PHÒNG GD&ĐT QUỐC OAI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Môn: Toán Năm học 2016 - 2017 Thời gian làm bài: 120 phút (không tính thời gian giao đề) Họ tên: …………………………………….……… …… …SBD: … Câu (4 điểm) Tìm x: − = −2 c/ ( x − 3) x + − ( x − 3) x +8 = 5 x y z Câu (3 điểm) Tìm x, y, z biết = = x2 + y2 + z2 = 116 a/ x + b/ x − = x − Câu (1 điểm) Trong vòng bán kết giải bóng đá trường THCS Phù Đổng có đội thi đấu, gọi A tập hợp cầu thủ; B tập hợp số áo thi đấu Quy tắc cầu thủ ứng với số áo họ có phải hàm số không? Vì sao? Câu (1.5 điểm) Tính giá trị đa thức P = x3 + x y − x − xy − y + y + x + 2017 với x + y = Câu (2 điểm) Cho : 3x − 2y 2z − 4x 4y − 3z x y z = = = = Chứng minh: 2 Câu (1.5 điểm) Tìm số tự nhiên x, y thỏa mãn: 2x2 + 3y2 = 77 · Câu (2.5 điểm) Cho ∆ABC, tia phân giác góc A cắt BC D Biết ADB = 85 µ −C µ a/ Tính: B µ = 5.C µ b/ Tính góc ∆ABC 4.B Câu (4.5 điểm) Cho ∆ABC có ba góc nhọn, trung tuyến AM Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa điểm C, vẽ đoạn thẳng AE vuông góc AB Trên nửa mặt phẳng bờ AC chứa điểm B, vẽ đoạn thẳng AD vuông góc AC a/ Chứng minh: BD = CE b/ Trên tia đối tia MA lấy N cho MN = MA Chứng minh: ∆ADE = ∆CAN AD + IE =1 c/ Gọi I giao điểm DE AM Chứng minh: DI + AE Chú ý: Học sinh không dùng máy tính cầm tay http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 PHÒNG GD & ĐT QUỐC OAI KỲ THI CHỌN HSG NĂM HỌC 2016-2017 Hướng dẫn chấm Toán Câu Phần a   x+ =2 x=   1 5 x + − = −2 ⇔ x + = ⇔  ⇔  5  x + = −2  x = − 11   5 Vậy với x = x = - x + − = −2 b c 2x - = x - ⇔ x = - ⇒ x = (x - 3) - (x - 3) = ⇔ (x - 3) [1- (x - 3)] = Điểm 1.5đ 1đ 1.5đ x = x − = ⇔  x = ⇔ ( x − 3) =  x =  = = ⇒ = = = = =4 x y2 z2 x y z ⇒ = = = ⇒ = = = ±2 16 Vậy (x; y; z) = (4; 6; 8) (x; y; z) = (-4; -6; -8) Quy tắc cầu thủ ứng với số áo họ không hàm số đại lượng cầu 1đ thủ giá trị số (trả lời giải thích sai điểm) P = x + xy - 2x - xy - y + 3y + x + 2017 1.5đ = x (x + y) - 2x - y(x + y) + 3y + x + 2017 = 2x - 2x - 2y + 3y + x + 2017 = x + y + 2017 = 2019 Vậy với x + y = P = 2019 Hoặc nhóm để xuất x + y - = = 0,5 ⇒ = = = =0 0,5 12x 8y 6z = = ⇒ 12x = 8y = 6z ⇒ 24 24 24 0,5 ⇒ = = Nội dung a 2x + 3y = 77 ⇒ 3y2 = 77 – 2y2 ≤ 77 ⇒ y2 ≤ 77/3 ⇒ y2 ≤ 25 Mà 2x2 chẵn; 77 lẻ ⇒ 3y2 lẻ ⇒ y2 