VIN HN LM KHOA HC V CễNG NGH VIT NAM VIN TON HC NGễ TH NGOAN NGUYấN Lí HASSE CHO NHểM I S TRấN TRNG TON CC LUN N TIN S TON HC H NI 2017 VIN HN LM KHOA HC V CễNG NGH VIT NAM VIN TON HC NGễ TH NGOAN NGUYấN Lí HASSE CHO NHểM I S TRấN TRNG TON CC Chuyờn ngnh: i s v Lý thuyt s Mó s: 62.46.01.04 LUN N TIN S TON HC TP TH HNG DN KHOA HC: GS TS Nguyn Quc Thng H NI 2017 i TểM TT Lun ỏn nghiờn cu s hc ca nhúm i s mi liờn quan n cỏc tớnh cht a phng-ton cc c xột nhng lp cỏc a c bit nh nhúm i s mi quan h vi cỏc nhúm ca chỳng hoc cỏc khụng gian thun nht liờn quan Lun ỏn bao gm bn chng Trong chng 1, chỳng tụi trỡnh by li mt s kin thc c s v dng ton phng, dng hecmit v nguyờn lý a phng-ton cc cho cỏc dng ny ng thi, chỳng tụi cng nờu li mt s khỏi nim v mt s kt qu ó bit v nhúm i s trờn trng khụng úng i s v s phõn loi nhúm n Trong chng 2, chỳng tụi trỡnh by nhng nghiờn cu v nguyờn lý a phngton cc liờn quan n tớnh cht phõn ró ca nhúm i s tuyn tớnh liờn thụng trờn trng ton cc Kt qu chớnh ca chng ny l tớnh ỳng n ca nguyờn lý a phng-ton cc cho tớnh cht phõn ró ca nhúm i s tuyn tớnh liờn thụng trờn trng ton cc Trong chng 3, chỳng tụi nghiờn cu nguyờn lý a phng-ton cc cho khụng gian thun nht trờn trng ton cc Kt qu chớnh ca chng ny l nguyờn lý Hasse cho khụng gian thun nht x nh ca nhúm reductive liờn thụng trờn trng hm ton cc Nh l mt ỏp dng, ta s nhn c nguyờn lý a phng-ton cc cho tớnh cht ta phõn ró ca nhúm reductive liờn thụng trờn cỏc trng ny Trong chng 4, chỳng tụi trỡnh by nhng nghiờn cu v s m rng mt s nguyờn lý Hasse kinh in cho trng hp m rng i s vụ hn ca trng ton cc Kt qu chớnh ca chng ny l thit lp nguyờn lý Hasse cho cỏc dng hecmit (phn hecmit) trờn cỏc m rng i s vụ hn ca trng ton cc ii ABSTRACT In this thesis, we study arithmetic properties of algebraic groups in their relation with certain local-global principles originated from some splitting problems for connected linear algebraic groups over global fields The thesis consists of four chapters Chapter presents some background of quardratic forms, hermit forms and some classical local-global principles for such forms Further, some background of algebraic groups defined over non-algebraicaly closed fields and some related known results are given In Chapter 2, we present some local-global principles related with some splitting problems for connected linear algebraic groups over global fields The main result in this chapter is the validity of some local-global principles related with some splitting problems for connected linear algebraic groups over global fields In Chapter 3, we consider local-global principles for homogeneous spaces of connected linear algebraic groups over global fields The main result in this chapter is the local-global principles for homogeneous spaces of connected redutive groups over global function fields As an application, we deduce a local-global principle for the property of a reductive group being quasi-split over such fields In Chapter 4, we extend some known classical local-global principles for (skew-) hermitian forms to the case of infinite algebraic extensions of global fields The main result of this chapter is the validity of the Hasse principle for (skew-)hermitian forms defined over such fields iii LI CAM OAN Tụi xin cam oan õy l cụng trỡnh nghiờn cu ca tụi, c hon thnh di s hng dn ca GS TS Nguyn Quc Thng Cỏc kt qu vit chung vi tỏc gi khỏc ó c s nht trớ ca ng tỏc gi a vo lun ỏn Cỏc kt qu nờu lun ỏn l nhng kt qu mi v cha tng c cụng b cỏc cụng trỡnh no khỏc Tỏc gi Ngụ Th Ngoan iv LI CM N Mi nhỡn v chng ng hc tp, nghiờn cu ó qua, tụi li dõng tro tht nhiu tỡnh cm v cm xỳc khú t Trong sut chng ng gian nan nhiu th thỏch y, cú ngi thy luụn dừi theo tụi, ng viờn, giỏm sỏt, giỳp tụi v khụng cho phộp tụi nn chớ; ngi thy vụ cựng kớnh yờu ca chỳng tụi, ngi ó hng dn tụi thc hin Lun ỏn ny: GS TS Nguyn Quc Thng Tht khụng li no cú th k ht cụng lao ca thy tụi i vi tụi Tụi ch cú th núi rng, s khú khn cụng vic nghiờn cu ca tụi, c ng hnh vi s vt