Đang tải... (xem toàn văn)
Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị 1.1. Một số kiến thức về môđun, radical của một vành, vành Artin, vành đơn và vành nửa đơn 1.2. Vành nguyên thủy, định lý dày đặc 1.3. Tổng trực tiếp, tích trực tiếp Chương 2: Định lý Wedderburn – Artin Chương 3: Những ứng dụng của định lý Wedderburn Artin
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH PHÒNG SAU ĐẠI HỌC Tiểu luận giữa kỳ MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ WEDDERBURN MỤC LỤC -2- Trang Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số kiến thức môđun, radical vành, vành Artin, vành đơn vành nửa đơn 1.2 Vành nguyên thủy, định lý dày đặc 1.3 Tổng trực tiếp, tích trực tiếp 10 Chương 2: Định lý Wedderburn – Artin .13 Chương 3: Những ứng dụng định lý Wedderburn - Artin .19 Tài liệu tham khảo 34 -3- CHƯƠNG 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Một số kiến thức môđun, radical vành, vành Artin, vành đơn, vành nửa đơn Định nghĩa 1.1.1 M gọi R- môđun trung thành với r ∈ R mà Mr = (0) r = Cho M R- môđun Ký hiệu A( M ) = {r ∈ R : Mr = (0)} Bổ đề 1.1.1 A(M) iđêan hai phía R Hơn nữa, M R A( M ) - môđun trung thành Cho M R- môđun Với r ∈ R , ta tự đồng cấu nhóm cộng Tr : M → M ,Tr (m) = mr , ∀m ∈ M Ký hiệu E(M) tập tất tự đồng cấu nhóm cộng M Trên E(M) ta trang bị hai phép toán cộng nhân sau: Phép cộng: ∀ϕ ,ψ ∈ E ( M ),(ϕ + ψ )(m) = ϕ (m) + ψ (m), ∀m ∈ M )(m) = ϕ (ψ ( m)), ∀m ∈ M Phép nhân: ∀ϕ ,ψ ∈ E ( M ),(ϕψ Khi đó, (E(M), +, ) vành Xét ánh xạ φ : R → E ( M ),φ (r ) = Tr , ∀r ∈ R Rõ ràng φ đồng cấu vành Kiểm tra trực tiếp ta Kerφ = A( M ) Do đó, theo định lý Noether ta R A( M ) ≅ Imφ Bổ đề 1.1.2 R A( M ) đẳng cấu với vành vành E(M) Định nghĩa 1.1.2 Cho M R– môđun Ta định nghĩa commuting vành R -4C ( M ) = {ϕ ∈ E ( M ) : Trϕ = ϕTr , ∀r ∈ R} Định nghĩa 1.1.3 M gọi R– môđun bất khả quy thỏa hai tính chất 1) MR ≠ (0) 2) M có hai môđun (0) M Định lý 1.1.1 (Bổ đề Schur) Nếu M R- môđun bất khả quy C(M) vành chia Chứng minh Do C(M) vành vành E(M) nên ta phải chứng minh phần tử khác không C(M) khả nghịch Tuy nhiên, ≠ ϕ ∈ C ( M ) mà có ϕ −1 ∈ E ( M ) từ ϕTr = Trϕ ⇒ ϕTrϕ −1 = Trϕϕ −1 ⇒ Trϕ −1 = ϕ −1Tr ⇒ ϕ −1 ∈ C ( M ) Do đó, ta cần chứng minh phần tử khác không C(M) khả nghịch E(M) Với ≠ ϕ ∈ C ( M ) , ta có ϕ ( M ) ≠ (0) , mà M môđun trung thành nên ϕ ( M ) = M Tức ϕ toàn cấu Mặt khác, Kerϕ ≠ (0) M môđun trung thành nên Kerϕ = M , suy ϕ = (mâu thuẫn) Do đó, Kerϕ = (0) hay