B GIO DC V O TO TRNG I HC S PHM H NI KHOA TON NGUYN TH THNG TNH CHT I XNG CA CC NA NHểM S KHểA LUN TT NGHIP I HC H Ni Nm 2016 B GIO DC V O TO TRNG I HC S PHM H NI KHOA TON NGUYN TH THNG TNH CHT I XNG CA CC NA NHểM S Chuyờn ngnh: Toỏn i s KHểA LUN TT NGHIP I HC NGI HNG DN KHOA HC: TS ON TRUNG CNG H Ni Nm 2016 Mc lc M u v Na nhúm s v vnh na nhúm s 1.1 Na nhúm s v vnh na nhúm s 1.2 Mt vi bt bin 1.3 Na nhúm s i xng 1.4 Na nhúm s gi i xng 1.5 Na nhúm s hu i xng 1 Na nhúm s hu i xng sinh bi ba phn t 12 2.1 Na nhúm s i xng sinh bi ba phn t cú chiu nhỳng bng 12 2.2 c trng ca na nhúm s gi i xng sinh bi ba phn t 14 2.3 Cu trỳc ca na nhúm s gi i xng sinh bi ba phn t 17 2.4 Na nhúm s n 21 Na nhúm s hu i xng sinh bi bn phn t 3.1 Na nhúm s bt kh quy 3.2 Trng hp H = a, b 3.3 Trng hp H = a, b, c 3.4 Iờan nh ngha ca na nhúm s hu i xng sinh bn phn t 23 23 27 29 bi 36 Mt s lp na nhúm s hu i xng sinh bi nhiu phn t 40 4.1 Na nhúm s sinh bi dóy s hc tng quỏt 40 4.2 Phộp dỏn ca hai na nhúm s 45 i 4.3 ng dng vo na nhúm s gi i xng sinh bi ba phn t 49 Ti liu tham kho 53 ii Li Cm n Trc trỡnh by ni dung chớnh ca bn khoỏ lun, tụi xin by t lũng bit n sõu sc ti Tin s on Trung Cng v Thc s Vn Kiờn ó to iu kin tt nht, ch bo tn tỡnh tụi cú th hon thnh khoỏ lun tt nghip ny Tụi cng xin by t lũng bit n chõn thnh ti ton th cỏc thy cụ giỏo khoa Toỏn, Trng i hc S phm H Ni ó dy bo tụi nhit tỡnh sut quỏ trỡnh hc ti khoa Do thi gian v kin thc cú hn nờn nhng trỡnh by khoỏ lun khụng trỏnh nhng thiu sút Vỡ vy tụi rt mong nhn c nhng ý kin úng gúp ca thy cụ v cỏc bn sinh viờn Mt ln na tụi xin chõn thnh cm n ! H Ni, ngy thỏng nm 2016 Sinh viờn Nguyn Th Thng iii Li cam oan Tụi xin cam oan rng s liu v kt qu nghiờn cu khúa lun ny l trung thc v khụng trựng lp vi cỏc ti khỏc Tụi cng xin cam oan rng mi s giỳp cho vic thc hin khúa lun ny ó c cm n v cỏc thụng tin thu trớch dn khúa lun ó c ch rừ ngun gc H Ni, ngy thỏng nm 2016 Sinh viờn Nguyn Th Thng iv M U Na nhúm s cú liờn quan n cỏc lnh vc khỏc toỏn hc Mi na nhúm s cú vnh tng ng Qua ú, tớnh cht ca na nhúm s v vnh na nhúm s l tng ng Mc ớch ca khoỏ lun ny l trỡnh by li nhng khỏi nim c bn v na nhúm s v cỏc nh ngha, khỏi quỏt ca na nhúm s i xng, gi i xng, hu i xng Na nhúm s l nhúm ca cỏc s t nhiờn Khoỏ lun gm chng Chng 1: Na nhúm s v vnh na nhúm s Chng 2: Na nhúm s hu i xng sinh bi ba phn t Chng 3: Na nhúm s hu i xng sinh bi bn phn t Chng 4: Mt s lp na nhúm s hu i xng sinh bi nhiu phn t Trong chng gm phn, tụi trỡnh by cỏc khỏi nim v na nhúm s, vnh na nhúm s, cỏc bt bin s quan trng ca cỏc na nhúm s, cỏc khỏi nim c bn v na nhúm s i xng, gi i xng, hu i xng cựng cỏc iu kin tng ng i kốm Tip theo chng 2, tụi nghiờn cu c trng, cu trỳc ca na nhúm s gi i xng sinh bi ba phn t v na nhúm s n Trong chng 3, tụi nghiờn cu mi na nhúm s hu i xng cú th c xõy dng bng cỏch loi b mt s phn t sinh ti tiu t na nhúm s bt kh quy vi cựng s Frobenius Mt khú l na nhúm s cú sinh ti tiu cú nhiu phn t Nu cỏc phn t sinh ú cú mi liờn h ta cú th xột tớnh cht i xng, gi i xng c th l tụi nghiờn cu na nhúm s sinh bi dóy s hc tng quỏt v phộp dỏn chng