) + = (1 – 2x) + ⇔ 4x = ⇔ x = Câu 4: GT KL µ = 900, ∆ ABD ∆ ACE ∆ ABC, A I = BE ∩ CD a) BE = CD b) V BDE tam giác cân · · c) EIC = 600 IA tia phân giác DIE · µ + 900 = 600 + 900 = 1500  DAC =A · · ⇒ DAC = BAE a) Ta có:  0 0 · µ  BAE = A + 90 = 60 + 90 = 150 http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 Xét V DAC V BAE có: DA = BA (GT) · · (CM trên) DAC = BAE AC = AE (GT) ⇒ V DAC = V BAE (c – g – c) ⇒ BE = CD (Hai cạnh tương ứng) µ 3+A µ + BAC · µ = 3600 b) Ta có: A +A µ + 600 + 900 + 60 = 360 ⇔ A µ = 1500 ⇔ A µ = DAC · ⇒ A = 1500 Xét V DAE V BAE có: DA = BA (GT) µ = DAC · (CM trên) A AE: Cạnh chung ⇒ V DAE = V BAE (c – g – c) ⇒ DE = BE (Hai cạnh tương ứng) ⇒ V BDE tam giác cân E µ1 = C µ (Hai góc tương ứng) c) Ta có: V DAC = V BAE (CM câu a) ⇒ E µ + ICE · Lại có: $ I1 + E = 1800 (Tổng góc V ICE) · µ ) + (C µ1 +C µ ) = 1800 ⇔ $ I1 + (AEC −E µ1 +C µ + 600 = 1800 ⇔ $ I1 + 600 − E µ1 = C µ 1) ⇔ $ I1 + 1200 = 1800 (Vì E ⇔ $ I1 = 600 µ1 = E µ (Hai góc tương ứng) ⇒ EA tia phân giác Vì V DAE = V BAE (Cm câu b) ⇒ E · (1) DEI  ∆DAC = ∆BAE µ1 = D µ (Hai góc tương ứng) ⇒ DA tia ⇒ V DAC = V DAE ⇒ D Vì   ∆DAE = ∆BAE · phân giác EDC (2) Từ (1) (2) ⇒ A giao điểm tia phân giác V DIE ⇒ IA đường phân giác · thứ ba V DIE hay IA tia phân giác DIE Câu 5: Gọi x = x+ m (m, n ∈ Z, n ≠ 0, (m, n) = 1) Khi đó: n m n m2 + n2 (1) = + = x n m mn http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 Để x + nguyên m2 + n2 Mmn x ⇒ m2 + n2 Mm ⇒ n2 Mm (Vì m2 Mm) ⇒ n Mm Mà (m, n) = nên m = m = – *) Với m = 1: Từ (1), ta có: x + 12 + n + n = Để x + nguyên + n2 Mn ⇒ Mn hay n = ± = x x 1.n n *) Với m = – 1: (−1) + n + n = Từ (1), ta có: x + = Để x + nguyên + n2 M(– n) ⇒ M(– n) hay x (−1).n −n x n= ± Khi x = m 1 −1 −1 = = = = hay x = ± n −1 −1 Ta có: a + 3c = 2016 (1) a + 2b = 2017 (2) Từ (1) ⇒ a = 2016 – 3c Lấy (2) – (1) ta được: 2b – 3c = ⇔ b = P = a + b + c = (2016 – 3c) + + 3c +c= + 3c Khi đó:  −6c + 3c + 2c c  = 2016 − Vì a, b, c  2016 + ÷+ 2 2  c 1 không âm nên P = 2016 − ≤ 2016 , MaxP = 2016 ⇔ c = 2 2 http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 ... – 1 )2016 ≥ (2y – 1 )2016 ≥ ∀ x ∀ y |x + 2y – z|20 17 ≥ ∀ x, y, z ⇒ (x – 1 )2016 + (2y – 1 )2016 + |x + 2y – z|20 17 ≥ ∀ x, y, z http://violet.vn/nguyenthienhuongvp 77 Mà (x – 1 )2016 + (2y – 1 )2016. .. 3c = 2016 (1) a + 2b = 20 17 (2) Từ (1) ⇒ a = 2016 – 3c Lấy (2) – (1) ta được: 2b – 3c = ⇔ b = P = a + b + c = (2016 – 3c) + + 3c +c= + 3c Khi đó:  −6c + 3c + 2c c  = 2016 − Vì a, b, c  2016. .. http://violet.vn/nguyenthienhuongvp 77 Mà (x – 1 )2016 + (2y – 1 )2016 + |x + 2y – z|20 17 = nên dấu "=" xảy ⇔ ( x – 1) 2016 =  2016  =0 ( 2y – 1)  20 17 =0  x + 2y – z  x = x =   1   ⇔ y = ⇔ y = 2  