v, s nghiờm khc v kiờn trỡ ca thy Thy ó luụn dnh nhiu thi gian v cụng sc hng dn tụi Thy cú th ging gii, ch dn cho tụi c bui, c ngy, nhiu ngy: tn tõm v khụng mt mi! S tn tõm y, cng vi nim tin ca thy dnh cho tụi ó tr thnh ng lc mnh m, giỳp tụi vt qua mi khú khn cú th trng thnh Thi gian trụi qua nhanh, tụi nhn mỏi túc thy hụm ó thờm nhiu si bc, cú l cng vỡ tụi Lun ỏn ó c hon thnh di s dy cụng hng dn ca GS TS Nguyn Quc Thng T sõu thm trỏi tim, tụi xin by t lũng bit n chõn thnh v sõu sc nht n thy! V tụi s c gng phn u tht nhiu xng ỏng vi nim tin ca thy! Tụi xin trõn trng cm n Vin Toỏn hc - Vin Hn lõm Khoa hc Vit Nam, cỏc phũng chc nng, Trung tõm o to sau i hc ó to iu kin tt nht giỳp tụi hc tp, nghiờn cu v tham gia mt cỏch hiu qu cỏc bui sinh hot khoa hc ca Vin Tụi xin chõn thnh cm n GS TSKH Nguyn ụng Yờn, TS Nguyn Chu Gia Vng, ThS Trn Th Phng Tho luụn quan tõm sỏt n cỏc nghiờn cu sinh, hc viờn ca Vin Toỏn hc Ni õy, tụi ó nhn thy c nhng giỏ tr cao p ca s say mờ nghiờn cu v tinh thn tn ty ht mỡnh cho cụng vic Bng s kớnh trng vụ b bn, tụi xin chõn thnh cm n cỏc giỏo s, cỏc anh ch thuc phũng i s, phũng Lý thuyt S ca Vin Toỏn hc ó luụn coi trng vic rốn gia chỳng tụi mi ni, mi lỳc c bit l GS TSKH Phựng H Hi, TS Nguyn Chu Gia Vng, TS on Trung Cng ó t chc nhiu khúa hc thc s b ớch cho chỳng tụi, TS Nguyn Duy Tõn, TS o Phng Bc luụn kiờn nhn lng nghe v gii thớch cho tụi nhng iu vng mc, PGS TSKH T Th Hoi An luụn cú cỏch giỳp tụi bỡnh tõm tr li trc nhng khú khn, Tụi xin chõn thnh cm n GS TSKH Phựng H Hi, GS TSKH H Huy Khoỏi ó c v gúp ý tn tỡnh cho bn Lun ỏn Tụi xin chõn thnh cm n GS TSKH Ngụ Vit Trung, GS TSKH Nguyn T Cng, GS TSKH Lờ Tun Hoa v s v nghiờm khc khoa hc v bao dung i thng Chớnh s nghiờm khc v bao dung y ó to thnh ng lc mnh m cho tụi quỏ trỡnh hc v nghiờn cu ca bn thõn Tụi xin chõn thnh cm n Khoa Toỏn trng i hc S phm - HTN; Khoa Toỏn-C-Tin trng i hc Khoa hc T nhiờn - HQGHN ó trang b cho tụi nhng kin thc c bn v Toỏn hc Tụi xin trõn trng cm n Ban giỏm hiu trng i hc Khoa hc ó luụn khuyn khớch i ng ging viờn phn u hc nghiờn cu; xin trõn trng cm n Ban ch nhim Khoa Toỏn-Tin ó to mi iu kin thun li v c vt cht v tinh thn cho tụi quỏ trỡnh cụng tỏc, hc v nghiờn cu Tụi xin cm n Qu phỏt trin Khoa hc v Cụng ngh Quc gia ó ti tr kinh phớ cho tụi sut quỏ trỡnh tụi thc hin lun ỏn Tụi xin cm n cỏc anh ch em ó v ang hc v nghiờn cu ti Vin toỏn hc, cỏc anh ch em bn bố ng nghip v nhng trao i, h tr v chia s khoa hc cng nh cuc sng Cui cựng, tụi xin by t lũng bit n sõu sc ti b m, cỏc anh ch em, cỏc chỏu hai bờn gia ỡnh ni ngoi c bit xin cm n chng v trai yờu quý, nhng ngi ó vỡ tụi m phi chu nhiu thit thũi vt v; ó luụn cm thụng v s chia gỏnh nng cựng tụi sut nhng nm thỏng qua tụi cú th hon thnh lun ỏn ny Tỏc gi Ngụ Th Ngoan Mc lc Trang Túm tt i Abstract ii Li cam oan iii Li cm n v Mc lc vi M u Chng Mt s kin thc chun b 1.1 1.2 Dng ton phng trờn trng cú c s khỏc Dng ton phng trờn trng a phng v ton cc 1.3 Dng hecmit trờn mt th trờn mt trng 1.4 Dng hecmit (phn hecmit) trờn mt th trờn trng a phng v trng ton cc 12 1.5 1.6 Nhúm i s trờn trng khụng úng i s 14 Phõn loi nhúm n 22 1.7 i ng iu Galoa v i ng iu phng 25 vi vii Chng cc Mt s tớnh cht phõn ró v nguyờn lý a phng-ton 30 2.1 Nguyờn lý a phng-ton cc cho tớnh cht phõn ró ca nhúm gii 2.2 c 30 Nguyờn lý a phng-ton cc cho tớnh cht phõn ró ca nhúm reductive 32 2.3 Nguyờn lý a phng-ton cc cho tớnh cht phõn ró ca nhúm i s tuyn tớnh liờn thụng 39 2.4 Nguyờn lý a phng-ton cc cho tớnh cht ta phõn ró ca nhúm i s tuyn tớnh liờn thụng 40 Chng Nguyờn lý Hasse cho khụng gian thun nht trờn trng ton cc 3.1 Nguyờn lý Hasse cho khụng gian thun nht x nh Chng minh th 44 nht 44 3.2 3.3 Chng minh th hai ca nh lý 3.1.5 47 Mt s ỏp dng ca nh lý 3.1.5 51 3.4 Nguyờn lý Hasse cho cỏc khụng gian thun nht chớnh 59 Chng Nguyờn lý Hasse trờn trng ton cc vụ hn cho cỏc dng 66 4.1 Dng ton phng trờn trng a phng húa v ton cc vụ hn 66 4.2 4.3 nh lý Hasse v chun v nh lý Hasse-Brauer-Noether 70 Lý thuyt a phng ca cỏc dng