Header Page of 161 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN Nguyễn Thị Phương SƠ LƯỢC VỀ ĐƯỜNG CONG ELLIPTIC TRÊN TRƯỜNG HỮU HẠN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Hà Nội – Năm 2016 Footer Page of 161 Header Page of 161 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN Nguyễn Thị Phương SƠ LƯỢC VỀ ĐƯỜNG CONG ELLIPTIC TRÊN TRƯỜNG HỮU HẠN Chuyên ngành: Hình học KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: Phạm Thanh Tâm Hà Nội – Năm 2016 Footer Page of 161 Header Page of 161 Mục lục Đường cong Elliptic 1.1 Trường hữu hạn 1.1.1 Trường 1.1.2 Đặc số trường 1.1.3 Tính chất trường hữu hạn 1.2 Đa tạp aphin 1.3 Đa tạp xạ ảnh 1.4 1.3.1 Cấu xạ đa tạp 13 1.3.2 Cấu xạ Frobenius 15 Đường cong Elliptic 16 1.4.1 Luật nhóm đường cong Elliptic 18 1.4.2 Đẳng giống 19 Tập điểm đường cong Elliptic trường hữu hạn 24 2.1 Số điểm hữu tỉ 24 2.2 Hàm zêta đa tạp xạ ảnh 25 2.3 Giả thuyết Riemann cho đường cong elliptic 26 2.4 Giả thuyết Weil cho đường cong elliptic 28 Footer Page of 161 Header Page of 161 Chương Đường cong Elliptic 1.1 Trường hữu hạn 1.1.1 Trường Một vành giao hoán có đơn vị có nhiều phần tử phần tử khác không khả nghịch (đối với phép nhân) gọi trường Như tập k với phép toán cộng nhân trường thỏa mãn: • k nhóm Aben với phép toán cộng có phần tử trung hòa • k\{0} nhóm aben với phép toán nhân có phần tử đơn vị • Với a,b,c thuộc k ta có: c.(a + b) = c.a + c.b (a + b).c = a.c + b.c (luật phân phối) Ví dụ: Q, R, C Một trường có vô hạn phần tử (R) Một trường gọi hữu hạn có hữu hạn phần tử Ví dụ: Zp ={0,1, ,p-1} , p số nguyên tố Zp trường hữu hạn Footer Page of 161 Header Page of 161 1.1.2 Đặc số trường Cho k trường với phần tử đơn vị e Khi số tự nhiên nhỏ n = cho bội ne = gọi đặc số trường k Trong trường hợp ngược lại ta nói k có đặc số Ví dụ: Các trường Q,R,C có đặc số Kí hiệu: Char(k) Có thể thấy trường k có đặc số n = n số nguyên tố Trong trường hợp phần tử khác nhóm cộng k có cấp p 1.1.3 Tính chất trường hữu hạn • Số phần tử trường hữu hạn F lũy thừa pn với p đăc số trường F , p số nguyên tố • Hai trường hữu hạn đẳng cấu chúng có số phần tử • Với số nguyên tố p với số tự nhiên n > tồn trường hữu hạn cấp pn • Trong trường hữu hạn F nhóm nhân phần tử khác xyclic • Giả sử F trường hữu hạn có q = pn phần tử Khi cấp nhóm Galoa G = G(F/Zp ) n Hơn nữa, G nhóm xyclic sinh tự đẳng cấu ϕ : a → ap , với a ∈ F • Mỗi trường hữu hạn F có q = pn phần tử trường chia đường tròn bậc q − trường nguyên tố P Footer Page of 161 Zp Header Page of 161 • Cho p số nguyên tố Bao đóng đại số Fp hợp dãy tăng trường hữu hạn có đặc số p : Fp = Fp n n∈N∗ 1.2 Đa tạp aphin Không gian aphin n - chiều trường k¯ tập có dạng ¯ i = 1, , n} An = {(a1 , , an )|ai ∈ k, Tập k−điểm không gian An tập An = {(a1 , , an )|ai ∈ k, i = 1, , n} Mỗi đa thức f ∈ R tập không điểm đa thức f Z(f ) = {P ∈ An |f (P ) = 0} Tương tự, với tập T ⊂ R ta có Z(T ) = {P ∈ An |f (P ) = 0, ∀f ∈ T } Gọi a ideal R sinh tập T ⊂ R Z(T ) = Z(a) Vành R vành Noether nên tồn đa thức f1 , , fn ∈ R cho Z(a) = Z(f1 , , fn ) Định nghĩa 1.2.1 Cho Y ⊂ An Tập Y gọi tập đại số (aphin) tồn T ⊂ R cho Y = Z(T ) Các tập đại số thỏa mãn tiên đề dành cho tập đóng không gian tô pô Tô pô cảm sinh tập đại số gọi tô pô Zariski Định nghĩa 1.2.2 Cho X không gian tô pô, ∅ = Y ⊂ X Tập Y gọi tập bất khả qui Y không hợp hai tập đóng thực Y Footer Page of 161 Header Page of 161 Ví dụ 1.2.3 Không gian A1 tập bất khả qui tập đóng thực A1 tập hữu hạn Định nghĩa 1.2.4 Cho Y ⊂ An Ideal Y vành R tập xác định I(Y ) = {f ∈ R|f (P ) = 0, ∀P ∈ Y } Tập đại số Y gọi xác định k ideal I(Y ) sinh đa thức k[x1 , , xn ], kí hiệu Y /k Mệnh đề 1.2.5 Nếu T1 ⊂ T2 ⊂ R Z(T1 ) ⊃ Z(T2 ) Nếu Y1 ⊂ Y2 ⊂ An I(Y1 ) ⊃ I(Y2 ) Mọi tập Y1 , Y2 ⊂ An ta có I(Y1 ∪ Y2 ) = I(Y1 ) ∩ I(Y2 ) Mọi a ideal R ta có I(Z(a)) = rad(a) Mọi tập Y An ta có Z(I(Y )) = Y Vì vậy, tập Y ⊂ An đa tạp aphin ideal I(Y ) ideal nguyên tố vành R Định lý 1.2.6 (Định lí không điểm Hilbert) Cho a ideal ¯ , , xn ], đa thức f ∈ k[x ¯ , , xn ] cho f (P ) = 0, ∀P ∈ vành k[x Z(a) Khi tồn số r > cho f r ∈ a Hệ 1.2.7 Có tương ứng 1−1 tập đại số An ideal vành R cho Y ⊂ An → I(Y ) a ⊂ R → Z(a) Hơn nữa, tập Y ⊂ An bất khả qui I(Y ) ideal nguyên tố R Định nghĩa 1.2.8 Cho Y ⊂ An tập đại số Vành tọa độ Y ¯ ]) vành xác định k¯ (kí hiệu k[Y ¯ ] = R/I(Y ) k[Y Nếu Y tập đại số xác định k Vành tọa độ Y k định nghĩa k[Y ] = k[x1 , , xn ]/I(Y ) Footer Page of 161 Header Page of 161 Trong trường hợp Y /k đa tạp aphin vành tọa độ Y miền nguyên Trường thương nó, kí hiệu k(Y ), gọi ¯ ) trường hàm Y k Tương tự ta định nghĩa k(Y ¯ ] miền Nhận xét 1.2.9 Nếu V đa tạp aphin vành tọa độ k[V ¯ đại số hữu hạn sinh Ngược lại, B đại nguyên đồng thời k− số hữu hạn sinh, miền nguyên B = R/a a ideal nguyên tố Khi B vành tọa độ đa tạp xác định V = Z(a) Định nghĩa 1.2.10 Tập Y ⊂ An gọi đa tạp aphin Y tập đại số tập bất khả qui Một tập mở đa tạp aphin gọi đa tạp tựa aphin Định nghĩa 1.2.11 Không gian tô pô X gọi không gian tô pô Noether X dãy giảm tập đóng dãy dừng Ví dụ 1.2.12 Không gian An không gian tô pô Noether dãy giảm Y1 ⊃ Y2 ⊃ tập đóng An cảm sinh tương ứng dãy tăng I(Y1 ) ⊂ I(Y2 ) ⊂ ideal vành R Lại có vành R vành Noether nên dãy tăng ideal phải dãy dừng Vì tồn r > cho Ys = Yr , ∀s ≥ r Mệnh đề 1.2.13 Cho X không gian tô pô Noether Khi tập đóng ∅ = Y ⊂ X tồn tập đóng bất khả qui Yi , i = 1, , n cho Y = Y1 ∪ ∪ Yn Hơn nữa, Yi = Yj , ∀i = j biểu diễn Vì tập đại số không gian An biểu diễn thành hợp hữu hạn đa tạp aphin Định nghĩa 1.2.14 Cho X không gian tô pô Số chiều X, kí hiệu dimX số cực đại n cho tồn xích tập đóng bất khả qui phân biệt X : X0 X1 Footer Page of 161 Xn ⊂ X Header Page of 161 Số chiều đa tạp aphin định nghĩa số chiều không gian tô pô Noether tương ứng Ví dụ 1.2.15 Trong không gian X = A1 tập đóng bất khả qui A1 tập gồm điểm Do số chiều không gian A1 Định nghĩa 1.2.16 Cho p ideal nguyên tố R Độ cao p, kí hiệu height(p) số n cực đại cho có xích ideal nguyên tố rời p0 p1 pn = p Số chiều vành R, kí hiệu dimR số cực đại độ cao ideal nguyên tố vành R Ta biết tập bất khả qui Y tương ứng − với ideal nguyên tố vành R chứa I(Y ) Do tập bất khả qui Y tương ứng − với ideal nguyên tố vành tọa độ ¯ ] Vì Y ⊂ An tập đại số dimY = dim(k[Y ¯ ]) k[Y Định lý 1.2.17 Cho k trường, B miền nguyên đồng thời k−đại số hữu hạn sinh Khi ¯ Số chiều B bậc siêu việt trường thương k(B) ¯ B k Mọi ideal nguyên tố p B height(p) + dim(B/p) = dimB Hệ 1.2.18 Cho V đa tạp An Khi ¯ ] = dim(k[x ¯ , , xn ]) = n height(I(V )) + dimk[V Ví dụ 1.2.19 Không gian An có số chiều n Thật vậy, ta có I(An ) = nên dimAn = n − = n Mệnh đề 1.2.20 Cho A vành Noether Khi Footer Page of 161 Header Page 10 of 161 Nếu x ∈ A khác đơn vị không ước không ideal nguyên tố cực tiểu p chứa (x) có height(p) = Miền nguyên A miền phân tích ideal nguyên tố có height ideal Mệnh đề 1.2.21 Cho V đa tạp không gian An Khi dim(V ) = n−1 tồn đa thức bất khả qui f ∈ R cho V = Z(f ) Chứng minh Nếu dim(V ) = n−1 theo định lí height(I(V )) = Giả thiết vành R miền phân tích nên tồn đa thức f ∈ R cho I(V ) = (f ) Do I(V ) ideal nguyên tố nên đa thức f bất khả qui Ngược lại, từ V = Z(f ) f đa thức bất khả qui vành R suy dim(V ) = n − Định nghĩa 1.2.22 Cho V đa tạp, P ∈ V f1 , , fm ∈ R hệ sinh I(V ) Đa tạp V gọi trơn P hạng ma trận Jacobi ∂fi (P ) ∂xj 0≤i≤m 0≤j≤n n − dimV Đa tạp V gọi trơn V trơn điểm P V Ngược lại, đa tạp V gọi có điểm kì dị P Ví dụ 1.2.23 Cho V đa tạp xác định đa thức bất khả qui f ∈ R Khi V kì dị điểm P ∈ V ∂f ∂xi (P ) = 0, ∀i = 1, 2, , n Cho V : Y = X + X Điểm P (x, y) ∈ V điểm kì dị V ∂f ∂x (P ) = 0, ∂f ∂y (P ) = Giải hệ phương trình ta có điểm kì dị V P (0, 0) Định nghĩa 1.2.24 Cho V đa tạp xạ ảnh, P ∈ V Người ta gọi ¯ ] : f (P ) = 0} MP = {f ∈ k[V ¯ ] ideal cực đại k[V Footer Page 10 of 161 Header Page 24 of 161 k(E1 ) mở rộng Galois φ∗ k(E2 ) Chứng minh Trong chứng minh định lí này, chứng minh cho phần a) a) Ta có degs (φ) = #φ−1 (Q), ∀Q ∈ E2 trừ số hữu hạn điểm Nhưng với Q, Q ∈ E2 chọn R ∈ E1 cho φ(R) = Q − Q Khi đó, từ tính chất φ đồng cấu kéo theo ánh xạ − φ−1 (Q) −→ φ−1 (Q ), P → P + R Do đó, #φ−1 (Q ) = #φ−1 (Q) Vì degs (φ) = #φ−1 (Q), ∀Q ∈ E2 Lấy P, P ∈ E1 cho φ(P ) = φ(P ) = Q đặt R = P − P Khi φ(R) = O, φ.