Header Page of 161 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN TRỊNH THỊ TIẾN LÝ THUYẾT NHÓM VÀ ỨNG DỤNG TRONG SỐ HỌC KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Đại số Hà Nội - 2016 Footer Page of 161 Header Page of 161 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN TRỊNH THỊ TIẾN LÝ THUYẾT NHÓM VÀ ỨNG DỤNG TRONG SỐ HỌC KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Đại số Người hướng dẫn khoa học Th.S ĐỖ VĂN KIÊN Hà Nội - 2016 Footer Page of 161 Header Page of 161 LỜI CẢM ƠN Trước trình bày khóa luận mình, xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy giáo cô giáo Khoa Toán – Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, tận tình giúp đỡ bảo suốt thời gian em theo học khoa thời gian làm khóa luận Đặc biệt xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Th.S Đỗ Văn Kiên – Giảng viên Khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, người trực tiếp hướng dẫn tôi, tận tâm bảo định hướng cho suốt trình làm khóa luận để có kết ngày hôm Mặc dù có nhiều cố gắng, song thời gian kinh nghiệm thân nhiều hạn chế nên khóa luận tránh khỏi thiếu sót mong đóng góp ý kiến thầy cô giáo, bạn sinh viên bạn đọc Tôi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 02 tháng 05 năm 2016 Sinh viên Trịnh Thị Tiến Footer Page of 161 Header Page of 161 LỜI CAM ĐOAN Khóa luận kết nghiên cứu thân hướng dẫn tận tình thầy giáo Th.S Đỗ Văn Kiên Trong nghiên cứu hoàn thành đề tài nghiên cứu tham khảo số tài liệu ghi phần tài liệu tham khảo Tôi xin khẳng định kết đề tài "Lý thuyết nhóm ứng dụng số học " kết việc nghiên cứu, học tập nỗ lực thân, trùng lặp với kết đề tài khác Nếu sai xin chịu hoàn toàn trách nhiệm Hà Nội, ngày 02 tháng 05 năm 2016 Sinh viên Trịnh Thị Tiến Footer Page of 161 Header Page of 161 Mục lục KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Nhóm, nhóm xyclic nhóm 1.2 Định lý Lagrange, đồng cấu nhóm 10 1.3 Định lí Sylow 12 1.4 Nhóm đối xứng 14 1.5 Định lý Cauchy 15 1.6 Bài tập nhóm 17 1.7 Bài tập định lý Lagrange 19 Tác động nhóm lên tập hợp 21 2.1 Tác động nhóm lên tập hợp 21 2.2 Công thức lớp định lý Burnside 23 Ứng dụng vào toán số học 27 3.1 Một số ứng dụng đơn giản 27 3.2 Một số ứng dụng Định lí Lagrange 33 3.3 Ứng dụng Công thức lớp Định lí Burnside 35 3.4 Tổng quát định lí Fermat nhỏ, Lucas Wilson 39 3.5 Bài tập 44 Footer Page of 161 Header Page of 161 MỤC LỤC 3.6 Bài tập tự luyện 45 Kết luận 47 Tài liệu tham khảo 48 Footer Page of 161 Header Page of 161 MỤC LỤC LỜI MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Đại số lĩnh vực quan trọng toán học Trong trình nghiên cứu lý thuyết nhóm chương trình đại học, nhận thấy lý thuyết nhóm phần gọi tảng đại số, tạo tiền đề xây dưng số cấu trúc đại số nhóm, vành, trường, Trong nội dung nghiên cứu quan tâm đến ứng dụng lý