v Chng Na nhúm s v vnh na nhúm s Trong chng ny chỳng tụi trỡnh by cỏc khỏi nim na nhúm s, vnh na nhúm s, cỏc bt bin v cỏc khỏi nim c bn v na nhúm s i xng, gi i xng, hu i xng cựng cỏc iu kin tng ng i kốm Ta kớ hiu N = {0, 1, 2, 3, 4, } 1.1 Na nhúm s v vnh na nhúm s nh ngha 1.1 Mt H N c gi l na nhúm s nu tha cỏc iu kin sau (1) H; (2) H + H H nh ngha 1.2 Cho H l na nhúm s Tp {a1 , a2 , , an } thuc H c gi l mt h sinh ca H nu vi mi phn t x thuc H u cú biu din dng x = a1 + ã ã ã + n an , vi , , , n N Khi ú ta kớ hiu H = a1 , a2 , , an Mt h sinh {a1 , a2 , , an } l ti tiu ca H nu / a1 , , ai1 , ai+1 , , an vi i = 1, 2, , n B 1.3 Cho H = a1 , a2 , , an Khi ú #(N\H) < v ch (a1 , a2 , , an ) = Chng minh Chiu thun nu (a1 , a2 , , an ) = d vi d > thỡ mi phn t thuc H u chia ht cho d, ú #(N\H) vụ hn nờn (a1 , a2 , , an ) = Ta chng minh chiu o bng phng phỏp quy np theo n Xột trng hp H = a, b Nu a = hoc b = thỡ H = {1 a + b|1 , N} = N Khúa lun tt nghip i hc NGUYN TH THNG Do ú N\H = nờn #(N\H) < Gi s < a < b Trc ht nhn xột rng vi mi m Z thỡ m cú biu din nht dng m = ax + by, y < a Tht vy, vỡ (a, b) = nờn au + bv = vi u, v Z no ú Suy m = amu + bmv t mv = aq + y vi y, q Z, y < a Ta cú m = amu + baq + by = ax + by vi x = mu + bq chng minh biu din l nht, gi s m = ax + by = ax + by vi y, y < a suy a(x x ) = b(y y) Vỡ (a, b) = nờn a l c ca | y y | m | y y |< a nờn y = y v ú x=x Vy vi mi m Z, m vit c nht dng m = ax + by, y < a T ú m H tng ng vi x Do ú s ln nht khụng thuc H phi l a(1) + b(a 1) = ab a b t c = (a 1)(b 1) thỡ c = ab a b l s ln nht khụng thuc H Nh vy vi mi m c thỡ m > c dn n m H Vy #(N\H) c < Gi s n > v khng nh ỳng vi n t d = (a1 , , an1 ) ta cú an1 a1 ) = Theo gi thit quy np, tn ti m1 N cho vi mi ( , , d d m m1 , a1 an1 m , , d d Do ú md a1 , a2 , , an t c = dm1 + (d 1)an + Ta chng minh vi mi m c thỡ m H Tht vy, vỡ (d, an ) = nờn m cú biu din nht m = dx + an y, y < d Suy dx = m an y a1 an1 , , (d1)an +m1 d+1an y dm1 dn n x m1 Do ú x d d Khi ú dx a1 , , an1 nờn m H Vỡ vy #(N\H) c < Vy #(N\H) < v ch (a1 , a2 , , an ) = Trong phn ny ta ch xột na nhúm s m tho iu kin tng ng B 1.3 Quy c t gi n ht khoỏ lun, na nhúm s luụn tho iu kin tng ng ú Nhn xột 1.4 Vi mi na nhúm s H , ta xột k[th |h H] = ( i ti iH k[t]} Do H l na nhúm s nờn ny l vnh ca vnh a thc ú k l mt trng, t l bin Khúa lun tt nghip i hc NGUYN TH THNG nh ngha 1.5 Cho H l na nhúm s Vnh na nhúm s liờn kt vi H l vnh k[H] = k[th |h H] Nhn xột 1.6 Vi na nhúm s H = a1 , , an Khi ú vnh na nhúm s k[H] = k[ta1 , , tan ] l nguyờn, ng cu vi vnh thng k[X1 , X2 , , Xn ]/IH , ú IH l ht nhõn ca ton cu : 1.2 k[X1 , X2 , , Xn ] k[H] Xi tai (1 i n) Mt vi bt bin Trong phn ny ta xột mt s bt bin Cỏc bt bin ny hu ht l bt bin s, l cụng c chớnh ta nghiờn cu cỏc tớnh cht ca na nhúm s nhng phn sau Trc ht ta xột Apộry nh ngha 1.7 Cho H l na nhúm s v = a H Tp Apộry ca a H l Ap(H, a) = {h H|h a / H} Tp Apộry cú rt nhiu ng dng hu ớch cỏc v na nhúm s S phn t ca Ap(H, a) luụn l a Cỏc phn t c mụ t B khỏ hay nh sau B 1.8 Cho H l na nhúm s v = a H , vi mi i a t w(i) = min{h H|h i a} Khi ú