ϕ đơn cấu Vậy ϕ đẳng cấu Suy ϕ có đồng cấu ngược ϕ −1 ∈ E ( M ) Đây điều ta cần chứng minh Định nghĩa 1.1.4 Radical vành R, ký hiệu J(R), tập hợp phần tử R linh hóa R – môđun bất khả quy Nếu không tồn R– môđun bất khả quy J(R) = R Radical định nghĩa thường gọi radical Jacobson Từ định nghĩa ta suy J ( R ) = IA( M ) , với M chạy khắp tập R – môđun bất khả quy Mặt khác, A(M) iđêan hai phía nên J(R) iđêan hai phía Tuy nhiên, tiện ta hiểu J(R) định nghĩa iđêan phải -5Định nghĩa 1.1.5 Một vành gọi vành Artin phải tập khác rỗng iđêan phải có phần tử tối tiều Chú ý R vành Artin dây chuyền giảm iđêan phải ρ1 ⊃ ρ ⊃ L ⊃ ρ n ⊃ L dừng Tức là, ∃N ∈ ¥ * , ρ n = ρ N , ∀n ≥ N Định nghĩa 1.1.6 Vành R gọi vành nửa đơn J(R) = Bổ đề 1.1.3 Mọi iđêan vành Artin nửa đơn vành Artin nửa đơn Định nghĩa 1.1.7 R gọi vành đơn R ≠ R iđêan khác Định lý 1.1.2 Mọi vành Artin nửa đơn tổng trực tiếp hữu hạn vành Artin đơn Chứng minh Giả sử R vành Artin nửa đơn Gọi A iđêan tối tiểu vành R Trước hết ta chứng minh A vành đơn Vì R vành nửa đơn nên J(R) = Suy R iđêan lũy linh khác không mà A ≠ (0) nên A2 ≠ Gọi B ≠ iđêan vành A Khi đó, ABA iđêan vành R ABA ⊂ B Vì A iđêan vành Artin nửa đơn nên theo bổ đề 1.1.3 ta có A vành Artin nửa đơn, đó, A có đơn vị trái Suy AB ≠ Vì AB iđêan trái khác không vành nửa đơn R nên AB không iđêan lũy linh Suy ( AB ) = ABAB ≠ mà ABAB ⊂ ABA nên ABA ≠ (0) Khi đó, 0 ≠ ABA ⊆ B ⊆ A ⇒ A = ABA ⇒ A ⊂ B mà B ⊂ A nên B = A ABA A1 đại số thực A, dim A1 < n A1 có sở gồm phần tử lũy linh { p1 ( ui ) } (p1 đồng cấu chiếu tự nhiên từ A vào A1) Theo giả thiết qui nạp A1 lũy linh Khi đó, A có ideal khác không lũy linh, trái với điều kiện A nửa đơn Vậy k = 1, A = A1 , nên A đại số đơn Như vậy, A đại số đơn hữu hạn chiều trường đóng đại số F, nên theo định lí 2.3 tồn số nguyên m để A ≈ Fm Do A có sở phần lũy { linh nên Fm có sở a1 , a2 , , am2 } gồm phần tử lũy linh Ta gọi ma trận ai, i ∈1, m Khi trai = (do lũy linh) - 22 m tr ∑ fi ÷ = 0, f i ∈ F (*) i =1 1 0 Mặt khác, phần tử b = 0 0 0 0 Fm phải biểu diễn qua tổ 0 { } hợp tuyến tính sở a1 , a2 , , am2 Mà trb = ≠ , trái với (*) Mâu thuẫn Vậy J ( A ) = A Khi A lũy linh (do đại số Artin, J ( A ) lũy linh) Ta có điều phải chứng minh Trường hợp 2: F không đóng đại số Gọi F bao đóng đại số F Ta có F F – đại số, nên ta xem A = A ⊗ F F F - module Hơn ta dễ kiểm tra A vành, nên A F - đại số Hơn nữa, A hữu hạn chiều F A hữu hạn chiều F , A có sở { ui ⊗ 1} gồm phần tử lũy