thuyết nhóm số học nhận thấy nội dung hay sâu vào nghiên cứu Đồng thời động viên, khích lệ thầy cô môn Toán-khoa sư phạm Đại học Sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt hướng dẫn tận tình thầy Th.S Đỗ Văn Kiêngiảng viên trường Đai học Sư phạm Hà Nội nên định chọn đề tài: "ứng dụng lý thuyết nhóm số học" để làm luận văn tốt nghiệp cuối khóa Mục đích nghiên cứu Khi thực đề tài: "ứng dụng lý thuyết nhóm số học" mục đích tập nghiên cứu vấn đề toán học, rèn luyện kỹ trình bày vấn đề Với kiến thức có kết hợp với nghiên cứu thêm số tài liệu, cố gắng xây dựng hệ thống ứng dụng nhóm lên tập hợp, trình bày lý thuyết đến ví dụ tập áp dụng Nội dung nghiên cứu Footer Page of 161 Header Page of 161 MỤC LỤC Nội dung gồm chương: Chương 1: Kiến thức sở Chương 2: Tác động nhóm lên tập hợp Chương 3: Ứng dụng vào toán số học Trong đó, chương nội dung đề tài Phương pháp nghiên cứu Trong trình thực sử dụng phương pháp nghiên cứu sau ) Tổng kết số kiến thức học .) Sưu tầm tài liệu từ sách tham khảo, mạng .) Tự nghiên cứu trao đổi với giáo viên .) Dịch tài liệu tiếng anh hệ thống lại theo hướng dẫn giáo viên Do lần đầu thực tập nghiên cứu, thời gian có hạn lực thân hạn chế nên chắn nghiên cứu khó tránh khỏi thiếu sót Tôi mong nhận đóng góp, ý kiến thầy cô bạn đọc để đề tài hoàn chỉnh đạt kết cao Tôi xin chân thành cảm ơn! Footer Page of 161 Header Page of 161 Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương trình bày số kiến thức nhóm nhằm thuận tiện cho việc trình bày mục sau 1.1 Nhóm, nhóm xyclic nhóm Định nghĩa 1.1 Nhóm tập G với phép toán thỏa mãn điều kiện i) Với a, b, c thuộc G a(bc) = (ab)c ii) Tồn e thuộc G cho ex = xe = x với x thuộc G −1 iii) Với x thuộc G, tồn x −1 thuộc G cho x x = xx −1 = e Một nhóm G gọi nhóm giao hoán (hay nhóm abel) phép toán giao hoán Nếu G có hữu hạn phần tử số phần tử G gọi cấp G Nếu G có vô hạn phần tử ta nói G có cấp vô hạn Footer Page of 161 Header Page 10 of 161 Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Ví dụ 1.1 Tập số nguyên Z, tập số hữu tỉ Q, tập số thực R, tập số phức C với phép cộng thông thường nhóm giao hoán cấp vô hạn Ví dụ 1.2 Tập S(X) song ánh từ tập X đến với phép hợp thành ánh xạ nhóm, gọi nhóm đối xứng X Nếu X có n phần tử S(X) có cấp n! nhóm không giao hoán n > Ví dụ 1.3 Với số tự nhiên m ≥ 1, tập Zm lớp thặng dư theo mô đun m với phép cộng lớp thặng dư nhóm giao hoán cấp m Tập Z∗m lớp thặng dư khả nghịch nhóm giao nhân hoán cấp ϕ(m), với ϕ hàm Euler Mệnh đề 1.1 Cho G nhóm với đơn vị e Khi khẳng định sau i) Phần tử đơn vị G ii) Phần tử nghịch đảo phần tử G iii) Mọi phần tử G qui, tức thỏa mãn luật giản ước iv) Trong nhóm phương trình a.x = b có nghiệm x = a−1 b −1 −1 v) Với x1 , x2 , , xn thuộc G ta có (x1 x2 xn )−1 = x−1 n xn−1 x1 vi) (x−1 )−1 = x, với x thuộc G Định nghĩa 1.2 