SKKN-Phng phỏp gii bi toỏn v a thc I Một số kiến thức Xét đa thức ẩn x với hệ số : a0 , a1, a2,., an f(x) = a0xn + a1xn-1 ++ an-1x + a n (a0# 0) f(c) = a0cn + a1cn-1 ++ an -1c + an giá trị đa thức c Nếu f(c) = c nghiệm đa thức f(x) nh lý Bdu: Phn d ca phép chia a thc f(x) cho nh thc x-a bng giá tr ca a thc ti x= a tc l: f(x)=(x-a).g(x)+f(a) Chng minh: Gi g(x) l a thc thng v r l s d : f(x)=(x-a).g(x)+r (*) x = a (*) f(a)=(a-a).g(a)+r hay r = f(a) (pcm) + Hệ 1: Nếu x=a nghiệm đa thức f(x) (x-a) Thật a nghiệm f(x) f(a) = hay r=0 f(x) = g(x) (x-a) hay f(x) (x-a) + Hệ 2: Phn d ca phép chia a thc f(x) cho nh thc ax+b bng giá tr ca a thc ti x= b a Tức f(x) = (ax+b)h(x) + f( b ) a Phơng pháp hệ số bất định : Gi s: f(x) = a0xn + a1xn-1 ++ an-1x + a n (a0# 0) g(x) = b0xn + b1xn-1 ++ bn-1x + b n Nu f(x) = g(x) vi nht n+1 giá tr phân bit ca x thì: an = bn ; an-1 = bn-1 ,, a = b1 ; a = b Chú ý : Bậc đa thức d nhỏ bậc đa thức chia Công thức truy hồi horner Khi chia đa thức bậc n f(x)=a0xn + a1xn-1 ++ an-1x + a n (a0# 0) cho x-c ta đợc thơng đa thức bậc (n-1) q(x) = b0xn-1 + b1xn-2 ++ bn-2x + b n-1 (b0# 0) số d r Ta có : Li Quang Tu-GV Trng THCS Cm Nhng SKKN-Phng phỏp gii bi toỏn v a thc a0x + a1x n n-1 ++ an-1x + a n= (x-c) (b0xn-1 + b1xn-2 ++ bn-2x + b n-1) +r a0xn + a1xn-1 ++ an-1x + a n= b0xn + b1xn-1 ++ bn-2x2 + b n-1x - cb0xn-1 - cb1xn-2 -- cbn-2x - cb n-1+r = b0xn + (b1 -b0c) xn-1 ++(bn-2 bn-3c) x2 +(bn-1 bn-2c) x+(r bn-1c) Sử dụng phơng pháp hệ số bất định ta tìm đợc hệ số đa thức thơng g(x) : b0 = a0 , b1= b0c+a1, b2= b1c+a2,,bk= bk-1c+ak với k=1, n II số dạng toán thờng gặp Xác định đa thức 1.1 Dạng 1: Xác định đa thứcbậc n ( n= 2,3, ) biết (n+1) giá trị đa thức : Phơng pháp giải : a) Phơng pháp : Lập giải hệ phơng trình Gọi đa thức bậc n cần tìm f(x) = a0xn + a1xn-1 ++ an-1x + a n với f(x1), f(x2),, f(xn+1) giá trị f(x) x 1, x2,, xn+1 Khi lập giải hệ sau ta tìm đợc hệ số a0, a1, ., an Thay vào ta đợc đa thức f(x) cần tìm : Ví dụ 1:Tìm đa thức f(x) biết chia cho x-2 d 5,chia cho x-3 d chia cho(x-2)(x-3) đợc thơng x2-1 d Giải:Gọi thơng phép chia đa thức f(x) cho x-2;x-3 lần lợt đa thức A(x) B(x),ta có: Li Quang Tu-GV Trng THCS Cm Nhng SKKN-Phng phỏp gii bi toỏn v a thc f(x)=(x-2).A(x)+5 (1); f(x)=(x-3).B(x)+7 (2) Gọi thơng phép chia đa thức f(x) cho (x-2)(x-3) đa thức C(x),phần d đa thức R(x).Vì (x-2)(x-3) đa thức bậc hai nên đa thức đa thức d đa thức bậc đó: R(x)=ax+b,ta có: f(x)=(x-2)(x-3).