Phòng giáo dục Bình xuyên Kỳ thi học sinh giỏi THCS Vòng 1 năm học 2006-2007 ------------------------- đề thi học sinh giỏi lớp 9 Môn: Toán Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) ----------------------------- Câu 1: a, Cho 3 số hữu tỉ a, b, c thoả mãn: ab + ac + bc = 1. Chứng minh rằng: (a 2 + 1)(b 2 +1)(c 2 +1) là bình phơng của một số hữu tỉ. b, Cho x, y là các số thực sao cho x + y = 2. Chứng minh: x 4 + y 4 2 Câu 2: Với n là số nguyên dơng, chứng minh: n 2 +11n+39 không chia hết cho 49 Câu 3: Tìm các số x, y, z thoả mãn phơng trình: x + y + z + 4 = 2 2 x + 4 3 y + 6 5 z Câu 4: Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: x 2 + xy + y 2 = x 2 y 2 Câu 5: Cho tam giác ABC có AB > AC, D là trung điểm của BC. Trên tia AD lấy điểm E sao cho AD = DE. a, So sánh các góc CAE; AEC; DAB. b, Gọi M là chân đờng phân giác dựng từ đỉnh A của tam giác ABC. Chứng minh M nằm giữa C và D. Phòng giáo dục Bình xuyên Kỳ thi học sinh giỏi THCS Hớng dẫn chấm thi học sinh giỏi vòng 1 năm học 2006-2007 Vòng 1 năm học 2006-2007 ------------------------- môn: Toán - lớp 9 Câu 1: (2,25 điểm). a, Ta có: (a 2 + 1)(b 2 +1)(c 2 +1) = = (a 2 + ab + ac + bc)( b 2 + ab + ac + bc)( c 2 + ab + ac + bc) (0,5 đ) = [ ] ))(( caba ++ [ ] ))(( cbba ++ [ ] ))(( cbac ++ = [ ] ))()(( cbcaba +++ 2 Do a, b, c là số hữu tỉ nên (a 2 + 1)(b 2 +1)(c 2 +1) là số hữu tỉ. (0,5 đ) b, Đặt x = 1 + k, khi đó từ x + y = 2 ta có y = 1- k. (0,25 đ) x 4 + y 4 = (1 + k) 4 + (1 - k ) 4 = 2k 4 + 12k 2 + 2 = 2(k 4 + 6k 2 ) + 2 (0,5 đ) Vì k 4 + 6k 2 0 nên 2(k 4 + 6k 2 ) + 2 2 tức là x 4 + y 4 2 (0,25 đ) Dấu đẳng thức xảy ra khi k 4 + 6k 2 = 0 hay k = 0, hay x = y = 1. (0,25 đ) Câu 2: (1,25 điểm). Ta có n 2 + 11n + 39 = (n 2 + 11n + 18) + 21 = (n + 9)(n + 2) + 21. (0,5 đ) Vì hiệu của (n + 9) và (n + 2) là 7 nên chúng cùng chia hết cho 7 hoặc cùng không chia hết cho 7 (0,25 đ) - Nếu (n + 9) và (n + 2) cùng chia hết cho 7 thì (n + 9)(n + 2) chia hết cho 49 nhng 21 không chia hết cho 49 nên n 2 + 11n + 39 không chia hết cho 49. (0,25 đ) - Nếu (n + 9) và (n + 2) cùng không chia hết cho 7 thì (n + 9)(n + 2) không chia hết cho 7 , nhng 21 chia hết cho 7 nên n 2 + 11n + 39 không chia hết cho 49. (0, 25 đ) Câu 3: Từ x + y + z + 4 = 2 2 x + 4 3 y + 6 5 z (1) Ta có: x + y + z + 4 - 2 2 x - 4 3 y - 6 5 z = 0 (0,25 đ) [ ] 122)2( 2 + xx + [ ] 42).3(2)3( 2 + yy + [ ] 93).5(2)5( 2 + zz = 0 (0,5 đ) ( 2 )12 x + ( 2 )23 y + ( 2 )35 z = 0 Vì mỗi số hạng của tổng không âm nên vế trái không âm. Vì vậy: (0,25 đ) 12 x = 0 x = 3 23 y = 0 y = 7 35 z = 0 z = 14 (0,25 đ) Vậy các số cần tìm là x = 3; y = 7; z = 14. (0,25 đ) Câu 4: Từ x 2 + xy + y 2 = x 2 y 2 (1) x 2 + 2xy + y 2 = x 2 y 2 + xy. (x+y) 2 = xy(xy+1) (0,5 đ) Vì xy và xy + 1 là 2 số nguyên liên tiếp có tích là một số chính phơng nên tồn tại một số bằng 0 (0,5 đ) + Nếu xy = 0 , thay vào (1) có x 2 + y 2 =0 x = y = 0 (0,5 đ) + Nếu x + y + 1 = 0 xy = 1 thì x = 1 y= -1 x = -1 y= 1 Thử vào (1) thoả mãn. Vậy (x ; y) = (0 ; 0) (1 ; -1) (-1 ; 1) (0,25 đ) Câu 5: . giáo dục Bình xuyên Kỳ thi học sinh giỏi THCS Vòng 1 năm học 2006-2007 ------------------------- đề thi học sinh giỏi lớp 9 Môn: Toán Thời gian: 150 phút. xuyên Kỳ thi học sinh giỏi THCS Hớng dẫn chấm thi học sinh giỏi vòng 1 năm học 2006-2007 Vòng 1 năm học 2006-2007 ------------------------- môn: Toán -