hecmit v phn hecmit 74 4.4 Nguyờn lý Hasse v phõn loi ton cc 80 4.5 Nguyờn lý Hasse yu 82 Kt lun ca lun ỏn 86 Danh mc cỏc cụng trỡnh ó cụng b liờn quan n lun ỏn 87 Ti liu tham kho 88 viii Mt s ký hiu v quy c vit tt C trng cỏc s phc R trng cỏc s thc Q trng cỏc s hu t f f hai dng ton phng (hoc hecmit) tng ng Fq trng cú q phn t Qp trng p-adic Fq (t) trng hm hu t trờn Fq d(q) nh thc ca dng ton phng (hoc hecmit) q (a, b/k) i s quaternion trờn trng k M(m, R) i s ma trn trờn mt vnh R NrdA/k (a) chun thu gn ca phn t a i vi i s n tõm A/k TrdA/k (a) vt thu gn ca phn t a i vi i s n tõm A/k disc(h) bit thc ca h Br(k) nhúm Brauer ca trng k Ru (G) cn ly n ca nhúm G R(G) cn gii c (cn) ca nhúm G Ad biu din ph hp Ga nhúm cng Gm nhúm nhõn Tn nhúm cỏc ma trn tam giỏc trờn kh nghch Un nhúm cỏc ma trn tam giỏc trờn ly n Dn nhúm cỏc ma trn ng chộo kh nghch GLn nhúm tuyn tớnh tng quỏt SLn nhúm tuyn tớnh c bit X(G) nhúm c trng ca G Z(G) tõm ca nhúm G 78 nh lý 4.3.7 (Xem [33, p 363] cho trng hp trng p-adic) Cho k l mt trng a phng húa phi Acsimet cú c s khỏc 2, h l mt dng phn hecmit khụng suy bin nhn giỏ tr mt i s quaternion chia c D = (a, b/k) vi phộp i hp chun J trờn k Khi ú nu dim(h) 4, thỡ h l ng hng Chng minh Ta cú th s dng phng phỏp ca Tsukamoto, cú Scharlau ([33, Ch X, Thm 3.6]), bng cỏch kt hp vi cỏc kt qu ca mc trc C th l, tớnh cht ng hng ca cỏc dng ton phng cú chiu (nh lý 4.1.4) v tớnh nht ca mt i s quaternion khụng tm thng chia c (B 4.1.5) l nhng kt qu ta cn Phn cũn li nh [33] nh lý 4.3.8 (Xem [46],[33, p 363] cho trng hp trng p-adic) Cho k l mt trng a phng húa phi Acsimet cú c s khỏc 2, D l mt i s quaternion chia c vi phộp i hp chun J trờn k, h l mt dng phn hecmit khụng suy bin chiu n nhn giỏ tr D ng vi J Gi s thờm rng trng thng d cú c s khỏc Khi ú ta cú cỏc khng nh sau (1) Vi mi d k , d 1(mod k ) luụn tn ti mt dng phn hecmit chiu cú nh thc l d Nu n = dim(h) > 1, vi mi d k cú mt dng chiu n cú nh thc d k (2) Nu n = 1, lp ng c ca h c xỏc nh bi nh thc det(h) Nu n = 2, h l ng hng nu v ch nu det(h) = 1(mod k ) (3) Cỏc dng phn hecmit khụng suy bin l ng c nu v ch nu chỳng cú cựng chiu v cựng nh thc (4) Nu n = 3, h l khụng ng hng nu v ch nu det(h) = 1(mod k ) Chng minh í tng chớnh ó cú [33], ta a thờm chng minh chi tit sau (1) Cho D = (a, b/k) Nu cho trc d k , cú mt trng a phng L k, cho D, h c xỏc nh trờn L v d L Vỡ d (1) ì k , ta cng cú d (1) ì L2 Khi ú theo [33, pp 363 - 364], thỡ phng trỡnh Nrd(X) = d cú nghim X D (t X = xi + yj + z(ij), x, y, z k, ta ch rng phng trỡnh Nrd(X) = ax2 by + abz = d cú mt nghim, hoc tng ng, dng ton phng ax2 by + abz dt2 l ng hng Tht vy, nu dng ton phng ax2 by + abz dt2 l khụng ng hng, thỡ ta bit nú s tng ng vi mt dng chun khụng ng hng ca D, vỡ D l i s quaternion chia c nht (sai khỏc mt ng cu) trờn L Vy ta cú cỏc dng ton phng tng ng d, a, b, ab 1, a, b, ab v theo lut gin c Witt, ta cú d 1, iu ny mõu thun Chỳ ý rng [33, Thm 3.6, iii), p 363], iu kin = cn 79 c i thnh = 1, hoc "nh thc" cn c i thnh "bit thc", ú bit thc l (nh [46]) disc(h) := (1)dim(h) det(h) Rừ rng n > 1, thỡ vi mi d k , tn ti mt dng cú nh thc d (2) Xột trng hp n = Gi s rng det() = det()(mod k ), ú , D \ {0} thỡ Nrd() = Nrd() , k Theo nh lý 4.1.4, cú mt D cho Nrd() = , vy Nrd() = Nrd() = Nrd( J ) Nrd() Nrd() = Nrd( J ) Vỡ vy, bng cỏch thay bi J , ta cú th gi s t u rng Nrd() = Nrd() ú = ( k ) T ú ta suy rng k() k() Theo nh lý Skolem Noether, ta tỡm c x D cho xx1 = , vy xxJ = xxJ = Nrd(x) Tip theo, ta cn b sau B 4.3.9 ([33, p 361]) Gi D = (a, b/k) l mt i s quaternion chia c trờn mt trng k cú c s khỏc Gi D \ {0} Khi ú vi k nu v ch nu c biu din trờn k bi dng ton phng 1, a hoc b, ab Theo b ny, ta phi ch rng d = Nrd(x) c biu din bi 1, a hoc b, ab Nu khụng xy c hai trng hp ú thỡ ta cú 1, a d, ad v b, ab d, ad Nhng quan h ny ch rng: a) i s quaternion (a, d/k) l khụng tm thng v b) cỏc i s quaternion (a, b/k) v (a, d/k) l khụng tng ng Do s tn ti ca i s quaternion chia c trờn k l nht (B 4.1.5) cho ta iu mõu thun Do ú Xột trng hp n = Gi h = , Nu h l ng hng, ta vit xJ x+y J y = 0, vi x = 0, t z = yx1 , ta cú = z J z, vy det(h) = Nrd() Nrd() = 1(mod k ) Ngc li, nu det(h) = 1(mod k ), thỡ Nrd() = Nrd()(mod k ), vy cỏc dng v cú cựng nh thc Theo trờn ta bit rng , cng vy (chỳng cú chiu v cựng nh thc), vy , , v h l ng hng (3) Cho f v g l hai dng phn hecmit khụng suy bin cú cựng chiu v cựng nh thc Ta xột dng = f (g) Khi ú l khụng suy bin v cú chiu 2n.Theo nh lý ca Witt (xem [33, Corol 9.2, Ch 7]) ta cú = rH h vi H l hypecbolic v h l khụng ng hng Vỡ cỏc dng cú s chiu l ng hng v s chiu ca h l chn, nờn s chiu ca h khụng vt quỏ Nu h cú s chiu thỡ vỡ h khụng ng hng nờn det(h) = 1, iu ny mõu thun Vy ta cú f (g) = rH Li ỏp dng nh lý ca Witt ta suy f v g l hai dng tng ng (4) Nu n = 3, mt dng h cú nh thc l khụng ng hng, vỡ nu h l ng 80 hng thỡ nú cú dng chộo h , , , ú Nrd() = 1, iu ny vụ lý Ngc li, gi s dng phn hecmit , , cú nh thc d = 1, theo chng minh ý (1), luụn tn ti D cho Nrd() = d Khi ú hai dng , , v , , cú cựng chiu v nh thc nờn chỳng tng ng Vy , , l ng hng 4.4 Nguyờn lý Hasse v phõn loi ton cc Trong mc ny chỳng tụi chng minh mt s nguyờn lý Hasse mnh cho cỏc dng trờn trng ton cc vụ hn Dng kiu A Nguyờn lý Hasse ni ting cho cỏc dng kiu A (nh lý 1.4.4) c chng minh bi W Landherr nm 1938 (xem [33, Th 6.2, Ch.10]) Chỳng ta cú kt qu tng t cho trng hp trng ton cc vụ hn nh lý 4.4.1 (Nguyờn lý Hasse mnh) Cho k l mt trng ton cc vụ hn cú c s khỏc 2, Vk l tt c cỏc chn ca k Gi h l dng hecmit khụng suy bin ng vi phộp i hp J loi hai trờn mt i s chia c D tõm K = k( a), k = K J Khi ú, h biu din trờn k nu v ch nu nú biu din a phng khp ni Trc ht ta cn chng minh kt qu sau õy B 4.4.2 Cho k l mt trng ton cc cú c s khỏc 2, D l mt i s chia c tõm K = k( a) v mt phộp i hp J loi 2, ú k = K J Cho h l dng J-hecmit khụng suy bin nhn giỏ tr D Nu dim(h) 2, thỡ tn ti mt hu hn S nhng chn ca k, cho h l ng hng trờn kv vi mi v S Chng minh B 4.4.2 Vỡ dim(h) nờn theo phõn loi ca Tits (xem[45, p.34]), nhúm unita c bit G = SUn+1/d (h, D) liờn kt vi h l nhúm hu n xỏc nh trờn k Ta ó bit rng (xem chng minh Prop 9.3 [52]) cú mt S hu hn (cú th rng) cỏc chn ca k, cho vi mi v S, G tr thnh ta phõn ró trờn kv Do ú, hv cú ch s Witt cc i, núi riờng ra, ú hv l ng hng vi mi v S Chng minh nh lý 4.4.1 nh lý c chng minh tng t nh trng hp cỏc dng ton phng, õy ta s dng B Kăonig v nguyờn lý Hasse cho cỏc dng hecmit trờn cỏc trng ton cc (nh lý 1.4.4 v B 4.4.2) Dng kiu C 81 nh lý 4.4.3 (Nguyờn lý Hasse mnh) Cho k l mt trng ton cc vụ hn cú c s khỏc 2, D l mt i s chia c trờn k ng vi phộp i hp J loi Gi s f l mt dng hecmit kiu C khụng suy bin chiu n nhn giỏ tr D Nu f biu din a phng khp ni thỡ f cng biu din trờn k Chng minh Vỡ f, D, J c cho bi mt s hu hn cỏc d kin, chỳng c xỏc nh trờn mt trng ton cc (hu hn) L Vỡ vy, ta cú th gi s t u rng f, D, J l xỏc nh trờn L Do ú, theo Mnh 4.2.8, ta cú th gi s rng D l mt i s quaternion chia c vi phộp i hp chun J ca nú, m cỏc phn t J-bt bin l L Ta cng cú th gi s rng f cú dng chộo f = a1 xJ1 x1 + + an xJn xn , n 2, ú L, xj D Cho D = (a, b/L) cú c s {1, i, j, ij} vi i2 = a, j = b, ij = ji, vi a, b L Dng chun ca D l N (x) = x21 ax22 bx23 + abx24 , vi x = x1 + x2 i + x3 j + x4 ij, xi k Dng vt liờn kt vi f c cho bi qf = a1 N (x1 ) + + an N (xn ) Vi mi m rng trng K/L, ta cú f K l ng hng nu v ch nu qf K l ng hng trờn K (theo Mnh 1.4.2) Vỡ vy dng ton phng qf (cú hng n 4) biu din khụng tm thng a phng trờn tt c cỏc trng y húa ca L Theo kt qu t nh lý 4.1.6, ta suy qf l ng hng trờn L, ú f cng l ng hng trờn L vy f ng hng trờn k Cỏc dng kiu D Cho k l mt trng ton cc vụ hn cú c s khỏc 2, h l mt dng J-phn hecmit khụng suy bin cú kiu D nhn giỏ tr mt i s chia c D Ta bit rng D l mt i s quaternion chia c tõm k v phộp i hp chun J Trờn cỏc trng ton cc, Kneser ó chng minh nguyờn lý Hasse mnh cho dng h vi s chiu (nh lý 1.4.3) Ta cú kt qu tng t k l trng ton cc vụ hn nh lý 4.4.4 (Nguyờn lý Hasse mnh cho dng phn hecmit) Cho k l mt trng ton cc vụ hn cú c s khỏc 2, D l mt i s quaternion chia