(1-x2)+ax+b với giá trị x (3) Vì (1);(2);(3) với giá trị x nên f(2)=5 hay 2a+b=5;f(3)=7 hay 3a+b=7 ta có hệ phơng trình 2a +b =5 3b +b =7 Từ ta tìm đợc a=2;b=1.Do đa thức phải tìm là: f(x)=(x-2)(x-3)(1-x2)+2x+1=-x4+5x3-5x2-5x+6 Ví dụ 2: Tìm a thc bc bit f(0) =10; f(1) = 12; f(2) = 4; f(3) =1 Gii: Gi a thc cn tìm l: f(x) = ax3 + bx3 + cx +d Theo bi ta có: f(0) = 10 d = 10 f(1) = 12 a f(2) = 4a + 2b + c = -3 (2) f(3) = 9a + 3b + c = -3 (3) +b+c=2 (1) T (1), (2), (3) ta có h phng trình: b+ c =2 a+ 4a +2b + c = 9a + 3b + c = Gii ta c: a = 25 ;b= ; c = 12 2 Vậy đa thức cần tìm : f(x) = 25 x - x + 12 x + 10 2 Li Quang Tu-GV Trng THCS Cm Nhng SKKN-Phng phỏp gii bi toỏn v a thc Chú ý: Trng hp ch bit n giá tr a thc tìm c có h s ph thuc mt tham s nh không cho thêm điều kiện khác b) Phơng pháp : Dùng đa thức phụ Xin đợc lấy toán ví dụ làm minh họa : Giả sử đa thức cần tìm f(x) Bc 1: t g(x) = f(x) + h(x) ây g(x) đa thức có bậc bậc đa thức f(x) h(x) l mt a thc có bc nh hn bc ca f(x) ng thi bc ca h(x) nh hn s giá tr ã bit ca f(x) Đây là ý quan trọng ta chọn h(x) Nh tìm f(x) thông qua việc tìm đa thức g(x) h(x) Trong đề bậc f(x) nên h(x) = ax2+bx+c ta có : g(x) = f(x) + ax2+bx+c Bc Tìm a,b,c để g(x1)=g(x2)=g(x3)= hay g(0)=g(1)=g(2)= 0 = 10 + c Tức : a, b, c l nghim ca h = 12 + a + b + c = + 4a + +2b + Giải h ta c: a = 5, b = -7, c = -10 Theo phơng pháp hệ số bất định ta có h(x) = 5x2 7x 10 Hay g(x) = f(x) + 5x2 7x 10, vi g(0) = g(1) = g(2) = Bc Xác nh f(x) Dựa vào điều kiện mà cha sử dụng f(3) = để tìm hệ số hạng tử có bậc cao f(x) (cũng g(x)) Do bc f(x) nên bc g(x) Li Quang Tu-GV Trng THCS Cm Nhng SKKN-Phng phỏp gii bi toỏn v a thc Mặt khác g(0) = g(1) = g(2) = nên theo hệ nên g(x) chia ht cho (x0), (x 1) (x 2) Gi k l h s ca hạng tử x3 ca a thc f(x) : g(x) = k.x(x 1)(x 2) f ( x ) = kx( x 1)( x 2) x + x + 10 Mt khác f(3) = k 3.2.1 5.9 + 7.3 +10 = 6k = 15 k= Vy a thc cn tìm l: f ( x) = hay f(x) = x( x 1)( x 2) x + x + 10 25 x +12 x +10 x 2 Vậy ta giải toán cách ngắn gọn sau : Đặt g(x) = f(x) + 5x2 7x 10 Theo ta có : g(0) = g(1) = g(2) = nên theo hệ nên g(x) chia ht cho (x-0), (x 1) và(x 2) Do bc f(x) nên bc g(x) Gi k l h s ca hạng tử x3 ca a thc f(x) g(x) = k.x(x 1)(x 2) f ( x ) = kx( x 1)( x 2) x + x + 10 Mt khác f(3) = k 3.2.1 5.9 + 7.3 +10 = 6k = 15 k= f ( x) = 5 x ( x 1)( x 2) x + x + 10 Vy a thc cn tìm l:f(x) = 25 x +12 x +10 x 2 Li Quang Tu-GV Trng THCS Cm Nhng SKKN-Phng phỏp gii bi toỏn v a thc Nhận xét : - cách thứ có nhiều tài liệu viết nhng không giải thích cách rõ ràng nên nhiều bạn đọc có phần lúng túng khó hiểu chỗ đặt g(x) = f(x) + 5x2 7x 10 Hy vọng qua viết bạn đọc khắc phục đợc tồn Ví dụ 3: Tìm a thc bc bit rng chia đa thức f(x) cho x 1, x 2,x u d v f(-1) =-18 Gii: Theo chia đa thức f(x) cho x 1, x 2,x u d Theo nh lý Bdu ta có f(1) = f(2) = f(3) =6 t g(x) = f(x) + ax2 + bx + c Tìm a, b, c g(1) = g(2) = g(3) = a, b, c l nghim ca h = +a +b +c = +4a +2b +c +6 +9a +3b +c a +b +c = 4a +2b +c = 9a +3b +c = Gii ta c: a = b = 0; c = -6 nên ta t g(x) = f(x) vi g(1) = g(2) = g(3) = Gọi n l h s ca hạng tử x3 a thc f(x) Do bc f(x) = nên bc g(x) = v g(x) chia ht cho(x1), (x2) (x3) g ( x) = n( x 1)( x 2)( x 3) f ( x ) = n( x 1)( x 2)( x 3) + Mt khác f(-1) = -18 -18 = n.