lẻ ⇒ y2 ∈ {1; 9; 25} + y2 = ⇒ 2x2 = 77 - = 74 ⇒ x2 = 37 ⇒ số tự nhiên x + y2 = ⇒ 2x2 = 77 - 27 = 50 ⇒ x2 = 25 ⇒ x = y = + y2 = 25 ⇒ 2x2 = 77 - 75 = ⇒ x2 = ⇒ x = y = Vậy số tự nhiên x, y thỏa mãn 2x + 3y = 77 (x; y) = (5; 3); (1; 5) Học sinh thử chọn số tự nhiên x (hoặc y) từ 0, 1, 2, để có KQ không điểm lực tư số học · Xét ∆ADC có ADB góc D · µ + DAC · ⇒ ADB = 85 =C (1) http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 1đ 1đ 1đ 0,5 0.5đ 1đ 1.5đ · Xét ∆ADB có ADC góc D · µ + BAD · ⇒ ADC = 180 - 85 = 95 (2) =B · · Mà DAC (Vì AD tia phân giác góc A) = BAD µ −C µ = 950 − 850 = 10 ⇒ Từ (1) (2) ⇒ B b µ µ µ µ µ −C µ = 100 mà B µ ⇒ B = C = B − C = 100 µ = C Vì B µ = 500 C µ = 400 ⇒B a b) µ = 900 ⇒A 1đ 5−4 Xét ∆ABD ∆ACE có: AD = AC (gt) AE = AB (gt) · · · (Cùng phụ với BAC ) BAD = CAE ⇒ ∆ABD = ∆AEC (c.g.c) ⇒ BD = CE (Hai cạnh tương ứng) · · Xét ∆ABM ∆NCM có AM = MN (gt) ; BM = CM (gt) AMB = AMC (đối đỉnh) ⇒ ∆ABM = ∆NCM (c.g.c) ⇒ AB = CN (hai cạnh tương ứng) · · (Hai góc tương ứng) ABM = NCM Vẽ hình 0.5đ 1đ 1.5đ · · · · · · Ta có ACN = ACB + BCN = ACB + ABC = 1800 − BAC · · · · · Lại có DAE = DAC + BAE − BAC = 1800 − BAC · · ⇒ DAE = ACN Xét ∆ADE ∆ACN có CN = AE (cùng AB) AC = AD (gt) · · (cmt) DAE = ACN ⇒ ∆ADE = ∆CAN (c.g.c) c · · Vì ∆ADE = ∆CAN (cmt) ⇒ NAC (Hai góc tương ứng) = ADE Gọi P giao điểm DE AC · · · · Xét ∆ADP vuông A ⇒ ADE + APD = 900 ⇒ NAC + APD = 900 ⇒ AI ⊥ DE Xét ∆ADI vuông I Theo ĐL Pytago ta có AD = DI + AI ⇒ AI = AD - DI Xét ∆AIE vuông I Theo ĐL Pytago ta có AE = AI + IE ⇒ AI = AE - IE ⇒ AD - DI = AE - IE ⇒ AD + IE = DI + AE ⇒ = (đpcm) 0.5đ 0.5đ 0.5đ Lưu ý: Mọi cách giải khác cho điểm tương ứng http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 ... 2x + 3y = 77 ⇒ 3y2 = 77 – 2y2 ≤ 77 ⇒ y2 ≤ 77 /3 ⇒ y2 ≤ 25 Mà 2x2 chẵn; 77 lẻ ⇒ 3y2 lẻ ⇒ y2 lẻ ⇒ y2 ∈ {1; 9; 25} + y2 = ⇒ 2x2 = 77 - = 74 ⇒ x2 = 37 ⇒ số tự nhiên x + y2 = ⇒ 2x2 = 77 - 27 = 50 ⇒... sai điểm) P = x + xy - 2x - xy - y + 3y + x + 20 17 1.5đ = x (x + y) - 2x - y(x + y) + 3y + x + 20 17 = 2x - 2x - 2y + 3y + x + 20 17 = x + y + 20 17 = 2019 Vậy với x + y = P = 2019 Hoặc nhóm để...PHÒNG GD & ĐT QUỐC OAI KỲ THI CHỌN HSG NĂM HỌC 2016- 20 17 Hướng dẫn chấm Toán Câu Phần a   x+ =2 x=   1 5 x + − = −2 ⇔ x + = ⇔  ⇔  5 