Ap(H, a) = {0 = w(0), w(1), , w(a 1)} Chng minh Trc ht ta ly h Ap(H, a) Theo nh ngha h H , a H nờn tn ti k N, i = 0, a cho h = ka + i Suy h i = (ka + i) i = ka a Ngoi (k 1)a + i = h a / H Nu tn ti h = k a + i vi k < k ú h + (k k )a = (k 1)a + i H suy mõu thun vi h a / H trờn nờn h l s nh nht thuc H m h i a Do ú h = w(i) Ngc li ta ly w(i) = min{h H|h i a} vi i a thỡ w(i) = ka + i (k N, i = 0, a 1) Gi s wi a H thỡ ka + i a = (k 1)a + i H M w(i) l nh nht suy iu gi s l sai, cho nờn w(i) a / H Do ú Khúa lun tt nghip i hc NGUYN TH THNG (1) H l gi i xng v ch I = X ++1 Y W, Y X Z, Z X W, W XY Z, X +1 Y ZW ú , vi (mod 5) (2) H l hu i xng v t(H) = v ch I = X + Y W, Y X W , Z X +1 Y, W X Z, X W Y Z, XY ZW ú 1, vi (mod 5) (3) H l i xng v ch I = X + ZW, Y X Z, Z Y Z, W X Y, X W Y Z ú , vi (mod 5) Chng minh Ta chng minh ý ỳng í 2, tng t : k[X, Y, Z, W ] k[H] X, Y, Z, W t5 , tb , tc , td Ta cú (X ++1 Y W ) = t5(++1) tb tc = t5(++1) tb+c H l gi i xng v ch b = + + 1, c = + + 2, d = + + 4, ú , vi (mod 5) v F (H) = + Suy (X ++1 Y W ) = Tng t (Y X Z) = 0, (W XY Z) = 0, (X +1 Y ZW ) = Mt khỏc dimk (k[X, Y, Z, W ]/(I, X) = Vy H l gi i xng v ch I = X ++1 Y W, Y X Z, Z X W, W XY Z, X +1 Y ZW ú , vi (mod 5) 39 Chng Mt s lp na nhúm s hu i xng sinh bi nhiu phn t Mt khú l na nhúm s cú sinh ti tiu cú nhiu phn t Nu cỏc phn t sinh ú cú mi liờn h ta cú th xột tớnh cht i xng, gi i xng c th l tụi nghiờn cu na nhúm s sinh bi dóy s hc tng quỏt v phộp dỏn chng ny 4.1 Na nhúm s sinh bi dóy s hc tng quỏt nh ngha 4.1 H c gi l na nhúm s sinh bi dóy s hc tng quỏt nu H = a, sa + d, sa + 2d, , sa + nd , ú n 2, (a, d) = Khi s = thỡ H c gi l na nhúm s sinh bi dóy s hc Cho H = a, sa + d, sa + 2d, , sa + nd l na nhúm s sinh bi dóy s hc tng quỏt t a = qn + r, (0 r < n) Ta nh ngha Ai ca H (1 i q ) nh sau Ai = {isa + ld|(i 1)n + l in.} Mnh 4.2 Nu H = a, sa+d, sa+2d, , sa+nd , (a, d) = 1, n thỡ m H = {ma + jd|m 0, j [ ]n.} s Chng minh Gi s x H thỡ x = m0 a+m1 (sa+d)+ +mn (sa+nd) n vi m0 , m1 , , mn Suy x = mo a + mi (sa + id) = (mo + i=1 40 Khúa lun tt nghip i hc n n imi )d t mi )a + ( s NGUYN TH THNG i=1 i=1 m = mo + s n j = n mi i=1 suy m Ta cú imi i=1 n n n imi n j= i=1 i=1 mo mi n[ + s mi mo + s n mi ] = n[ i=1 i=1 s ] m m ]n Dn n x {ma + jd |m 0, j [ ]n.} s s m Ly x = ma + jd (m 0, j [ ]n) Suy m = qs + r, j = q n + r s vi q, q , r, r N, r < s, r < n T ú x = (qs + r)a + (q n + r )d = qsa+ra+q nd+r d+q saq sa = q (nd+sa)+ra+(qq )sa+r d m Vỡ j [ ]n nờn q n + r qn, m r suy q q ú s x H m Vy H = {ma + jd|m 0, j [ ]n.} s Do ú j [ Mnh 4.3 Nu H = a, sa+d, sa+2d, , sa+nd , (a, d) = 1, a 2, a2 c=[ ] thỡ n Ap(H, a) = {isa + ld|0 i c + 1, (i 1)n < l min{in, a 1}} Chng minh Gi s x = isa + ld vi i c + 1, (i 1)n < l min(in, a1) Vỡ i c+1 nờn is M (i1)n < l min(in, a1) nờn l in Do ú is is 0, l in = [ ]n s Theo Mnh 4.2 thỡ x H v x a = (is 1)a + ld Thy [ is 1 ]n = [i ]n = (i 1)n s s Mt khỏc (i 1)n < l nờn theo Mnh 4.2 cú x a / H T ú x Ap(H, a) Gi s x Ap(H, a) suy x H, x a / H Vỡ x H nờn x = pa + ld p ú p 0, l [ ]n t p = is + m, (0 m < s) nờn s l in Suy x = (is + m)a + ld