(-2).(-3).(-4) +6 n = f(x) = 1.( x 1)( x 2)( x 3) +6 Vậy f(x) = x3 6x2 + 11x * Bi áp dng: Li Quang Tu-GV Trng THCS Cm Nhng SKKN-Phng phỏp gii bi toỏn v a thc Tỡm a thức P(x) = x3 + bx2 + cx + d bit P(1945) =1945; P(1954) = 1954; P(1975) = 1975 Tỡm a thức f(x), có bc bit f(0) = 7, f(1) = 15; f(2) = 2008 Tỡm a thức f (x), có bc bi t f(0) =12; f(1)=54; f(2) =119; f(3) =2009 Tìm đa thức P(x) = x3 + bx2 + cx + d.Biết P(1) = -15; P(2) = -12; P(3) = -9 5.( Thi HSG Hải Phòng năm 2004) Tìm đa thức P(x) = x3 + ax2 + bx + c Biết P(1) = 25; P(2) = 21; P(3) = 41 1.2 Dng 2: Xác định đa thức biết điều kiện hệ số Phơng pháp: Dựa vào điều kiện đề cho hệ số để xác định đa thức Ví dụ 4: Tìm đa thc f(x) có tt c h s l s nguyên không âm nh hn v tho mãn: f(8) = 2009 Chú ý: Giả sử A gồm n +1 (n N * ) chữ số an, an-1, ,a0 Ta biết số A hệ ghi số x đợc đổi sang hệ thập phân theo công thức: A =( )X= anxn + an 1xn-1 + + a1x + a0 an an1 a0 Ví dụ: Ta xét số 1234 hệ thập phân đợc viết dới dạng tờng minh là: 123410 = 1.103+2.102+3.10+4 = 1234 hệ bát phân 12348=1.83+2.82+3.8+4=668 Và cách đổi 668 sang hệ bát phân đợc thực nh sau : Lấy 668 chia cho đợc thơng 83 d (ghi chữ số hàng đơn vị ) Tiếp tục lấy 83 chia cho ta đợc thơng 10 d (ghi chữ số hàng chục) Tiếp tục lấy 10 chia cho ta đợc thơng d (ghi chữ số hàng trăm) ta đợc thơng cuối không chia hết cho (ghi chữ số hàng ngàn) Với ý ta giải toán nh sau : Gii: Xét a thc Li Quang Tu-GV Trng THCS Cm Nhng SKKN-Phng phỏp gii bi toỏn v a thc f(x) = anx + an 1xn-1 + + a1x + a0 với a0, a1 an-1, an u l s nguyên n không âm v nh hn Theo f(8) = 2009 nên an.8n + an-1.8n-1 + +a1.8 + a0 = 2009 a0, a1, , an-1, an l ch s ca 2009 c vit h ghi s c s Thc hin vic chia 2009 cho c 251 d ta có a0 = li ly 251 chia cho c 31 d ta có a1 = li ly 31 chia cho c d ta có a2 = Ta đợc thơng cuối không chia hết cho ta có a3=3 Vậy đa thức cần tìm : f(x) = 3x3 + 7x2 + 2x + Từ toán ta có toán tổng quát sau : Tìm a thc f(x) cho tt c h s u l s nguyên không âm nh hn a v bit f(a) = b Trong ó a ,b l s cho Vấn đề mấu chốt toán h s u l số nguyên không âm nhỏ a Phơng pháp chung : Gọi đa thức cần tìm : f(x) = anxn + an 1xn-1 + + a1x + a0 với a0, a1 an-1, an l số nguyên không âm v nhỏ a Ta đa toán việc tìm a0, a1, , an-1, an chữ số b đợc viết hệ ghi số số a Bi tập vận dụng : Tìm đa thức f(x) hệ số l số nguyên không âm nhỏ v f(6) = 503 Tìm đa thức f(x) hệ số l số nguyên không âm nhỏ 15 v f(15) = 200809 1.3 Dạng : Xác định đa thức f(x) thoả mãn hệ thức f(x) Ví dụ 5: Tìm đa thức f(x) bậc nhỏ thoả mãn hệ thức sau với giá trị x : 3.f(x) f(1-x) = x2+1 Li Quang Tu-GV Trng THCS Cm Nhng SKKN-Phng phỏp gii bi toỏn v a thc Giải Gọi đa thức cần tìm : f(x) = a3x3+ a2x2+ a1x+a0 Theo ta có : [ ] (a3x3+ a2x2+ a1x+a0)- a (1 - x) + a (1 - x) + a (1 - x) + a = x2+1 3.a3x3+3.a2x2+3.a1x+3.a0-a3(1-3.x+3.x2-x3)-a2(1-2.x+x2)-a1+a1x-a0= 4.a3x3+(-3a3+2a2)x2+(3a3+2a2+4a1)x+(-a3-a2-a1+2a0)= x2+1 x2 áp dụng phơng pháp hệ số bất định ta có : Giải hệ ta có : a3= ; a2 = Vậy đa thức cần tìm là: f(x) = 1 ; a1 = , a0 = x x+ Bi tập vận dụng : Tìm tất đa thức P(x) bậc nhỏ v thoả mãn hệ thức sau giá trị phân biệt x : x.P(x 3) = (x 1).P(x) Dạng : Xác định đa thức f(x) biết đa thức thơng chia cho đa thức khác số điều kiện khác Ví dụ 6: Tỡm a thc P(x) bit rng P(x) chia cho (x + 2) d 1, chia cho (x 2) d Chia cho (x + 2)(x 2) thỡ c thng 3x v cũn d Giải : Gọi đa thức d phép chia đa thức P(x) cho (x + 2)(x 2) r(x) Ta có : P(x) = (x + 2)(x 2) 3x+r(x) Do bậc đa thức thơng (x + 2)(x 2) nên r(x) có dạng ax+b hay P (x) = (x + 2)(x 2) 4x + ax + b (*) Ta lại có P(x) chia cho (x + 2) d 1, chia cho (x 2) d nên theo định lí Bơdu ta có : 2a + b =1 P(-2)= 1; P(2)=5 thay vào (*) ta có hệ 2a + b =5 Li Quang Tu-GV Trng THCS Cm Nhng SKKN-Phng phỏp gii bi toỏn v a thc a =1 b =3 Vậy ta có P (x) = (x + 2)(x 2) 4x+ x + Hay P(x) = 4x3- 15x +3 Bài tập vận dụng : Tỡm a thc f(x) bit rng f(x) chia cho x2-3x+2 thỡ c thng x - v cũn d Và chia f(x) cho (x-1) d 5, chia cho x-2 d Tìm đa thức f(x) biết chia f(x) cho x 3-2x2+2x-1 đợc thơng 2x d Và chia f(x) cho x-1 d , f(2)=7, f(3) = Xác định đa thức thơng chia đa thức cho đa thức Phơng pháp Thực phép chia trực tiếp Phơng pháp : Sử dụng công truy hồi horner Ví dụ 7: Tìm thơng phép chia đa thức x7-2x5-3x4+x-1 cho x+5 Cách 1: Thực phép chia trực tiếp ta đợc thơng là: x6 5x5 + 23x4 118x3 + 590x2 2590x + 14751 Cách 2: Gọi đa thức thơng phép chia x7-2x5-3x4+x-1 cho x+5 q(x) = b0xn-1 + b1xn-2 ++ bn-2x + b n-1 (b0# 0) Ta có : c = - 5; a0 =1; a1 = 0; a2 = -2; a3 = -3; a4 = a5 = 0; a6 = 1; a7 = -1; Dùng công thức truy hồ horner Ta có b0 = a0= 1,b1= b0c+a1, b2= b1c+a2,,bk= bk-1c+ak với k=1, n với hộ trợ máy tính điện tử ta tính đợc hệ số đa thức thơng 1; -5; 23; -118; 590; -2590; 14751 x6 5x5 + 23x4 118x3 + 590x2 2590x + 14751 Bài tập vận dụng: 10 THCS Cm Nhng Li Quang Tu-GV Trng SKKN-Phng phỏp gii bi toỏn v a thc 1.Tìm thơng phép chia đa thức 3x5-x4-2x3+x2+4x+5 cho đa thức x2-2x+2 Tìm thơng phép chia đa thức x55 +x5+1 cho đa thức x10+x5+1 Xác định đa thức d Chú ý 1: Để tìm d phép chia đa thức f(x) cho nhị thức ta dùng lợc đồ Horner dùng định lí Bedu để giải Ví dụ 8: Tìm thơng d phép chia đa thức 2x4-3x2 +4x -5 cho x+2 Với ta chia trực tiếp để tìm kết dùng sơ đồ Horner để tìm Kết quả:Thơng là:2x3-4x2+5x-6 d Ví dụ 8: Tìm d phép chia đa thức x2004+x9+x2 cho x-1 Ta có phần d phép chia đa thức cho x-1 f(1)=1 2+19+12004=3 Chú ý 2: Khi chia đa thức f(x) cho đa thức g(x) ta đợc đa thức thơng q(x) đa thức d r(x) hay f(x) = q(x) g(x) +r(x) Với ý bậc đa thức d r(x) nhỏ bậc đa thức chia