Các toán tìm tập hợp điểm Bài 1: Cho đ-ờng tròn (O; R) tam giác cân ABC có AB = AC nội tiếp đ-ờng tròn (O; R) Kẻ đ-ờng kính AI Gọi M điểm cung nhỏ AC Mx tia đối tia MC Trên tia đối tia MB lấy điểm D cho MD = MC a) Chứng minh MA tia phân giác của góc BMx b) Gọi K giao thứ hai đ-ờng thẳng DC với đ-ờng tròn (O) Tứ giác MIKD hình gì? sao? c) Gọi G trọng tâm tam giác MDK Chứng minh M di động cung nhỏ AC G nằm đ-ờng tròn cố định d) Gọi N giao điểm thứ hai đ-ờng thẳng AD với đ-ờng tròn (O) P giao điểm thứ hai phân giác góc IBM với đ-ờng tròn Chứng minh rằng, đ-ờng thẳng DP qua điểm cố định M di động cung nhỏ AC H-ớng dẫn: a) Góc AMB = D x (1/2)sđAB (góc nội tiếp A (O) chắn AB ) Góc AMx = 180độ - G M N Góc AMC = 180độ (1/2)sđcungABC O = (1/2)sđcungAC =(1/2)sđcungAB K B C Vậy: Góc AMB = Góc AMx hay MA tia I phân giác Góc BMx b) +Tam giác MCD cân => Góc MCD = Góc MDC = (1/2)Góc BMC ( góc tam giác) lại có Tam giác ABC cân => I điểm cung BC => Góc IMC = Góc IMB = (1/2)Góc BMC Góc MCD = Góc IMC => IM song song với CD + Góc MCD = Góc MDC = Góc BMI => BI = MK =>Góc MIK = Góc IMB => IK song song với MD Vậy MIKD hình bình hành c) D thuộc đ-ờng tròn (A; AC) Gọi N điểm AI cho NA = (1/3)AI.=> NG = (2/3)AD = (2/3)AC = hs => G thuộc đ-ờng tròn (N; (2/3)AC) -Bài 2: Cho tam giác ABC ngoại tiếp đ-ờng tròn (O; R) Gọi D điểm cung BC không chứa A Vẽ đ-ờng tròn qua D tiếp xúc với AB B Vẽ đ-ờng tròn qua D tiếp xúc với AC C Gọi E giao điểm thứ hai hai đ-ờng tròn a) Chứng minh điểm B, C, E thẳng hàng b) Một đ-ờng tròn tâm K di động qua A D, cắt AB, AC theo thứ tự M N Chứng minh BM = CN c) Tìm quỹ tích trung điểm I đoạn thẳng MN A M K I E B C D N y x H-ớng dẫn: a) + góc BED = góc DBx = góc ACB + góc CED = góc DCy = góc ABD => góc BEC = gócABD + gócACD = 180 độ => B, E, C thẳng hàng b) cung BD = cung DC => góc BAD = góc CAD => cung DN = cung DM => DM = DN cung BD = cung DC => DB = DC góc DCN = góc DBM => Tam giác BMD = tam giác CND => BM = CN c) Tính đ-ợc DI = 2KD sin2 (A/2) =>(DI/DK) =2 sin2(A/2) =hs K thuộc trung trực AD => I thuộc đ-ờng thẳng vuông góc với AD cắt AD P cho (DP/DA )=sin2(A/2) Bài 3: Cho tam giác ABC cân A Các điểm M, N theo thứ tự chuyển động cạnh AB, AC cho AM = CN a) Chứng minh đ-ờng tròn ngoại tiếp tam giác AMN qua điểm cố định khác A b) Tìm quỹ tích tâm đ-ờng tròn ngoại tiếp tam giác AMN A M H-ớng dẫn: I a) Đ-ờng cao AH cắt đ-ờng tròn ngoại tiếp tam giác AMN P P => tam giác AMP = tam giác CNP => N PA = PC => P tâm đ-ờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC => P cố định C B H b) Tâm I đ-ờng tròn ngoại tiếp tam giác AMN nằm đ-ờng trung trực AP Bài Tìm quỹ tích đỉnh C tam giác ABC có AB cố định, đ-ờng cao BH cạnh AC E C H H-ớng dẫn: Kẻ đ-ờng thẳng vuông góc với AB A, lấy E cho AE = AB A => tam giác ACE = tam giác BHA => góc ACE = 90 độ => C thuộc cung chứa góc 90 độ dựng AE Bài 5: Tứ giác lồi ABCD có AC cố định, góc A =450, góc B = góc C = 900 a) Chứng minh BD cố độ dài không đổi b) Gọi E giao BC AD, F giao DC AB Chứng minh EF có