linh Theo trường hợp 1, ta có A lũy linh Khi A ≅ A ⊗ ⊂ A nên A lũy linh Vậy ta đã chứng minh xong định lí □ Tổng quát hơn, thay xem xét đại số trường, xem xét đại số vành giao hoán tùy ý Herstein, Procesi Small rằng: Cho A đại số hữu hạn sinh vành giao hoán C Nếu A có tập phần tử sinh gồm toàn phần tử lũy linh A lũy linh Kết đẩy định lý Wedderburn đến giới hạn hướng nghiên cứu Bây ta xem xét hướng khác Ta có câu hỏi sau: “Cho R vành - 23 Artin mà phần tử tổng số phần tử lũy linh Liệu R có lũy linh không?” Câu hỏi Kaplansky đặt Harris phủ định Chúng ta áp dụng kết vào đại số nhóm Lấy G nhóm cấp pm, p số nguyên tố F trường đặc số p Chúng ta dễ dàng thấy F(G) vành nửa đơn, xác Jacobson gì? Định lí sau cho biết điều Định lý 3.2: Nếu G nhóm có cấp p m (p số nguyên tố) F trường đặc số p Jacobson F(G) có số chiều p m − , có sở { g − 1: g ∈ G} Cụ thể J ( F ( G ) ) = { ∑ α i gi ∈ F ( G ) : ∑ α i = 0} Chứng minh Đặt U = { ∑α i g i ∈ F ( G ) : ∑α i = 0} Ta kiểm tra U ideal F(G), đồng thời U không gian vectơ F, có số chiều p m − có sở { g − 1: g ∈ G} Với g ∈ G : ( g − 1) pm pm = ∑ C ipm g i ( −1) p m −i m = g p −1 = 1−1 = i =0 ⇒ g − lũy linh, ∀g ∈ G ⇒ U có sở gồm phần tử lũy linh ⇒ U lũy linh, nên U ⊂ J ( F ( G ) ) Mặt khác số chiều U p m − , nên U ideal tối đại F(G) Vậy ta phải có U = J ( F ( G ) ) Ta có điều phải chứng minh □ Định lý Weddernburn công cụ hữu dụng việc nghiên cứu nhóm ma trận Nhắc lại rằng, tập hợp S gồm phép biến đổi tuyến tính không gian vector V gọi bất khả quy không gian tầm thường V bất biến với S Ngược lại S gọi khả quy Nếu S - 24 tập hợp gồm ma trận vuông cấp n trường S khả quy tồn ma trận khả nghịch P cho a a PaP −1 = 11 12 ÷ a22 Với a ∈ S ; a11 , a12 , a22 ma trận vuông cấp nhỏ n Một nửa nhóm ma trận hiểu tập hợp khác rỗng ma trận có tính chất đóng với phép nhân ma trận Định lý 3.3 Cho S nửa nhóm bất khả quy ma trận vuông cấp n trường F Giả sử vết a, ký hiệu tr a, lấy k giá trị khác a chạy khắp S Khi S có nhiều k n phần tử Chứng minh Lấy F bao đóng đại số F, S ⊂ F ⊂ F Không tính tổng quát, ta giả sử F trường đóng đại số Đặt A = { ∑ f i | f i ∈ F , ∈ S } tập hợp sinh S F Vì S nửa nhóm nên A đại số Fn Hơn nữa, S bất khả quy nên A bất khả quy trung thành V, với V tập hợp n-bộ F Do C ( A ) giao hoán tử A V đại số chia hữu hạn chiều F, nên F Theo định lý Wedderburn, ta có A ≅ Fn Do S sinh A ≅ Fn F nên phải có ma trận a1 , a2 , , an2 ∈ S lập thành sở Fn F Nếu x ∈ S tr a1 x, tr a2 