Tập H nhóm G gọi nhóm G H với phép toán cảm sinh G lập thành nhóm Footer Page 10 of 161 Header Page 36 of 161 Chương Ứng dụng vào toán số học Chứng minh Xét nhóm nhân Z∗p lớp thặng dư theo môđun m nguyên tố với m Nhóm có cấp ϕ(m) Vì gcd(a, m) = 1( theo giả thiết) nên a ∈ Z∗m Trong nhóm nhân Z∗p , áp dụng định lí Lagrange ta có aϕ(m) = Tức aϕ(m) ≡ 1(modm) Suy điều phải chứng minh Nhận xét 3.1 Cho G =< a > nhóm xycic cấp n Khi phần tử ak phần tử sinh G gcd(n, k) = Vì G có ϕ(n) phần tử sinh, ϕ hàm Euler Hơn d ước n G n có nhóm cấp d, nhóm sinh a d Áp dụng định lí Lagrange kết hợp với nhận xét ta có "đồng Euler" sau Mệnh đề 3.7 Gọi ϕ hàm Euler Nếu n > số nguyên n= ϕ(d) d|n Chứng minh Cho G nhóm xyclic cấp n, chẳng hạn G nhóm Zn với phép cộng lớp thặng dư theo môđun n Xét quan hệ G cho x ∼ y nhóm xyclic sinh x, y Kí hiệu cl(x) lớp tương đương phần tử x ∈ G Khi cl(x) = {y ∈ G < y >=< x >} = {y ∈ G y phần tử sinh < x >} Giả sử cấp x d Theo định lí Lagrange d ước n Từ nhận Footer Page 36 of 161 34 Header Page 37 of 161 Chương Ứng dụng vào toán số học xét trên, phần tử y = xk phần tử sinh nhóm < x > (k, d) = Vì cl(x) có ϕ(d) phần tử Gọi x1 , x2 , , xk đại diện lớp tương đương rời Khi G hợp k tập rời G = cl(x1 ) ∪ cl(x2 ) ∪ ∪ cl(xk ) Do G nhóm xyclic nên theo nhận xét trên, ước d n có nhóm xyclic cấp d G Suy n có k ước, ước cấp nhóm (xi ) Vì ϕ(d) n= n|d Suy điều phải chứng minh 3.3 Ứng dụng Công thức lớp Định lí Burnside Kí hiệu µ hàm Moius, tức µ(1) = với n = pa11 pa22 pkak phân tích tiêu chuẩn số tự nhiên n µ(n) = (−1)k a1 = a2 = = ak = µ(n) = tồn i cho > Chú ý f (n) g(n) hàm số học cho g(n) = f (d) d|n f (n) = d|n µ( nd ).g(d) Định lí sau kết cổ điển lý thuyết số Trong khóa luận này, ta đưa chứng minh khác phương pháp sử dụng tác Footer Page 37 of 161 35 Header Page 38 of 161 Chương Ứng dụng vào toán số học động nhóm lên tập hợp công thức lớp Định lý 3.1 Với số nguyên dương n k, ta có d|n n µ( ).k d ≡ 0(modn) d Chứng minh Hiển nhiên định lí với n = Vì µ(1).k d = k d ≡ 0(mod1) (luôn đúng) Cho n > Xét hàm số phức h : C → C cho h(z) = z k Với n > 1, đặt Pn = {z ∈ C|n số nguyên dương bé để hn (z) = z} Với tập hợp hữu hạn A, kí hiệu |A| số phần tử A.Trước hết ta khẳng định n ước |Pn |.Thật Cho k = 1, với z ∈ C, số nguyên dương t bé t để ht (z) = z số nguyên dương t bé để z = z số Vì n > nên với z ∈ C cho trước, n số dương bé thỏa mãn tính chất hn (z) = z Vì tập Pn = {z ∈ C|n số nguyên dương bé để hn (z) = z} tập rỗng, tức |Pn | = 0, khẳng định trường hợp k = Cho k > 1, giả sử z ∈ Pn Khi n số dương bé để n hn (z) = z k = z Từ đó, ta n số nguyên dương a a n a a bé để hn (z k ) = (z k )k = z k , tức z k ∈ Pn , với số tự nhiên a, với ≤ a < n Vì ta có tác động nhóm cộng Zn vào tập Pn a cho a.z = z k với a ∈ Zn , với z ∈ Pn Với z ∈ Pn bất kì, n n số nguyên