độ dài không đổi c) Tìm quỹ tích tâm đ-ờng tròn ngoại tiếp tam giác AEF B F B H C O J H-ớng dẫn: a) góc B = góc D = 90 độ A => B, D thuộc đ-ờng tròn D E I đ-ờng kính AC góc A = 45 độ => BD = R = hs b) Tam giác CDE vuông cân => CD = ED tam giác ADF vuông cân => DA = DF =>Tam giác ACD = tam giác FED => EF = AC = hs c) Trung trực AF cắt trung trực AE J, cắt (O) H I => H, I điểm hai cung AC => H, I cố định góc HJI = góc BCD = 135 độ => J thuộc cung chứa góc 135 độ dựng HI Bài 6: Cho đoạn thẳng AB cố định Một điểm M di động đoạn AB Dựng nửa mặt phẳng có bờ đ-ờng thẳng AB hình vuông AMDE, MBGH Gọi O, O' t-ơng ứng tâm hình vuông a) Tìm quỹ tích trung điểm I đoạn OO' b) Chứng minh AH EG qua giao điểm N khác M đ-ờng tròn ngoại tiếp hình vuông AMDE MBGH c) Chứng minh đ-ờng thẳng MN qua điểm cố định Bài 7: Cho hai đ-ờng tròn (O; R) (O'; R') cắt A D có đ-ờng kính AOB AO'C vuông góc với A Một đ-ờng thẳng d qua A cắt nửa đ-ờng tròn không chứa điểm D (O), (O') t-ơng ứng điểm M, N khác A a) Chứng minh tam giác ABM tam giác CAN đồng dạng b) Tìm quỹ tích giao điểm P OM O'N d di động c) Tiếp tuyến M (O) cắt AD I Chứng minh rằng: IM2 = IA ID d) Tìm vị trí cát tuyến d tiếp tuyến M (O) tiếp tuyến N (O') cắt điểm thuộc đ-ờng thẳng AD d) Xác định vị trí d cho tứ giác MNCB có diện tích lớn Tìm giá trị lớn theo R R' I H-ớng dẫn M A a) Tam giác AMB tam giác CAN đồng N dạng O' O b) góc PMA + góc PNA = góc OAM + góc O'AN = 90 độ => góc OPO' =90 P B C D độ => P thuộc đ-ờng tròn đ-ờng kính OO' c) Tam giác IMA tam giác IDM đồng dạng => IM2 = IA.ID d) t-ơng tự câu c giả sử tiếp tuyến N (O') cắt AD I' => I'M2 = I'A.I'D Vậy I trùng I' IM = I'N I thuộc trung trực NM Vậy I giao AD trung trực MN tiếp tuyến M (O) tiếp tuyến N (O') cắt điểm thuộc đ-ờng thẳng AD e) diện tích Tứ giác BMNC lớn (SBMA +SANC)min (SBMA)min (BM.AM)min lại có: BM2 + AM2 = R2 vậy: BM.AM d tạo với AB góc 45 độ R2 dấu BM = AM Khi diện tích tứ giác BMNC là: R.R' R R' Bài 8: Một điểm A động nửa đ-ờng tròn đ-ờng kính BC cố định Đ-ờng thẳng qua C song song với BA cắt đ-ờng phân giác góc BAC tam giác ABC D Tìm quỹ tích D D j E A B O C H-ớng dẫn AD cắt (O) E => E cố định lại có góc CDE = 45 độ Vậy D thuộc cung chứa góc 45 độ dựng CE Bài 9: Cho đ-ờng tròn (O; R) cố định đ-ờng thẳng d cắt (O; R) hai điểm A, B cố định Một điểm M di động d bên đoạn AB Vẽ tiếp tuyến MP MN với (O; R) Gọi N, P hai tiếp điểm a) Chứng minh M di động, đ-ờng tròn ngoại tiếp tam giác MNP qua hai điểm cố định b) Tìm quỹ tích tâm I đ-ờng tròn ngoại tiếp tam giác MNP c) Trình bày cách dựng điểm M cho tam giác MNP tam giác H-ớng dẫn: a) Giả sử (I) cắt AB H khác M => góc OHM = 90 độ => HA = HB hay H cố định Vậy (I) qua O H cố định b) IO = IH => I thuộc trung trực OH c) Tam giác MNP góc OMN = 30 độ OM = 2ON = 2R Vậy M thuộc (O; 2R) P O I A d B H M N Bài 10: Cho hình vuông ABCD cố định Một điểm I di động cạnh AB (I khác A B) Tia DI cắt tia CB E Đ-ờng thẳng CI cắt đ-ờng thẳng AE M Đ-ờng thẳng BM cắt đ-ờng thẳng DE F Tìm quỹ tích điểm F E H-ớng