BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN NGUYỄN THỊ PHƯỢNG CÁC KHÁI NIỆM VÀ TÍNH CHẤT CƠ BẢN VỀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA ÁNH XẠ ĐA TRỊ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Hà Nội – Năm 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN NGUYỄN THỊ PHƯỢNG CÁC KHÁI NIỆM VÀ TÍNH CHẤT CƠ BẢN VỀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA ÁNH XẠ ĐA TRỊ Chuyên ngành: Toán giải tích KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS Nguyễn Quang Huy Hà Nội – Năm 2016 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Phượng LỜI CẢM ƠN Em xin chân thành cảm ơn PGS.TS Nguyễn Quang Huy giao đề tài tận tình hướng dẫn em trình hoàn thành khóa luận Em xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo Khoa Toán trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt tổ Giải tích, tạo điều kiện thuận lợi cho em trình học thực khóa luận Hà Nội, ngày 12 tháng 05 năm 2016 Tác giả khóa luận Nguyễn Thị Phượng i Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Phượng Lời cam đoan Khóa luận kết nghiên cứu thân tác giả hướng dẫn PGS.TS Nguyễn Quang Huy Tác giả xin khẳng định kết khóa luận trung thực Đề tài "Các khái niệm tính chất chất tính liên tục ánh xạ đa trị" kết việc nghiên cứu, học tập nỗ lực thân, trùng lặp với kết đề tài khác Hà Nội, ngày 26 tháng 04 năm 2016 Tác giả khóa luận Nguyễn Thị Phượng ii Mục lục Lời cam đoan ii Lời mở đầu Các kí hiệu chữ viết tắt Các khái niệm tính liên tục ánh xạ đa trị 1.1 Các khái niệm ánh xạ đa trị 1.2 Tính nửa liên tục tính nửa liên tục ánh xạ đa trị theo nghĩa Berge theo nghĩa Hausdorff 10 1.2.1 Tính nửa liên tục tính nửa liên tục ánh xạ đa trị theo nghĩa Berge 1.2.2 Tính nửa liên tục tính nửa liên tục ánh xạ đa trị theo nghĩa Hausdorff 1.2.3 11 13 Mối liên hệ tính nửa liên tục tính nửa liên tục ánh xạ đa trị theo nghĩa Berge Hausdorff Một số tính chất ánh xạ đa trị liên tục 2.1 14 16 Nhắc lại số tính chất ánh xạ đơn trị liên tục iii 16 Khóa luận tốt nghiệp Đại học 2.2 Nguyễn Thị Phượng Một số tính chất ánh xạ đa trị liên tục 2.2.1 17 Ánh xạ đa trị nửa liên tục ánh xạ đa trị nửa liên tục bảo tồn tính liên thông tập hợp 17 2.2.2 Ánh xạ nửa liên tục bảo toàn tính compắc 21 2.2.3 Ánh xạ nửa liên tục có tính chất điểm bất động 22 Kết luận 35 Tài liệu tham khảo 36 iv Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Phượng Lời mở đầu Lí chọn đề tài Giải tích đa trị hướng nghiên cứu Toán học, từ năm 30 kỉ 20 nhà toán học thấy cần nghiên cứu ánh xạ đa trị - xạ nhận giá trị tập tập Sự đời tạp chí quốc tế “Set-Valued Analysic” vào năm 1993 mốc lớn trình phát triển hướng nghiên cứu Vai trò giải tích đa trị toán học công nhận rộng rãi Giải tích đa trị có nhiều ứng dụng lí thuyết phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng, biểu thức biến phân phương trình suy rộng, lí thuyết tối ưu, lí thuyết điều khiển, tối ưu đa mục tiêu, khoa học quản lí toán kinh tế Hầu tất kết nghiên cứu tính ổn định