Chơng 1: Hệ thống tập tích phân- ứng dụng cđa tÝch ph©n 2) ∫ ( x − 24 x )( x − x + x ).dx 3) Nguyªn hàm Bài Xác định nguyên hàm định nghĩa dx 1) ∫ dx 3x − x x +1 2) Tính nguyên hàm hàm số Bài2: 1) Tính đạo hàm hàm số g ( x) = x x + a , a#0 2) TÝnh nguyên hàm hàm số f ( x ) = x + a , a #0 3) TÝnh nguyªn hµm cđa hµm sè ∫ sin x.dx cos x dx ∫ sin x dx ; dx dx ∫ x ln x ln(ln x) dx ; F ( x ) = x ln(1 + x ) nguyên hàm hàm sè x f ( x) = 1+ x x a x + a + ln x + x + a , a # lµ mét 2 f ( x) = 3) lµ mét 2) Bµi 4: CMR hàm số nguyên hàm hàm số e −x   dx e x  + 2) ∫  cos x    x ∫ (e + 1) dx dx ∫ x ln x ; x x ∫ x − x dx ; Bài 4: Tính tích phân bất ®Þnh sau 1) ∫sin x cos x dx ; ∫cot gx.dx h( x) = ( x + 2) x + a , a#0 F ( x) = ∫1 + sin x dx Bài 3: Tính tích phân bất định sau 1) e x +e x +2 dx ; ∫(2 x +3 x ) dx ( x + 1) Bµi 3: CMR hµm sè dx 2) x −1 ∫ x +1 dx ; 3) 1) Tính đạo hàm hàm số g ( x) = x + x +1 ∫ x − x + dx ; Bµi2: TÝnh tích phân bất định sau Bài1: f ( x) = x+4 ∫ x − x + dx x2 + a  x ( x ln x − 1) x >  Bµi 5: CMR hµm sè F ( x) =  0 x =   x.lnx x > nguyên hàm hàm số f (x) = x = Bài 6: Xác định a,b,c để hàm số 20 x 30 x + nguyên hàm hµm sè f ( x) = 2x − F ( x) = (ax + bx + c) x − voi x > lµ dx ∫ + cos x dx ∫ cos x ; ∫ ; (sinx + cosx).dx sinx - cosx Bài Xác định nguyên hàm phơng pháp phân tích Bài1: Tìm họ nguyên hàm hàm số sau: 1) f ( x) = (3x − ) ; f(x) = 4x + 6x +1 2x +1 x + 3x − 2) f(x) = ; f ( x) = x x − x −6 4x − 9x −1 3) f(x) = ; f ( x) = x −x−2 4x Bài2: Tìm họ nguyên hàm hàm số sau: 1) f ( x) = x x x ; f(x) = x + x −4 + 2) f ( x) = 2x − 2x +1 ; f ( x) = 4+ x x +3 3: Tìm họ nguyên hàm hàm số sau: 1) f ( x) = (3 x + x ) ; f(x) = 2 x 33 x 4 x 2) f ( x) = e x −2 ; f(x) = x +1 − x −1 10 x Bài 4: Tính tích phân bất định sau x2 ∫ (1 − x)100 dx x.dx ∫ − 3x dx Bài Xác định nguyên hàm công thøc 1) 10 ∫ x.(1 − x) dx 2) ∫ x Bài1: Tính tích phân bất định sau Bài 5: (§HQG HN Khèi D 1995)  1  − dx 1) ∫    x  x    dx ; ∫ x −   x  Tỉ to¸n : Trêng THPT B×nh Giang − x dx ; ; Cho hµm sè y = 3x + x + x − 3x + Th¸ng 5/2007 VTT Bài Hệ thống tập tích phân- ứng dụng tích phân 1) Xác định a,b,c để (6 x + x + 1) dx x + 2dx A=∫ ; B=∫ 6) a b c 2 y= ( x − 1) + ( x 1) + 2) Tìm họ nguyên hàm y Bài 6: Tìm họ nguyên hàm hàm số sau f(x) = sin x + cos x 1) f ( x) = cos x ; f(x) = cot g x 2) f ( x) = cos x + sin x ; f(x) = sin x cos x f(x) = cos x sin x x f(x) = x + 3x + 3) f ( x) = cos x sin x ; ; 4) f ( x) = cos x sin x sin x + cos x ; 5) f ( x) = + sin x 6) f ( x) = ; x + x3 f(x) = 2 1) f ( x) =  x −   x   ; x3  2) f ( x) = x − ; 3) f ( x) = f(x) = x + 1+ x x − 13 x + x e x2 f(x) = 2) 2x x + x −1 x2 −3 B=∫ dx x( x + x + 2) dx ; x ( x + 1) B=∫ 1− x4 dx x ( x + 1) xdx A=∫ 1+ x 1+ 1+ x dx 2) A = ∫ ; B=∫ dx + e 2x x + ( x + 1) + dx dx ; B=∫ 3) A = ∫ 2 x x + x − 5x + 4) A = ∫ 5) A = ∫ dx [ ( x −1).