v x a = (is + m 1)a + ld /H hay m = 0, (i 1)n < l in, dn n x = isa + ld 41 Khúa lun tt nghip i hc NGUYN TH THNG Nu i c + thỡ x a = (is 1)a + ld [(c + 2)s 1] + ld > (cs + s 1)a + (a 1)d = F (H) Dn n x a H (vụ lý) suy i c + Nu i = c + thỡ c = i 1, (i 1)n < l in nờn cn < l in Ta cú x a = (is 1)a + ld = ((c + 1)s 1)a + ld = (cs + s 1)a + ld > F(H) (nu l > a 1) T ú x a H (vụ lý) nờn l a Suy i c + 1, (i 1)n < l min(in, a 1) Vy Ap(H, a) = {isa + ld|0 i c + 1, (i 1)n < l min{in, a 1}} Dn n PF(H) = {w a|w maxH Ap(H, a)} = {(c + 1)sa + ld a|cn < l a 1)} nh lớ 4.4 Cho H = a, sa + d, sa + 2d, , sa + nd 1) Nu r = thỡ Ap(H, a) = {0}A1 A2 Aq1 (Aq \{qsa + qnd}) Khi ú P F (H) = {w a|w Aq \{qsa + qnd}, t(H) = n 2) Nu r = thỡ Ap(H, a) = {0} A1 A2 Aq1 Aq Khi ú PF(H) = {w a|w Aq } , t(H) = n 3) Nu r = 0, thỡ Ap(H, a) = {0}A1 A2 Aq {(q+1)sa+ld|qn + l qn + r 1} Khi ú PF(H) = {(q + 1)sa + ld a|qn + l qn + r 1}, t(H) = r Chng minh Theo Mnh 4.2 ta cú kt qu Ap(H, a) = {isa + ld|0 i c + 1, (i 1)n < l min{in, a 1}} qn + r r2 a2 ], a = qn + r, r < n nờn c = [ ] = [q + ] n n n (1) Nu r = thỡ c = q 1, a = qn hay a = qn Do (i 1)n < l min(in, a 1) nờn (i 1)n < l min(in, qn 1) Suy qsa + qnd / Ap(H, a) (nu i = q thỡ in = qn nờn in > qn n) Do ú Ap(H, a) = {0} A1 A2 Aq1 (Aq \{qsa + qnd}) Ta c Do c = [ PF(H) = {w a|w Aq \{qsa + qnd}}, t(H) = n 42 Khúa lun tt nghip i hc NGUYN TH THNG (2) Nu r = thỡ c = q 1, a = qn + nờn a = qn Suy Ap(H, a) = {0} A1 A2 Aq Do ú PF(H) = {w a|w Aq }, t(H) = n (3) Nu r = 0, thỡ c = q Suy Ap(H, a) = {0} A1 A2 Aq {(q + 1)sa + ld|qn + l qn + r 1} Do ú PF(H) = {(q + 1)sa + ld a|qn + l qn + r 1}, t(H) = r Mnh 4.5 Cho H = a, sa + d, sa + 2d, , sa + nd l na nhúm s sinh bi dóy s hc tng quỏt Khi ú H i xng v ch a (mod n) Chng minh T Mnh 4.3 cú PF(H) = {(c + 1)sa + ld a|cn < l a 1)} Ta ó bit H i xng tng ng vi t(H) = v ch cn + = a nu v ch nu a = cn cn v a (mod n) Mnh 4.6 Cho H = a, sa + d, sa + 2d, , sa + nd l na nhúm s sinh bi dóy s hc tng quỏt Khi ú H l hu i xng, nhng khụng i xng v ch H cú chiu nhỳng ti a v s = Chng minh Nu H cú chiu nhỳng ti a v s = thỡ H = a, a + d, a + 2d, , a + nd , suy emb(H) = e(H) nờn n + = a Suy Ap(H, a) = {0, a + d, , a+nd} Do ú PF(H) = {d, 2d, , nd} tha fi +fti = F(H) vi mi i = 1, 2, , t Vy H l hu i xng H l hu i xng v ch fi + fti = F(H) vi i = 1, 2, , t Theo Mnh 4.4, xột cỏc trng hp ca r Nu r = thỡ PF(H) = {w a|w Aq \{qsa + qnd}} = {qsa + ((q 1)n + 1)d a, , qsa + (qn 1)d a} Vỡ fi + fti = F(H) vi mi i t nờn qsa + (qn n + 1)d a + qsa + (qn 2)d a = qsa + (qn 1)d a tng ng vi qsa nd a + qnd = v ch q = 1, s = Do ú a = n Mt khỏc emb(H) e(H) suy n + a hay n + n (vụ lý) Nu r = 0, thỡ PF(H) = {(q + 1)sa + ld a|qn + l qn + r 1} = {(q + 1)sa + (qn + 1)d a, , (q + 1)sa + (qn + r 1)d 1} 43 Khúa lun tt nghip i hc NGUYN TH THNG Do fi + fti = F(H) vi mi i t tng ng vi (q + 1)sa + (qn+1)da+(q+1)sa+(qn+r1)da = (q+1)sa+(qn+r1)da tng ng vi (qs + s 1)s + qnd = (vụ lý) ( q, s, d > 0, n 2) Nu r = thỡ PF(H) = {w a|w Aq } = {qsa + ((q 1)n + 1)d a, , qsa + qnd a} Vỡ fi + fti = F(H) vi mi i t nờn qsa + (qn n + 1)d a + qsa + (qn 1)d a = qsa + qnd a tng ng vi qsa nd a + qnd = v ch (qs 1)a + (q 1)nd = Do ú q = 1, s = Suy a = n + Do ú H cú chiu nhỳng ti a v s = Vy H l hu i xng, nhng khụng i xng v ch H cú chiu nhỳng ti a v s = Vớ d 4.7 (1) H = 11, 25, 28, 31, 34 Ta cú a = 11, s = 2, d = 3, n = nờn q = 2, r = Nu i = thỡ A1 = {sa + ld|1 l 4} = {25, 28, 31, 34}, Nu i = thỡ A2 = {2sa + ld|5 l 8} = {59, 62, 65, 68}, {(q + 1)sa + ld|9 l 10} = {93, 96} Suy Ap(H, 11) = {0, 25, 28, 31, 34, 59, 62, 65, 68, 93, 96} Vy PF(H) = {82, 85} nờn t(H) = (2) H = 6, 11, 16, 21, 26, 31 Ta cú a = 6, s = 1, d = 5, n = nờn q = v r = Thy A1 = {sa + ld|1 l 5} = {11, 16, 21, 26, 31} Suy Ap(H, 6) = {0, 11, 16, 21, 26, 31} Do ú PF(H) = {5, 10, 15, 20, 25} (tha fi + fti = F (H) vi i 4) Vy H l hu i xng (3) H = 6, 17, 22, 27, 32, 37 Ta cú a = 6, s = 2, d = 5, n = nờn q = 1, r = Ta cú A1 = {sa+ld|1 l 5} = {17, 22, 27, 32, 37} Do ú Ap(H, 6) = {0, 17, 22, 27, 32, 37} nờn PF(H) = {11, 16, 21, 26, 31} nhng khụng tha fi + fti = F(H) vi mi i Li thy H cú chiu nhỳng ti a vỡ emb(H)=e(H)=6 (4) H = 17, 56, 61, 66, 71, 76 Ta cú a = 17, s = 3, d = 5, n = nờn q = 3, r = 44 Khúa lun tt nghip i hc NGUYN TH THNG Nu i = thỡ A1 = {sa + ld|1 l 5} = {56, 61, 66, 71, 76}, Nu i = thỡ A2 = {2sa + ld|6 l 10} = {132, 137, 142, 147, 152}, Nu i = thỡ A3 = {3sa+ld|11 l 15} = {208, 213, 218, 223, 228}, {(q + 1)sa + ld|l = 16} = {284} Do ú PF(H) = {267} Vy H i xng 4.2 Phộp dỏn ca hai na nhúm s nh ngha 4.8 Cho hai na nhúm s H1 = a1 , a2 , , an v H2 = b1 , b2 , , bm v hai s d1 H2 \{b1 , , bm }, d2 H1 \{a1 , , an } tho (d1 , d2 ) = Ta gi H = d1 H1 , d2 H2 = d1 a1 , , d1 an , d2 b1 , , d2 bm l mt phộp dỏn ca H1 v H2 Mnh 4.9 Gi s a1 , , an , b1 , , bm l h sinh ti tiu ca H1 v H2 Nu H l mt phộp dỏn ca hai na nhúm s H1 v H2 ng vi hai s d1 , d2 thỡ H l na nhúm s vi h sinh ti tiu d1 a1 , , d1 an , d2 b1 , , d2 bm Chng minh Ta thy (d1 a1 , , d1 an , d2 b1 , , d2 bm ) = (d1 , d2 ) = nờn d dng suy H l na nhúm s Gi s d1 a1 = d1 a2 + + n d1 an + n+1 d2 b1 + + m d2 bm Khi ú n+1 d2 b1 + + m d2 bm l bi ca d2 d1 Do ú d1 a1 = d1 a2 + + n d1 an + d1 d2 k vi k N Suy a1 = a2 + + n an + d2 k iu ny hon ton mõu thun d2 H1 \{a1 , , an } v a1 l phn t ti tiu ca H1 Dn n iu gi s l vụ lý T ú d1 a1 / d2 a2 , , d1 an , d2 b1 , , d2 bm Tng t vi cỏc phn t khỏc H nờn {d1 a1 , , d1 an , d2 b1 , , d2 bm } l h sinh ti tiu ca H Vy H l na nhúm s vi h sinh ti tiu d1 a1 , , d1 an , d2 b1 , , d2 bm B 4.10 Nu H = d1 H1 , d2 H2 thỡ Ap(H, d1 d2 ) = {d1 s + d2 t|s Ap(H1 , d2 ), t Ap(H2 , d1 )} Chng minh Nu s Ap(H1 , d2 ), t Ap(H2 , d1 ) thỡ s d2 / H1 , t d1 / H2 Suy d1 (s d2 ) + d2 (t d1 ) + d1 d2 / H 45 Khúa lun tt nghip i hc NGUYN TH THNG M d1 (sd2 )+d2 (td1 )+d1 d2 = d1 s+d2 td1 d2 T ú d1 s+d2 td1 d2 / H nờn d1 s + d2 t Ap(H, d1 d2 ) Li #{d1 s + d2 t|s Ap(H1 , d2 ), t Ap(H2 , d1 )} = d1 d2 Vy Ap(H, d1 d2 ) = {d1 s + d2 t|s Ap(H1 , d2 ), t Ap(H2 , d1 )} B 4.11 Nu H = d1 H1 , d2 H2 thỡ PF(H) = {d1 f + d2 f + d1 d2 |f PF(H1 ), f PF(H2 )} Chng minh Ly g PF(H) T B 4.10 thỡ tn ti s Ap(H1 , d2 ), t Ap(H2 , d1 ) cho g = d1 s+d2 td1 d2 hay g = d1 (sd2 )+d2 (td1 )+ d1 d Nu s d2 / P F (H1 ) thỡ tn ti h H1 cho sd2 +h / H1 Suy s+h Ap(H1 , d2 ) dn n g +d1 h = (sd2 +h)d1 +(td1 )d2 +d1 d2 H , ta nhn c d1 (s + h) + d2 t H T ú d1 (s + h) + d2 t / Ap(H, d1 d2 ) Mõu thun vi b (do s + h Ap(H1 , d2 ), t Ap(H2 , d1 )) Suy s d2 PF(H1 ) Tng t t d1 P F (H2 ) T ú g {d1 f + d2 f + d1 d2 |f PF(H1 ), f PF(H2 )} M d1 PF(H1 ) + d2 PF(H2 ) + d1 d2 PF(H) Vy PF(H) = {d1 f + d2 f + d1 d2 |f PF(H1 ), f PF(H2 )} nh lớ 4.12 Cho H l mt phộp dỏn ca hai na nhúm s v H khụng i xng Khi ú H khụng bao gi l hu i xng Chng minh Chng minh phn chng Gi s H l hu i xng t PF(H1 ) = {f1 < f2 < < ft(H1 )1 < F(H1 )}, PF(H2 ) = {f1 < f2 < < ft(H2 )1 < F(H2 )}, PF(H) = {g1 < g2 < < gt(H)1 < F(H)} Khụng lm mt tớnh cht tng quỏt ta gi s F(H1 ) > F(H2 ) Theo B 4.11, ta cú g1 = d1 f1 +d2 f2 +d1 d2 v gt(H)1 = d1 F(H1 )+d2 f t(H2 )1 +d1 d2 hoc gt(H)1 = d1 ft(H1 )1 +d2 F(H2 )+d1 d2 Ta cú H l hu i xng tng ng vi gi + gti = F(H) vi i t Suy F(H) = g1 + gt(H)1 Khi ú F(H) = d1 (f1 + F(H1 )) + d2 (f1 + f t(H2 )1 ) + 2d1 d2 H hoc F(H) = d1 (ft(H1 )1 + f1 ) + d2 (F(H2 ) + f1 ) + 2d1 d2 H iu ny hon 46 Khúa lun tt nghip i hc NGUYN TH THNG ton l vụ lý (do F(H) / H ) nờn iu gi s l sai Vy H khụng l hu i xng Mnh 4.13 Nu H1 = a1 , a2 , , an , H = da1 , da2 , , dan1 , an , d > v (d, an ) = thỡ Ap(H, an ) = d(Ap(H1 ), an ) Chng minh Gi s w Ap(H, an ) suy w H, w an / H n1 Nu w da1 , da2 , , dan1 , an thỡ w = di + n an ( vi , , , i=1 n1 di ) + (n 1)an thuc H (vụ lý)(do w w an / H ) Do ú w da1 , da2 , , dan1 nờn thuc a1 , a2 , , an1 d w w H1 Nu an H1 thỡ w dan H mõu thun ng ngha vi d d w w w / H1 kt hp vi H1 thỡ Ap(H1 , an ) cho nờn Do ú an d d d n thuc N) Suy w an = ( i=1 w d(Ap(H1 ), an ) Gi s w Ap(H1 , an ) thỡ w a1 , a2 , , an1 suy ta cú dw n1 da1 , da2 , , dan1 Nu dw an H thỡ dw an = d( i ) + n an i=1 n1 (1 , , , n N) Do ú dw = d( i ) + (n + 1)an Vỡ (d, an ) = i=1 n1 nờn (n + 1).d suy n + = dk Ta c w = ( i ) + k an Khi i=1 n1 ú w an = ( i ) + (k 1)an H1 mõu thun (do w an / H1 ) i=1 Do ú dw an / H , m dw H nờn dw Ap(H, an ) Vy Ap(H, an ) = d(Ap(H1 , an ) Mnh 4.14 Nu H1 = a1 , a2 , , an , H = da1 , da2 , , dan1 , an v d > v (d, an ) = thỡ PF(H) = {df + (d 1)an |f PF(H1 )} Chng minh t PF(H1 ) = {f1 < f2 < ã ã ã < ft < F(H1 )}, PF(H) = {g1 < g2 < ã ã ã < gt < F(H)} Gi s gi PF(H) ta cú P F (H) = {w a|w maxH Ap(H, a)} Suy gi = wi = di an = d(i an ) + dan an = df + (d 1)an 47 Khúa lun tt nghip i hc NGUYN TH THNG (vi fi PF(H1 ), i maxH1 Ap(H1 , an )) Do ú gi {df + (d 1)an |f PF(H1 )} Gi s gi = {df + (d 1)an } vi f PF(H1 ) Tng t suy g = w an T ú g PF(H) Vy P F (H) = {df + (d 1)an |f PF(H1 )} nh lớ 4.15 Cho H1 = a1 , a2 , , an , H = da1 , da2 , , dan1 , an , d > 1, v (d, an ) = Nu H khụng i xng (tng ng H1 khụng i xng) thỡ H khụng l hu i xng Chng minh Chng minh phn chng Gi s H l hu i xng M PF(H) = {g1 < g2 < < gt < F(H)} tng ng vi gi + gti = F(H) vi mi i t Li cú PF(H) = {df + (d 1)an |f P F (H1 )} Suy gi = dfi + (d 1)an v F(H) = dF(H1 ) + (d 1)an Do ú dF(H1 ) = F(H) (d 1)an = g1 + gt1 (d 1)an = dfi + (d 1)an + dfti + (d 1)an (d 1)an = d(fi + fti ) + (d 1)an Dn n (d 1)an d, m (d, an ) = nờn d d suy d = mõu thun vi gi thit d > Vy H khụng l hu i xng nh lớ 4.16 Cho H = a1 , a2 , , an l hu i xng khụng phi l i xng thỡ n s h {a1 , a2 , , an } nguyờn t cựng Chng minh Chng minh bng phn chng Gi s (a1 , a2 , , an1 ) = d > Ta xột hai trng hp sau an1 a1 , , thỡ theo ỳng nh ngha ta ly d1 = d v d2 = an Nu an d d an1 a1 ta nhn c H l dỏn ca , , v N M theo nh lý 4.12 ta d d cú H khụng bao gi l hu i xng (trỏi vi gi thit) a1 an1 Nu an / , , thỡ theo nh lý 4.15 ta cú H cng khụng bao gi d d hu i xng (trỏi vi gi thit) C hai trng hp u suy iu gi s l sai Vy n s h {a1 , a2 , , an } nguyờn t cựng 48 Khúa lun tt nghip i hc 4.3 NGUYN TH THNG ng dng vo na nhúm s gi i xng sinh bi ba phn t B 4.17 Cho H = a1 , a2 , a3 , ú {a1 , a2 , a3 } l h sinh ti tiu ca H Vi i {1, , n}, i = min{k N\{0}|kai {a1 , , an }\{ai } } Nu = aj + ak vi {ai , aj , ak } = {a1 , a2 , a3 }, , N, v < j thỡ = i Chng minh t = qi + r vi r < i T nh ngha ca i tn ti , H cho i = aj + àak Thay vo gi thit ta c (qi + r)ai = aj + ak v ch qi + rai = aj + ak v ch qaj + qàak + rai = aj + ak Nu = thỡ qaj + rai = aj + ak tng ng vi ak = (q )aj + rai Do {a1 , a2 , a3 } l h sinh ti tiu ca H nờn q < suy q < Suy rai = ak + ( q)aj M r < i nờn iu ny mõu thun vi nh ngha ca i T ú = Nu q = thỡ rai = aj +ak M = aj +ak Do ú = r (vụ lý) nờn q = T ú qà = cú nga l qà > cho nờn aj = qaj + (qà 1)ak + rai Thy = q nờn ( q)aj = (qà 1)ak + rai Theo gi thit < j nờn q = dn n r = v qà = Suy q = = nờn = i Vy = i B 4.18 Nu H = a1 , a2 , a3 ú {a1 , a2 , a3 } l h sinh ti tiu ca H v F(H) + a1 = (2 1)a2 + (3 1)a3 thỡ H l i xng B 4.19 Nu H = a1 , a2 , a3 l gi i xng ú {a1 , a2 , a3 } l F(H) + a1 {(2 1)a2 ; (3 1)a3 } h sinh ti tiu ca H thỡ Chng minh Gi s F(H) + a1 / {(2 1)a2 ; (3 1)a3 } thỡ (2 1)a2 a1 = F(H) F(H) , (3 1)a3 a1 = 2 49 Khúa lun tt nghip i hc NGUYN TH THNG Nu (2 1)a2 a1 H thỡ (2 1)a2 a1 = a1 + a2 + a3 vi , , Suy (2 )a2 = (1 + 1)a1 + a3 Vỡ < (theo nh ngha ca ) nờn vụ lý T ú (2 1)a2 a1 / H Do H l gi i xng nờn theo nh ngha thỡ F(H)((2 1)a2 a1 ) H Suy F(H) + a1 (2 1)a2 H v ch F (H) + a1 = (2 1)a2 + ba3 vi b < Tng t ta cú F (H) + a1 = (3 1)a3 + aa2 vi a < Khi ú (2 1)a2 + ba3 = (3 1)a3 + aa2 tng ng vi a2 a2 + ba3 = a3 a3 + aa2 v ch (a + 1)a2 = (b + 1)a3 Li t nh ngha ca , suy a + = v b + = Dn n F(H) + a1 = (2 1)a2 + (3 1)a3 a3 Theo B 4.18 thỡ H i xng trỏi vi gi thit Suy iu gi s l sai F(H) Vy + a1 {(2 1)a2 ; (3 1)a3 } B 4.20 Nu H = a1 , a2 , a3 l gi i xng ú {a1 , a2 , a3 } l F(H) h sinh ti tiu ca H v = (2 1)a2 a1 thỡ Ap(H, a1 ) = {a2 + b3 |0 a 2; b 2} {(2 1)a2 } (2 1)a2 H Chng minh Thy nờn suy iu F(H) (2 1)a2 a1 = /H ny (2 1)a2 Ap(H, a1 ) Vỡ H l gi i xng nờn theo B 4.18 thỡ F(H) + a1 } thỡ a a2 / Ap(H, a3 ) Nu aa2 + ba3 Ap(H, a1 )\{ v b T a2 / Ap(H, a3 ) nờn F (H)+a1 = (2 2)a2 +(3 1)a3 F (H) M (2 2)a2 , (3 2)a3 Ap(H, a1 )\{ + a1 } thỡ Ap(H, a1 ) = (3 1)a3 + aa2 = (2 2)a2 + ba3 vi a, b N, a 2, b Suy (2 2)a2 + b3 = (3 1)a3 + aa2 Do ú a = 2, b = Vy Ap(H, a1 ) = {a2 + b3 |0 a 2; b 2} {(2 1)a2 } 50 Khúa lun tt nghip i hc NGUYN TH