Đang tải... (xem toàn văn)
Đây là chuyên đề tổng hợp một số ứng dụng của đạo hàm trong giải PTHPTBPT và BĐT Cực trị. Gồm 50 bài toán có hướng dẫn và giải. Chúng ta đều biết công thức tính và những quy tắc tính đạo hàm của hàm của những hàm số cơ bản như hàm đa thức, hàm phân thức, hàm lượng giác. Tuy nhiên, chúng ta cũng đặt ra câu hỏi: “Vậy tính đạo hảm để phục vụ điều gì? Phải chăng đạo hàm không có ý nghĩa gì khác ngoài việc xét tình đồng biến nghịch biến thôi sao?” Chắc chắn không phải vậy. Đạo hàm là một công cụ mạnh, có rất nhiều ý nghĩa và công dụng, không chỉ trong Toán học mà còn phục vụ nhiều ngành khác như Vật lý, Hóa học, Sinh học, Thiên văn học, Tin học,…
Ứng dụng đạo hàm vungocquanghuy2000@gmail.com CHUYÊN ĐỀ: ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM I) Mở đầu Chúng ta biết công thức tính quy tắc tính đạo hàm hàm hàm số hàm đa thức, hàm phân thức, hàm lượng giác Tuy nhiên, đặt câu hỏi: “Vậy tính đạo hảm để phục vụ điều gì? Phải đạo hàm ý nghĩa khác việc xét tình đồng biến nghịch biến sao?” Chắc chắn Đạo hàm công cụ mạnh, có nhiều ý nghĩa công dụng, không Toán học mà phục vụ nhiều ngành khác Vật lý, Hóa học, Sinh học, Thiên văn học, Tin học,… Để giúp bạn cảm thấy thêm vẻ đẹp toán học nói chung đạo hàm nói riêng, chuyên đề này, giới thiệu số ứng dụng đạo hàm giải phương trình, hệ phương trình, bất đẳng thức, cực trị Các toán đưa tăng dần độ khó mực độ vận dụng.Trong tập “Có chí nên” Ứng dụng đạo hàm vungocquanghuy2000@gmail.com chuyên đề này, đưa lời giải, nêu nhận xét hướng tiếp cận phương pháp toán Sau đây, nhắc lại số qui tắc công thức tính đạo hàm II) Một số qui tắc công thức tính đạo hàm 1) Bảng đạo hàm hàm số Hàm số Đạo hàm Hàm số Đạo hàm yc y tan x cos x yx y cot x 1 sin x y xn n x n 1 y ex ex 1 x2 y ln x a x ln a y ax x y log a x ln a x y x y x x y sinx cos x y cos x sinx 2) Đạo hàm hàm hợp Ta xét hàm số hợp y f u x Ta tính đạo hàm hàm số cho theo x sau: y '( x ) f '(u).u '( x ) “Có chí nên” Ứng dụng đạo hàm vungocquanghuy2000@gmail.com 3) Các phép toán tính đạo hàm Cho hai hàm số y u( x), y v( x) Khi đó: (u v)' u ' v ' (u v)' u ' v ' (uv ) ' u ' v uv ' (ku)' k.u ' u u ' v uv ' ' v2 v Như vậy, ta ôn lại số công thức tính đạo hàm Sau đây, xin trình bày số ứng dụng đạo hàm “Có chí nên” Ứng dụng đạo hàm vungocquanghuy2000@gmail.com III) ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH Nhắc lại: Việc ứng dụng đạo hàm giải phương trình, hệ phương trình chủ yếu nằm việc xét tình đơn điệu hàm số để nghiệm đưa phương trình cấu trúc hàm đạo hàm hàm đặc trưng Sau số ví dụ cụ thể 1) Một số toán Bài toán 1: Bài toán mở đầu: Giải phương trình: x x Giải: Điều kiện: x Xét f ( x) x x xác đinh ; ta thấy 2 f '( x ) 4x 1 0x ; 4x 1 2 4x 1 Do f ( x ) đồng biến TXĐ nên phương trình có nghiệm, nghiệm Nhận thấy phương trình có nghiệm x 1 nên phương trình có nghiệm x 2 Nhận xét: Đây toán Nhận thấy phương trình cho hàm theo x , ta liền nghĩ đến ý tưởng xét đạo hàm f ( x ) để khảo sát tính đơn điệu, từ nghiệm khẳng định nghiệm Sau khái