(2 − x)] dx ( x + 1) x + x + ; B=∫ ; B=∫ sin x cos x sin x + dx x2 3) A =∫ dx (4 − x ) dx; B = ∫ 2−x dx dx (4 + x ) dx + x dx x dx ; B =∫ ; x 1− x2 x dx ; x2 − A = ∫ x a + x dx B =∫ x −1 dx x +1 sin x cos x.dx 2) A = ∫ ; + cos x sin x B=∫ dx cos x dx 3) A = ∫ cos x sin x dx; B = ∫ x e + ex/2 dx 4) A = ∫ x x (1 + ln x).dx; B = ∫ x e − 4e − x Bµi Xác định nguyên hàm phơng pháp tích phân phÇn ).dx x dx 1− x2 dx f ( x ) = ln x ;  ln x  f(x) =   ;  x  f(x) = x sin x 2) f ( x) = ( x + 1) cos x ; f(x) = ( x + 1)e 2x +1 ; 3) f ( x) = e x sinx ; f(x) = e -2x cos x; 4) f ( x) = (cot g x + cot gx + 1)e x ; Bài2: Tính tích phân bất ®Þnh sau 1) A = ∫ x cos x dx; B = ∫e ax sin(bx).dx 2) A = ∫e x cos x.dx; B = ∫ x n ln x.dx 3) A = ∫ x e x dx; B = ∫ x sin(3 x).dx 4) A = ∫ + x + x +1 Tổ toán : Trờng THPT Bình Giang sin x cos x ; B=∫ dx sin x cos x Bài 4: Tính tích phân bất định sau 1) ; B = + x dx ( dx B= Bài1: Tìm họ nguyên hàm hàm số sau Bài2: Tính tích phân bất định sau 1) dx ; sin x − sin x 3) A = ∫ 1) ; x dx (2 x + 1).dx ; B=∫ ( x − 4) x + x + 3x + x − 3) A = ∫ 2) A = ∫ Bµi 5: Tính tích phân bất định sau 1- x2 Bài1: Tính tích phân bất định sau x A=∫ dx ; x +1 2dx cos x + sin x cos x ;B = ∫ dx sin x − cos x + + sin x 4) A = Bài Xác định nguyên hàm phơng pháp đổi biến số 1) A = A=∫ x x +1 − − x ; f ( x) = x − x −1 Bµi 3: Tính tích phân bất định sau 1) 2) A = Bài 7: Tìm họ nguyên hàm hàm số sau (Không có hàm ngợc ) dx 3 7) A = ∫ x x + 1.dx ; B = ∫ 1) A = ∫ x (1 − x )10 dx; B = ∫ (x + x + 1) x +1 f(x) = x.(1 + x.e x ) 7) f ( x) = − e x ; x −1 (3 x + 4) x + ( x − 2) x e x dx ; ( x + 2) B = ∫ x cos( x).dx Tháng 5/2007 VTT Hệ thống tập tích phân- ứng dơng cđa tÝch ph©n ln(sin x ) dx; sin x 5) A = ∫ 6) A = ∫ x cos x dx; B=∫ (1 + sin x)e x dx + cos x B = ∫e ax sin(bx ).dx 7) A = ∫ ( x + x − x + 7).e x dx; Bài 3: Tính tích phân bất định sau x.5 dx x5 ; B=∫ dx x6 − x3 − x +1 (1 − x ).dx x4 A=∫ ; B = ∫ 10 dx 3) x( x + 1) ( x − 10) 2) A = Bài 7: Tính tích phân bất định sau dx x ; B=∫ dx sin x cos x 1− x cos x 2) A = ∫ x ln dx; B = ∫ dx 1+ x sin x x.dx 3) A = ∫ ; B = ∫ ln( x + x − 1).dx sin x 1) A = ∫ 1) A = ∫ A= Bài1: Tìm họ nguyên hàm hàm số x4 − x3 − x f ( x) = b) Bài2: (ĐHQG HN 1999) Tìm họ nguyên hàm hµm sè x −x (1 + sin x ) dx 3x + x + x − 3x + dx cos x.dx ; B=∫ sin x + cos x + 13 − 10 sin x − cos x dx A=∫ ; sin x + sin x − cos x 3) dx B=∫ sin x − sin x cos x − cos x a b c + + ( x − 2) ( x − 1) ( x 1) 2) Tìm họ nguyên hàm họ y Bài 4(ĐHQG HN 2000) Tìm họ nguyên hàm hàm số x 2001 ( x + 1)1002 5) Bài 5: Tìm họ nguyên hàm hµm sè sau ; 3x − x − f ( x) = x + 2x − 7) x − 13 ( x − x − 5) 8) 2) f ( x) = (3x − x − 1) ; f ( x) = ( x + x − 2) x − 13 3) f ( x) = ( x − x − 5) ; 4) f ( x) = 5) f ( x) = f ( x) = x + 2x − x +1 : f(x) = x −2 x −1 x3 ; x − 2x +1 f(x) = x(x + 1) Bµi 6: Tính tích phân bất định sau 1) A = ∫ 6) 1 sin x.dx cos x.dx ; B=∫ sin x + sin x + cos x dx dx A=∫ ;B = ∫ sin x cos x sin x cos x (sin x − cos x )dx dx A=∫ ; B=∫ sin x + cos x cos x cos x.dx (sin x + sin x ).dx A=∫ ; B=∫ sin x cos x − (cos x − sin x).dx dx A=∫ ; B=∫ + sin x sin x + 4) A = ∫ 1) f ( x) = cos x sin x.dx 1) A = ∫ sin x(1 + cos x) ; B = ∫ sin x + cos x 2) A= 1) Xác định h»ng sè a,b,c ®Ĩ f ( x) = f ( x) = cos