x, , tr an2 x n2-bộ gồm phần tử lấy k giá trị khác vết ma trận S Do có 2 k n n -bộ nên cần hệ phương trình tr a1 x = b1 , tr a2 x = b2 , , tr an2 x = bn2 ( bi ∈ F ) có nhiều nghiệm - 25 Fn Do hệ phương trình tuyến tính nên cần hệ phương trình tương ứng có nghiệm x = Do {ai} sở Fn nên tr x = 0, ∀i = 1, n tr yx = 0, ∀y ∈ Fn Vì công thức tính vết ma trận dạng song tuyến tính không suy biến nên từ điều ta suy x = Định lý chứng minh □ Kết đưa tiếp cận cách tự nhiên nhóm ma trận trường có đặc số Định lý 3.4 Cho G nhóm nhân ma trận cấp n trường F có đặc số Giả sử có số nguyên N cho a N = 1, ∀a ∈ G Khi G nhóm hữu hạn Chứng minh Do F ⊂ F , bao đóng đại số F G ⊂ Fn ⊂ Fn nên không tính tổng quát, giả sử F trường đóng đại số Chúng ta chứng minh định lý phương pháp quy nạp theo n + Nếu n = G nhóm nhân gồm phần tử khác F Do phương trình x N = có nhiều N nghiệm F nên G phải nhóm hữu hạn + Giả sử định lý cho nhóm nhân Fm với m < n lấy G ⊂ Fn thỏa mãn giả thiết định lý Nếu a ∈ G từ a N = ta suy tất nghiệm đặc trưng phương trình bậc N đơn vị, có hữu hạn phần tử Vì tr a tổng nghiệm đặc trưng nên chúng nhận hữu hạn k giá trị khác Do đó, G nhóm ma trận bất khả quy theo định lý 3.3 ta có G có nhiều k n phần tử Vậy G nhóm hữu hạn Nếu G nhóm khả quy phép thay đổi sở giả sử a ∈ G có dạng - 26 a1 b1 ÷ a2 a1 ∈ Fm , a2 ∈ Fn < m< n Một cách dễ dàng, kiểm tra a b a b G1 = a1 ∈ Fm | ∃a ∈ G , a = 1 ÷ G2 = a2 ∈ Fn−m | ∃a ∈ G , a = 1 ÷ a2 a2 nhóm ma trận Fm Fn-m tương ứng Hơn nữa, kiểm tra ∈ Gi N = Theo giả thiết quy nạp, ta suy G1, G2 nhóm hữu hạn Lấy a1 ∈ G1 , a2 ∈ G2 , chứng minh có nhiều a1 b1 ma trận b1 cấp m×(n −m) cho ÷∈ G Thật vậy, giả sử có a2 a1 b1 a1 c1 ∈ G ÷ ÷∈ G với b1 ≠ c1 Khi đó: a2 a2 −1 a1−1 − a1 c1a2 −1 a1 c1 ∈G ÷ ÷ = −1 ÷ a a 2 Do −1 −1 Im a1 b1 a1 − a1 c1a2 ∈ G hay ÷ ÷ a2 −1 ÷ a2 0 I Do với a thuộc G , a n thuộc I nên m 0 ( b1 − c1 ) a2 −1 I n−m ( b1 − c1 ) a2 −1 I n−m Mà F có đặc số nên (b1 − c1 )a2 −1 = , b1 = c1 N ÷ ÷ =1 ÷ ÷∈ G - 27 Như vậy, chứng minh a1 ∈ G1 , a2 ∈ G2 có nhiều a1 b1 phần tử b1 cho ÷∈ G Do đó, có |G| ≤ |G1||G2| Vì G a2 nhóm hữu hạn □ Chú ý Định lý 3.4 không trường hợp F trường có đặc số p ≠ Ví dụ, ta lấy F trường vô hạn có đặc số p ≠ cho 1 a G = a ∈ F ÷ N 1 a 1 = Khi G nhóm vô hạn thỏa mãn ÷ ÷ 0 Trong phần ta xét toán Burnside ma trận Trước phát biểu toán trường hợp tổng quát, ta có đĩnh nghĩa sau Định nghĩa 3.1 Một nhóm G gọi nhóm xoắn phần tử G có cấp hữu hạn Định nghĩa 3.2 Một nhóm