quát hơn: “Có chí nên” Ứng dụng đạo hàm vungocquanghuy2000@gmail.com Bài toán 2: Giải phương trình: x x2 x Giải: TXĐ: 1; Ta xét: f ( x ) x f '( x ) 0, x 1; nên f ( x ) đồng biến x 1 TXĐ Lại có g ( x) x x g '( x) 3x 0x nên g ( x) nghịch biến TXĐ Do phương trình f ( x) g ( x) có nghiệm có nghiệm nhất, dễ thấy x Nhận xét: Bài toán khái quát so với toán đầu tiên, ý tưởng đạo hàm để xét tính đơn điệu sử dụng hai vế Tuy nhiên, thuộc dạng không nhiều đơn giản Sau giới thiệu số toán sử dụng phương pháp đưa hai vế cấu trúc hàm dùng đạo hàm để giải Bài toán 3: x x 2 x 1 Hướng dẫn: Tập xác đinh: ; 2 Ta biến đổi để hai vế phương trình cấu trúc hàm Tuy vậy, vế phải biểu thức chứa căn, ta phân tách được, nên ta dự đoán thêm bớt để vế phải trở thành hàm bậc hai theo biến x Thật vậy: Phương trình tương đương: “Có chí nên” Ứng dụng đạo hàm vungocquanghuy2000@gmail.com ( x 1) x x 2 x ( x 1) 2( x 1) (2 x 1) 2 x Nhận thấy phương trình đưa dạng có cấu trúc hàm, ta xét hàm đặc trưng: Xét hàm: f (t ) t 2t , t f '(t ) 2t 0, t 1 , dễ thấy: 1 Do theo tính chất, ta thu được: x x Đến đây, phương trình đưa dạng Bạn đọc tự giải nốt Nhận xét: Đây toán phương pháp đưa hai vế cấu trúc hàm Để làm rõ hơn, ta tìm hiểu toán hệ phương trình cao cấp hơn: Bài toán (ĐH A- 2013): Giải hệ phương trình: x x y y 2 x x( y 1) y y Hướng dẫn: Ta biến đổi phương trình (1) chút: x 1 x 1 y4 y4 Nhận thấy phương trình (1) đưa dạng hai vế có cấu trúc hàm Xét hàm đặc trưng: f (t ) t t TXĐ 0; Dễ thấy f '(t ) 1 0x TXĐ Do ta được: x y thay vào phương t2 t trình (2), biến đổi ta thu được: y ( y y y 4) y y 2y y “Có chí nên” Ứng dụng đạo hàm vungocquanghuy2000@gmail.com Xét hàm g ( y ) y y y , dễ thấy g '( y ) y y 0y nên phương trình g ( y ) có nghiệm y x Nhận xét: Bài toán nâng cấp lên từ bước thành hai bước dùng đạo hàm, ta cần phải kết hợp khéo léo hai phương pháp đưa lời giải Tuy nhiên, việc xét dấu đạo hàm toán vẫn dễ dàng Sau mốt số toán cấp độ cao mà ta cần khôn khéo việc xử lí điều kiện: x y y 28 Bài toán 5: Giải hệ phương trình: 2 x y xy y 18 Nhận thấy phương trình (1) (2) phân tích thành nhân tử, phương trình (2) hệ số tự số vô tỷ, ta thử biến đổi hai phương trình để thực phương pháp thế: y ( x y ) 28 PT tương đương: y ( x y ) 18 Ta đánh giá điều kiện x y Từ phương trình (2), ta rút x ra, được: 34 x y thay vào phương trình (1): y y y 28 y y Đặt t y ta thu t t 28t , dễ dàng chứng minh hàm f (t ) đồng biến 0; mà ta nhận thấy cặp số ( x, y) (2 2; 2) thỏa mãn phương trình nên nghiệm “Có chí nên” Ứng dụng đạo hàm vungocquanghuy2000@gmail.com Sau ví dụ từ mức độ đến vận dụng cao, có lẽ bạn phần nắm số đường lối để giải mốt số phương trình hệ phương trình công cụ đạo hàm Sau đây, xin đưa số tập vận dụng để bạn tham khảo thêm 2) Một số tập vận dụng Bài toán 6: Giải phương trình: x 13 x x 24 x Bài toán 7: Giải phương trình: x x x Bài toán 8: Giải phương trình: (1 cos x)(2 4cos x ) 3.4cos x (Gợi ý: Sử dụng định lý Roolle) Bài toán 9: Giải phương trình: sin sin x cos cos2 x 2sin x.sin 3x cos x cos x 2 2 Bài