x sin x; f ( x) = cos x sin x; f ( x ) = cos x cos x sin x; 4) f ( x) = cos x cos x cos x Bài2: Tìm họ nguyên hàm hàm số Bài 3: (ĐHQG HN 1995) Cho hàm sè y= 2) f ( x) = tg x; 3) f ( x) = x( x + 1) y= x f ( x ) = cot g x; 1) (§HVH 2000) f ( x) = sin Bài1:(ĐHNT HN 1998) Tìm họ nguyên hàm hàm số f ( x) = ( x − 1).dx x − 4x ; B= ∫ dx ∫ x + x3 + x2 + x + x − 4x + 5x − Bài Nguyên hàm hàm số Lợng giác Bài Nguyên hàm hàm số hữu tØ a) ( x + 1).dx x3 ; B=∫ dx x − 5x + 6x ( x 1)100 (ĐH NT TPHCM 2000) Bài Nguyên hàm hàm số Vô tỉ Bài1: Tính tích phân bất định sau 1) x.dx x ; B= dx x − 2x − x − 3x + A = ∫ x + x dx; B = ∫ x dx x − 2x Tổ toán : Trờng THPT Bình Giang Tháng 5/2007 VTT Hệ thống tập tích ph©n- øng dơng cđa tÝch ph©n 2) 3) dx A=∫ ; B=∫ ( x + x + x + 1)dx x + x2 + x +1 x + x2 + x +1 +1 (4 x + 5).dx dx A=∫ ; B=∫ x + 6x +1 (1 − x ) Bài2: Tính tích phân bất định sau 1) dx A=∫ 2) ( x −1) − x ( x −1) + x − x dx A=∫ ; 2x +1 + 2x − dx B=∫ (2 x + 1) − x + Bài 3(ĐHY HN 1999) Biết dx ∫ x +3 = ln( x + x + ) + C Tìm nguyên hàm F ( x) = ∫ x +3.dx Bµi 4(HVBCVT TPHCM 1999) Tìm họ nguyên hàm hàm số F ( x) = 10 Bài 3: Tính tích phân bất định sau 2) tích phân Bài Tính tích phân phơng pháp phân tích Bài 1: Tính tích ph©n −1 2) A = x +1 2x + + 2x −1 7x − x − dx dx; B = ∫ ∫ x x+2+ x−2 π cos x.dx ( x + 1).dx B=∫ ; ; 3) A = ∫ x + x ln x sin x π π x − x −1 Bµi Nguyên hàm hàm số Siêu việt Bài1: Tìm họ nguyên hàm hàm số 1) F ( x) = ( x + 3x + 2).e x π 2) F ( x) = cos( x + )e −x + x ) ; F(x) = 2x 33 x x x −x 4) A = tgx dx ; B = e − e dx; ∫ ∫ x −x e 4) F ( x) = e : F(x) = x e − e −x −5 x e +1 x +1 − x −1 5) F ( x) = : F(x) = ex 10 x ( x + x + 1).e x (x - 1).e x : F(x) = x2 Bài2: Tính tích phân bất ®Þnh sau 1) A = ∫e ax sin(bx).dx; B = ∫e x sin x.dx 2) A = ∫ x n ln x.dx; B = ∫ x e x dx 3) A = ∫sin(ln x).dx; B = ∫ x ln(2 x +1).dx 4) A = ∫ ( x + x − x + 4).e x dx; ln(sin x) dx 2.e x dx ; B=∫ sin x 1+ex Tổ toán : Trờng THPT Bình Giang cos x x e dx 5) A = ∫ e +e x 6) A = ln ∫ x x −2 5) A = ∫ x.dx -1 x + 1) A = ∫ ( x + 1).dx; B = ∫ dx x +1 e2 Bài 6(ĐHY Thái Bình 2000) Tính tích phân 6) F ( x) = x ln( x + x + 1)dx Chơng 2: x hàm hàm số F ( x) = tgx + 3) F ( x) = (3 x ; B=∫ 1+ ex x +1 ln x.dx A=∫ ; B = ∫ e x + e −x + dx x ln x + Bài 5:(ĐH KTQD HN 1999) Tìm họ nguyên I =∫ dx 1) A = ∫ dx ; B=∫ (1 + sin x).e x dx ln(cos x).dx ; B=∫ + cos x cos x 1+ x ln dx; 7) A = ∫ 1− x 1− x 6) A = ∫ 7) A = ∫ −x e +e dx ; B=∫ x + 8x ; π dx dx ; B=∫ ; −x + sin x e +e x π dx x x2 +1 ; B=∫ π dx ; sin x 8) π x  dx x dx 3  ; B=∫ x ; t =    2 x  2  sin x + cos x −4   A=∫ Bµi 2: Tính tích phân A= ∫π cos x sin 3x.dx; B = ∫ sin x cos − (x − π ) dx 4 Bài 3: Tính tích phân Tháng 5/2007 VTT Hệ thống tập tích phân- ứng dụng cđa tÝch ph©n A= ∫ B = ∫ x − x + dx x − dx; -1 Bài 4: (ĐH QGHN Khối B 1998) Tìm số A,B F ( x) = A sin(πx) + B tho¶ m·n F(1) = ∫ F ( x).dx = vµ π  a,b biÕt F   = −2 va 2 2 ∫ a.dx = −1 4) A = ∫ −1 − x dx; (DHYHN 1998) 2 5) A = ∫ (1 − x ) dx; (DHY HP 2000) a 4 x − x −10 dx) = ∫ dx CMR log ( ∫ x −5 0 6) A = Bài 