dương bé để z k = z Vì nhóm đẳng hướng a z {a ∈ Zn |a.z = z} = {a ∈ Zn |0 ≤ a < n : z k = z} = {0} Do Footer Page 38 of 161 36 Header Page 39 of 161 Chương Ứng dụng vào toán số học số nhóm đẳng hướng z n Theo công thức lớp, số phần tử quĩ đạo z n Vì Pn hợp quĩ đạo rời nhau, quĩ đạo có n phần tử nên n ước |Pn |, |Pn | số phần tử Pn Khẳng đinh chứng minh Tiếp theo ta tính |Pn | theo k n Với số nguyên dương n, đặt n Xn = {z ∈ C|hn (z) = z} = z ∈ C|z k = z Rõ ràng Xn gồm k n phần tử Hơn X = Pd d1 = d2 d|n ước nguyên dương n Pd1 Pd2 = ∅ Vì k n = |Pd | d|n n Đặt f (n) = |Pn | g(n) = k Khi g(n) = f (n) Suy d|n f (n) = d|n n µ( ).g(d) = d Theo khẳng định trên, n ước d|n n µ( ).k d d n µ( ).k d d d|n Định lý 3.2 Với số nguyên dương n k, ta có n ϕ( ).k d ≡ 0(modn) d d|n Chứng minh Với số nguyên dương n, đặt n Xn = {z ∈ C|hn (z) = z} = {z ∈ C|z k = z} a Nhận thấy qui tắc Zn × Xn → Xn cho a.z = z k tác động nhóm cộng Zn lên tập Xn Ta sử dụng định lí Burnside tác động để chứng minh định lí Cho z ∈ Xn a số tự nhiên với a ≤ a < n Ta chứng minh z k = z z k Footer Page 39 of 161 37 gcd(a,n) = z, Header Page 40 of 161 Chương Ứng dụng vào toán số học gcd(a, n) ước chung lớn a n Với a, b ∈ Zn , tập điểm cố định qua tác động a a {z ∈ Xn |a.z = z} = {z ∈ Xn |z k = z} = {z ∈ Xn |z k gcd(a,n) = z} Do số phần tử cố định qua tác động a ∈ Zn k d , với d = gcd(a, n) Tương tự, tập điểm cố định qua tác động b {z ∈ Xn |b.z = z} = {z ∈ Xn |z k gcd(b,n) = z} Vì gcd(a, n) = gcd(b, n) tập điểm cố định qua tác động a b Hơn nữa, với d ước nguyên dương n n có ϕ( ) số tự nhiên j ∈ {1, 2, , n} với gcd(j, n) = d Vì d n thế, với ước tự nhiên d n, có ϕ( ) phần tử Zn có ước d chung lớn với n d có tâp điểm cố định qua tác động phần tử chúng Mặt khác, ta thấy nhóm Zn hợp rời tập Yd , Yd = {a ∈ Zn |(a, n) = d} hợp lấy theo số d ước nguyên dương n Bây áp dụng định lí Burnside Gọi r số quĩ đạo rời tác động Kí hiệu Xna tập điểm cố định qua tác động phần tử a Khi r= |Zn | Xna = a∈Z ( n d|n n ϕ( ).k d ) d Vì r số quĩ đạo tác động nên r ∈ N Do n ước n ϕ( ).k d d d|n Suy định lí chứng minh Chú ý Áp dung định lí 3.3.2 cho trường hợp n = p số nguyên tố ta nhận lại định lí Fermat bé (xem mệnh đề 3.2.1) Footer Page 40 of 161 38 Header Page 41 of 161 Chương Ứng dụng vào toán số học Thật vậy, theo định lí 3.3.2 p ước ϕ(p).k +ϕ(1).k p = (p−1).k+k p Do k p ≡ k(modp) Áp dụng chứng minh định lí 3.3.2 cho trường hợp k = ta nhận "đồng Euler" mệnh đề 3.2.3 n/ Thật k = số quĩ đạo Vì ta có = ( ϕ(d).1 d ) n d|n Suy n = ϕ(d) d|n Còn nhiều ứng dụng khác lí thuyết nhóm việc chứng minh lại kết cổ điển lí thuyết số Người ta dùng kiến thức lí thuyết nhóm để đưa kết số học Chẳng hạn, sách lí thuyết nhóm D.Surowski ông trình bày kết lí thuyết số sau Mệnh đề 3.8 Cho x, n số nguyên với x ≥ n > Khi n−1 x(a,n) ≡ 0(modn) a=0 