toán 10: Tìm m để phương trình: x x x x m có nghiệm (Gợi ý: Sử dụng bảng biến thiên) Bài toán 11: Tìm m để phương trình: x x m có nghiệm Bài toán 12: Tìm m để phương trình: x x x x m có nghiệm Bài toán 13: Tìm m để phương trình: x m x x có nghiệm x 3x x 12 y y y Bài toán 14: Giải hệ phương trình: 2 x y x y “Có chí nên” Ứng dụng đạo hàm vungocquanghuy2000@gmail.com Bài toán 15: Giải hệ phương trình: x x x 2 x y x y 80 y 1 y y y 10 y 14 y 52 ( x 1) 3x x 26 Bài toán 16: Giải hệ phương trình: 2 3x y 10 x x y x2 x Bài toán 17*: Giải hệ phương trình: 3 3 y ( y 3) 11( y 4) 13 x 3x Bài toán 18*: Giải hệ phương trình: 3 x x x y y x y y x 2x y Bài toán 19*: Giải hệ phương trình: 3(3x 2) y x x x y x 2 4 y y y 10 x x x x 2 x Để làm hết số tập tự luyện này, bạn cần phải đọc thật kỹ ví dụ lý thuyết có tảng để giải Trong khuôn khổ chuyên đề, nêu hết lời giải được, hy vọng bạn trao đổi vào dịp khác Tiếp theo, xin giới thiệu Một số ứng dụng đạo hàm việc tìm cực trị hàm số “Có chí nên” Ứng dụng đạo hàm vungocquanghuy2000@gmail.com IV) MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM TRONG TÌM CỰC TRỊ HÀM SỐ Để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số miền ta thường xét tính đồng biến, nghịch biến hàm Nhắc lại: Cho hàm số f ( x ) xác định miền D thì: +) m max f ( x) m f ( x)x D +) M max f ( x) m f ( x)x D Trong khuôn khổ chuyên đề, lập chi tiết tất bảng biến thiên được, vậy, xin phép nêu kết bảng biến thiên! 1) Một số toán Bài toán 1: Bài toán mở đầu: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số: f ( x) x x2 Giải: Điều kiện: 2 x Ta có f '( x ) x2 x2 f '( x ) x 2 Lập bảng biến thiên: “Có chí nên” Ứng dụng đạo hàm vungocquanghuy2000@gmail.com Từ bảng biến thiên, ta tìm Maxf ( x ) x Minf ( x ) 2 x Nhận xét: Để tìm cực trị hàm số, ta làm theo bước: Bước 1: Tìm miền xác định hàm số Bước 2: Tính đạo hàm hàm hàm số giải phương trình f '( x) Bước 3: Lập bảng biến thiên Sau ta đến với ví dụ cao cấp hơn: Bài toán 2: Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số: y x 3x2 x Giải: Miền xác định: 1;3 Ta có: y ' 6x 3x x 3x x 3x 3x x nên: y ' 3x x 3x x Lập bảng biến thiên: Dựa vào BBT ta thu Maxy x Miny x 1 “Có chí nên” Ứng dụng đạo hàm vungocquanghuy2000@gmail.com Nhận xét: Ở toán này, việc giải phương trình tìm nghiệm hàm đạo hàm khó khăn Tuy nhiên việc xử lí điều kiện đơn giản Sau ta tìm hiểu hàm khó hàm lượng giác Bài toán 3: Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số: y 5cos x cos5 x với x 4 Giải: Xét y ' 5sin x sin 5x k x y ' 5sin x sin x (k ) x k Mà x nên x , x 0, x 4 Dựa vào bảng biến thiên, ta tìm Maxy 3 x Miny x Bài toán 4: Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình: x ax 0, a a2 Tìm a để A x14 x24 Nhận xét: Đề cho phương trình bậc hai hai nghiệm, gợi ta nhớ đến định lý Viete x1 x2 a Giải: Theo định lý Viete ta có: x1 x2 a “Có chí nên” Ứng dụng đạo hàm vungocquanghuy2000@gmail.com Vậy A x14 x24 ( x12 x22 )2 x12 x22 ( x1 x2 ) x1x2 x12 x22 A a A' a4 a4 a 8 a4 Lập bảng biến thiên, ta tìm A a Sau lớp hàm biến, ta