7: (ĐHBKHN 1994)Tìm a,b để dx x x + dx; (HVQY 1998) ∫ F(x).dx = - 3.ln2 π2 1) A = ∫ sin x dx; B = Bµi 8: Cho F ( x) = a sin x + b xác định a,b biÕt 2π ∫ F ( x).dx = 3 tg x.dx ∫ cos x π π dx tgx.dx ;B = ∫ sin x + cos x + π cos x − sin x cos x 2) A = ∫ Bµi Tính tích phân phơng pháp đổi biến số Bài 1: Tính tích phân sau 3) (§HQGTPHCM 1998) I = sin x.dx ∫ π 1) (§HNN1 HN 1999) A = ∫ x(1 − x)19 dx; cos x.dx 11 − sin x − cos x I =∫ 2) (ĐHSP Quy Nhơn) + sin x 4) (CĐHQ TPHCM 1999) 5) (HVKTQS 1996) I = ∫ (1 + x)(1 + x + x ) dx; π 2 10 I =∫ x5 3) (§HTM 1995) I = ∫ dx; x +1 π sin x − sin x cot gx.dx sin x π x sin x.dx + cos x 6) (§H Y Dỵc TPHCM 1995) I = ∫ a dx 4) I = ∫ 2 ; (a + x ) 5) (§HKT HN 1997) I = ∫ x (1 − x ) dx; 6) (§H TCKTHN 2000) I = ∫ x.dx x + x2 +1 Bài 2: : Tính tích phân sau dx; B = ∫ π x2 − x2 7) (HVBCVT HN 1998) I = sin x cos x.dx ∫ x −1 + x dx; Bài 3: Tính tích ph©n sau x ∫x 7) (§HGTVT HN 1996) A = a b F ( x) = + + tho¶ m·n x x x + x +1 Bài 6: (ĐHSP Vinh 1999) 1) A = ∫ dx ∫ B= 3) A = ∫ x − x dx; (DHTM - 1995) 2b , F ( ) = va ∫ Bµi 5: Cho F ( x) = a sin x − b cos x x¸c ®Þnh , 2) A = 1− x2 dx; x2 0 F , (x ) = −4 va 1 + cos x π cos x.dx − sin x + sin x 8) (C§SP TPHCM 1997) I = ∫ π dx; Tỉ to¸n : Trêng THPT B×nh Giang 9) (HVNH HN 1998) I = ∫ x sin x cos x.dx Bµi 4: TÝnh tích phân sau Tháng 5/2007 VTT Hệ thống tập tích phân- ứng dụng tích phân e 1) A = ∫ e4 + ln x dx 2+x ;B =∫ ln dx 2x 2−x 4−x ln dx ∫ 2) (§H CĐoàn 1999) I = e +1 x 12) A = dx + ex e ln 0 4) A = ∫ e x dx; B = 2x e 2x + 3e x dx e 2x + 3e x + Bài 5: Tính tích phân sau (Tham khảo) **Đổi biến dạng luỹ thừa bản*** 1) A = x x +1 dx; B = ∫ − x dx; x dx; −1 x + x + 2) A = ∫ x3 − x dx; B = ∫ 3) A = ∫ 4) A = ∫ ln e dx 1 16) A = x2 + x dx; **Đổi biến hàm lợng giác bản*** sin x dx + cos x 5) A = ∫ cot gx.dx; B = ∫ π ∫1 − x 6) π π  A = ∫ + sin x cos dx; B = ∫ e cos x cos + x dx 2  0 π π 8) A = ∫ π π sin x + cos x A=∫ sin x sin x dx; B = ∫ dx cos x cos x π π π Bµi 1: Tính tích phân sau 1) A = x cos x.dx; ∫ B = ∫ x cos x.dx + sin x + cos x **Đổi biến hàm mũ logarit bản*** 11) A = 2) A = ∫ π π x.dx ; sin x B = ∫ e − x cos 3x.dx eπ π 3) A = ∫ e sin x.dx; B = ∫ cos(ln x).dx 2x ln 4) A = ∫ x.e −x e dx; B = ∫ ln x.dx e 0 2 5) A = ∫ x ln x.dx; B = ∫ x ln( x +1).dx e 6) A = ∫ (1 − ln x) dx; B = ∫ e ∫x 1 ln x dx x2 e2 10) A = sin x − cos x dx; B = sin x dx ∫ ∫ + ln x dx; B = x ) e x Bài Tính tích phân phơng pháp tích phân phần e x dx dx dx; B = ∫ 2 sin x cos x cos x cos x − sin x π + tg x cos x A=∫ dx; B = ∫ dx 9) − tg x π sin x 0 ∫ (3 + e ln π π 7) A = sin x − cos x dx; B = sin x − sin x dx ∫ ∫ π e x dx 1 + x  ln dx; 1 − x  π ln 13 x x π 17) e e x −1 ln dx e x dx ; B=∫ e x + e −x e x + e −x 0 ; B=∫ dx ∫ ( x +1) dx ; B= x(1 + xe x ) 15) A = ∫ x2 −2 x + x dx; B = ∫ dx; x +1 ; B= **Bài tập tổng hợp ** * * 1+ ex 14) A = ln dx 13) A = ∫ 3) (§H Y HN 1999) I = ∫ e dx (ln x)3 + ln x dx ; B=∫ ∫ x cos (1 + ln x) x e −1 dx  7) A = ∫  1  − .dx; ln x  e  ln x 8) − ln x Tỉ to¸n : Trêng THPT B×nh Giang A = ∫e e x dx; B = ∫ (1 − ln x ) dx Tháng 5/2007 VTT Hệ thống tập tÝch ph©n- øng dơng cđa tÝch ph©n π sin x.dx ; ∫ x −π + 3) A = Bài 3: Tính tích phân sau 9) A = ( x − x +1) ln x.dx; B = x.sin x cos xdx ∫ ∫ π2 2 10) A = ∫ ln( x + + x )dx; B = ∫ cos ( x )dx π2 π2 0 x + sin x dx π + cos x e 3) 2π 2) A = ∫ x sin x.dx; B = ∫ sin(sin x + nx).dx π 3π 1) A = ∫ sin x sin x sin x cos x.dx; π 11) A = ∫ sin x dx; B = ∫ e π e 2 ∫ x sin x.dx; B = π ∫π ln(ln x)  ln x  dx; B = ∫  12) A = ∫  dx x  x  e A= Bài 2: ( Một số đề thi ) TÝnh tÝch ph©n sau: ( x − x + x − x + 1)dx cos x Bài 4: (Một số đề thi ) − 1) (§HBKTPHCM 1995) I = x cos x.dx ∫ −1 2) (§HQG TPHCM 2000) I = ∫ e x sin (πx).dx 2) (§HGT 2000 )TÝnh I = 3) (C§KS 2000) I = ∫ (2 x + 2) ln x.dx 4) (§HSPHN2 1997) I = 5e sin x.dx ∫ x 4) (§HNT TPHCM 1994)TÝnh I = π π π  f (tgx) neu ≤ x ≤  g ( x) =   f (0) neu x = π  2 Bµi Một số dạng tích phân đặc biệt Bài 1: Tính tích phân sau x 1) A = ∫ x cos x.dx; B = ∫ x e dx −π  π a) CMR g(x) liªn tơc trªn 0;  −1 π  sin x 1 − x  dx .dx; B = ∫ 2) A = ∫ x ln + cos x 1 + x  π − − 2 π sin x cos 2004 x dx; B = ∫ dx 2004 x + sin 2004 x + sin x cos π π x sin x x sin x dx; B = ∫ dx 2 + cos x + cos x Tổ toán : Trờng THPT Bình Giang 2 π π b) CMR : ∫ g ( x).dx = ∫ g ( x).dx Bài 2: Tính tích phân sau 1) x4 dx x −1 + 6) (§H HuÕ 1997) Cho hàm số 6) (ĐH AN 1996) I = x sin x.dx π sin x ∫ x dx −π + 5) (HVBCVTHN 1999)TÝnh I = ∫ 2) A = ∫ π 5) (§HTL 1996) I = e x cos x.dx ∫ A=∫ π π π x + cos x dx x ∫π − sin 3) (§HQG HN 1994) TÝnh I = ∫ x sin x.dx 1 π − e π 1− x2 dx 1+ 2x 1) (§HPCCC 2000) TÝnh I = ∫ Bài Tích phân hàm số hữu tỉ Bài 1: : Tính tích phân sau x dx ; 1) A = ∫ (1 − x ) ( x + x − 2.dx ; 2) A = ∫ x3 +1 B= ∫x −1 dx ; − 3x + x dx B=∫ ; 10 ( x 1) Tháng 5/2007 VTT Hệ thống tập tích phân- ứng dụng tích phân 11)Xác định h»ng sè A,B ®Ĩ (2 x − 10 x + 16 x − 1).dx 3) A=∫ −1 B=∫ ; x − 5x + x+2 A B ( x + 2) = + dx TÝnh I = ∫ 2 x +1 ( x + 1) ( x + 1) ( x + 1) dx ; ( x + 3) ( x + 1) x ( x − x + x + 6).dx (7 x − 4)dx ;B = ∫ ; 4) A = ∫ x − 5x + x −1 −1 x − x + 2 12)Cho hµm sè f ( x) = ( x − 1) ( x + 1) a) ∫ 5) A = ∫ dx dx ; B=∫ ; x + 2x + x x + 4x + 6) A = ∫ ( x − x − x − 1).dx x dx ;B = ∫ ; x4 + x3 ( x − 4) 2 dx (1 − x ).dx ; B=∫ ; x ( x + 1) x.( x + 1) b) Bài 1: Tính tích phân sau 3x + ∫ + x dx dx x + 5x + 2) (§HNL TPHCM 1995) I = ∫ dx tgx.dx ; B=∫ + sin x + cos x π cos x − sin x cos x 1) A = ∫ 3) (§HKT TPHCM 1994) I = ∫ 4) (§HNT HN 2000) I = ∫ x dx (1 + x) ( x + x + 10 x + 1).dx x + 2x + 5) (§HSP TPHCM 2000) I = ∫ (4 x +11).dx x + 5x + tg x.dx ; B = ∫ ( cos x − sin x ).dx 2) A = ∫ cos x π π π 4) A = x cos x.dx ; ∫ 0 dx x + 4x + π 2) (ĐHSP TPHCM 1995) Cho 8) (ĐHQG HN 1995) Xác định số cos x sin x   cos x + sin x  b) TÝnh I = f ( x).dx ∫ 3) (§HGTVT TPHCM 1999) π π cos x.dx sin x.dx a) CMR =∫ ∫ cos x + sin x cos x + sin x +x x Tỉ to¸n : Trêng THPT B×nh Giang sin x sin x + cos x π 10)(ĐH Thái Nguyên 1997) f ( x) = a) T×m A,B cho f ( x) = A + B 3x + x + A B C = + + x −1 x + x − x + ( x − 1) HD : t = π sin x.dx sin x.dx I =∫ ; va J = ∫ 4 + sin