τR = φ Do eφ (P ) = eφ.τR (P ) = eφ (τR (P )).eτR (P ) = eφ (P ) Vì vậy, điểm φ−1 (Q) có số rẽ nhánh Khi eφ (P ) = (#φ−1 (Q))eφ (P ) = degs (φ)eφ (P ) (degs φ)(degi φ) = degφ = P ∈φ−1 (Q) Vậy điểm P ∈ E1 eφ (P ) = degi (φ) Hệ 1.4.14 Cho E đường cong elliptic Φ nhóm hữu hạn E Khi tồn đường cong elliptic E đẳng giống tách ϕ : E −→ E cho Kerφ = Φ Định nghĩa 1.4.15 Cho φ : E1 −→ E2 ∈ Hom(E1 , E2 ), φ = [0], degφ = m Đẳng giống φ : E2 −→ E1 thỏa mãn φ.φ = [m] gọi đẳng giống đối ngẫu φ Đẳng giống đối ngẫu đẳng giống [0] đẳng giống [0] Định lý 1.4.16 Cho φ : E1 −→ E2 ∈ Hom(E1 , E2 ) Khi a) Đặt m = degφ Khi φ.φ = [m] : E1 −→ E1 φ.φ = [m] : E2 −→ E2 22 Footer Page 24 of 161 Header Page 25 of 161 b) Với ϕ : E2 −→ E3 đẳng giống Khi ϕφ = φϕ c) φ + ϕ = φ + ϕ d) [m] = [m] deg[m] = m2 e) degφ = deg φ f) φ = φ Hệ 1.4.17 Cho Elà đường cong elliptic xác định trường k, m ∈ Z m = Khi (1) deg([m]) = m2 (2) Nếu m = trường k E[m] = Z/mZ × Z/mZ (3) Nếu k trường có đặc số p hữu hạn Khi có hai trường hợp sau (i) E[pe ] = {0} với e = 1, 2, (ii) E[pe ] = Z/pe Z với e = 1, 2, Ví dụ 1.4.18 Cho E : y = x3 − x đường cong elliptic ánh xạ φ : E −→ E, (x, y) → (−x, iy) đẳng giống E Ta có φφ(x, y) = φ(−x, iy) = (x, −y) = [−1](x, y) φφ = [−1] deg[−1] = Như đẳng giống đối ngẫu φ φ degφ = deg φ = 23 Footer Page 25 of 161 Header Page 26 of 161 Chương Tập điểm đường cong Elliptic trường hữu hạn Cho F trường hữu hạn, E đường cong Elliptic xác định F Do có hữu hạn cặp (x,y) , x, y ∈ F, nhóm E(F) hữu hạn Nhóm có nhiều tính chất, ví dụ tính thứ tự Trong chương nói đến giả thuyết đường cong Elliptic 2.1 Số điểm hữu tỉ Định nghĩa 2.1.1 Cho E/Fq đường cong elliptic xác định trường hữu hạn Một điểm P ∈ E xác định Fq gọi điểm hữu tỉ E Tập điểm hữu tỉ đường cong elliptic E kí hiệu E(Fq ) Nhận xét 2.1.2 Cho E/Fq đường cong elliptic xác định trường hữu hạn Fq πE : E −→ E ánh xạ q−lũy thừa Frobenius Khi P ∈ E(Fq ) πE (P ) = P 24 Footer Page 26 of 161 Header Page 27 of 161 2.2 Hàm zêta đa tạp xạ ảnh Định nghĩa 2.2.1 Hàm zeta hàm có dạng ζ(s) = + 1 + + · · · + + 2s 3s ns Riemann số tính chất giải tích hàm zeta, ông chứng minh hàm ζ(s) hội tụ phần thực s lớn Định lý 2.2.2 (S Lang) Mọi đường cong xạ ảnh trơn bậc xác định trường hữu hạn Fq có điểm xác định Fq Chứng minh Cố định điểm O ∈ E, ta có luật nhóm + E Khi (E, +) nhóm Abel có đơn vị O, kí hiệu −P phần tử đối P Xét ánh xạ φ : E −→ E, φ(P ) = πE (P ) − P πE : E −→ E ánh xạ Frobenius Ta chứng minh φ toàn ánh Thật vậy, giả sử trái lại φ(P ) = P0 , ∀P ∈ E Khi πE (P ) = P + P0 , ∀P ∈ E Vì πEn (P ) = P + nP0 , ∀P ∈ E, ∀n ∈ N Mặt