B GIO DC V O TO TRNG I HC S PHM H NI KHOA TON NGUYN TH HU DNG TON PHNG V MT S VN LIấN QUAN KHểA LUN TT NGHIP I HC H Ni Nm 2016 B GIO DC V O TO TRNG I HC S PHM H NI KHOA TON NGUYN TH HU DNG TON PHNG V MT S VN LIấN QUAN Chuyờn ngnh: Hỡnh Hc KHểA LUN TT NGHIP I HC NGI HNG DN KHOA HC: ThS Trn Vn Ngh H Ni Nm 2016 Li cm n Em xin by t lũng bit n chõn thnh ti ThS Trn Vn Ngh, ngi thy ó truyn th kin thc, tn tỡnh giỳp , hng dn em sut quỏ trỡnh hc tp, nghiờn cu v hon thin khúa lun ny Em xin gi li cm n ti cỏc thy cụ giỏo trng i hc S phm H Ni 2, cỏc thy cụ giỏo khoa Toỏn ó giỳp em quỏ trỡnh hc ti trng v to iu kin cho em hon thnh khúa lun ny Trong quỏ trỡnh nghiờn cu, khụng trỏnh nhng sai sút v hn ch Em kớnh mong nhn c s úng gúp ý kin ca cỏc thy giỏo, cụ giỏo v ton th bn c khúa lun c hon thin hn Em xin chõn thnh cm n ! H Ni, ngy 04 thỏng 05 nm 2016 Sinh viờn Nguyn Th Hu i Li cam oan Em xin cam oan di s hng dn ca thy giỏo Trn Vn Ngh khúa lun ca em c hon thnh khụng trựng vi bt kỡ ti no khỏc Trong lm khúa lun ny, em ó k tha thnh qu khoa hc ca cỏc nh khoa hc vi s trõn trng v bit n H Ni, ngy 04 thỏng 05 nm 2016 Sinh viờn Nguyn Th Hu ii Mc lc Dng ton phng 1.1 1.2 1.3 1.4 nh x a tuyn tớnh 1.1.1 Cỏc nh ngha 1.1.2 Cỏc tớnh cht 1.1.3 Cỏc nh lý v h qu Dng song tuyn tớnh i xng v dng ton phng 1.2.1 Cỏc nh ngha 1.2.2 Ma trn ca dng song tuyn tớnh 10 1.2.3 Mnh 11 a biu thc ta ca dng ton phng v dng chớnh tc 12 1.3.1 nh ngha 12 1.3.2 nh lý 13 1.3.3 H qu 16 Hng v hch ca dng ton phng 17 1.4.1 nh ngha 17 1.4.2 nh lý 18 1.4.3 H qu 20 i Khúa lun tt nghip i hc 1.5 1.6 Nguyn Th Hu Ch s quỏn tớnh ca dng ton phng 20 1.5.1 nh ngha 20 1.5.2 nh lý Sylvester v ch s quỏn tớnh 21 1.5.3 H qu 24 1.5.4 Dng ton phng tng ng 24 1.5.5 B 26 1.5.6 nh lý Sylvester 28 Bi 28 Hm ton phng li 2.1 2.2 41 Hm li 41 2.1.1 nh ngha 41 2.1.2 nh lý 42 Hm ton phng li 44 Hm ton phng li suy rng 47 3.1 Hm ta li 47 3.2 Hm gi li 58 ng dng vo bi toỏn quy hoch toỏn hc 63 4.1 S tn ti nghim 63 4.2 iu kin cc tr 64 Kt lun 66 Ti liu tham kho 66 ii Khúa lun tt nghip i hc Nguyn Th Hu Li m u Lý chn ti Hỡnh hc l mt mụn hc quan trng, tng i khú chng trỡnh toỏn hc ph thụng, cú rt nhiu ng dng i sng ngi, hiu c nú ngi hc cn phi tng tng, t cao Vi mong mun c nghiờn cu sõu hn v hỡnh hc v tỡm hiu c nhiu phng phỏp gii toỏn hỡnh c hay hn, c th hn, trc quan hn, nhm chun b cho mỡnh lng kin thc tt cho cụng vic ging dy sau ny, em ó chn ti "Dng ton phng v mt s liờn quan" lm ti khúa lun tt nghip i tng, phm vi nghiờn cu i