x cos x + 3x + 3x + TÝnh I = ∫ dx x − 3x + x dx I =∫ 9) (§HTM 1995) x +1 + sin x Bµi 2: (Một số đề thi) 1) (ĐHQG TPHCM 1998) Tính : 3.dx 6) (§HXD HN 2000) I = ∫ x +1 7) (§H M§C 1995 ) I = ∫ π 3) A = ( x + sin x)dx ; B = sin x cos 2 x.dx ∫ + cos x ∫ 0 1 π 3 (1 − x ).dx x +1 π π 1) (C§SP HN 2000): I = ∫ f ( x)dx Bài 2: (Một số đề thi) A,B,C để Tính Bài Tích phân hàm số l ợng giác x dx x + x + 13 ; B=∫ dx; 8) A = ∫ x − x3 − ( x − 2)( x + 1) 3 Ax + Bx + C dx dx = D∫ + E∫ x −1 x +1 ( x −1)( x + 2) 7) A = ∫ I =∫ f ( x ) dx = 3 Định hệ số A,B,C,D,E cho π cos x.dx 4 cos x + sin x b) TÝnh I = Tháng 5/2007 VTT Hệ thống tập tích phân- ứng dụng tích phân 17) (ĐHQG TPHCM 1998) dx 4) (ĐH Công Đoàn 1999): Tính I = ∫ + sin x I = ∫ cos x sin x.dx 5) (HVKTQS 1996):TÝnh π I =∫ π π sin x − sin x cot gx.dx sin x 18) (HVNH TPHCM 2000) I = sin x.dx ∫ + cos x π 6) (§HTS 1999) TÝnh : 19) (§HLN 2000) I = (3 sin x + cos x)dx 2 ∫ π I = ∫ sin x cos x.(1 + cos x) dx dx π  π sin x sin  x +  6  20) (§HM§C 2000) I = ∫ π dx 7) (§HTM HN 1995) TÝnh I = ∫ cos x 21) (§HBK HN 1999) π sin x Cho hµm sè h( x) = (2 + sin x) 8) (HVKTQS 1999):TÝnh I = sin x.dx ∫ sin x + cos x π + cos x A cos x 9) (§HNN1 HN Khèi B 1998) I = cos x.dx ∫ 0 + cos x b) TÝnh I = π 10) (§HQGHN Khèi A 1997) I = sin x.dx ∫ + cos x B cos x a) Tìm A,B để h( x) = (2 + sin x) + + sin x π ∫ h( x).dx π − 22) (§HBK HN 1998) π 11) (§HQG TPHCM Khèi A 2000) TÝnh : I = ∫ cos x.(cos x + sin x ).dx π I = ∫ sin x.dx π π π sin x.dx (sin x + cos x) 23) (§HTM HN 2000) I = ∫ 12) (§HTL 1997) TÝnh: I = ∫ + cos x dx π 13)(§HGT TPHCM 2000) TÝnh I = ∫ π sin x.dx cos x 24) (HVKTMM 1999) I = ∫ π 25) (§HTCKT HN 1996) 14)(§HNN1 HN 1998) TÝnh π π I =∫ + sin x + cos x .dx sin x + cos x π I =∫ sin x + cos x + dx sin x + cos x + π 15) (§HT HN 1999) TÝnh I = dx sin x cos x 4π dx ∫ x π sin 16) (§HNT HN 1994b) TÝnh I = 2π ∫ + sin x dx 26) (§HBKHN 1996) I = x cos x.dx ∫ π 27) (§HC§ 1999) I = (2 x − 1) cos x.dx ∫ π 28) (HVNH TPHCM 2000) I = ( x + sin x).dx ∫ cos x Bài Tích phân hàm số vô tỉ Tổ toán : Trờng THPT Bình Giang Tháng 5/2007 VTT Hệ thống tập tích phân- ứng dụng tích phân Bài 1: (Một số tập bản) Tính tích ( x 1).dx I = 7) (ĐHXD HN 1996) phân sau : x +1 1) x dx 2a 8) (§HTM 1997) I = ∫ 15 A = x + x dx; B = x 2a − x dx(a > 0) ∫ ∫ 2) a A = ∫ x a − x dx; B = ∫ 3) A = ∫ x + x +1 −1 4) A = dx x(1 + x ) dx (a > 0) ( x + 1)( x + 2) 1 − x dx dx ; B=∫ x x−4 + x+2 −1 ∫ 2 5) A = ∫ x x + 6) A = ∫ 7) A = 2 dx x dx x +1 −3 1− x −8 8) (*) A = ∫ −1 ; (*)B = ∫ x + 2x + + x +1 ln dx ∫ e x +1 π 5) (§HKT HN 1999 ) I = ∫ e sin x sin x cos x.dx 6) (§HQG TPHCM 1996) I = ∫ 0 ln −1 2 9) A = ∫ − x dx; B = ∫ x + x + dx 1− x2 dx x2 ∫ 1) (HVNH THCM 2000) I = ∫ ∫ x dx x + x2 +1 dx x x − ∫1+ x + ex +1 Bµi 2: (Mét sè ®Ị thi ) 1) (HVQY 1997) I = ∫ x.e − 2) (§HQG HN 1998 ) I = ∫ x dx e 3) (PVBC&TT 1999) I = ∫ e ln x2 +1 5) (§HTM 1997) I = ln x2 + 6) (§HTM 1998) I = dx x x + Tổ toán : Trờng THPT Bình Giang (1 + e x ) dx e x +1 (1 − e x )dx e x +1 5.dx x +5 ∫e 5) (§HQG HN 1998) I = ∫ x + x