Mệnh đề 3.9 Cho n > số nguyên Kí hiệu d(n) số ước n Kí hiêu ϕ hàm Euler Khi n−1 (a − 1, n) = ϕ(n).d(n) a=0,(a,n)=1 3.4 Tổng quát định lí Fermat nhỏ, Lucas Wilson 3.4.1 Nhóm tác động định lí Burnside’s Cho tác động nhóm G lên tập X, tức có đồng cấu G → Aut(X) Nhắc lại gx ảnh (g, x) ∈ G × X qua tác động Với x ∈ X, Gx = {gx|g ∈ G} biểu thị quĩ đạo x X cho Footer Page 41 of 161 39 Header Page 42 of 161 Chương Ứng dụng vào toán số học g ∈ G, X g = {x ∈ X|gx = x} biểu diễn điểm cố định qua tác động g Nếu G X hữu hạn, định lí Burnside cho số lượng quĩ đạo khác cho |G| |X g | g∈G |X g | chia hết cho |G| Đặc biệt g∈G Trong trường hợp G = Zn , ∀g ∈ Zn , X g = X d , d = (g, n) ước n chung lớn g n Với g có cấp ϕ(d) số phần tử d Quan sát này, với định lí Burnside cho bổ đề sau mà từ ta lấy tất kết học phần Bổ đề 3.2 Nếu X tập hữu hạn Zn → Aut(X) nhóm tác động số lượng quĩ đạo n d|n n µ( ) X d d Khi n = p số guyên tố, bổ đề trở thành | X |≡| X | (modp) 3.4.2 Tổng quát định lí Fermat nhỏ Nếu a số nguyên dương, A = {1, 2, , a}, Zn tác động tích X = An theo chu kì hoán vị tọa độ phần tử x ∈ X Nếu g ∈ Zn n n có cấp tọa độ x ∈ X có hình ảnh khác tất d d d lũy thừa g để g có a phần tử x Áp dụng bổ đề 3.2 mang đến cho định lí Định lý 3.3 Cho hai số nguyên dương a n Footer Page 42 of 161 40 Header Page 43 of 161 Chương Ứng dụng vào toán số học n ϕ( ).ad ≡ 0(modn) d d|n Chứng minh Xem 3.3.2 3.4.3 Tổng quát định lí Wilson Định nghĩa 3.1 Cho X tập tất xích có độ dài n nhóm đối xứng Aut(1, 2, , n) Khi |X| = (n − 1)! tác động Zn lên X định nghĩa g(a1 , , an ) = (a1 + g, a2 , , an + g) Ở phép cộng vị trí lấy theo mô đun n Cho d ước n n, g ∈ Zn phần tử có cấp cho (0, a2 , a3 , , ad ) ∈ Zn d tập đầy đủ đại diện lớp ghép Zn / < d > Định nghĩa xích π = π(g, a2 , , ad ) ∈ X n n π = (0, a2 , , ad , g, a2 +g, , ad +g, , [( )−1]g+ .+ad +ad +[( )−1]g) d d n (1) Ở đó, phép toán thực mô đun n Ta có ϕ( ) chọn d n lựa cho g, chọn lựa cho phần tử a2 , a3 , , ad có (d − 1)! cách d xếp chúng thành xích có dạng (1) Do số xích có dạng(1) xác định n n ϕ( )( ).(d − 1)! d d Ví dụ 3.1 Cho n = 12, d = 4, g = 8, a2 = 9, a3 = 6, a4 = Khi chu kì π π = (0, 9, 6, 3, 8, 5, 2, 11, 4, 1, 10, 7) Số xích có dạng ϕ(3).33 3! = 324 Footer Page 43 of 161 41 Header Page 44 of 161 Chương Ứng dụng vào toán số học Định lý 3.4 Cho n ≥ Khi d/n n n [ϕ( )]2 ( )d−1 (d − 1)! ≡ 0(modn) d d Hệ 3.1 (p − 1)! ≡ −1(modp) 3.4.4 Tổng quát định lí Lucas Trong phần này, phân tích lại số tác động để thấy số khái quát định lí Lucas Cho m, n, r ≥ sử dụng thuật toán phân chia để viết m = M n + m0 r = Rn + r0 với ≤ m0 , r0 < n Với ≤ k ≤ n cho Ak = {(k, 1), (k, 2), , (k, M )} B = {(0, 1), (0, 2), , (0, m0 )} Cho A = A1 ∪ A2 ∪ An ∪ B cho |A| = M n + m0 = m Đưa C ⊆ A Cho Cj = C ∩ Aj với ≤ j ≤ n C0 = C ∩ B để C = C1 ∪ C2 ∪ ∪ Cn ∪ C0 