độ nhảy nghiệm toán tối ưu phụ thuộc vào tham số toán bất đẳng thức biến phân phụ thuộc tham số viết ngôn ngữ giải tích đa trị Nhiều tính chất đẹp ánh xạ đơn trị liên tục bảo tồn tính liên thông, tính compắc tồn điểm bất động khảo sát mở rộng cho ánh xạ đa trị liên tục Đề tài “Các khái niệm tính chất chất tính liên tục ánh xạ đa trị” nhằm hiểu khái niệm tính liên tục ánh xạ đa trị, mối quan hệ chúng tính chất mở rộng cho ánh xạ đơn trị liên tục Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu khái niệm tính liên tục ánh xạ đa trị, mối quan hệ chúng tính chất mở rộng cho ánh xạ đơn trị Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Phượng liên tục Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu khái niệm tính nửa liên tục nửa liên tục ánh xạ đa trị theo nghĩa Berge theo nghĩa Hausdorff, mối quan hệ chúng; tính chất tính liên thông, tính compắc, điểm bất động ánh xạ đa trị liên tục Đối tượng nghiên cứu Các khái niệm tính nửa liên tục nửa liên tục ánh xạ đa trị theo nghĩa Berge theo nghĩa Hausdorff; tính liên thông, tính compắc điểm bất động Phương pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết tôpô giải tích hàm Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Phượng Các kí hiệu chữ viết tắt F :X⇒Y ánh xạ đa trị từ X vào Y dom F miền hữu hiệu F rge F miền ảnh F gph F đồ thị F F −1 : Y ⇒ X ánh xạ ngược F N tập số nguyên dương R tập số thực Q tập số hữu tỉ C tập số phức ∅ tập rỗng [0, 1] tập số thực {t ∈ R : ≤ t ≤ 1} (0, 1) tập số thực {t ∈ R : < t < 1} Rn không gian Euclide n chiều x chuẩn véctơ x x, y tích vô hướng véctơ x y B (x, ε) hình cầu mở tâm x bán kính ε B (x, ε) hình cầu đóng tâm x bán kính ε BX hình cầu đơn vị mở không gian X BX hình cầu đơn vị đóng không gian X X∗ không gian đối ngẫu không gian Banach X intΩ phần Ω Ω bao đóng Ω ∂Ω biên Ω Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Phượng co Ω bao lồi Ω co Ω bao lồi đóng Ω d (x, Ω) khoảng cách từ điểm x đến Ω cone M hình nón sinh tập M TΩ (x) nón tiếp tuyến tập lồi Ω x ∈ Ω Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Phượng tính nủa liên tục thành tính nửa liên tục Ví dụ 2.2.2 Cho F : [−1, 1] → 2R×R   (x,t) : −1 ≤ t ≤ x = F (x) =  {(0, 0)} x = Khi đó, F ánh xạ nửa liên tục F (x) tập compắc với ∀x ∈ dom F F ([−1, 1]) không compắc 2.2.3 Ánh xạ nửa liên tục có tính chất điểm bất động Định lí Kakutani (1941) định lí điểm bất động quan trọng mở rộng định lý điểm bất động Brouwer thiết lập cho ánh xạ đa trị nửa liên tục Trước phát biểu định lý này, trình bày tính chất cân ánh xạ đa trị mà định lý điểm bất động Kakutani định lý điểm bất động Ky Fan trường hợp đặc biệt Cho ψ : X → R hàm số thực xác định không gian tôpô X Giá (support) ψ, kí hiệu supp ψ, xác định công thức sau supp ψ ={x ∈ X : ψ (x) = ∅} M kí hiệu bao đóng M Định lý 2.6 (Xem Rudin (1976), trang 251) Cho K không gian mêtric compắc, {Vα }α∈A phủ mở K Khi tồn hàm liên tục ψi : K → R (i=1,2, ,s) cho a) ≤ ψi (x) ≤ ∀x ∈ K, ∀i ∈ {1, 2, , s}; s ψi (x) = ∀x ∈ K; b) i=1 22 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Phượng c) Với ∀i ∈ {1, 2, , s} có tồn α ∈ A cho supp ψi ⊂ Vα Họ hàm liên tục {ψi }i=1,2, ,s có tính chất (a)-(c) gọi phân hoạch đơn vị tương thích với phủ mở {Vα }α∈A Chứng minh Với x ∈ K ta chọn số αx ∈ A cho x ∈ Vαx Do Vαx tập mở, ∃ρx > cho B (x, ρx ) ⊂ Vαx Họ hình cầu mở B x, ρ2x x∈K phủ mở K Do K không gian compắc, tồn điểm x1 , x2 , , xs ∈ K cho K ⊂ B x1 , ρx s ρx ∪ ∪ B xs , 2 (2.2) Do B xi , ρxi ⊂ B xi , ρxi ⊂ B xi , ρxi , tồn hàm liên tục ϕi : K → [0, 1] cho ϕi (x) = ∀x ∈ B xi , ρxi ϕi (x) = ∀x ∈ K\B xi , ρxi (Chúng ta nhắc lại M1 , M2 hai tập đóng không giao không gian mêtric compắc X tồn hàm số liên tục ϕ : X → [0, 1] cho ϕ (x) = với ∀x ∈ M1 ϕ (x) = ∀x ∈ M2 Khẳng định suy từ bổ đề Urysohn) Đặt ψ1 = ϕ1 ψi+1 = (1 − ϕ1 ) (1 − ϕi ) ϕi+1 với (∀i = 1, 2, , s − 1) 23 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Phượng Hiển nhiên tính chất a) c) nghiệm với họ hàm {ψi }i=1,2, ,s vừa chọn Rõ ràng đẳng thức ψ1 + + ψi = − (1 − ϕ1 ) (1 − ϕi ) (2.3) với i=1 Nếu (2.3) với số i < s ta có ψ1 +ψ2 + +ψi +ψi+1 = 1−(1 − ϕ1 ) (1 − ϕi)+(1 − ϕ1 ) (1 − ϕi) ϕi+1 =1 − (1 − ϕ1 ) (1 − ϕi) (1 − ϕi+1 ) Tức (2.3) i thay i+1 Ta có s s ψi (x) = − i=1 (1 − ϕi (x)) (2.4) i=1 với x ∈ K Do (2.2), với x ∈ K tồn số j ∈ {1, , s} cho x ∈ B xj , ρxj Do ϕj (x) = Từ (2.4) suy s ψi (x) = i=1 Vậy tính chất b) kiểm chứng Định lý chứng minh Hệ 2.1 Giả sử {ψi }i=1,2, ,s phân hoạch đơn vị tương thích với phủ mở {Vα }α∈A Với hàm liên tục f : K → R ta có s f (x) = ψi (x) f (x) , i=1 24 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Phượng hàm fi (x) = ψi (x) f (x) với (i = 1, , s) liên tục K với i ∈ {1, , s} tồn α ∈ A cho giá hàm fi nằm Vα Giả sử X không gian mêtric, Y không gian định chuẩn, F : X ⇒ Y ánh xạ đa trị Với p ∈ Y ∗ , Y ∗ không gian đối ngẫu Y với x ∈ X ta đặt CF (p, x) = sup { p, y : y ∈ F (x)} Hàm số hai biến CF (p, x) gọi hàm tựa F Mệnh đề 2.1 Giả sử F : X ⇒ Y nửa liên tục X, có giá trị compắc yếu, khác rỗng Y xét với tôpô yếu Khi với p ∈ Y ∗ hàm số x → CF (p, x) nửa liên tục dom F Chứng minh Giả sử F ánh xạ nửa liên tục X, có giá trị compắc yếu, khác rỗng, Y xét với tôpô yếu p ∈ Y ∗ vectơ cho trước Ta cần chứng minh với x ∈ dom F ε > tồn lân cận mở U x ∈ X cho CF (p, x) ≤ CF (p, x) + ε với ∀x ∈ U Do F (x) compắc yếu khác rỗng, tồn y ∈ F (x) cho CF (p, x) = p, y Đặt V = {y ∈ Y : p, y < p, y + ε} 25 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Phượng Ta có V lân cận mở yếu chứa F (x) Vì F nửa liên tục x (Y xét với tôpô yếu), tồn lân cận mở U x cho F (U ) ⊂ V Khi đó, với x ∈ U ta có CF (p, x) = sup { p, y : y ∈ F (x)} ≤ p, y + ε (do F (x) ⊂ V ) = CF (p, x) + ε Mệnh đề chứng minh Định nghĩa 2.1 Ánh xạ đa trị F : X ⇒ Y từ không gian mêtric X vào không gian định chuẩn Y gọi hêmi liên tục x ∈ dom F với p ∈ Y ∗ hàm số Cp (p, ) nửa liên tục x Ta nói F hêmi liên tục X hêmi liên tục điểm thuộc dom F Dễ dàng thấy Mệnh đề 2.1 cho điều kiện đủ để ánh xạ đa trị hêmi liên tục Định lý 2.7 (Bất đẳng thức Ky Fan, 1972) Cho K tập lồi, compắc không gian Banach X, ϕ : K × K → R hàm số thỏa mãn điều kiện sau i) ∀y ∈ K, ϕ (., y) hàm số nửa liên tục ; ii) ∀x ∈ K, ϕ (x, ) hàm lõm ; iii) ∀y ∈ K, ϕ (y, y) ≤ Khi đó, tồn x ∈ K cho ∀y ∈ K, ϕ (x, y) ≤ 26 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Phượng Chứng minh Trước hết, chứng minh định lí cho trường hợp X không gian Banach hữu hạn chiều Giả sử kết luận định lí không đúng, tức ∀x ∈ K, ∃y ∈ K cho ϕ (x, y) > (2.5) với y ∈ K Đặt Uy = {x ∈ K : ϕ (x, y) > 0} Vì ϕ (., y) hàm nửa liên tục nên Uy tập mở tôpô cảm sinh K Rõ ràng từ (2.5) suy {Uy }y∈K phủ mở K Do K compắc, tồn y1 , y2 , , yk ∈ K cho k K⊂ Uyj j=1 Theo Định lí 2.6, tồn phân hoạch đơn vị {ψi }i=1,2, ,s K tương thích với phủ mở Uyj j=1,2, ,k s Tức ψ : K → [0, 1] với (i = 1, 2, , s) ψi (x) = với x ∈ K với i ∈ {1, , s} hàm liên tục, i=1 tồn j (i) ∈ {1, , k} cho : supp ψi ⊂ Uyj(i) Xét ánh xạ f : K → K cho công thức s f (x) = ψi (x) yj(i) với ∀x ∈ K i=1 (vì K tập lồi, yj(i) ∈ K) với i, ψi (x) ≥ với i, s ψi (x) = 1, nên f (x) ∈ K với x ∈ K) Do ψi (.) (i = 1, 2, , s) i=1 hàm liên tục, f (x) ánh xạ liên tục Theo định lí điểm bất động Brouwer, tồn y ∈ K cho 27 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Phượng y = f (y) Do giả thiết ii), s ϕ (y, y) = ϕ (y, f (y)) = ϕ y, s ψi (y) yj(i) ≥ i=1 ψi (y) ϕ y, yj(i) i=1 (2.6) Đặt I (y) = {i ∈ {1, 2, , s} : ψi (y) > 0} s ψi (y) = nên I (y) = ∅ Mặt khác, ta có Vì i=1 s ψi (y) ϕ y, yj(i) = i=1 ψi (y) ϕ y, yj(i) > 0, (2.7) i∈I(y) i ∈ I (y) ψi (y) > 0, y ∈ supp ψi ⊂ Uyj(i) = x ∈ K : ϕ x, yj(i) > Kết hợp (2.7) với (2.6), ta ϕ (y, y) > 0, mâu thuẫn với giả thiết iii) Bây ta xét trường hợp X không gian Banach X tập lồi, compắc, khác rỗng X Ta có định lí điểm bất động Schauder sau :“Cho A tập lồi đóng khác rỗng không gian định chuẩn X, f : A → K ánh xạ liên tục từ A vào tập compắc K ⊂ A Khi f có điểm bất động K" Lặp lại chứng minh áp dụng định lí điểm bất động Schauder thay cho định lí điểm bất động Brouwer, ta tồn điểm x ∈ K có tính chất ϕ (x, y) ≤ với y ∈ K Định lý chứng minh Ta nhắc lại K tập lồi không gian tuyến tính tôpô X nón tiếp tuyến TK (x) K x ∈ K cho công thức 28 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Phượng TK (x) = {t (y − x) : y ∈ K, t ≥ 0} = cone (K − x), cone M := {tz : z ∈ M, t ≥ 0} hình nón sinh M M bao đóng M Nón pháp tuyến NK (x) K x nón đối ngẫu âm TK (x), tức NK (x) = (TK (x))∗ = {x∗ ∈ X ∗ : x∗ , v ≤ 0, ∀v ∈ TK (x)} Định nghĩa 2.2 Cho F : X ⇒ X, X không gian Banach, ánh xạ có giá trị đóng (có thể rỗng) Tập lồi K ⊂ dom F gọi miền vững F F (x) ∩ TK (x) = ∅ ∀x ∈ K Định lý 2.8 (Định lí tồn điểm cân bằng) Cho X không gian Banach F :X ⇒ X ánh xạ đa trị hêmi liên tục X, có giá trị lồi đóng Nếu tập lồi compắc khác rỗng K ⊂ dom F miền vững F K chứa điểm cân F , tức ∃x ∈ K cho ∈ F (x) Chứng minh Ta giả sử F : X ⇒ X ánh xạ đa trị thỏa mãn giả thiết định lí, K ⊂ dom F miền vững