dẫn: Trên BC lấy G cho AI = BG => AI vông góc với ED M áp dụng định lí Meleneut tam giác F AEB với điểm thẳng hàng C, I, M có lại có CB CD IB CE CE BE B A CB IA ME 1 CE IB MA I thay vào (1) => ME BE BE => MB song song với AG hay MA IA BG G góc DFB vuông Vậy F thuộc đ-ờng tròn đ-ờng kính BD ( D cung nhỏ AB ) C Bài 11: Cho đ-ờng tròn (O; R) điểm A cố định đ-ờng tròn Điểm M l-u động tiếp tuyến xy A (O; R) Qua M vẽ tiếp tuyến thứ hai với (O; R) Gọi tiếp điểm B a) Tìm quỹ tích tâm đ-ờng tròn ngoại tiếp tam giác AMB b) Tìm quỹ tích trực tâm H tam giác AMB B O H E H-ớng dẫn: a) Đ-ờng tròn ngoại tiếp tam giác AMB đ-ờng tròn đ-ờng kính OM => E thuộc trung trực OA A M b) Tứ giác AOBH hình thoi => AH = R Vậy H thuộc đ-ờng tròn (A; R) ( thuộc nửa mặt phẳng bờ xy chứa B) Bài 12: Cho tam giác ABC nội tiếp đ-ờng tròn tâm O Đ-ờng phân giác góc A cắt đ-ờng tròn điểm D Một đ-ờng tròn (L) thay đổi nh-ng qua hai điểm A D (L) cắt hai đ-ờng thẳng AB, AC giao điểm thứ hai M, N (có thể trùng với A) a) Chứng minh rằng: BM = CN b) Tìm quỹ tích trung điểm K MN H-ớng dẫn: A a) góc BAD = góc DAN => DB = DC; DM = DN L lại có góc MBD = góc NCD; góc M BMD = góc NCD => góc BDM = góc CDN K C B tam giác BDM = tam giác CDN D => BM = CN N b) T-ơng tự câu c Bài 13: Cho góc vuông xOy Một êke ABC tr-ợt mặt phẳng góc xOy cho đỉnh B di chuyển cạnh Ox, đỉnh C di chuyển cạnh Oy đỉnh góc vuông A di chuyển góc xOy Tìm quỹ tích điểm A x H-ớng dẫn: B A Tứ giác OBAC nội tiếp => góc yOA = góc CBA = Vậy A thuộc tia tạo với tia Oy góc ( phần nằm góc xOy ) O C y Bài 14: Cho đ-ờng tròn tâm O bán kính R điểm P cố định đ-ờng tròn Vẽ tiếp tuyến PA cát tuyến PBC (A, B, C (O; R)) Gọi H trực tâm tam giác ABC Khi cát tuyến PBC quay quanh P a) Tìm quỹ tích điểm đối xứng O qua BC b) Tìm quỹ tích điểm H A K H O C B P O' H-ớng dẫn: a) ta có PO' = PO = hs; P cố định => O' thuộc đ-ờng tròn ( P; PO) b) Tứ giác OO'HA hình bình hành vẽ hình bình hành AOPK => K cố định => HO'PK hình bình hành => HK = O'P = OP = hs Vậy H thuộc đ-ờng tròn (K; OP) Bài 15: Cho hình vuông ABCD có tâm O Vẽ đ-ờng thẳng d quay quanh O cắt hai cạnh AD BC lần l-ợt E F ( E F không trùng với đỉnh hình vuông) Từ E, F lần l-ợt vẽ đ-ờng thẳng song song với DB, AC chúng cắt I a) Tìm quỹ tích I b) Từ I vẽ đ-ờng thẳng vuông góc với EF H Chứng tỏ H thuộc đ-ờng cố định đ-ờng thẳng IH qua điểm cố định Bài 16: Cho tam giác ABC cân A Một điểm P di động cạnh BC Vẽ PQ song song với AC ( Q thuộc AB), vẽ PR song song với AB ( R thuộc AC) Tìm quỹ tích điểm D đối xứng với P qua QR Bài 17: Cho góc vuông xOy Các điểm A B t-ơng ứng thuộc tia Ox, Oy cho OA = OB Một đ-ờng thẳng d qua A cắt OB M nằm O B Từ B hạ đ-ờng thẳng vuông góc với AM cắt AM H cắt đ-ờng thẳng OA I a) Chứng minh OI = OM tứ giác OMHI nội tiếp b) Gọi K hình chiếu O lên BI Chứng minh OK = HK c) Tìm quỹ tích điểm K M di động đoạn OB Bài 18: Cho tam giác ABC nội tiếp đ-ờng tròn (O) M di động cung BC a) Trên tia đối tia CM, lấy đoạn CE = MB Tìm tập hợp điểm E M di động b) Trên tia đối