r Nếu X tâp hợp tất C ⊆ A với |C| = r |X| = Cm r Chú ý Cm = m < r Định nghĩa f : A → A cho f (k, x) = (k + 1, x)nếu1 ≤ k ≤ n − f (x, n) = (1, x) f (0, x) = (0, x) Và lưu ý cách đơn giản f ∈ Aut(A) Rõ ràng f n đồ thị giống để ánh xạ → f cho tác động Zn → Aut(X) Hơn nữa, phần tử C ∈ X cố định g ∈ Zn có cấp n/d với ≤ k ≤ d n : π2 (Ck ) = π2 (Clg+k ) mà l = {0, 1, , − 1} d Footer Page 44 of 161 42 Header Page 45 of 161 Chương Ứng dụng vào toán số học Ở π2 phép chiếu lên tọa độ Do n Rn + r0 = r = |C| = d d |Ck | + |C0 | k=1 Nhưng ≤ r0 , |C0 | < n tồn j ∈ {−(d − 1), , d − 1} cho R= d d k=1 j |Ck | |C0 | − r0 = (n/d).j d (2) Ngược lại ∀j ∈ {−(d − 1), , (d − 1)} cách lựa chọn αk = |Ck | (1 ≤ k ≤ d) thỏa mãn (2), ta độc lập lựa chọn tập Ck ⊂ Ak C0 ⊂ B với |C0 | = r0 + (n/d).j điểm cố định X xác định Nếu ta định nghĩa độ dài α d phần tử α = (α1 , , αd ) ∈ Nd α d= d d αj j=1 biểu diễn g ∈ Zn có cấp n/d d−1 m0 α1 αd |X g | = CM CM n ≡ 0(modn) j j=−(d−1) α d =R− r0 + j d d Áp dụng bổ đề (1) ta có định lí quan hệ chia hết thứ Định lý 3.5 Cho n ≥ 1, m = M n + m0 , r = Rn + r0 (0 ≤ m0 , r0 < n) d−1 m0 α1 αd n ϕ( /d) CM CM n ≡ 0(modn) d|n j=−(d−1) α d =R− j r + j d d Hệ 3.2 (Định lí Lucas) Giả sử: m = mk pk + + m1 p + m0 , r = rk pk + + r1 p + r0 với ≤ mj , rj < p r rk r1 r0 Cm = Cm Cm Cm (modp) k Chứng minh Ta m = M p + m0 , r = Rp + r0 (0 ≤ r r0 m0 , r0 < p) Cm ≡ Cm (modp) Footer Page 45 of 161 43 Header Page 46 of 161 Chương Ứng dụng vào toán số học Nhận thấy n = p, định lí cho d−1 m0 n ≡ 0(modn) j=−(d−1) α d =R− j j r + d d Chọn tập Ck ⊆ Ak với |Ck | = αk (1 ≤ k ≤ p) C0 ⊂ B với |C0 | = n j r0 + j tập xác định C ∈ X cung cấp α p = R − p p d−1 m0 αd α1 r Vì CM CM n = Cm j=−(d−1) r0 + j j d α d =R− d (p − 3.5 r0 R Cm 1).CM α1 αd CM CM Bài tập Bài tập 3.1 Chứng minh với số nguyên n ≥ 1, dãy số sau 2, 22 , 22 , (modn) dãy số kể từ số Chứng minh Ta chứng minh qui nạp theo n Với n = toán hiển nhiên Giả sử toán đến k − 1, (k ≥ 2) Nếu k-chẵn, k = 2a b, b-lẻ Khi theo giả thiết qui nạp dãy cho số từ lúc theo moodun b Mà rõ ràng dãy dãy môđun 2a kể từ lúc Vì theo mô đun k dãy số kể từ lúc Nếu k-lẻ, theo định lí Euler ta có 2ϕ (k) ≡ 1( mod k) Mà theo giả thiết qui nạp dãy 2, 22 , 22 , dãy kể từ lúc môđun ϕ(k) Vì 2, 22 , 22 , (modk) dãy số kể từ lúc Suy toán với n = k Bài tập 3.2 Cho m, n số nguyên dương, p số nguyên tố Chứng minh m ước nguyên tố lẻ np + 2p|m − Footer Page 46 of 161 44 Header Page 47 of 161 Chương Ứng dụng vào toán số học m|n2 − Chứng minh Từ giả thiết m|np + 1, suy np ≡ −1(modm), suy np không đồng dư với 1(modm) m > Suy n2p ≡ 1(modm) Đặt d = ordm n, d ước 2p không ước p Mà p số nguyên tố,suy d = d = 2p Nếu d = suy n2 ≡ 1(modm) hay m|n2 − Nếu d = 2p 2p|m − theo định lí Fermat ta có d|m − Suy điều phải chứng minh Bài tập 3.3 Giả sử a, b số nguyên dương thỏa mãn an + n ước bn + n với số nguyên dương n Chứng minh a = b Chứng minh Giả sử a = b, từ giả thiết ta thấy b > a Chọn p số nguyên tố lớn b lấy n = (a + 1)(p − 1) + Theo cách chọn ta có n ≡ 1(modp − 1) n ≡ −a(modp) Khi theo định lí Fermat ta có rn ≡ r.