khác a ∈ Fq a ∈ Fqk , k Do ∃n0 ∈ N cho ∀n ≥ n0 E(Fqn ) = ∅ Xét Q ∈ E(Fqn ), n ≥ n0 Q = πEn (Q) = Q + nP0 , ∀n ∈ N ⇔ nP0 = O, ∀n ≥ n0 , O phần tử đơn vị nhóm E(F¯q ) Khi πEn (P ) = P, ∀P ∈ E, ∀n ≥ n0 Vì tồn số n cho E(Fqn ) = E(Fq ) Đây mâu thuẫn tập E(Fq ) tập vô hạn Vì tồn điểm P ∈ E cho πE (P )−P = O ⇔ πE (P ) = P , tức P ∈ E(Fq ) Chọn phương trình Weierstrass cho đường cong elliptic E với hệ số Fq , đặt πE : E −→ E; (x, y) −→ (xq , y q ) cấu xạ q-lũy thừa Frobenius Từ nhóm Galois GFq /Fq sinh ánh 25 Footer Page 27 of 161 Header Page 28 of 161 xạ q-lũy thừa Frobenius Fq nên với điểm P ∈ E(Fq ) P ∈ E(Fq ) ⇐⇒ πE (P ) = P Vì E(Fq ) = Ker(1 − πE ) Mệnh đề 2.2.3 Cho E1 E2 hai đường cong elliptic xác định Fq E1 đẳng giống với E2 Khi #E(Fq ) = #E (Fq ) Chứng minh Gọi φ : E1 −→ E2 cấu xạ khác từ E1 vào E2 , cấu xạ πE1 πE2 cấu xạ q−lũy thừa Frobenius E1 E2 Từ P ∈ E2 (Fq ) ⇔ πE2 (P ) = P φ toàn cấu nên tồn P ∈ E1 cho φ(P ) = P Vì P ∈ E2 (Fq ) ⇔ πE2 (φ(P )) = φ(P ) ⇔ P ∈ Ker((1 − πE2 )φ) Mặt khác, φ−1 (P ) có degs φ phần tử nên từ sơ đồ giao hoán E1 π E1 φ /  E1 φ / E2  π E2 E2 Ta có #E2 (Fq ) = #Ker((1−πE2 )φ)/degs φ = #Ker(φ(1−πE1 ))/degs φ = degs (φ(1−πE1 )) Vì #E2 (Fq ) = degs (1 − πE1 ) = #E1 (Fq ) Vậy #E(Fq ) = #E (Fq ) 2.3 Giả thuyết Riemann cho đường cong elliptic Cho E/Fq đường cong elliptic xác định trường hữu hạn có phương trình E : y + a1 xy + a3 y = x3 + a2 x2 + a4 x + a6 , (x, y) ∈ Fq Với x ∈ Fq cho ta tối đa giá trị y Fq Vì 26 Footer Page 28 of 161 Header Page 29 of 161 #E(Fq ) ≤ 2q + Tuy nhiên đánh giá thô định lí Hasse cho đánh giá tốt #E(Fq ) Bổ đề 2.3.1 (Bất đẳng thức Cauchy - Schawrtz) Cho A nhóm Abel cho d : A −→ Z dạng toàn phương xác định dương Khi |d(ϕ − φ) − d(φ) − d(ϕ)| d(ϕ)d(φ) Chứng minh Mọi ϕ, φ ∈ A xét L(ϕ, φ) = d(ϕ − φ) − d(φ) − d(ϕ) dạng song tuyến tính tương ứng với dạng toàn phương d Từ d dạng toàn phương xác định dương nên với m, n ∈ Z ta có d(mϕ − nφ) = m2 d(ϕ) + mnL(ϕ − φ) + n2 d(φ) Lấy m = −L(ϕ, φ) n = 2d(ϕ) ta d(ϕ)(4d(ϕ)d(φ) − L(ϕ, φ)2 ) Mệnh đề 2.3.2 Cho E đường cong elliptic xác định Fq , char(Fq ) = p, π : E → E cấu xạ q−lũy thừa Frobenius E m, n ∈ Z cho p không ước m Khi cấu xạ m + nπ : E → E cấu xạ tách Định lý 2.3.3 (Hasse) Cho E/Fq đường cong elliptic Khi √ |#E(Fq ) − q − 1| ≤ q Chứng minh Gọi πE : E → E cấu xạ Frobenius E Theo mệnh đề (2.3.2) ánh xạ 1−πE tách nên #Ker(1−πE ) = deg(1−πE ) Ánh xạ bậc cấu xạ dạng toàn phương xác định √ dương với deg(πE ) = q nên |#E(Fq ) − q − 1| ≤ q Định lý 2.3.4 (Giả thuyết Riemann cho đường cong elliptic 27 Footer Page 29 of 161 Header Page 30 of 161 Hasse 1934.) Cho E/Fq đường cong elliptic Khi √ |#E(Fqn ) − q n − 1| ≤ q n , ∀n ≥ Chứng minh Chọn phương trình