g(x) Đây ý quan trọng để giải dạng toán Ví dụ 9: Tìm đa thức phép chia f(x) cho (x 1)(x 3) Biết chia đa thức f(x) cho x đợc số d 4, chia cho x-3 đợc số d 14 Giải: Cách 1: Gọi thơng phép chia f(x) cho (x 1)(x 3) l q(x) v d l r(x).Vì bậc r(x) nhỏ bậc đa thức chia nên bậc nhỏ nên r(x) có dạng ax + b Ta có: f(x) = (x 1)(x 3).q(x) +ax + b với x 11 THCS Cm Nhng Li Quang Tu-GV Trng SKKN-Phng phỏp gii bi toỏn v a thc Theo chia đa thức f(x) cho x đợc số d 4, chia cho x-3 đợc số d 14 áp dụng định lí Bơzu ta có f(1)=4 , f(3)=14 a +b = a =5 Hay b = 3a + b = 14 Vậy đa thức d phép chia f(x) cho (x 1)(x 3) l r(x) = 5x Cách 2: f(x) chia cho (x-1) d nên f(x) = (x 1).A(x) + Nhân vế đẳng thức với (x-3) ta có : (x 3).f(x) = (x 3)(x 1).A(x) + 4(x 3) (1) f(x) chia cho (x-3) d 14 nên f(x) = (x 3).B(x) + 14 Nhân vế đẳng thức với (x-1) ta có : (x 1).f(x) = (x 3)(x 1).B(x) + 14(x 1) (2) Lấy (2) (1) ta đợc : [(x 1) (x 3) ].f(x) = (x 1)(x 3) [A(x) B(x)] + 14(x 1) 4(x 3) Nên 2.f(x) = (x 1)(x 3)[A(x) B(x)] + 10x f(x) = (x 1)(x 3) A( x) B ( x ) + x Ta thấy 5x có bậc bé bậc đa thức chia Vậy đa thức d cần tìm 5x Ví dụ 10: Tìm đa thức d phép chia đa thức f(x) cho (x +1).(x2 + 1) Biết chia đa thức f(x) cho x+1 đợc số d 4, chia f(x) cho x2 + đợc đa thức d 2x+3 Giải : Do bậc đa thức chia (x + 1)(x2 +1) l Nên đa thức d có dạng ax2 + bx + c gọi q(x) đa thức thơng phép chia f(x) cho (x + 1)(x2 +1) ta có : 12 THCS Cm Nhng Li Quang Tu-GV Trng f(x)=(x+1)(x SKKN-Phng phỏp gii bi toỏn v a thc + 1).q(x)+ax2+bx+c (*) = (x+1).q(x) (x2+1)+a(x2+1)+ bx + c a =[(x +1) q(x) + a](x2 +1) + bx + c a m f(x) chia cho x2 + d 2x + bx + c a=2x+3 theo phơng pháp hệ số bất định ta có : b = (1); c a = (2) Mặt khác f(x) chia cho x+1 đợc số d nên theo định lý Bơ du ta có f(-1) = thay vào (*) ta có : a b + c = (3) b = (1) Từ(1),(2),(3)tacóhệphơngtrình c -a = (2) a- b + c = (3) Giải hệ phơng trình ta tìm đợc : a = Vậy đa thức d cần tìm : , b = 2, c = 2 x + 2x + 2 Ví dụ 11: Tìm d phép chia x7 + x5 +x3 +1 cho x2 Cách 1: Chia trực tiếp đa thức x7 + x5 +x3 +1 cho x2 ta đợc ta đợc đa thức d là:3x+1 Cách 2: Sử dụng phơng pháp giá trị riêng Gọi thơng phép chia x7 + x5 +x3 +1 cho x2 q(x), đa thức d r(x) Do đa thức chia x2 nên r(x) có dạng ax + b Ta có: x7 + x5 + x3 +1 = (x + 1)(x 1).q(x) + ax + b với x Đẳng thức x nên với x = ta có = a + b với x = - ta có = - a + b Từ (1), (2) (1) (2) a = 3; b = Vậy d phép chia l: 3x + 13 THCS Cm Nhng Li Quang Tu-GV Trng SKKN-Phng phỏp gii bi toỏn v a thc Cách 3: Tỏch a thc b chia thnh nhng a thc chia ht cho a thc chia Ta thy x n chia ht cho x vi mi s t nhiờn n nờn x 2n chia ht cho x2 1; x6 1, chia ht cho x2 Ta cú: x7 + x5 + x3 + = x7 x + x5 x + x3 x + 3x + = x(x6 1) + x(x4 1) + x(x2 1) + 3x + D ca phộp chia: x7 + x5 + x3 +1 chia cho x2 1l3x + Bi tp: Tỡm a thc d ca phộp chia: x99 + x55x11 + x +7 cho x2 + Tìm đa thức phép chia f(x) cho (x 2)(x 4) Biết chia đa thức f(x) cho x đợc số d 1, chia cho x- đợc số d Tìm đa thức d phép chia đa thức f(x) cho (x -1).