xét sang lớp hàm nhiều biến, mà điển hình bất đẳng thức cực trị hay, khó đề tuyển sinh ĐHCĐ Thực chất việc tìm cực trị hàm nhiều biến ta thực đánh giá trung gian để đưa hàm biến tính đạo hàm Bài toán 5: (ĐH khối B-2007): Cho số thực không âm a , b, c có tổng Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A 3 a 2b2 3 ab Hướng dẫn: Đặt ab x nên ab x ( a )2 a 1 x 0; 3 Ta đánh giá biểu thức cho để chuyển hàm biến: A 3 a 2b 3 ab 3 ab a 3x x Xét hàm số f ( x ) 3x x , x 0; f '( x ) 3x x x 3 18 Lập bảng biến thiên, ta tìm A f ( x) f (0) Dấu xảy chẳng hạn x y 0, z Nhận xét: Đây toán hay, đòi hỏi phải biến đổi khéo léo Ta phải qua đánh giá trung gian để chuyển lớp hàm biến “Có chí nên” Ứng dụng đạo hàm vungocquanghuy2000@gmail.com Bài toán 6: Cho a, b hai số thực thỏa mãn 2(a b2 ) ab (a b)(ab 2) Tìm a b3 a b2 2 3 a b a b GTNN: P Hướng dẫn: Xử lí điều kiện: 2(a b2 ) ab (a b)(ab 2) a 2b ab2 2(a b) a b 1 1 a ( a b) b a a b a b 1 a b Theo BĐT AM-GM ta có: (a b) 2 a a b b a Đặt t , t b b a b a P 4t 9t 12t 18 f (t ) nên f '(t ) t 1, t Lập bảng biến thiên, ta tìm MinP 23 (a, b) (1, 2);(2,1) a Bài toán 7: Cho a , b, c số thực đoạn ;3 Tìm GTLN: P 3 ab Nhận xét: Đây toán khó cần đánh giá hay phải chia trường hợp để giải Ngoài cần phải dùng đến kĩ thuật gọi số biến thiên, coi biến số số Kĩ thuật sử dụng nhiều toán Sau xin trình bày lời giải: Hướng dẫn: Coi P hàm theo biến a thì: P '( a ) b c (b c )( a bc ) ( a b) ( c a ) ( a b) ( a c ) W.L.O.G giả sử a b c b c 0, a bc P '(a ) P( a ) P(3) b c f ( c) b3 bc c3 “Có chí nên” Ứng dụng đạo hàm vungocquanghuy2000@gmail.com Coi P(3) hàm theo c f '(c) b (b 3)(3b c ) 0 (b c ) ( c 3) (b c ) (c 3) 3b Do f (c) f g ( b) b 3b 10 Tương tự ta suy g (b) g (1) Vậy P(a, b, c) (a, b, c) 3,1, hoán vị 3 Vậy vừa qua nhiều tập vận dụng, từ mức độ đến mức độ khó Sau đây, xin đưa thêm số tập tương tự để bạn đọc giải 2) Một số tập tương tự 2.1) Lớp hàm biến Bài toán 8: Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số y x 3x x đoạn 1;1 Bài toán 9: Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số f ( x) s inx+1 sin x s inx Bài toán 10: Tìm giá trị lớn nhỏ có hàm số Bài toán 11: Tìm giá trị lớn nhỏ có hàm số f ( x) x x 1 Bài toán 12: Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số f ( x ) x (1 x )2 “Có chí nên” f ( x) x 1 x2 Ứng dụng đạo hàm vungocquanghuy2000@gmail.com Bài toán 13: Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số f ( x) | x 3x | với 2 x Bài toán 14: Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số f ( x ) x 2 | x | 2 Bài toán 15*: Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số f ( x) x 6ax a 2 x 2.2) Lớp nghiệm phương trình Bài toán 16: Gọi x1 , x2 nghiệm phương trình: 12 x 6mx m 12 0 m2 3 Tìm m để A x1 x2 đạt giá trị lớn nhỏ x1 x2 a 2 x1 , x2 Bài toán 17: Giải sử nghiệm phương trình: x1 x2 a Tìm giá trị nhỏ biểu thức F x1 x2 2( x1 x2 ) 2.3) Lớp tìm điều kiện để đạt cực trị Bài toán 18: Xác định a để giá trị nhỏ hàm số y x (2a 1) x a a miền 1;2 2 Bài toán 19: Cho phương trình: x (a 1) x a