tng: Dng ton phng, hm ton phng v hm ton phng suy rng Phm vi: Nhng kin thc liờn quan n dng ton phng Nhim v nghiờn cu Nghiờn cu v dng ton phng v mt s ng dng Mc ớch nghiờn cu Nghiờn cu dng ton phng hiu sõu hn v dng ton phng v mt s ng dng ca nú Phng phỏp nghiờn cu Nghiờn cu qua sỏch giỏo khoa, sỏch tham kho, internet v cỏc ti liu liờn quan Ni dung khúa lun Ni dung khúa lun gm chng: iii Khúa lun tt nghip i hc Nguyn Th Hu Chng 1: Dng ton phng Chng ny trỡnh by nh ngha v dng ton phng, ma trn v biu thc ta ca dng ton phng, Hng v hch ca dng ton phng, Ch s quỏn tớnh v mt s bi liờn quan ti dng ton phng Chng 2: Hm ton phng li Chng ny trỡnh by cỏc nh ngha v hm ton phng, hm li v hm ton phng li Chng 3: Hm ton phng li suy rng m rng cho chng 2, chng ny chỳng ta tỡm hiu v nh ngha hm ta li v hm gi li Chng 4: ng dng vo bi toỏn quy hoch toỏn hc H Ni, ngy 04 thỏng 05 nm 2016 Sinh viờn Nguyn Th Hu iv Chng Dng ton phng 1.1 1.1.1 nh x a tuyn tớnh Cỏc nh ngha Gi s V v W l nhng khụng gian vecto trờn trng K, k N Ta gi ỏnh x : V ì V ì ããã ì V W `n k la , ( , ã ã ã , k ) (1 , , ã ã ã , n ) l mt ỏnh x a tuyn tớnh (hay k-tuyn tớnh) nu nú tuyn tớnh vi tng thnh phn c nh cỏc thnh phn cũn li Tc l, i , , ã ã ã , i + i , ã ã ã , k = (1 , ã ã ã , i , ã ã ã , k ) , ã ã ã , +à i , ã ã ã , k , , K, v` a , ã ã ã , k , i V, i = 1, 2, ã ã ã k Khúa lun tt nghip i hc Nguyn Th Hu c bit: Nu W = K thỡ c gi l k- tuyn tớnh trờn V Nu k = thỡ c gi l ỏnh x song tuyn tớnh nh x k-tuyn tớnh : V ì V ì ã ã ã ì V W c gi l thay phiờn (hay phn i xng) nu giỏ tr ca trờn k vecto ú cú vecto bng l Tc l (ã ã ã , ,ããã , , ã ã ã) = Cho V l k-khụng gian vecto n chiu v (e) = { e ,ããã e } l mt c s n ca V Xột h n-vecto 1, 2, ã ã ã , n V Gi s j = n aij ci , j = 1, n i=1 Gi A = (aij ) l ma trn lp nờn bi cỏc ct ta ca cỏc vecto 1, 2, ã ã ã , n i vi c s (e) Gi detA l nh thc ca h vecto , ,ããã , (e) n Ký hiu dete hay De Khi ú De l mt dng n-tuyn tớnh thay phiờn trờn V Kớ hiu An (V) l hp gm tt c cỏc dng n-tuyn tớnh thay phiờn trờn V thỡ An (V) lp thnh mt khụng gian vecto trờn trng K vi phộp cng hai dng n-tuyn tớnh thay phiờn v phộp nhõn mt dng ntuyn tớnh thay phiờn vi vụ hng c nh ngha nh sau: ( + ) ( 1, ã ã ã , n ) = ( 1, ã ã ã , n ) + ( 1, ã ã ã , n) ; () ( 1, ã ã ã , n ) = ( 1, ã ã ã , n) vi , An (V) v K Khúa lun tt nghip i hc Nguyn Th Hu Vi |t| nh h(0 + t) h(0 ) = f (x0 + t(x y)) f (x0 ) = t2 (x y), f (x0 + t(x y))(x y) > Trong ú (0, 1) iu ny vụ lý vỡ khụng l cc i ca h trờn [0, 1] nh ngha 3.2 Ta núi