(x2 +2) Biết chia đa thức f(x) cho x-1 đợc số d 8, chia f(x) cho x2 + đợc đa thức d 7x-2 Các toán giá trị đa thức Phơng pháp hiệu để giải dạng toán sử dụng đa thức phụ: 4.1 Tính giá trị đa thức: Ví dụ 12: Cho P(x) = x4+mx3+nx2+qx+e Biết P(1)=5, P(2)=7,P(3) = 9, P(4)=11 Tính P(10), P(11), P(12) Giải: Đặt đa thức phụ:Q(x)=P(x)(2x+3)Khi Q(1)=Q(2)=Q(3)=Q(4) = Hay Q(x) chia hết cho (x-1),(x-2), (x-3), (x-4) Mặt khác bậc P(x) nên bậc Q(x) : Q(x) = (x-1)(x-2) (x-3) (x-4) P(x) = (x-1)(x-2) (x-3) (x-4) +(2x+3) Vậy tay vào ta có : P(10) = 3047 ; P(11) =5065 ; P(12) = 7947; Bài tập: 14 THCS Cm Nhng Li Quang Tu-GV Trng SKKN-Phng phỏp gii bi toỏn v a thc Cho a thc(x) bc bit f(1) = 3; f(2)=5; f(3) = 7; f(4) = Tính f(11), f(12), f(13) Cho đa thức P(x) = x4 + ax3+bx2 + cx + d Biết P(1) = 6; P(2) = 9; P(3) = 12 ; P(4) = 16 Tính P(14), P(15), P(16) Cho đa thức P(x) = x5+ax4+bx3+cx2+dx+e Biết P(1)=3, P(2) = 9, P(3) = 19, P(4) = 33, P(5) = 51 Tính P(10), P(11), P(12), P(13) 4.2 Tính giá trị biểu thức Ví dụ 13 : Cho a thc f(x) bc cú h s hạng tử có bc cao nht l v tho món: f(1) = 3; f(3) = 11; f(5) = 27 Tớnh giỏ tr ca f(-2) + 7.f(6) Gii: t g(x) = f(x) + ax2 + bx +c Tỡm a, b, c g(1) = g(3) = g(4) = a, b, c l nghim ca h phng trỡnh = + a +b +c = 11 + 9a + 3b + c = 27 + 25a + 5b + c Gii h ta c: a= - 1; b = 0; c = -2 nờn t g(x) = f(x) (x2 + 2) Bc f(x) l bc nờn bc g(x)l bc v g(x) chia ht cho (x 1); (x 3); (x 5) Mặt khác f(x) có hệ số hạng tử có bâc cao nờn : g(x) = (x 1)(x 3)(x 5)(x x0) f ( x) = ( x 1)( x 3)( x 5)( x x0 ) + x + Ta có : f(-2) = (-3).(-5).(-7).(-2-x0)+6 = 3.5.7.x0+216 7.f(6) =7 (5.3.(6-x0)+38) = -3.5.7.x0 + 896 Vậy f(-2) + 7f(6) =216+896=1112 Nhận xét : Có thể nói phơng pháp dùng đa thức phụ hiệu cho việc tính toán giá trị đa thức hay biểu thức liên quan đa thức 15 THCS Cm Nhng Li Quang Tu-GV Trng SKKN-Phng phỏp gii bi toỏn v a thc Bởi tính toán phơng pháp đơn thay vào bấm máy không thực đợc với số lớn Ví dụ 14: Cho a thc bc f(x) vi h s bc cao nht l v tho mãn f(1) = 10, f(2) = 20, f(3) =30 Tính giá trị biểu thức: A= f (12) + f (8) + 25 10 Gii: t a thc ph: g(x) = f(x) 10x g(x) g(1) = g(2) = g(3) = chia hết cho x 1; x 2; x 3, bc f(x) l bc nờn bậc ca g(x) l 4, t suy ra: g(x) =(x 1)(x 2)(x 3)(x x0) Ta có f(x) =(x 1)(x 2)(x 3)(x x0) +10x Thay vào ta có : f(12) = 11.10.9.(12-x0)+120 =12.11.10.9 990.x0 + 120 f(-8) = (-9).(-10).(-11).(-8-x0) - 80 = 8.11.10.9 + 990.x0 -80 A= f (12) + f (8) + 25 = 1984 + 25 = 2009 10 Nhận xét : Thông thờng gặp toán đầu đa số học sinh nghĩ đến việc tìm đa thức f(x) sau thay vào tính giá trị biểu thức Nhng làm nh khó đến kết đa thức bậc vi h s bc cao nht l có đến hệ số lại ta phải xác định có điều kiện biết đợc giá trị f(x) Vấn đề biểu thức cần tính phải có mối liên hệ để tính toán triệt tiêu đợc x0 Bài tập vận dụng Cho đa thức P(x) = x4-a.x3+b.x2+cx+d có P(1) = 7, P(2) = 28, P(3) = 63 Tính A = P (100) + P ( 96) Cho đa thức Q(x) = x4+ax3 +bx2+cx-12035 Biết Q(1) = ; Q(2) = ; Q(30=10, tính gần giá trị biểu thức Q(9,99) Q(9,9) 16 THCS Cm Nhng Li Quang Tu-GV Trng SKKN-Phng phỏp gii bi toỏn v a thc Cho đa thức P(x) = x4+a.x3+bx2+cx+d Biết P(1) = 5; P(2)=8; P(3)=11; P(4)=14 Tính B = (( P (8) P (6)) 2007 2008 Các toán chứng minh đa thức 5.1 Chứng minh đa thức chia hết cho đa thức Phơng pháp 1: Phân tích đa thức bị chia thành nhân tử Phơng pháp 2: Biến đổi đa thức bị chia thành tổng đa thức chia hết cho đa thức chia Phơngpháp3: Biến đổitơngđơng f(x)g(x)f(x)g(x)g(x) Phơng pháp 4: Chứng tỏ nghiệm đa thức chia nghiệm đa thức bị chia Ví dụ 15: Chứng minh đa thức x2001+x2000+ +x+1 chia hết cho đa thức x181+x180+ +x+1 Giải: Ta có x2001+x2000+ +x+1 =(x2001+x2000+ +x1820)+(x1819+x1818+ +x1638) + +(x181+x180+ +x+1) =x1820(x181+x180+ +x+1)+x1638(x181+x180+ +x+1)+ +(x181+x180+ +x+1) =(x181+x180+ +x+1)(x1820+x1638+x1456+ +x182+1) Vậy đa thức x2001+x2000+ +x+1 chia hết cho đa thức B=x181+x180+ +x+1 Ví dụ 16: Chứng minh đa thức A= x9999+x8888+ +x1111+1 chia hết cho đa thức x9+x8+ +x+1 Giải: A= x9999-x9+x8888-x8+ +x1111-x+ (x9+x8+ +x+1) Xét x9999-x9=x9(x9990-1)=x9[(x10)999-1]=x9(x10-1)[(x10)998+(x10)997+ .+x10+1] Mà x10-1==(x-1)(x9+x8+ +x+1) 17 THCS Cm Nhng Li Quang Tu-GV Trng SKKN-Phng phỏp gii bi toỏn v a thc chia hết chox +x8+ +x+1 Vậy A chia hết cho x9+x8+ +x+1 Ví dụ 17: Chứng minh C(x)=(x+1)2n-x2n-2x-1 chia hết cho D(x)=x(x+1)(x+2) Ta có đa thức D(x)=x(x+1)(x+2) có ba nghiệm x=0;x=-1; x=-1/2 mà:C(0)=(0+1)2n-02n-2.0-1=0 tơng tự C(-1)=0;C(-1/2)=0=>x=0;x=-1; x=-1/2 nghiệm đa thức C(x)=>C(x)D(x) Ví dụ 18: Chứng minh A(x)=x2-x9-x1945 chia hết cho D(x)= x2-x+1 Giải: Ta có A(x)=(x2-x+1)-(x9+1)-(x1945-x) mà x2-x+1x2-x+1;x9+1chia hết cho x3+1;x1945-x=x(x1944-1) chia hết cho x3+1(cùng có nghiệm x=-1) nên x1945-xx2-x+1 từ ta suy A(x)D(x) Bài tập vận dụng: 1.Chứng minh đa thức x95+x94+ +x+1 chia hết cho đa thức x31+x30+ +x+1 2.Chứng minh: x55+x5+1 chia hết cho x10+x5+1 3.Chứng minh x1999+x27-2 chia hết cho x2-x+1 5.2 Chứng minh biểu thức thoả mãn điều kiện cho trớc Ví dụ 18 : Cho a thc f(x) l bc vi h s ca x3 l mt s nguyờn, tho f(2007) = 2008 v f(2008) = 2009 Chng minh rng f(2009) f(2006) l hp s Gii: t g(x) = f(x) +ax + b Theo ta có : f(2007) = 2008 v f(2008) = 2009 Tỡm a,b g(2007) = g(2008) = = 2008 +2007.a +b = 2009 +2008.a +b Gii h ta c : a = b = - 18 THCS Cm Nhng Li Quang Tu-GV Trng SKKN-Phng phỏp gii bi toỏn v a thc Nờn ta có g(x) = f(x) x Gi s k Z l h s ca x3 ca a thc f(x) Do bc ca f(x) bng nờn bc g(x) bng v g(x) chia ht cho (x 2007); (x 2008) nờn: g(x) = k(x 2007)(x 2008)(x x0) f(x) = k(x 2007)(x 2008)(x x0)+x+1 Ta có : f(2009)=k.2.1.