tia MC, lấy đoạn MF = MB Tìm tập hợp điểm F M di động Bài 19: Cho hai đ-ờng tròn (O) (O') cắt A B Một cát tuyến (d) qua B cắt (O0 C (O') C' Tìm tập hợp trung điểm I đoạn CC' d quay quanh B Bài 20: Cho hai đ-ờng thẳng xx' yy' vuông góc với O điểm P cố định Một góc vuông đỉnh P quay quanh P cạnh góc vuông cắt xx' A yy' B Tìm tập hợp trung điểm I đoạn AB Bài 21: Trên bán kính OM đ-ờng tròn (O) lấy đoạn OI khoảng cách từ M đến đ-ờng kính cố định AB Tìm tập hợp điểm I Bài 22: Cho đ-ờng tròn (O) cố định dây AB cố định Trên cung nhỏ AB, ta lấy điểm C di động Tìm tập hợp tâm I đ-ờng tròn nội tiếp tam giác ABC Bài 23: Cho đ-ờng tròn (O) dây AB cố định Kể dây AC Trên đ-ờng thẳng AC lấy hai điểm M, M' cho CM = CM' = CB, M nằm đ-ờng tròn Tìm tập hợp điểm M M' C vạch cung AB Bài 24: Cho đ-ờng tròn (O; R), điểm B, C cố định (O) điểm A di động (O) Tìm tập hợp trực tâm H tam giác ABC Bài 25: Cho tam giác ABC Tìm tập hợp điểm M mặt phẳng cho hình chiếu M ba cạnh tam giác ba điểm thẳng hàng Bài 26: Cho đoạn thẳng AB M điểm tuỳ ý đoạn AB Dựng nửa mặt phẳng bờ đ-ờng thẳng AB hình vuông ANCD BMEF Các đ-ờng tròn ngoại tiếp chúng tâm P Q cắt M N a) Chứng minh rằng: AE, BC qua N b) Chứng minh rằng: MN qua điểm cố định M di động c) Tìm tập hợp trung điểm I PQ M di động Bài 27: Cho đ-ờng tròn (O; R) điểm P cố định đ-ờng tròn không trùng với O Qua P dựng dây cung APB, tiếp tuyến (O) A B cắt M Tìm tập hợp điểm M dây AB quay quanh P Bài 32: Hai đ-ờng tròn (O) (O') giao A B Một cát tuyến di động qua A cắt (O) C (O') D Tìm tập hợp tâm I đ-ờng tròn nội tiếp tam giác BCD Bài 33: Cho tam giác cân ABC nội tiếp đ-ờng tròn (O; R) có AB = AC = R a) Tính độ dài BC theo R b) M điểm di động cung nhỏ AC, đ-ờng thẳng AM cắt đ-ờng thẳng BC D Chứng minh AM.AD luôn số c) Chứng minh tâm đ-ờng tròn ngoại tiếp tam giác MCD di động đ-ờng cố định M di động cung nhỏ AC A H-ớng dẫn: a) BC đ-ờng kính (O) b) Tam giác AMC đồng dạng với tam giác ACD => AM.AD = AC2 = R c) góc ACM = góc MDC = 1/2 sđ cung CM => AC tiếp tuyến ( I ) => IC vuông góc với AC cố định => I thuộc đ-ờng thẳng qua C vuông góc với CA M I B O C D Bài 34: Cho hình vuông ABCD có tâm O Vẽ đ-ờng thẳng (d) quay quanh O cắt AD, BC E, F Từ E, F lần l-ợt vẽ đ-ờng thẳng song song với DB, AC chúng cắt I a) Chứng minh I thuộc đ-ờng thẳng cố định b) Từ I kẻ IH vuông góc với EF H Chứng minh H thuộc đ-ờng cố định IH qua điểm cố định K A I B F E D O H C ... thẳng AC lấy hai điểm M, M' cho CM = CM' = CB, M nằm đ-ờng tròn Tìm tập hợp điểm M M' C vạch cung AB Bài 24: Cho đ-ờng tròn (O; R), điểm B, C cố định (O) điểm A di động (O) Tìm tập hợp trực tâm H... kính cố định AB Tìm tập hợp điểm I Bài 22: Cho đ-ờng tròn (O) cố định dây AB cố định Trên cung nhỏ AB, ta lấy điểm C di động Tìm tập hợp tâm I đ-ờng tròn nội tiếp tam giác ABC Bài 23: Cho đ-ờng... đoạn MF = MB Tìm tập hợp điểm F M di động Bài 19: Cho hai đ-ờng tròn (O) (O') cắt A B Một cát tuyến (d) qua B cắt (O0 C (O') C' Tìm tập hợp trung điểm I đoạn CC' d quay quanh B Bài 20: Cho hai