c tõm k v phộp i hp chun J, h l mt dng J-phn hecmit khụng suy bin cú kiu D nhn giỏ tr D Khi ú, nu dim(h) thỡ h tha nguyờn lý Hasse mnh Cú hai chng minh ca nguyờn lý Hasse mnh (theo ngha kinh in) cho dng phn hecmit (nh lý 1.4.3) ca M.Kneser trng hp trng ton cc (hu hn) 82 Mt chng minh Kneser v chng minh khỏc T.A.Springer a C hai chng minh ny u di v phc Theo nh ngha v nguyờn lý a phng-ton cc mi, chỳng tụi a chng minh bng cỏch s dng cỏc lp lun ó cú trng hp cỏc dng ton phng (xem chng minh ca nh lý 4.2.6) v mt s lp lun ó c s dng chng minh ca Springer (xem [33, Ch 10, Sec 4]) Trc ht, ta cn b sau B 4.4.5 Gi s k l mt trng ton cc cú c s khỏc 2, D l mt i s quaternion chia c tõm k v phộp i hp chun J Cho h l mt dng J-phn hecmit khụng suy bin nhn giỏ tr D Nu dim(h) 2, thỡ tn ti hu hn S cỏc chn ca k, h l ng hng trờn kv vi mi v S Chng minh B 4.4.5 Ta cn kt qu tng quỏt sau õy (xem chng minh ca Prop 9.3 [52]): Cho G l mt nhúm i s na n xỏc nh trờn mt trng ton cc k Khi ú, cú mt S hu hn (cú th rng) cỏc chn ca k, cho vi mi v S, G tr thnh ta phõn ró trờn kv Do ú, vi dng phn hecmit h nh gi thit, ta gi G l nhúm i s liờn kt vi h thỡ cú S hu hn cỏc chn ca k cho vi mi v S, G l ta phõn ró trờn kv Khi ú h cú ch s Witt cc i trờn kv , vi mi v S, vỡ vy h l ng hng Do ú S chớnh l cn tỡm v b c chng minh Chng minh nh lý 4.4.4 chng minh nh lý, ta ỏp dng B 4.4.5 v lp lun tng t nh chng minh ca [17, Thm 4] (hoc nh chng minh ca nh lý 4.2.6) 4.5 Nguyờn lý Hasse yu Cng ging nh trng hp trng ton cc, nguyờn lý Hasse yu cũn ỳng cho cỏc dng hecmit kiu A v C trờn trng ton cc vụ hn, c th ta cú kt qu sau õy: nh lý 4.5.1 ([24, Thm 4.1.1]) Cho k l mt trng ton cc vụ hn cú c s khỏc 2, Vk l cỏc chn ca k v cho g, h l cỏc dng hecmit khụng suy bin chiu n v cú cựng kiu khỏc vi kiu B, D trờn mt i s chia c D ng vi phộp i hp J (tõm K, k = K J , nu cỏc dng cú kiu A) Khi ú g v h tng ng trờn 83 k nu v ch nu chỳng tng ng a phng khp ni Ta bit rng trng hp n = 2, nguyờn lý Hasse mnh (v yu) cú th khụng ỳng cho cỏc dng phn hecmit trờn cỏc trng ton cc C th l, nu D l mt i s quaternion chia c trờn trng ton cc k, J l phộp i hp chun v D khụng phõn ró ti ỳng s chn ca k, thỡ vi mi phn t J-chộo (phn xng) D , tn ti ỳng 2s2 phn t k /k cho xJ x y J y biu din trờn kv a phng khp ni, nhng khụng biu din trờn k (xem [33, Ch 10, 4.5, 4.6]) Tng t, nguyờn lý Hasse mnh (hoc yu) cng cú th khụng ỳng cho dng phn hecmit kiu D trng hp trng ton cc vụ hn C th l ta cú mnh sau Mnh 4.5.2 (1) Tn ti mt trng ton cc vụ hn k cú c s khỏc 2, mt i s quaternion chia c D = (a, b/k) vi phộp i hp chun J trờn k cho D c xỏc nh trờn mt trng ton cc L (tc l a, b L), ú D Kv khụng tm thng ti s (s 4) chn v ca K vi mi m rng hu hn L K k (2) Vi mi trng k v i s quaternion chia c D nh (1), vi mi s t nhiờn n, cú cỏc dng phn hecmit g v h chiu n nhn giỏ tr D ng vi J, chỳng tng ng a phng khp ni nhng khụng tng ng ton cc Chng minh (1) Trc tiờn ta chn mt trng ton cc L cú c s khỏc v mt i s quaternion chia c D = (a, b/L) Gi S l mt hu hn tt c cỏc chn v ca L, cho D Lv l khụng tm thng Ta cú th chn D cho Card(S) Vi mi v S, ta chn mt s l nv > Khi ú bi chung nh nht n ca cỏc nv cng l s l Theo lý thuyt trng cỏc lp (xem mc chng 10 ti liu [2]), ta cú th chn mt m rng xyclic hu hn L1 /L cú bc n, cho vi mi v S, v mi m rng v1 ca v n L1 , bc a phng [L1,v1 : Lv ] ỳng bng nv Rừ rng nv l l, v D l khụng tm thng trờn Lv , nờn D cng khụng tm thng trờn L1,v1 (bi vỡ theo nh lý 5.3 ca Chng [33], dng chun ca D, l khụng ng hng trờn Lv , cng nh vy trờn L1,v1 ) Vỡ vy hu hn S1 tt c cỏc chn ca L1 cho D L1 l khụng tm thng cú ớt nht phn t Lp li quỏ trỡnh ny, ta nhn c thỏp vụ hn cỏc m rng trng hu hn Ta t k = n Ln Theo cỏch xõy dng ca ta, mi Ln cú ớt L = L0 L1 ã ã ã L nht chn m ti ú D Ln khụng phõn ró ng thi, vi mi v S v m rng v ca nú lờn k thỡ D l khụng tm thng trờn k( v ) = n Ln,vn (nu D k( v ) l tm thng thỡ cú mt trng phõn ró ca D nm k( v ) cú bc hu hn trờn Lv , 84 iu ny khụng th xy Vy D k( v ) l khụng tm thng v vỡ vy cú ớt nht chn ca k tha iu ny Nu K l