G gọi hữu hạn địa phương nhóm hữu hạn sinh G hữu hạn Rõ ràng, nhóm hữu hạn địa phương nhóm xoắn Chiều ngược lại sao? Đây toán Burnside, ta phát biểu dạng toán Burnside Bài toán Burnside tổng quát Mỗi nhóm xoắn có phải hữu hạn địa phương? Bài toán Burnside bị chặn: (giới nội) - 28 Cho G nhóm xoắn cho x N = 1, ∀x ∈ G , N số nguyên dương cố định Khi đó, nhóm G có hữu hạn địa phương không? Thực trạng vấn đề sau: Theo kết nghiên cứu Golod Shafarevitch nói chung câu hỏi toán Burnside cho kết không Novikov chứng minh tồn nhóm vô hạn GN sinh phần tử mà x N = 1, ∀x ∈ G Điều xảy N ≥ 72 Nhưng việc chứng minh có hay không chưa công bố chi tiết Tuy nhiên nhóm ma trận, Burnside giải vấn đề Burnside tổng quát Chú ý định lý 3.4 trường hợp đặc số không, nhóm xoắn ma trận mà cấp phần tử bị chặn hữu hạn điều xảy giả thiết nhóm hữu hạn sinh Bây tìm cách giải vấn đề nhóm ma trận Cách chứng minh mà ta theo dõi sau thực Kaplansky “Notes on Ring Theory“ Bổ đề 3.1 Giả sử G nhóm, N nhóm chuẩn tắc G cho N G N nhóm hữu hạn địa phương Khi G nhóm hữu hạn địa phương Chứng minh Lấy g1 , g , , g n tập hữu hạn phần tử G, ta chứng minh chúng sinh nhóm hữu hạn G Nếu g1 , g , , g n ảnh - 29 g1 , g , , g n G theo gỉả thiết, chúng sinh nhóm hữu hạn N G G N (vì N hữu hạn địa phương) Giả sử nhóm {g n +1 { g , g , , g } n { g n+1 , , g k } ảnh ngược } , , g k tương ứng G Với i, j: gi g j = uij g k , ∃k , uij ∈ N Gọi U nhóm N sinh tất phần tử uij Do tính hữu hạn địa phương N nên U nhóm hữu hạn Lấy gi , g j , g m gi g j g m = uij g k g m = uij g km g w , có dạng ug w với u ∈U Tương tự, tổ hợp sinh phần tử gi có dạng ug w , với u ∈U ,1 ≤ w ≤ t Do phần tử g1 , g , , g t sinh nhóm có cấp tối đa cấp U Suy phải nhóm hữu hạn Như bổ đề chứng minh □ Bổ đề cho phép ta tới kết toán Burnside nhóm giải Bổ đề 3.2 Một nhóm xoắn giải hữu hạn địa phương Chứng minh Cho G nhóm xoắn giải Do tính giải G, tìm nhóm Gi , với Gi chuẩn tắc Gi −1 giao hoán G = G0 ⊃ G1 ⊃ G2 ⊃ ⊃ Gn = (1) Gi −1 Gi nhóm - 30 Một nhóm xoắn giao hoán rõ ràng hữu hạn địa phương, áp dụng bổ đề 3.1 cho chuỗi có G hữu hạn địa phương □ Để giải toán Burnside tổng quát cho ma trận, cần xem xét thêm vài kết sau Bổ đề 3.3 Nhóm ma trận tam giác trường giải Chứng minh Do nhóm nhóm giải giải nên ta cần chứng minh nhóm ma trận tam giác khả nghịch giải Thật vậy, ta lấy α1 O G = G0 = O 1 O O G2 = O * ÷ ÷α ≠ ; ÷ i ÷ αn 1 * ÷ O O ÷ ; G1 = O ÷ ÷ 1 1 0 * * ÷ O O O ÷ ÷ ÷ ; G = O O ÷ ; ÷ ÷ O ÷ ÷ ÷ tiếp