hm f : X R l ta tuyn tớnh trờn li X Rn nu f v f u ta li trờn X, ngha l vi bt kỡ x, y X, (0, 1) ta cú {f (x), f (y)} f (x + (1 )y) max {f (x), f (y)} nh lý 3.7 Nu cỏc mc Y (f, ) = {x X|f (x) = } li, R v f liờn tc trờn li X Rn thỡ f l ta tuyn tớnh trờn X Chng minh Ta i chng minh f l hm ta li Cho f (x) f (y), gi s phn chng rng tn ti (0, 1) cho f (x + (1 )y) > f (y) Vỡ f liờn tc nờn ta cú th tỡm c x0 = x + (1 )y nm gia x v x + (1 )y ngha l [, 1] cho f (x0 ) = f (y) < f (x + (1 )y) 54 (1) Khúa lun tt nghip i hc Nguyn Th Hu Vỡ nm gia x0 v y Ta cú x + (1 )y = x + 0 y, [0, 1] v f (x0 ) = f (y) Theo tớnh li ca cỏc mc ca f , ta cú f (x + (1 )y) = f (x0 ) = f (y) (2) T (1) v (2) suy mõu thun Vy f ta li Vỡ iu kin ca nh lý cng ỳng cho f nờn f cng ta li Vy f ta tuyn tớnh nh lý 3.8 Cho f kh vi trờn li m X Rn Khi ú f ta tuyn tớnh trờn X v ch x, y X, f (x) = f (y) (x y), f (y) = Chng minh [] Gi s f ta tuyn tớnh v f (x) = f (y) Khi ú (x y), f (y) = [] Cho f (x) f (y), gi s (x y), f (y) > c f (x) < f (y) p dng nh lý Darboux cho hm h() = f (x + (1 )y) trờn on [0, 1] ta cú th tỡm c x0 [x, y) cho f (x0 ) = f (y) Theo gi thit ca nh lý ta cú: (x y), f (y) = v suy vi 55 Khúa lun tt nghip i hc Nguyn Th Hu (0, 1] ta cú = [0 x + (1 )y y] , f (y) = [x (1 )x + (1 )y y] , f (y) = (x y), f (y) Mõu thun vi gi thit Do ú f ta li v f cng ta li Vy f ta tuyn tớnh nh ngha 3.3 Hm f : X R xỏc nh trờn li X Rn c gi l ta li cht trờn X nu vi x, y X, x = y, (0, 1) tựy ý f (x + (1 )y) max {f (x), f (y)} nh lý 3.9 Cho f kh vi trờn li m X Rn Khi ú f ta li cht trờn X v ch x X, y Rn , y = 0, y, f (x) = gx,y (t) = f (x + ty), xỏc nh vi t nhng khụng t cc i a phng ti t = Chng minh Gi s rng ta cú f ta li cht v y, f (x) = Gi s iu kin nờu nh lý khụng ỳng Vi t nh ta cú x 2ty X, f (x 2ty) f (x) Theo nh ngha ca tớnh ta li cht ta cú f (x ty) < f (x) M f (x) < max {f (x + ty), f (x ty)} < f (x) vụ lý Ly x, y X, x = y v gi s iu kin ca nh lý c tha món, 56 Khúa lun tt nghip i hc Nguyn Th Hu f (x) f (y) Gi s cú (0, 1) vi f (x + (1 )y) f (y) Theo nh lý Weierstrass, ta tỡm c (0, 1) hm g() = f (x + (1 )y) = f (y + (x y)) t cc i trờn [0, 1] V ú g (0 ) = (x y), f (y + (x y)) = Mõu thun vi gi thit nh lý c chng minh nh ngha 3.4 Hm f : X R xỏc nh trờn li X Rn c gi l ta li na cht trờn X nu vi x, y X, f (x) < f (y), (0, 1) f (x + (1 )y) < f (y) Hay mt cỏch tng ng f (x) = f (y), (0, 1) : f (x + (1 )y) < max {f (x), f (y)} nh lý 3.10 Cho f na liờn tc di trờn li X Rn Khi ú nu f ta li na cht