mt m rng hu hn ca L, L K k thỡ theo trờn ta cú th chn n cho L K Ln , Lv Kw Ln,vn Vỡ D Ln,vn l khụng tm thng, nờn D Kw cng vy Do ú (1) c chng minh 2) Gi s D = (a, b/k) Ta cú th chn mt phn t J-phn i xng D cho = a xõy dng phn vớ d, ta ch cn xột dng chiu h = xJ x y J y cho nguyờn lý Hasse mnh (theo ngha kinh in) khụng tha i vi h trờn L Theo chng minh ca B 3.4 (Chng 10 [33]), Vi mt L ó cho, phng trỡnh h = cú mt nghim tng ng vi khng nh cỏc dng phn hecmit v l ng c, tng ng vi iu kin c biu din (ton cc) bi dng 1, a hoc dng b, ab Do ú nguyờn lý Hasse mnh khụng tha i vi h v ch phn t L tha iu kin: () Vi mi chn v ca S, hoc l (a, )v = hoc (a, )v = (a, b)v = 1, nhng khụng cú ng thc no c tha ton cc trờn k Bõy gi, ta ly D, S nh (1) Ký hiu Sk l tt c cỏc chn ca k cú hn ch lờn L thuc vo S Ta gi S1 l ca S cú s chn (ớt nht l 4) phn t Ta chn L cho () c tha C th l ta chn cho (a, )v = vi mi v S, (a, )v = vi mi v S1 , v (a, )v = vi mi v S \ S1 Khi ú vi mi chn w ca k, nu w S1,k , thỡ (a, )w = 1, v (a, )w = trng hp cũn li Khi ú, phn t k tha iu kin () v cỏc dng v l ng cu (tng ng) trờn kv vi mi v, nhng khụng tng ng trờn k S cỏc dng mt chiu tng ng a phng khp ni nhng khụng tng ng ton cc l hu hn (tng ng vụ hn) nu Sk l hu hn (tng ng vụ hn) Trng hp s chiu tựy ý c suy t õy C th, cho f l mt dng phn hecmit cú s chiu n 1, , nh trờn Khi ú ta xột cỏc dng sau g := f , h := f Cỏc dng ny cú s chiu n v tng ng a phng khp ni nhng khụng tng ng ton cc 85 KT LUN CHNG Trong chng ny, chỳng tụi kho sỏt nguyờn lý Hasse mnh cho cỏc dng hecmit v phn hecmit trờn trng ton cc vụ hn v xõy dng phn vớ d cho nguyờn lý Hasse yu i vi dng phn hecmit Chỳng tụi ó chng minh c cỏc kt qu chớnh sau õy - M rng mt phn ca nh lý Hasse-Brauer-Noether, c th chng minh nguyờn lý Hasse (theo ngha mi) cho nhúm Brauer ca trng ton cc vụ hn (nh lý 4.2.6) - Xõy dng lý thuyt a phng cho dng hecmit v phn hecmit (nh lý 4.3.4; Mnh 4.3.6; nh lý 4.3.7; nh lý 4.3.8) - Chng minh mt s nguyờn lý Hasse mnh cho cỏc dng kiu A, C, D (nh lý 4.4.1; nh lý 4.4.3; nh lý 4.4.4) - Chỳng tụi ó xõy dng phn vớ d cho nguyờn lý Hasse yu i vi dng phn hecmit kiu D (Mnh 4.5.2) - Cỏc kt qu ca chng ny da theo cỏc bi bỏo [24], [27] 86 KT LUN CA LUN N Lun ỏn nghiờn cu nguyờn lý Hasse cho nhúm i s v cỏc dng ton phng, hecmit v phn hecmit trờn trng ton cc v cỏc m rng i s vụ hn ca chỳng Cỏc kt qu chớnh l: - Chng minh nguyờn lý a phng-ton cc cho tớnh cht phõn ró ca nhúm i s tuyn tớnh liờn thụng trờn trng ton cc - Chng minh nguyờn lý a phng-ton cc cho tớnh cht ta phõn ró ca nhúm i s tuyn tớnh liờn thụng trờn trng ton cc - Chng minh nguyờn lý Hasse mnh cho khụng gian thun nht ca nhúm reductive liờn thụng trờn trng hm ton cc, (m rng mt kt qu ó bit ca Harder) - Chng minh nguyờn lý Hasse cho tớnh ng hng cho mt lp rng cỏc nhúm hu n v a phn vớ d cho lp nhúm hu n cũn li - Chng minh mt s nguyờn lý Hasse mnh (theo ngha mi) cho cỏc dng (phn) hecmit trờn trng ton cc vụ hn c s khỏc v a phn vớ d i vi mt s dng hecmit 87 DANH MC CC CễNG TRèNH LIấN QUAN N LUN N N.T Ngoan and N Q Thang(2014), On some Hasse principle for algebraic groups over global fields, Proc Jap Acad Ser A, v 90, No.5, 73 - 78 N.T Ngoan and N Q Thang(2014), On some Hasse principle for algebraic groups over global fields, II, Proc Jap Acad Ser A, v 90, No.8, 107 - 112 N.T Ngoan and N Q Thang(2016), On some Hasse principle for Homogeneous Space of Algebraic Groups over Global Fields of Positive Characteristic, Proc of the Steklov Ins Math, v 292, 171 - 184 N.T Ngoan and N Q Thang(2016), On some Hasse principles for algebraic groups over global fields, preprint N.T Ngoan and N Q Thang(2016), On some Hasse principle for algebraic groups over infinite algebraic extensions of global fields, preprint CC KT QU CA LUN N C BO CO, THO LUN TI CC HI NGH, HI THO KHOA HC, SERMINAR SAU: - Hi ngh i s-Hỡnh hc-Tụ pụ Ton quc thỏng 12/2014 - Hi ngh khoa hc cỏc th h nghiờn cu sinh Vin Toỏn hc thỏng 10/2015 - Xờ mi na liờn phũng i s v Lý thuyt S ti Vin Toỏn hc - Cỏc hi ngh ỏnh giỏ Nghiờn