tục trình Khi ta có Gi nhóm chuẩn tắc Gi −1 ; Gi −1 / Gi nhóm giao hoán G = G0 ≥ G1 ≥ ≥ Gn = (1) Suy nhóm ma trận tam giác giải □ Chú ý: Gn = (1) Hay ta - 31 - α1 O O α1 O O −1 * ÷ ÷ ÷ ÷ αn 1 α O = O * β1 ÷ ÷ O ÷ O ÷ α n *÷ ÷ ÷ ÷ với α i ≠ , ÷ ÷ ÷ αn * α1β1 ÷ ÷= O ÷ O ÷ βn * ÷ ÷ ÷ ÷ α n βn Ta thấy rằng: Gi −1 / Gi nhóm giao hoán ⇔ (α Gi )( β Gi ) = ( β Gi )(α Gi ) ⇔ α −1β −1αβ ∈ Gi Bây đến bước quan trọng việc mô tả toán Burnside cho nhóm ma trận.Ta liên kết tính hữu hạn sinh với cấp phần tử nhóm xoắn Bổ đề 3.4 Cho G nhóm xoắn hữu hạn sinh gồm ma trận trường F Thì có tồn số nguyên dương N cho a N = với a nghiệm đặc trưng phần tử G Chứng minh Lấy G ⊂ Fk nhóm sinh phần tử a1 , a2 , , ar Gọi P trường nguyên tố F lấy F1 = P( x1 , xn ) , xi hệ số ma trận Dễ thấy phần tử G có hệ tử F1 Do F1 hữu hạn sinh P nên tồn trường K F1 cho K siêu việt P [ F1 : K] = m hữu hạn - 32 Dùng biểu diễn quy F1 K, viết F1 = {(a ij ) ∈ K m } , ma trận có hệ số F1 Ta xem G nhóm ma trận mk × mk lấy hệ tử trường K Nói cách khác, ta xem G ⊂ K t với t nguyên dương K mở rộng siêu việt hữu hạn sinh P Lấy α nghiệm đặc trưng phần tử G Do G xoắn α đơn vị suy α đại số trường nguyên tố P Vì G ⊂ K t nên theo định lý Caley-Hamilton ta có phần tử G nghiệm đa thức bậc t K Do đó, nghiệm đặc trưng phần tử G phải thỏa mãn đa thức bậc t K Với phần tử α K túy siêu việt P nên α đại số P với bậc tối đa t Bây để tiếp tục chứng minh chia làm hai trường hợp tùy theo đặc số trường P + Trường hợp Nếu P trường có p phần tử, p số nguyên tố ta có P ( a ) : P ≤ t Do P(a) trường hữu hạn có p k phần tử, với k ≤ t Vì vậy, ta có a k −1 = Vì k ≤ t nên tất nghiệm đặc trưng a G thỏa tính chất + Trường hợp Nếu trường P có đặc số P trường hữu tỷ tất nghiệm đặc trưng phần tử G nằm trường mở rộng bậc tối đa t P Do nguyên thủy bậc m nghiệm đa thức tối tiểu, đa thức chia đường tròn, đa thức bất khả quy có bậc φ ( m ) , với φ hàm Euler Do φ ( m ) hữu hạn m hữu hạn nên có hữu hạn nghiệm đơn vị trường hợp Như phần tử G mà tất nghiệm đặc trưng chúng lấy từ tập hợp hữu hạn gồm nghiệm - 33 đơn vị Do đó, tồn số nguyên dương N cho a N = với a nghiệm đặc trưng phần tử G □ Chúng ta tiếp tục đến với phần quan trọng tiểu luận Định lý 3.5 (Định lý Burnside) Một nhóm xoắn ma trận lấy hệ tử trường hữu hạn địa phương Chứng minh Lấy G * ⊂ Fn nhóm xoắn ma trận Chúng ta chứng minh quy nạp theo n * + Nếu n = G ⊂ F , kết định lý tầm thường + Giả sử, kết định lí cho nhóm ma trận