Weierstrass đường cong E với hệ số trường Fq πE cấu xạ q−lũy thừa Frobenius E Khi P ∈ E(Fqn ) ⇔ πEn (P ) = P Vì E(Fqn ) = Ker(1 − πEn ) Mặt khác cấu xạ (1 − πEn ) tách nên #E(Fqn ) = degs (1 − πEn ) = deg(1 − πEn ) Ánh xạ bậc cấu xạ dạng toàn phương xác định dương với deg(π n ) = q n nên √ |#E(Fqn ) − q n − 1| ≤ q n 2.4 Giả thuyết Weil cho đường cong elliptic Định lý 2.4.1 Cho V /Fq đa tạp xạ ảnh có số chiều N Khi 1) Hàm zeta V /Fq hàm hữu tỉ Z(V /Fq ; T ) = P (T ) ∈ Q(T ) Q(T ) đa thức P (T ); Q(T ) ∈ Q[T ] 2) Phương trình hàm: Tồn số nguyên , gọi đặc số Euler đa tạp V , cho Z(V /Fq ; ) = ±q N N q T /2 T Z(V /Fq ; T ) 3) Giả thuyết Riemann: Hàm zeta đa tạp V phân tích 28 Footer Page 30 of 161 Header Page 31 of 161 thành Z(V /Fq ; T ) = P1 (T ) P2N −1 (T ) P0 (T ) P2N (T ) Trong đa thức Pi (T ) ∈ Z[T ] với P0 (T ) = − T ; P2N = − q N T thỏa mãn với i = 0, 1, , 2N đa thức Pi (T ) phân tích thành bi Pi (T ) = Πj=1 (1 − αij T ); |αij | = q i/2 Định nghĩa 2.4.2 Mỗi i = 1, , 2N gọi số bi (V ) = degPi (T ) định lí (2.4.1) số Betti thứ i đa tạp V Kí hiệu bi = bi (V ) Nhận xét 2.4.3 Đặc số Euler đa tạp xác định thông qua số Betti theo công thức 2N (−1)i bi = i=0 Thật vậy, từ phương trình hàm Giả thuyết Riemann giả thuyết Weil ta có P1 ( qN1T ) P2N −1 ( qN1T ) P0 ( qN1T ) P2N ( qN1T ) = ±q N /2 T P1 (T ) P2N −1 (T ) P0 (T ) P2N (T ) Qui đồng mẫu số ta có số a b lũy thừa q thỏa mãn aT b0 +b2 + +b2N P1 (T ) P2N −1 (T ) = ±q N b +b + +b 2N −1 P (T ) P bT 2N (T ) /2 T P1 (T ) P2N −1 (T ) P0 (T ) P2N (T ) So sánh bậc đa thức tương ứng hai vế ta = b0 + · · · + b2N − b1 − · · · − b2N −1 Vì 2N (−1)i bi = i=0 Ví dụ 2.4.4 (Kiểm tra giả thuyết Weil cho V = P1 ) Ta có 29 Footer Page 31 of 161 Header Page 32 of 161 hàm zeta P1 Z(P1 ; T ) = (1 − T )(1 − qT ) Do ta dễ dàng thấy Z(P1 ; ) = qT Z(P1 ; T ) qT Từ hàm zeta thấy giả thuyết Riemann thỏa mãn với P1 (T ) = Ở b0 = 1, b1 = 0, b2 = nên đặc số Euler P1 = Ví dụ 2.4.5 (Kiểm tra giả thuyết Weil cho V = PN )(Bài tập 5.1 tài liệu [1]) Theo ví dụ (??) ta có hàm zeta PN Z(PN /Fq ; T ) = ∈ Q(T ) (1 − T )(1 − qT ) (1 − q N T ) Kiểm tra ta có phương trình hàm sau Z(PN /Fq ; qN1T ) = 1 (1− qT )(1−q qN1 T ) (1−q N qN1 T ) q N (N +1) T N +1 = (q N T −1)(q N T −q) (q N T −q N ) = q N (N +1) T N +1 (T −1)(qT −1) (q N −1 T −1)(q N T −1)q.q q N = (±1)N +1 q N (N +1)/2 T N +1 (1−T )(1−qT1) (1−qN T ) Vậy ta có phương trình hàm Z(PN /Fq ; 1 N +1 N (N +1)/2 N +1 ) = (±1) q T qN T (1 − T )(1 − qT ) (1 − q N T ) Từ phương trình hàm ta có đặc số Euler PN = N + 30 Footer Page 32 of 161 Header Page 33 of 161 Tiếp theo ta kiểm tra giả thuyết Riemann cho V = PN Từ hàm zeta PN ta có P1 (T ) = P3 (T ) = · · · = P2N −1 (T ) = P0 (T ) = − T ; P2 (T ) = − qT ; · · · ; P2N (T ) = − q N T Vì số Betti PN : b0 = b2 = · · · = b2N = b1 = b3 = · · · = b2N −1 = Cho l, l = char(Fq ); E/Fq đường cong elliptic Khi ánh xạ End(E) −→ End(Tl (E)); φ −→ φl đơn ánh ( Xem chứng minh định lí (??)) Mệnh đề 2.4.6 Cho E/Fq đường cong elliptic, đặt φ : E −→ E; (x, y) −→ (xq , y q ) tự đồng cấu q− lũy thừa Frobenius cho a = q + − #E(Fq ) Khi (a) Cho hai số α, β ∈ C hai nghiệm phương trình T −aT +q √ Khi α β hai số phức liên hợp thỏa mãn |α| = |β| = q Hơn ∀n ≥ #E(Fqn ) = q n + − αn − β n (b) Tự đồng cấu Frobenius thỏa mãn φ2 − aφ + q = End(E) Chứng minh Theo mệnh đề (??) ta có det(φl ) = deg(φ); tr(φl ) = 1+deg(φ)−deg(1−φ) = 1+q−#E(Fq ) = a Do đa thức đặc trưng φl det(T − φl ) = T − tr(φl )T + det(φl ) = T − aT + q (a) Do đa thức đặc trưng φl có hệ số Z nên phân 31 Footer Page 33 of 161 Header Page 34 of 161 tích C thành det(T − φl ) = T − aT + q = (T − α)(T − β) Mọi số hữu tỉ det( m n ta có m det(m − nφl ) deg(m − nφ) − φl ) = = ≥ n n2 n2 Vì đa thức bậc hai det(T − φl ) = T − tr(φl )T + det(φl = T − aT + q) không âm với T ∈ R Khi đa thức đặc trưng φl có hai nghiệm phức liên hợp có nghiệm kép Trong hai √ trường hợp có |α| = |β| α.β = q Vì |α| = |β| = q Với n ≥ ánh xạ φn cấu xạ q n −lũy thừa Frobenius thỏa mãn #E(Fqn ) = deg(1 − φn ); tr(φnl ) = + q n − deg(1 − φn ) Kéo theo đa thức đặc trưng φn cho det(T −φnl ) = (T −αn )(T −β n ) = det(T −φnl ) = T −tr(φnl )T +det(φnl ) Vì αn + β n = + q n − deg(1 − φn ) ⇐⇒ #E(Fqn ) = + q n − αn − β n (b) Theo định lý Cayley - Hamilton ta có φ2l − aφl + q = Do det(φ2l − aφl + q) = ⇐⇒ deg(φ2 − aφ + q) = ⇐⇒ φ2 − aφ + q = Vậy cấu xạ φ thỏa mãn phương trình đa thức φ2 − aφ + q = ∈ End(E) Giả thuyết Weil cho đường cong elliptic đưa Hasse năm 1934 trước Weil phát biểu thành giả thuyết cho đa tạp năm 32 Footer Page 34 of 161 Header Page 35 of 161 1949 Định lý 2.4.7 Cho E/Fq đường cong elliptic Khi (1) Tồn số a ∈ Z cho hàm zeta E hàm hữu tỉ − aT + qT Z(E/Fq ; T ) = (1 − T )(1 − qT ) có đặc số Euler (2) Hàm zeta E thỏa mãn phương trình hàm Z(E/Fq ; ) = Z(E/Fq ; T ) qT (3) Hàm zeta E phân tích thành − aT + qT = (1 − αT )(1 − βT ); |α| = |β| = √ q Chứng minh Ta có #E(Fqn )T n ∞ ( ) n=1 n n n #E(F )T ∞ q ) n=1 ( n n n (1−α −β +q n )T n ∞ ( ) n=1 n Z(E/Fq ; qT1 ) = = = = −log(1 − T ) + log(1 − αT ) + log(1 − βT ) − log(1 − qT ) Vì hàm zeta E Z(E/Fq ; T ) = (1 − αT )(1 − βT ) (1 − T )(1 − qT ) Do số Betti E b0 = 1, b1 = 2, b2 = đặc trưng Euler = Kiểm tra phương trình hàm cho đường cong elliptic 33 Footer Page 35 of 161 Header Page 36 of 161 Z(E/Fq ; qT1 ) = = = 1 (1−α qT )(1−β qT ) 1 (1− qT )(1−q qT ) 1 (1−α qT )(1−β qT ) 1 (1− qT )(1−q qT ) (αT −1)(βT −1) (qT −1)(T −1) = Z(E/Fq ; T ) Từ định lí (2.4.6) ta có α β hai số phức liên hợp thỏa mãn √ |α| = |β| = q Nhận xét 2.4.8 Đổi biến sau, đặt T = q −s ta hàm s: − aq −s + qq −2s ζE/Fq (s) = Z(E/Fq ; q ) = (1 − q −s )(1 − qq −s ) −s Theo phương trình hàm giả thuyết Z(E/Fq ; ) = Z(E/Fq ; q −1+s ) = ζE/Fq (1 − s) −s qq Vì ζE/Fq (s) = ζE/Fq (1 − s) Ta có (1 − αq −s )(1 − βq −s ) = ζE/Fq (s) = ⇐⇒ (1 − q −s )(1 − qq −s ) Điều tương đương với (q s − α)(q s − β) = Vậy ζE/Fq (s) = |q s | = √ q ⇐⇒ Re(s) = 21 Nhận xét 2.4.9 Trong luận văn giả thuyết Weil tính chất hàm zeta cho đường cong elliptic E chứng minh từ kết #E(Fqn ) = q n + − αn − β n Tuy nhiên thừa nhận tính chất hàm zeta cho đường 34 Footer Page 36 of 161 Header Page 37 of 161 cong elliptic giả thuyết Weil khai triển logarit log( 1−x )= x + x2 /2 + + xn /n + mệnh đề (??) ta chứng minh công thức #E(Fqn ) = q n + − αn − β n ( Bài tập 5.17 tài liệu [1]) Nhận xét 2.4.10 Hàm zeta đường cong elliptic thỏa mãn giả thuyết Riemann ζE/Fq (s) = ζE/Fq (1 − s) Nếu V đa tạp xạ ảnh trơn N chiều, Z(V /Fq ; T ) hàm zeta V Khi q − s/2 Z(V /Fq ; q −s ) bất biến qua phép đổi biến s −→ N − s sai khác ±1 (Bài tập 5.2 tài liệu [1]) Chứng minh Đặt F (s) = q − s/2 Z(V /Fq ; q −s ) thực đổi biến s −→ N − s ta F (N − s) = q − (N −s)/2 Z(V /Fq ; q −N +s ) = q − (N −s)/2 Z(V /Fq ; Áp dụng kết phương trình hàm giả thuyết Weil F (N − s) = ±q − (N −s)/2 (q −s ) Z(V /Fq ; q −s ) Vì F (N − s) = ±q − s/2 Z(V /Fq ; q −s ) Vậy hàm q − s/2 Z(V /Fq ; q −s ) bất biến qua phép đổi biến s −→ N − s sai khác ±1 35 Footer Page 37 of 161 ) q N q −s Header Page 38 of 161 Tài liệu tham khảo [1] Joseph H Silverman, The Arithmetic of elliptic curves, Springer Dordrecht Heidelberg London New Yord 2009 [2] M F Atiyah and I G Macdonald, Introduction to commutative Algebra, Addison wesley publishing company Reading Massachusetts, California, London, Don Mills 1969 [3] Robin Hartshorne, Algebraic Geometry, Springer-Verlag, NewYork 1977 Graduate Texts in Mathematics, No.52 [4] Phạm Thanh Tâm, Đường cong Elliptic trường hữu hạn, Luận văn thạc sỹ Viện toán học , Viện Hàn Lâm khoa học Việt Nam, 2012 36 Footer Page 38 of 161 ... 26 of 161 Chương Tập điểm đường cong Elliptic trường hữu hạn Cho F trường hữu hạn, E đường cong Elliptic xác định F Do có hữu hạn cặp (x,y) , x, y ∈ F, nhóm E(F) hữu hạn Nhóm có nhiều tính chất,... thuyết đường cong Elliptic 2.1 Số điểm hữu tỉ Định nghĩa 2.1.1 Cho E/Fq đường cong elliptic xác định trường hữu hạn Một điểm P ∈ E xác định Fq gọi điểm hữu tỉ E Tập điểm hữu tỉ đường cong elliptic. .. 15 Đường cong Elliptic 16 1.4.1 Luật nhóm đường cong Elliptic 18 1.4.2 Đẳng giống 19 Tập điểm đường cong Elliptic trường hữu hạn 24 2.1 Số điểm hữu