cu sinh ca Vin Toỏn hc, thỏng 10/2011, thỏng 10/2012, thỏng 10/2013, thỏng 10/2014, thỏng 10/2015 - Hi ngh i s-Hỡnh hc-Tụ pụ Ton quc thỏng 11/2016 - Xờ mi na ti khoa Toỏn-Tin, trng i hc Khoa hc, i hc Thỏi Nguyờn Ti liu tham kho Ting Anh [1] A Albert(1933), "On normal division algebras over algebraic number fields not of finite degree", Bull Amer Math Soc., v 39, 746 - 749 [2] E Artin and J Tate(1961), Class Field Theory, W A Benjamin, Inc., USA [3] A Borel(1991), Linear Algebraic Groups, Springer - Verlag [4] A Borel(1965), "Linear Algebraic Groups" in: "Algebraic groups and Discontinuous subgroups", Proceedings of Symposia in Pure Mathematics A.M.S., v 9, - 19 [5] A Borel(1983), Oeuvres : Collected papers, vol II, Springer -Verlag [6] M Borovoi(1992), "The Hasse principle for homogeneous spaces", J Reine Angew Math., Bd 426, 179 - 192 [7] M Borovoi(1993), "Abelianization of the second non-abelian Galois cohomology", Duke Math J., v 72, 217 - 239 [8] M Borovoi(1998), "Abelian Galois Cohomology of Reductive Groups", Memoirs of Amer Math Soc., v 162, - 50 [9] L Breen(1994), Classification of 2-stacks and 2-gerbes, Astộrisque No 225, Sociộtộ Mathộmatique de France [10] B Conrad(2015), "The structure of solvable groups over general fields", Panoramas et Synthốses, v 46, 159 - 192 [11] J L Colliot-Thộlốne, P Gille and R Parimala(2004), "Arithmetic of linear algeberaic groups over two-dimensional geometric fields", Duke Math J., v.121, 285 - 341 88 89 [12] J C Douai(1976), "2-cohomologie galoisienne des groupes semisimples: Application de la cohomologie non-abelienne", Thốse dEtat, Univ Lille I (= ẫditions universitaires europộennes, Să udwestdeutscher-Verlag, Saabrucken, Germany, 2010.) [13] R Fossum and B Iversen(1973), "On Picard groups of algebraic fiber spaces", J Pure and Appl Algebra 3, 269 - 280 [14] C D Gonzỏlez-Avilộs(2012), "Quasi-abelian crossed modules and nonabelian cohomology", J Algebra, v 369, 235 - 255 [15] C D Gonzỏlez-Avilộs(2013), "Flasque resolutions of reductive group schemes", Cent Eur J Math., 11, 1159 - 1176 [16] J E Humphreys(1981), Linear algebraic groups, Springer-Verlag, New York [17] K Koziol and M Kula(1998), "Witt rings of infinite algebraic extensions of global fields", Annales Math Silesianae, 12, 131 - 139 [18] M Kneser(1969), Lectures On Galois Cohomology of Classical Groups, Tata Institute of Fundamental Research, Bombay [19] R E Kottwitz(1986), "Stable trace formula : elliptic singular terms", Math Annalen, Bd 275, 365 - 399 [20] K McCrimmon(1969), "The Freudenthal-Springer-Tits constructions of exceptional Jordan algebras", Trans Amer Math Soc., v.139, 495 - 510 [21] JS Milne(2014), Algebraic Number Theory, www.jmilne.org/math/ [22] J Neukirch(1986), Class field theory, Springer - Verlag [23] N.T Ngoan and N Q Thang(2014), "On some Hasse principle for algebraic groups over global fields", Proc Jap Acad Ser A, v 90(No.5), 73 - 78 [24] N.T Ngoan and N Q Thang(2014), "On some Hasse principle for algebraic groups over global fields, II", Proc Jap Acad Ser A, v 90(No.8), 107 112 [25] N.T Ngoan and N Q Thang(2016), "On some Hasse principle for Homogeneous Space of Algebraic Groups over Global Fields of Positive Characteristic", Proc of the Steklov Ins Math., v 292, 171 - 184 [26] N.T Ngoan and N Q Thang(2016), "On some Hasse principle for algebraic groups over global fields", preprint 90 [27] N.T Ngoan and N Q Thang(2016), "On some Hasse principle for algebraic groups over infinite algebraic extensions of global fields", preprint [28] O.T OMeara(1973), Introduction to Quadratic Forms, Springer-Verlag [29] T Ono(1959), "On some arithmetic properties of linear algebraic groups", Annals of Mathematics, v 70(No.2), 266 - 290 [30] R Pierce(1982), Associative algebras, Springer - Verlag, New York [31] V Platonov and A Rapinchuk(1994), Algebraic Groups and Number Theory, Academic Press, London [32] G Prasad, A.S Rapinchuk(2006), "On the existence of isotropic forms of