dx ∫ x ln x.3 + ln x dx x 4) (§HNN1 HN 1998) I = ∫ dx 6) (§HSP2 HN 2000) I = ∫ dx e +1 dx −1 ∫ x e dx 1 2) (§H BKHN 1995) I = 2x ∫ 7) (§HBK HN 2000) I = e − x dx e −x + Bài 2: (Một số đề thi ) 3) (HVKTQS 1998) I = 4) (§HAN 1999) I = dx + ex e 2x 10) A = ∫ 1 2) (§HY HN 1998) I = ∫ ( x + − 2)dx x + dx ; x −1 x + x −1 dx; B = x dx e +3 2x ***đổi biến lợng giác **** 1) (§HC§ 2000) I = ∫ 2x 4) (§HAN 1997) I = ∫ x.e dx 2x + Bµi 1: (Một số bản) dx ; B=3 Bài Tích phân hàm số siêu việt 3) (HVQY 1997) I = 2x +1 x x + 1.dx dx ∫x ∫ ; B= x.dx 9) (§HQG TPHCM 1998) I = ∫ dx ; B=∫ 1+ x 0 Bài Tích phân hàm số chứa giá trị tuyệt đối Bài 1: (Một số tập bản) 10 Tháng 5/2007 VTT Hệ thống tập tích phân- ứng dụng tích phân 1) (ĐHBKHN 2000): Tính diện tích giới hạn 2 1) A = ∫ x −1.dx; B = ∫ x + x − dx y = sin x cos x; y = va x = 0; x = 2) I = ∫ ( x − − x ) dx; 2) (ĐHTCKT 2000): Tính diện tích giới hạn y = e x ; y = e −x va x = −1 3)   I = ∫ − x + .dx  x − −1  −5  ( ) 4) I = ∫ x − x + + x − x dx 3) (HVBCVT 2000) TÝnh diƯn tÝch giíi h¹n bëi y = − sin 2 ∫ − x2 + − dx; B = ∫ x − x + x dx; x Bài 2: Tính tích phân sau : 1) I = y = −x + x; y = x 5) (ĐHTM 1996) Tính diện tích giới hạn bëi y = x2; x = −y 6) (§HKT 1994) TÝnh diƯn tÝch giíi h¹n bëi y = x −4 x +3 ; y =3 − x 3π 7) (ĐHCĐ 1999) Tính diện tích giới hạn ∫ cot gx − tgx dx; π y = x2; y = x2 va y = x 8) (ĐHSP1 HN 2000) Tính diện tích giới hạn π 3 2) I = ∫ cos 3x sin x + sin x cos x dx; π 3 ∫ 3) I = π cos x cos x + sin x sin x dx; Bài 3: (Một số đề thi) 1) (ĐHL 1995) I = 2π ∫ + sin x dx; y = x −1 ; y = x +5 9) (§HKTQD 1996) Tính diện tích giới hạn hình phía dới (P) : y=ax2 (a>0) y=ax+2a 10)Tính diện tích giíi h¹n bëi ( P ) : y = −x + x − vµ tiÕp tuyÕn điểm A(0;-3) B(3;0) 11)(ĐH Huế 1999) Tính diƯn tÝch giíi h¹n bëi y = ( x +1) x; y = e x va x = 2) (§HTL 2000) I = ∫ x − x + x dx; 12)TÝnh diÖn tÝch giới hạn Bài 10 Tính tích phân tích phân phụ trợ Bài 1: (Một số b¶n) π sin xdx sin x + cos x 1) A = ∫ x 2) A = e dx ∫ e x + e −x π cos xdx sin x − cos x B=∫ π B = ∫ cos x cos x.dx π 3) A = cos xdx ∫ 3x 12 x π ; y =1 + va x = 0; x = π 4) (HVBCVT 1997) TÝnh diƯn tÝch giíi h¹n bëi A= π sin x y = sin x; y = cos x va truc Oy voi ≤ x ≤ 13)(HVQY 1997) TÝnh diƯn tÝch giíi h¹n bëi y = 0; (C) : y = x − x + x − vµ tiếp tuyến với đờng cong (C) điểm có hoành độ x=2 14)(ĐHKT 2000) Tính diện tích giới hạn y= Bài Diện tích phẳng Tổ toán : Trờng THPT Bình Giang 4x (C ) Ox, hai đờng thẳng có phx +1 ơng trình x=1; x=-1 *****Một số tham khảo************ 1) Tính diện tích S giới hạn đồ thị (C ) : y = x trục Ox đờng thẳng có phơng trình x=2 2) Tính diện tích S giới hạn đồ thị (C ) : y = Ch¬ng 3: Mét sè øng dơng cđa tÝch ph©n π x − trục Ox đờng thẳng có phơng trình x=1 x=3 3) Tính diện tích S giới hạn đồ thị (C ) : y = x trục Ox đờng thẳng có phơng trình x=2, y=x 11 Tháng 5/2007 VTT Hệ thống tập tích ph©n- øng dơng cđa tÝch ph©n 4) TÝnh diƯn tÝch S giới hạn đồ thị 11)(ĐHKT 1996) : Cho hình phẳng giới hạn ( P) : y = x đờng thẳng có phơng trình D = { y = (4 − x) ; y = x} y=2x-2 a) TÝnh diÖn tÝch hình phẳng giới hạn D 5) Tính diện tích S giới hạn đồ thị b) Tính thể tích vËt trßn xoay D quay ( P1 ) : x = −2 y va (P2 ) : x = − y quanh Ox 12)(§HPCCC 2000): Cho hàm số Bài Thể tích vật thÓ (C ) : y = x.