trờn X thỡ f ta li Chng minh Gi s rng ta cú x, y X, f (x) < f (y), (0, 1) f (x + (1 )y) < f (y) Ly x, y X Nu f (x) < f (y) thỡ hin nhiờn f ta li Gi s f (x) = f (y) Bng phn chng ta ch rng khụng tn ti x {(x + (1 )y) : (0, 1)} cho f (y) < f (x) iu ny s 57 Khúa lun tt nghip i hc Nguyn Th Hu chng t f ta li Gi s x on m (x, y) cho f (y) < f (x) Khi ú x = {x|f (y) < f (z), z (x, y)} Vỡ f na liờn tc di trờn X, m tng i trờn (x, y) tn ti x (x, y) Vỡ f ta li na cht, x, x , ta cú f (y) < f (x) f (x) < f (x), v f (x) < f (x) f (x) < f (x), mõu thun Do ú khụng tn ti x nh th Vy f ta li trờn X Vớ d: Vớ d ny ch iu ngc li trũn nh lý khụng ỳng Ly f : R R, x x f (x) = < x < x x Ta thy f ta li trờn R nhng vi x = 12 , y = 2, = 10 ta cú f (x) < f (y) v f (x + (1 )y) = f (y) 3.2 Hm gi li nh ngha 3.5 Cho f : X R l hm kh vi trờn m X Rn Ta núi f gi li trờn X nu x, y X, (x y), f (y) 0, f (x) f (y) 58 Khúa lun tt nghip i hc Nguyn Th Hu Hoc mt cỏch tng ng x, y X, f (x) < f (y) (x y), f (y) < Hm f c gi l gi lừm nu f gi li Vớ d: Hm f : R R, f (x) = x3 x gi li trờn R nhng khụng li trờn R nh ngha hm gi li trng hp tng quỏt nh sau nh ngha 3.6 Ta núi hm f : X R l gi li trờn li X Rn nu ta cú vi x, y X, (0, 1) f (x) < f (y) f (x + (1 )y) f (y) (1 )(x, y), ú (x, y) l mt s dng ph thuc vo x v y nh ngha 3.7 Cho f : X R xỏc nh trờn li m X Rn Nu f v f u gi li thỡ ta núi f l hm gi tuyn tớnh nh ngha 3.8 Cho f : X R l hm kh vi trờn m X Rn Ta núi f gi li cht trờn X nu x, y X, x = y, f (x) f (y) (x y), f (y) < Hoc mt cỏch tng ng x, y X, x = y, (x y), f (y) f (x) > f (y) nh lý 3.11 Cho f : X R l hm kh vi trờn li m X Rn 59 Khúa lun tt nghip i hc Nguyn Th Hu Khi ú f gi li trờn X v ch x X, y = 0, y, f (x) = g(t) = f (x + ty) xỏc nh vi t 0, t cc tiu a phng ti t = Chng minh [] Gi s f gi li v tf (x) 0, t Ta cú f (x + ty) f (x), ngha l g(t) = f (x + ty) t cc tiu ti t = [] Gi s iu kin ca nh lý c tha v (x y), f (y) Ta s ch rng f (y) f (x) Xột hm g(t) = f (y + t(x y)), t [0, 1] v gi s phn chng rng f (x) < f (y) ngha l g(1) < g(0) Nu g (0) > 0, ngha l (x y), f (y) > thỡ g t cc i ti mt im t0 (0, 1) Vỡ vy g (t0 ) = 0, ngha l (x y), f (y + t0 (x y) = M t0 khụng l im cc tiu a phng ca g, mõu thun vi gi thit Nu g (0) = 0, ngha l (x y), f (y) = 0, theo gi thit t = l cc tiu a phng ca g, ngha l y l cc tiu a phng ca f Theo gi thit phn chng g(1) < g(0) suy tn ti mt im cc i a phng t0 (0, 1) ca g Suy g (0) = mõu thun vi gi thit nh lý 3.12 Cho f : X R l hm kh vi liờn tc hai ln trờn 60 Khúa lun