semi-simple algebraic groups over number fields with prescribed local behavior", Adv Math v 207(no 2), 646 - 660 [33] W Scharlau(1985), Quadratic and Hermitian forms, Springer - Verlag [34] W Scharlau(1970), "Klassifikation hermitescher Formen u ăber lokalen Kăorpern", Math Ann., 186, 201 - 208 [35] O F G Schilling(1950), The theory of valuations, Math Surveys ser no 4, A M S [36] J.P.Serre(1980), A Course in Arithmetic, Springer [37] J.P.Serre(1994), Galois cohomology, Springer [38] Stepen S Shatz(1964), "Cohomology of artinian group schemes over local fields", Annals of Mathematics, v 79(3), 411-449 [39] Stepen S Shatz(1966), "The cohomology dimension of certain Grothendieck topologies", Annals of Mathematics, v 83(3), 572-595 [40] T A Springer(1998), Linear Algebraic Groups, Birkhăauser S Shatz [41] T A Springer(1965), "Non-abelian H in Galois cohomology" in "Algebraic and discontinuous subgroups", Proc Symp Pure Math A M S., v 9, 164 - 182 [42] N Q Thang(2008), "On Galois cohomology of semisimple groups over local and global fields of positive characteristic", Math Z., Bd 259(no 2), 457 470 91 [43] N Q Thang(2011), "On Galois cohomology and weak approximation in connected reductive groups over fields of positive characteristics", Proc Japan Acad ser A, v 87 (No 10), 203 - 208 [44] N Q Thang(2012), "On Galois cohomology of semisimple algebraic groups over local and global fields of positive characteristic, II", Math Z., Bd 270, 1057 - 1065 [45] J Tits(1966), "Classification of algebraic semisimple groups" in "Algebraic groups and discontinuous subgroups", Proc Symp Pure Math., A M S., v , 33 - 62 [46] T Tsukamoto(1961), "On the local theory of quaternionnic anti-hermitian forms", J Math Soc Jap., v 13, 387 - 400 [47] M Tsfasman and V Vladuts(2002), "Infinite global fields and the generalized Brauer-Siegel theorem", Mosc Math J., 2(no 2), 329 - 402 [48] A Weil(1946), Foundations of algebraic geometry, A.M.S Colloquium, New York [49] William C Waterhouse(1979), Introdution to Affine Group Schemes, Springer-Verlag New York Ting Phỏp [50] A Borel et J Tits(1967), "Groupes rộductifs", Publications Math lIHẫS, 27, 55 - 151 [51] J Oesterlộ(1984), "Nombre de Tamagawa et groupes unipotents en caractộristique p", Invent Math., v 78, 13 - 88 [52] J J Sansuc(1981), "Groupe de Brauer et arithmộtique des groupes algộbriques sur un corps de nombres", J Reine Angew Math., Bd 327, 12 80 Ting c ă [53] G Harder(1965), "Uber die Galoiskohomologie halbeinfacher Matrizengruppen", Math Z., 90, 404 - 428 ă [54] G Harder(1975), "Uber die Galoiskohomologie halbeinfacher algebraischer Gruppen, III", J reine und angew Math Bd 274/275, 125 - 138 92 [55] G Harder(1968), "Bericht u ăber neuere Resultate der Galoiskohomologie halbeinfacher Gruppen" Jahresbericht der D M.V., Bd 70, 182 - 216 [56] G Harder(1967), "Halbeinfache Gruppenschemata u ăber Dedekindringen", Invent Math., v 4, 165 - 191 [57] D Kăonig(1926), "Sur les correspondances multivoques des ensembles", Fund Math., v.8, 114 - 134 [58] D Kăonig(1986), Theorie der endlichen und unendlichen Grapphen, Teibner - Archiv zur Mathematik, No 6, Leipzig [59] M Moriya(1935), "Theorie der algebraischen Zahlkăorper unendlichen Grades", J Fac Sci Hokkaido Imper Univ Ser 1, v 3, 107 - 190 [60] M Moriya(1936), "Divisionsalgebren u ăber einem p-adischen Zahlkăorper eines unendlichen algebraischen Zahlkăorpers", Proc Imper Acad., v 12(No 7), 183 - 184 ... 4.3 nh lý Hasse v chun v nh lý Hasse- Brauer-Noether 70 Lý thuyt a phng ca cỏc dng hecmit v phn hecmit 74 4.4 Nguyờn lý Hasse v phõn loi ton cc 80 4.5 Nguyờn lý Hasse. .. thỡ chỳng cng tng ng trờn Q nh lý ny cũn c gi l nguyờn lý Hasse yu cho cỏc dng ton phng Nguyờn lý Hasse (mnh, yu) ó úng vai trũ thc s quan trng Lý thuyt s, c bit l lý thuyt s hc ca cỏc dng (ton... Nguyờn lý Hasse cho khụng gian thun nht trờn trng ton cc 3.1 Nguyờn lý Hasse cho khụng gian thun nht x nh Chng minh th 44 nht 44 3.2 3.3 Chng minh th hai ca nh lý