cấp nhỏ n Nếu G * ⊂ Fn nhóm xoắn ma trận, lấy G nhóm hữu hạn sinh G * , cần chứng minh G hữu hạn Theo bổ đề 3.4 ta có tồn số nguyên dương N cho a N = 1, với a nghiệm đặc trưng phần tử G Vì {trg | g ∈ G} nhận hữu hạn giá trị Nếu G nhóm bất khả quy ma trận theo định lí 3.3, ta suy G hữu hạn Vì giả sử G khả quy cách thay đổi sở, giả sử phần tử G có dạng: g1 b 0 với g1 ∈ Fm , g ∈ Fn−m < m < n g2 ÷ g1 Đặt G1 = g1 ∈ Fm | ∃a ∈ G , a = b1 g2 ÷ g G2 = g ∈ Fn−m | ∃a ∈ G , a = b1 g2 ÷ - 34 Do G nhóm xoắn nên G1 , G2 nhóm xoắn ma trận cấp m F Theo giả thuyết quy nạp suy G1 , G2 nhóm hữu hạn địa phương Xét ánh xạ: φ :G g1 b → 0 g1 φ = 0 g2 ÷ G 0 g2 ÷ Dễ thấy φ tự đồng cấu G im φ nhóm hữu hạn địa phương Hơn nữa, ker φ nhóm nhóm ma trận tam giác nhóm nhóm xoắn nên ker φ xoắn Vì theo bổ đề 3.2 ta có ker φ nhóm hữu hạn địa phương Theo định lý Noether, ta có G / kerφ ≅ imφ , nên nhóm hữu hạn địa phương Như vậy, ta có ker φ G / kerφ nhóm hữu hạn địa phương, nên theo bổ đề 3.1 ta suy G nhóm hữu hạn địa phương Mà G nhóm hữu hạn sinh nên G nhóm hữu hạn Vậy ta chứng minh G * nhóm hữu hạn địa phương □ Định lý Burnside có khả mở rộng Điều nghiên cứu Herstein Procesi Kết họ sau: Cho R vành thỏa mãn đa thức đồng giả sử G ⊂ R nhóm xoắn với phép toán phép nhân R, G nhóm hữu hạn địa phương Ngoài ứng dụng định lí Wedderburn – Artin có nhiều ứng dụng quan trọng lý thuyết vành không giao hoán việc mô tả xây dựng nhóm Brauer, lý thuyết biểu diễn nhóm,… Do định lý có - 35 nhiều ứng dụng lý thuyết đại số nói chung lý thuyết vành không giao hoán nói riêng, đưa nhiều hướng nghiên cứu cho lý thuyết đại số nên định lý Wedderburn – Artin đá tảng đại số TÀI LIỆU THAM KHẢO I.N Herstein (1968), Noncommutative Rings, The Mathematical Association of America Claudio Procesi (1966), On the Burnside problem, Journal of Algebra ... CHƯƠNG 3: NHỮNG ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÍ WEDDERBURN – ARTIN Như biết, định lý Wedderburn mô tả rõ ràng cấu trúc vành Artin đơn nửa đơn, điều cho nhiều ứng dụng lĩnh vực đại số Một ứng dụng lớn nghiên... trước Ở ta đưa ứng dụng khác định lý Wedderburn chứng minh toán Burnside nhóm ma trận Chúng ta bắt đầu với định lý thú vị, định lý Wedderburn đưa báo ông Định lý 3.1 Cho A đại số hữu hạn chiều... đề 2.1 với định lý Wedderburn định lý 2.2 ta có định lý sau Định lý 2.3 Cho F trường đóng đại số A đại số nửa đơn hữu hạn chiều F Khi A = Fn1 ⊕ Fn2 ⊕ ⊕ Fnk Chứng minh Ta có A đại số hữu hạn