tt nghip i hc Nguyn Th Hu li m X Rn Khi ú f gi li trờn X v ch vi mi x X: i) f (x) = y, f (x)y 0; ii) Nu nh f (x) = thỡ f cú cc tiu a phng ti x nh lý 3.13 Cho f : X R, ú X Rn l mt li m ú cỏc mnh sau tng ng: i) f l gi tuyn tớnh; ii) Vi tựy ý x, y X, (x y), f (y) = v ch f (x) = f (y) Chng minh Gi s f l gi tuyn tớnh Khi ú, theo nh ngha ta cú (x y), f (y) = f (x) = f (y) Vỡ f cng ta tuyn tớnh nờn ta cú f (x) = f (y) (x y), f (y) = iu kin ii) cú th vit c di dng y, f (x) = f (x + ty) = f (x), t, x + ty X Ngha l, y, f (x) = 0, hm g(t) = f (x+ty) t cc tiu ti t = Vy c f v f u gi li nờn f gi tuyn tớnh nh lý 3.14 Cho f : X R l hm kh vi trờn li m X Rn Khi ú f gi li cht trờn X v ch x X, y = 0, y, f (x) = g(t) = f (x + ty) xỏc nh vi t 0, t cc tiu a phng cht ti t = 61 Khúa lun tt nghip i hc Nguyn Th Hu nh lý 3.15 Cho f : X R l hm kh vi liờn tc hai ln trờn li m X Rn Khi ú f gi li cht trờn X v ch x X, y = 0, y, f (x) = hoc y, f (x)y > hoc y, f (x)y > v g(t) = f (x + ty) xỏc nh vi t 0, t cc tiu a phng cht ti t = 62 Chng ng dng vo bi toỏn quy hoch toỏn hc Xột bi toỏn quy hoch ton phng cú dng f (x) = xT Qx + q T x (QP ) x C = x Rn : g(x) = xT Q x + q T x + b 0, i = 1, ã ã ã , m i i i Trong ú Q, Q1 , ã ã ã , Qm l cỏc ma trn thc i xng; xT l ma trn chuyn v ca x; q, q1 , ã ã ã qm Rn ; b1 , ã ã ã bm R 4.1 S tn ti nghim Nm 1956, Frank v Wolfe ó chng minh s tn ti nghim ca bi toỏn (QP ) cho tng trng hp Q1 , ã ã ã Qm l cỏc ma trn khụng nh lý 4.1 (nh lý Frank - Wolfe) Xột bi toỏn 63 Khúa lun tt nghip i hc Nguyn Th Hu f (x) = xT Qx + q T x (QP1 ) x C = x Rn : q T x + b 0, i = 1, ã ã ã , m i i Nu = inf {f (x) : x C1 } l mt s thc hu hn thỡ bi toỏn QP1 cú nghim Nm 1999, Luo v Zhang ó m rng nh lý Frank - Wolfe cho trng hp Q1 na xỏc nh dng (tc xT Q1 x 0, x Rn ) v Q2 , ã ã ã Qm l cỏc ma trn khụng nh lý 4.2 (nh lý Frank - Wolfe m rng) Xột bi toỏn f (x) = 12 xT Qx + q T x (QP2 ) x C2 = x Rn : 21 xT Q1 x + q1 T x + c1 0, qi T x + ci 0, i = 2, ã ã ã , m ú Q1 na xỏc nh dng Nu = inf {f (x) : x C2 } l mt s thc hu hn thỡ bi toỏn QP2 cú nghim 4.2 iu kin cc tr Nm 1971, Majthay ó a iu kin cn v cho nghim a phng ca bi toỏn (QP1 ) v nm 1980 Contesse ó hon thnh chng minh chi tit cho nh lý ny nh lý 4.3 (nh lý Majthay - Contesse) iu kin cn v cho x l nghim a phng ca bi toỏn (QP1 ) l tn ti Rn cho: 64 Khúa lun tt nghip i hc Nguyn Th Hu i) H m Qx + q + i (Qi x + qi ) = i=1 T qi x + ci 0, i = 1, ã ã ã , m i 0, i = 1, ã ã ã , m (q T x + c ) = 0, i = 1, ã ã ã , m i i i tha ii) Nu