(2009-x0)+2010=2.2009.k-2k x0+2010 f(2006)=k.(-2).(-1).(2006-x0)+2007=2.2006.k-.k.x0+2007 f(2009) f(2006) = 3(2k + 1) l hp s Bài tập : Cho a thc f(x) = a.x3+ bx2+cx+d a l mt s nguyờn Biết f(2007) = 2008 v f(2008) = 2009 Tính A = f(2009) f(2006) theo a Tìm a để A chia hết cho 5.3: Một số toán chứng minh khác Vídụ 19: Cho Q(x)=ax2+bx+c (a,b,c R) biết Q(0);Q(1);Q(2) số nguyên a, Chứng minh c,a+b,2a số nguyên b, Chứng minh với số nguyên x Q(x) số nguyên Giải: a,Theo gt ta có Q(0) Z => c Z, Q(1) Z=>a+b+c Z mà c Z=>a+b Z Q(2) Z=>4a+2b+c Z mà 2(a+b+c) Z =>(4a+2b+c)-2(a+b+c) Z =>2a-c Z mà c Z=>2a Z b ,Với x Z x -x Z mà a Z nên a(x -x) Z;a+b Z nên x(a+b) Z.Do Q(x)=a(x -x)+x(a+b)+c Z hay Q(x)=ax +bx+c Z 2 2 Ví dụ 20: Cho f(x)= ax2+bx+c có tính chất f(1);f(4);f(9) số hữu tỷ Chứng minh a,b,c số hửu tỷ Giải: Theo ta có 19 THCS Cm Nhng Li Quang Tu-GV Trng SKKN-Phng phỏp gii bi toỏn v a thc a+b+c=m (1) 16a+4b+c=n (2) 81a+9b+c=k (3) (m,n,k số hửu tỷ) Trừ theo vế hai pt (2)và (1);(3)và (1) suy 15a+3b=n-m 80a+8b=k-m a=(m-n):24,b=(5k+8n-13m):24 =>a,b số hửu tỷ ;khi c=m-b-a củng số hửu tỷ Ví dụ 21: Cho đa thức f(x)=x2+px+q với p,q Z chứng minh tồn số nguyên k để f(k)=f(2008).f(2009) Giải:Ta có f[f(x)+x]=[f(x)+x]2+p[f(x)+x]+q= f(x)2+2xf(x)+x2+p.f(x)+p(x)+q=f(x)[f(x)+2x+q]+(x2+px+q)= f(x)[x2+px+q+2x+p+1]=f(x)[(x+1)2+p(x+1)+q]=f(x).f(x+1) Với x=2008 chọn k=f(2008)+2008 =>f(x)=f(2008).f(2009) Vídụ 22: Cho p(x)=x3+x2+bx+c; Q(x)=x2+x+2005 biết p(x)=0 Có nghiệm phân biệt P(Q(x))=0 vô nghiệm.Chứng minh p(2005)>1/64 Gọi x1,x2,x3 nghiệm phân biệt phơng trình: P(x)=0=>p(x)(x-x1)(x-x2)(x-x3) mà hệ số x3 1nên p(x)=(x-x1)(x-x2) (x-x3) P(Q(x))=0 vô nghiệm nên P(Q(x))=[Q(x)-x 1][Q(x)-x2][Q(x)-x3]=0 vô nghiệm nên Q(x)-x10, Q(x)-x20,Q(x)-x30 với x.Xét Q(x)-x10 x2+x+2005 x1=0 vô nghiệm => =1+4x1-4.20052005-x1>1/4 tơng tự ta có 2005-x2>1/4 ;2005-x3>1/4 =>P(2005)=(2005-x1)( 2005-x2)( 2005-x3) >1/64 Cẩm Xuyên, ngày 12 tháng năm 2012 Ngời viết Li Quang Tu 20 THCS Cm Nhng Li Quang Tu-GV Trng SKKN-Phng phỏp gii bi toỏn v a thc 21 THCS Cm Nhng Li Quang Tu-GV Trng ... 2008 Các toán chứng minh đa thức 5.1 Chứng minh đa thức chia hết cho đa thức Phơng pháp 1: Phân tích đa thức bị chia thành nhân tử Phơng pháp 2: Biến đổi đa thức bị chia thành tổng đa thức chia... đa thức cho x-1 f(1)=1 2+19+12004=3 Chú ý 2: Khi chia đa thức f(x) cho đa thức g(x) ta đợc đa thức thơng q(x) đa thức d r(x) hay f(x) = q(x) g(x) +r(x) Với ý bậc đa thức d r(x) nhỏ bậc đa thức. .. f(x)=(x-3).B(x)+7 (2) Gọi thơng phép chia đa thức f(x) cho (x-2)(x-3) đa thức C(x),phần d đa thức R(x).Vì (x-2)(x-3) đa thức bậc hai nên đa thức đa thức d đa thức bậc đó: R(x)=ax+b,ta có: f(x)=(x-2)(x-3).(1-x2)+ax+b