( x −1) 1) (ĐHNN1 HN 1997): Cho hình phẳng giới hạn a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số  bëi D =  y = tgx; x = 0; x = ; y = 0 b) ViÕt ph¬ng trình tiếp tuyến kẻ từ 0(0,0) đến (C) a) Tính diện tích hình phẳng giới hạn c) TÝnh thĨ tÝch giíi h¹n bëi (C) quay quanh D Ox b) TÝnh thĨ tÝch vËt thĨ trßn xoay D 13) Cho miền (H) giới hạn đờng cong y=sinx quay quanh Ox đoạn x π cđa trơc Ox TÝnh thĨ tÝch 2) TÝnh thĨ tÝch cđa vËt thĨ trßn xoay sinh bëi khèi trßn xoay (H) quay quanh phÐp quay quanh Ox hình giới hạn a) Trục Ox trơc Ox vµ (P) y=x -ax (a>0) b) Trơc Oy 3) (ĐHXD 1997) Tính thể tích vật thể tròn xoaydo hình phẳng S = { y = x ln x; y = 0; x = 1; x = e} 4) (ĐHY 1999) Tính thể tích hình tròn xoay sinh x2 y2 bëi ( E ) : + = nã quay quanh Ox a b 5) (ĐHTS TPHCM 2000): Cho hình phẳng G giới hạn y= 4-x2; y=x2+2 Quay hình phẳng (G) quanh Ox ta đợc vật thể Tính thể tích vật thể 6) (HVQY 1997): Cho hình phẳng giới hạn D = { y = x ; y = x } TÝnh thĨ tÝch vËt thĨ trßn xoay D quay quanh trơc Ox 7) (HVKTQS 1995) TÝnh thĨ tÝch D quay quanh Ox π   D =  y = 0; y = + cos x + sin x ; x = ; x = π    Ch¬ng 4: Giíi thiệu đề thi ĐH-CĐ (từ năm 2002 trở lại ) Năm 2002 1) Khối A: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đờng y = x x +3 va y = x +3 2) Khèi B: TÝnh diện tích hình phẳng giới hạn 8) Tính thể tÝch cđa vËt thĨ trßn xoay sinh bëi x2 x2 va y = đờng y = phép quay quanh Ox hình phẳng S giới 4 hạn đờng Năm 2003 y=x.ex , x=1 , y=0 (0≤ x ≤ ) dx 9) (§HXD 1998) TÝnh thĨ tÝch vËt thĨ tạo 1) Khối A: Tính tích phân I = ∫ h×nh ( E ) : ( x − 4) y + ≤1 16 quay quanh trục Oy 10) (ĐHNN1 1999): Cho hình phẳng giới h¹n  x2  D = y = ;y =  bëi 2 x +1  a) TÝnh diện tích hình phẳng giới hạn D b) Tính thĨ tÝch vËt trßn xoay D quay quanh Ox Tổ toán : Trờng THPT Bình Giang x x +4 π 2) Khèi B: TÝnh tÝch ph©n I = (1 − sin x) dx ∫ + sin x 3) Khèi D: TÝnh tÝch ph©n I = ∫ x − x dx Năm 2004 1) Khối A: Tính tích phân I = ∫ 12 Th¸ng 5/2007 x.dx + x VTT Hệ thống tập tích phân- ứng dụng cđa tÝch ph©n e 2) Khèi B: TÝnh tÝch ph©n I = ∫ + ln x ln xdx x 3) Khèi D: TÝnh tÝch ph©n I = ∫ ln( x − x).dx ********** Hết *************** Tổ toán : Trờng THPT Bình Giang 13 Th¸ng 5/2007 VTT ... Tìm họ nguyên hàm hàm số F ( x) = 10 Bài 3: Tính tích phân bất định sau 2) tích phân Bài Tính tích phân phơng pháp phân tích Bài 1: Tính tích phân −1 2) A = x +1 2x + + 2x −1 7x − x − dx dx;... cos x −4   A=∫ Bµi 2: TÝnh tích phân A= cos x sin 3x.dx; B = ∫ sin x cos − (x − π ) dx 4 Bài 3: Tính tích phân Tháng 5/2007 VTT Hệ thống tập tích phân- ứng dụng tích ph©n A= ∫ B = ∫ x − x... Bài Tích phân hàm số vô tỉ Tổ toán : Trờng THPT Bình Giang Tháng 5/2007 VTT Hệ thống tập tích phân- ứng dụng tích phân Bài 1: (Một số tập bản) TÝnh c¸c tÝch ( x −1).dx I =∫ 7) (ĐHXD HN 1996) phân