THNG B 4.21 Nu H = a1 , a2 , a3 l gi i xng ú {a1 , a2 , a3 } l F(H) = (2 1)a2 a1 thỡ h sinh ti tiu ca H v a1 = (2 1)a2 + a3 , a2 = (3 1)a3 + a1 , a3 = (1 1)a1 + a2 Chng minh Ta cú H l gi i xng tng ng vi maxH Ap(H, a1 ) = F(H) { + a1 , F(H) + a1 } hay (2 1)a2 maxH Ap(H, a1 ) dn n (2 1)a2 + a3 / maxH Ap(H, a1 ) ta c (2 1)a2 + a3 H Suy tn ti a, b, c N vi a = cho (2 1)a2 + a3 = aa1 + ba2 + ca3 Nhỡn vo B 4.20 ta cú (2 2)a2 + a3 Ap(H, a1 ) Suy b = 0, c = Do ú aa1 = (2 1)a2 + a3 Theo B 4.17 ta c a = Khi F(H) + a1 ú a1 = (2 1)a2 + a3 Tng t B 4.20 ta cú F(H) F(H) + a3 = + a1 = (2 1)a2 Suy {(2 1)a2 ; (1 1)a1 } M 2 F(H) + a3 = (1 1)a1 nờn a3 = (1 1)a1 + a2 Hon ton tng t ta cng cú a2 = (3 1)a3 + a1 nh lớ 4.22 Nu H = a1 , a2 , a3 l gi i xng ú {a1 , a2 , a3 } l h sinh ti tiu ca H thỡ a1 , a2 , a3 ụi mt nguyờn t cựng Chng minh Theo B 4.21 ta cú a1 = (2 1)a2 +a3 nờn (a1 , a2 ) = (a1 , a2 , a3 ) = Tng t (a2 , a3 ) = 1; (a1 , a3 ) = Vy Nu H = a1 , a2 , a3 l gi i xng ú {a1 , a2 , a3 } l h sinh ti tiu ca H thỡ a1 , a2 , a3 ụi mt nguyờn t cựng 51 KT LUN Ni dung khoỏ lun l nghiờn cu tớnh cht i xng, gi i xng, hu i xng ca cỏc na nhúm s gm na nhúm s hu i xng sinh bi ba phn t, na nhúm s hu i xng sinh bi bn phn t v mt s lp na nhúm s hu i xng sinh bi nhiu phn t Khoỏ lun ny l cỏc kin thc bc u ta nghiờn cu cỏc rng hn nh vnh na nhúm s, vnh Gorenstein, vnh Nother, 52 Ti liu tham kho [1] H Bresinsky, Symmetric semigroups of integers generated by elements, Manuscripta Math 17 (1975), 205-219 [2] R Frúberg, C Gottlieb, R Hỏggkvist, On numerical semigroups, Semigroup Forum 35 (1987), 63-83 [3] J Herzog, Generators and relations of abelian semigroups and semigroup rings, Manuscripta Math (1970), 175-193 [4] G L Matthews, On numerical semigroups generated by generalized arith- metic sequences, Commun Algebra 32(9) (2004), 3459-3469 [5] H Nari, T Numata, K.-i Watanabe, Almost symmetric numerical semi- groups of multiplicity 5, Proceedings of the Institute of Natural Sciences, Nihon University 47 (2012), 463-469 [6] T Numata, A variation of gluing of numerical semigroups, to appear in Semigroup Forum [7] J C Rosales and P A Garcớa-Sỏnchez, Numerical semigroups Developments in Mathematics , Volume 20 Springer (2009) [8] J C Rosales and P A Garcớa-Sỏnchez, Constructing almost symmetric numerical semigroups from irreducible numerical semigroups, Comm in Algebra 42 (2014), 1362 - 1367 [9] Takahiro Numata, Almost symmetric numerical semigroups with small number of generators Preprint 2015 53 ... nhóm số vành nửa nhóm số 1.1 Nửa nhóm số vành nửa nhóm số 1.2 Một vài bất biến 1.3 Nửa nhóm số đối xứng 1.4 Nửa nhóm số giả đối xứng 1.5 Nửa nhóm số hầu đối xứng 1... nhóm số định nghĩa, khái quát nửa nhóm số đối xứng, giả đối xứng, hầu đối xứng Nửa nhóm số nhóm tập số tự nhiên Khoá luận gồm chương Chương 1: Nửa nhóm số vành nửa nhóm số Chương 2: Nửa nhóm số. .. dán chương v Chương Nửa nhóm số vành nửa nhóm số Trong chương trình bày khái niệm nửa nhóm số, vành nửa nhóm số, bất biến khái niệm nửa nhóm số đối xứng, giả đối xứng, hầu đối xứng điều kiện tương