lồi, compắc, khác rỗng F , với x ∈ K ta có ∈ / F (x) Với x ∈ K, F (x) lồi đóng ∈ / F (x), sử dụng định lí tách tập lồi ta tìm p ∈ X ∗ cho sup p, y < 0, y∈F (x) 29 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Phượng hay CF (p, x) < Với p ∈ X ∗ ta đặt Up = {x ∈ K : CF (p, x) < 0} Do lập luận ∀x ∈ K, ∃p ∈ X ∗ cho x ∈ Up Vậy họ {Up }p∈X ∗ phủ mở K (chúng ta nhận xét F hêmi liên tục X nên CF (p, ) hàm số nửa liên tục X Do Up tập mở tôpô cảm sinh K ) Vì K compắc, tồn phần tử p1 , p2 , , pk ∈ X ∗ cho Upj j=1, ,k phủ mở hữu hạn K Theo Định lí 2.6 tồn phân hoạch đơn vị {ψi }i=1, ,s K tương ứng với phủ mở Khi đó, với i ∈ {1, , s} tồn j (i) ∈ {1, , k} cho supp ψi ⊂ Upj(i) Xét hàm số ϕ : K × K → R cho công thức s ψi (x) pj(i) , x − y ϕ (x, y) = i=1 Rõ ràng i) ∀y ∈ K, ϕ (., y) hàm số liên tục; ii) ∀x ∈ K, ϕ (x, ) hàm số aphin; iii) ∀y ∈ K, ϕ(y, y) = 30 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Phượng Do giả thiết Định lí 2.7 thỏa mãn Suy tồn x ∈ K cho với ∀y ∈ K ta có ϕ (x, y) ≤ s Đặt p = ψi (x) pj(i) để ý i=1 s ≥ ϕ (x, y) = ψi (x) pj(i) , x − y = p, x − y , ∀y ∈ K i=1 Vì p, y − x ≥ 0, ∀y ∈ K nên ta có −p ∈ (TK (x))∗ = NK (x) (2.8) Vì K miền vững F , nên tồn v ∈ F (x) ∩ TK (x) Suy CF (p, x) ≥ p, v ≥ Đặt I(x) = {i ∈ {1, , s} : ψi (x) > 0} s ψi (x) = ψi (x) ≥ với i, nên I (x) = ∅ Với Vì i=1 i ∈ I (x), ψi (x) > nên x ∈ supp ψi ⊂ Upj(i) Từ suy s CF (p, x) = sup : y ∈ F (x) ψi (x) pj(i) , y i=1 31 (2.9) Khóa luận tốt nghiệp Đại học ≤ Nguyễn Thị Phượng ψi (x) CF pj(i) , x < i∈I(x) Điều mâu thuẫn với (2.9) Định lí chứng minh Nhận xét Định lí 2.8 X không gian tuyến tính tôpô, lồi địa phương Hausdorff Ta có kết sau suy trực tiếp Định lý 2.8 Định lý 2.9 (Định lí điểm bất động Ky Fan, 1972) Cho K tập lồi, compắc, khác rỗng không gian Banach X Cho G : K ⇒ K ánh xạ đa trị hêmi liên tục X, có giá trị lồi, đóng, khác rỗng Khi tồn x ∈ K cho x ∈ G (x) Chứng minh Đặt F (x) = G (x) − x Từ giả thiết đặt G, ta suy F : K ⇒ X ánh xạ đa trị hêmi liên tục trên, có giá trị lồi, đóng, khác rỗng Mặt khác, ta có F (x) = G (x) − x ⊂ K − x ⊂ TK (x) (2.10) với x ∈ K Vì F (x) = ∅ với x ∈ K, nên từ (2.10) suy tập lồi K miền vững F Từ Định lí 2.8 suy tồn x ∈ K cho ∈ F (x) Điều có nghĩa tồn x ∈ K cho x ∈ G (x) Định lý chứng minh Định lý 2.10 (Định lí điểm bất động Kakutani, 1941) Cho K ⊂ Rn tập lồi, compắc, khác rỗng G : K ⇒ K ánh xạ đa trị nửa liên tục K, có giá trị lồi, đóng, khác rỗng Khi tồn x ∈ K cho x ∈ G (x) 32 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Phượng Nhận xét 2.1 Nếu phát biểu định lí Kakutani ta bỏ số điều kiện sau (nhưng giữ nguyên điều kiện lại) kết định lí không nữa: i) G ánh xạ nửa liên tục trên; ii) G có giá trị lồi; iii) G có giá trị đóng; iv) G có giá trị khác rỗng Ví dụ 2.2.3 Cho K = [0, 1] ⊂ R G = [0, 1] → 2[0,1]   {1} ≤ x ≤ G1 (x) =  {0} < x ≤ Ta thấy G1 không thỏa mãn i); G1 thỏa mãn ii), iii) iv); G1 điểm bất động Cho G2 (x) =    x+       ≤ x < {0, 1} x = x− Ta thấy G2 không thỏa mãn ii); 33 2