(rp−1 )a+1 ≡ r(modp), ∀r ∈ Z Ta lại có an + n ≡ a − a ≡ 0(modp) ⇒ p|an + n Hơn bn + n ≡ b − a ≡ 0(modp) suy p|b − a (mâu thuẫn p>b) Do a = b Suy điều phải chứng minh 3.6 Bài tập tự luyện Bài tập 3.4 Tìm số nguyên tố p, q thỏa mãn 2p + 2q p.q Footer Page 47 of 161 45 Header Page 48 of 161 Chương Ứng dụng vào toán số học Bài tập 3.5 Tìm số nguyên dương n thỏa mãn với cặp số nguyên a, b cho a2 b + n ta có a2 + b n Bài tập 3.6 Chứng minh 22225555 + 55552222 Bài tập 3.7 Tìm tất số nguyên dương n cho n7 + số phương Bài tập 3.8 Chứng minh Mọi số nguyên dương n tồn số nguyên m cho 2m + m n Bài tập 3.9 Hỏi có tồn hay không hai số nguyên dương a, b cho a không ước bn − n với số nguyên dương n Footer Page 48 of 161 46 Header Page 49 of 161 Kết luận Trên toàn nội dung đề tài "Lý thuyết nhóm ứng dụng số học" Trong khóa luận tốt nghiệp em trình bày hiểu biết cách hệ thống, rõ ràng kiến thức lý thuyết nhóm số ứng dụng số học Tuy nhiên nội dung mẻ thời gian nghiên cứu hạn chế, phần lần thực khóa luận nên không tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận ý kiến đóng góp quý báu thầy cô giáo bạn sinh viên để khóa luận đầy đủ hoàn thiện Trước kết thúc khóa luận này, lần em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc thầy cô giáo Khoa Toán, đặc biệt thầy giáo ThS Đỗ Văn Kiên tận tình hướng dẫn giúp đỡ em hoàn thành khóa luận Em xin chân thành cảm ơn! Footer Page 49 of 161 47 Header Page 50 of 161 Tài liệu tham khảo [1 ] [ABR] P.Anderson,A.Benjamin, J Rouse,Combinatorial proofs Fermat’s, Lucas’s and Wilson’s theorem, American Math,Monthly 112(3)(2005),266-268 [2 ] [EH] T.Evans,B.Holt Deriving Divisibility theorems with Burnside’s theorem, Electronic J.Combinatorial number theory,5(2005) 1-5 [3 ] [lev] Lionel Levine, Fermat’s little theorem a proof by function interaction, Mathematics Magazine, 72(4) (1999),308-309 [4 ] Hoàng Xuân Sinh (1972), Đại số đại cương Nhà xuất giáo dục Footer Page 50 of 161 48 ... Đại số lĩnh vực quan trọng toán học Trong trình nghiên cứu lý thuyết nhóm chương trình đại học, nhận thấy lý thuyết nhóm phần gọi tảng đại số, tạo tiền đề xây dưng số cấu trúc đại số nhóm, vành,... trường Đai học Sư phạm Hà Nội nên định chọn đề tài: "ứng dụng lý thuyết nhóm số học" để làm luận văn tốt nghiệp cuối khóa Mục đích nghiên cứu Khi thực đề tài: "ứng dụng lý thuyết nhóm số học" mục... 29 of 161 Chương Ứng dụng vào toán số học Trong chương này, sử dụng Định lí Lagrange, định lí Burnside, công thức lớp phát biểu Chương để chứng minh số kết số học 3.1 Một số ứng dụng đơn giản Nhận