Tìm a để tổng nghịch đảo hai nghiệm phương trình nhỏ 2.4) Lớp cực trị ba biến Bài toán 20: Tìm giá trị nhỏ hàm số “Có chí nên” Ứng dụng đạo hàm vungocquanghuy2000@gmail.com x2 y x y f ( x, y ) x y x x, y y Bài toán 21: Tìm giá trị nhỏ hàm số x4 y4 x2 y x y f ( x, y ) x x y x y y với x, y Bài toán 22: Cho hai số nguyên dương x, y có tổng Tìm giá trị nhỏ hàm số: f ( x, y ) x y 1 2 x y 2 2 Bài toán 23: Cho hai số nguyên dương x, y thỏa mãn x y x y y x Tìm giá trị nhỏ hàm số: f ( x, y ) x y 1 2 x y 2 Bài toán 24: Cho hai số x, y thỏa mãn x xy y xy ( x y ) Tìm max: A 1 3 x y Bài toán 25: Cho a, b, c thỏa mãn a b c Chứng minh rằng: a abc 2 Bài toán 26: Cho hai số x, y thỏa mãn x y xy Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất: P x4 y4 x2 y2 Bài toán 27: Cho hai số dương x, y thỏa mãn xy x y Chứng minh: 3x 3y xy x2 y2 y 1 x 1 x y “Có chí nên” Ứng dụng đạo hàm vungocquanghuy2000@gmail.com Bài toán 29*: (ĐH Khối A 2009) Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn x( x y z ) yz Chứng minh rằng: ( x y )3 ( x z )3 3 ( x y ) 5( y z )3 2.4) Lớp lượng giác Bài toán 30: Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số ; y sinx+cosx+tanx+cotx đoạn Bài toán 31: Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số: y 3cos4 x 4sin x 3cos4 x cos x Bài toán 32: Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số y 2(1 sin x cos x ) (cos x cos8 x ) Bài toán 33: Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số: y sin x cos x Bài toán 34: Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số: y cos x 1 cos x 4 cos x cos x Bài toán 35: Cho tam giác ABC thỏa mãn A B C Tìm giá trị nhỏ nhất: f ( x) x sin A x sin C x sin B 1 x sin C “Có chí nên” Ứng dụng đạo hàm vungocquanghuy2000@gmail.com V) Kết thúc Đạo hàm công cụ hữu ích, có nhiều ứng dụng lĩnh vực Hình học, Vật lý, Hóa học, Trong chuyên đề này, với khoảng 50 toán, trình với bạn hai ứng dụng đạo hàm đại số phương trình, hệ phương trình cực trị, bất đẳng thức Hy vọng chuyên đề nhỏ giúp bạn cảm thấy học đạo hàm nói riêng học Toán nói chung thêm phần ý nghĩa Chắc chắn tài liệu chưa hoàn chỉnh, mong nhận đóng góp bạn đọc địa email Xin chân thành cảm ơn! “Có chí nên” Ứng dụng đạo hàm vungocquanghuy2000@gmail.com TÀI LIỆU THAM KHẢO: - diendantoanhoc.net - artofproblemsolving.com - toanhocbactrungnam.com - tailieu247.com - ebooks012.com “Có chí nên” Ứng dụng đạo hàm vungocquanghuy2000@gmail.com “Có chí nên” ... tính đạo hàm Sau đây, xin trình bày số ứng dụng đạo hàm “Có chí nên” Ứng dụng đạo hàm vungocquanghuy2000@gmail.com III) ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH Nhắc lại: Việc ứng. .. khoảng 50 toán, trình với bạn hai ứng dụng đạo hàm đại số phương trình, hệ phương trình cực trị, bất đẳng thức Hy vọng chuyên đề nhỏ giúp bạn cảm thấy học đạo hàm nói riêng học Toán nói chung... PHƯƠNG TRÌNH Nhắc lại: Việc ứng dụng đạo hàm giải phương trình, hệ phương trình chủ yếu nằm việc xét tình đơn điệu hàm số để nghiệm đưa phương trình cấu trúc hàm đạo hàm hàm đặc trưng Sau số ví dụ