v Rn \0 tha qi T v = 0, i I1 v qi T v 0, i I2 , vi I1 = i : qi T x bi ; i > ; I2 = i : qi T x bi ; i = thỡ xT Qv Mi õy, [1] v [6] cỏc tỏc gi ó m rng cỏc kt qu ca nh lý Majthay-Contesse cho bi toỏn (QP ) v chng minh chi tit cho nh lý ny nh lý 4.4 Xột bi toỏn (QP ) vi I(x) = {i : gi (x) = 0} v x C Gi s vi mi i I(x), gi l hm ta li trờn mt li D C Nu hai iu kin di õy tha món: i) (Qx + q)T v 0, v T1 (x) = u Rn : Qi x + qi T u 0, i I(x) ; ii) v T Qv 0, v T1 (x) Qx + q (QP ) 65 thỡ x l nghim a phng ca Khúa lun tt nghip i hc Nguyn Th Hu KT LUN Trong khúa lun, em trỡnh by cỏc liờn quan n dng ton phng v ng dng ca dng ton phng vo bi toỏn quy hoch toỏn hc Sau quỏ trỡnh nghiờn cu, em ó tỡm hiu thờm c nhiu kin thc mi, ỳc rỳt cho mỡnh c mt s kin thc c bn v ó nghiờn cu Em cng hy vng nhng iu em trỡnh by khúa lun ny cú th giỳp cho vic nghiờn cu cỏc khỏc cú liờn quan ca hỡnh hc c thun li hn Vỡ thi gian v kin thc cú hn nờn khúa lun cũn nhiu thiu sút khú trỏnh Mong quý thy cụ v cỏc bn gúp ý khúa lun c hon thin hn Em xin chõn thnh cm n! 66 Ti liu tham kho [1] J.M Borwein, Necessary and sufficienet conditions for quadratic minimality, Nummerical Functionnal Analysis and Optimization , 5(1982), pp 127 - 140 [2] F.H.Clarke, Optimization and Nonsmooth Analysis, Wiley - Inter science, NewYork, 1983 [3] D.Ioffe, V.M.Tikhomirov, Lý thuyt cỏc bi toỏn cc tr, Nauka, Moskva, 1974 (ting Nga) [4] G.M.Lee, N.N.Tam, N.D.Yen, Quadratic Programming and affine variational inequality, Springer - Verlag, New York, 2005 [5] Vn Lu, Lý thuyt cỏc iu kin ti u, Nh xut bn Khoa hc v k thut, H Ni 1999 [6] T.V.Nghi, On optimallity condition of the local minimizer in quadratic program, manuscipt [7] R.T.Rockafellar, Convex Analysis, Princeton University Press, Princeton, New Jersey, 1970 67 Khúa lun tt nghip i hc Nguyn Th Hu [8] Phan Hng Trng, Giỏo trỡnh i s tuyn tớnh, Nh xut bn trng i hc s phm H Ni 2, 2001 68 ... phỏp gii toỏn hỡnh c hay hn, c th hn, trc quan hn, nhm chun b cho mỡnh lng kin thc tt cho cụng vic ging dy sau ny, em ó chn ti "Dng ton phng v mt s liờn quan" lm ti khúa lun tt nghip i tng,... Ti liu tham kho 66 ii Khúa lun tt nghip i hc Nguyn Th Hu Li m u Lý chn ti Hỡnh hc l mt mụn hc quan trng, tng i khú chng trỡnh toỏn hc ph thụng, cú rt nhiu ng dng i sng ngi, hiu c nú ngi hc...B GIO DC V O TO TRNG I HC S PHM H NI KHOA TON NGUYN TH HU DNG TON PHNG V MT S VN LIấN QUAN Chuyờn ngnh: Hỡnh Hc KHểA LUN TT NGHIP I HC NGI HNG DN KHOA HC: ThS Trn Vn Ngh H Ni Nm 2016