A- ĐẶT VẤN ĐỀ Xuất phát từ mục tiêu Đảng "Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài cho đất nước" cần phải chăm sóc hệ trẻ từ lúc ấu thơ đến lúc trưởng thành Vì việc phát triển bồi dưỡng từ bậc tiểu học công việc quan trọng đồi hỏi người giáo viên phải không ngừng cải tiến nội dung, đổi phương pháp để khuyến khích học sinh say mê học tập, nghiên cứu tìm tòi chiếm lĩnh tri thức Môn toán Tiểu học môn học thống Môn toán Tiểu khác với bậc học không chia thành nội dung độc lập số học, đại số, hình học tổ chức thành môn học thống thể qua tên gọi Toán 1, Toán 2, … Số học nội dung trọng tâm chương trình môn Toán tiểu học, chiếm khối lượng thời lượng lớn toàn cấu trúc nội dung chương trình môn toán Tiểu học Việc dạy giải toán nâng cao môn giải toán Tiểu học có vị trí đặc biệt quan trọng Thông qua dạy giải toán nâng cao giúp cho đội ngũ giáo viên nâng cao trình độ chuyên môn nghiệp vụ, rèn kỹ giải toán từ nâng cao chất lượng dạy toán Tiểu học Muốn nâng cao chất lượng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi toán trước hết phải xây dựng nội dung hợp lý, khoa học phương pháp giảng dạy phù hợp, phát triển khả tư linh hoạt, sáng tạo học sinh Để bước nâng cao chất lượng bồi dưỡng học sinh giỏi, qua nhiều năm dạy ôn đội tuyển học sinh giỏi khối 4; Tôi tích luỹ, sưu tầm “Hệ thống dạng Toán dãy số để bồi dưỡng học sinh khá, giỏi khối lớp 4; 5.” áp dụng năm học 2012-2013 học sinh giỏi lớp 4, với hình thức tổ chức dạy học theo hướng cá biệt hoá; phương án dạy học dựa lực học, nhịp độ nhận thức học sinh thông qua mối quan hệ dạy học kỹ thuật thao tác dạy học theo nhóm, đội tuyển học sinh giỏi, với hình thức dạy học tạo điều kiện cho học sinh bộc lộ phát triển tài toán học B- GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I CƠ SỞ LÍ LUẬN Công tác bồi dưỡng học sinh giỏi đóng vai trò quan trọng công tác chuyên môn nhà trường Qua thực tế tham gia giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi thấy thực trạng việc dạy học giải toán nâng cao giáo viên học sinh nhiều vấn đề phải quan tâm Đó là: Nội dung dạy bồi dưỡng học sinh giỏi chưa đảm bảo logic, giáo viên nghiên cứu tài liệu tham khảo thấy hay chọn để dạy cho học sinh chưa phân dạng, loại mạch kiến thức Về phương pháp dạy giải toán nâng cao chưa hợp lí, có phương pháp giải chưa phù hợp dạy bồi dưỡng học sinh giỏi Toán để giáo viên lấy làm sở Học sinh chưa có phương pháp tư logic để giải dạng tập tập dãy số Chính vậy, chất lượng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi chưa cao Bài toán dãy số dạng toán nói phổ biến học sinh tiểu học Ngay từ lớp em làm quen với toán dạng hình thức khác điền số thích hợp vào ô trống, viết tiếp số hạng vào dãy số Đến lớp 4, toán lại trở nên đa dạng nhiều, không dừng lại số tự nhiên lớp đầu cấp em làm quen với phân số số thập phân II THỰC TRẠNG Thực trạng dạy bồi dường học sinh giỏi trường Tiểu học Thạch Quảng Đa số giáo viên chọn để bồi dưỡng học sinh giỏi nhiệt tình lúng túng việc lựa chọn tài liệu bồi dưỡng Phương pháp bồi dưỡng chưa hiệu Giáo viên chưa đầu tư tìm tòi để xây dựng hệ thống dạng cụ thể theo mảng kiến thức Khi dạy giáo viên trọng đến việc hướng dẫn học sinh giải toán cụ thể, chưa ý đến việc khái quát cách giải theo dạng Do học sinh bó hẹp cách nhìn nhận dạng toán Khi làm học sinh gặp toán tương tự ( thay số) làm được, dạng gọi khác mở rộng chút học sinh lại xem khó tìm cách giải Thực trạng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi toán dãy số Một số giáo viên bồi dưỡng học sinh giỏi chưa trọng đến dạng toán dãy số Mới nhận thấy số dạng mức độ Khi dạy hướng dẫn học sinh giải trực tiếp toán mà chưa ý đến việc khái quát theo dạng Giáo viên ý đến việc hướng dẫn giải đề mà chưa nghĩ đến xây dựng hệ thống dạng toán dãy số từ đến nâng cao Khảo sát thực trạng kết khảo sát - Khảo sát học sinh khá, giỏi khối 4; (thời gian 15 phút – ngày 10/12/2013 ) Đề bài: Bài 1: Cho dãy số 11; 14; 17; ;65; 68 Hãy xác định dãy số có số hạng? Bài 2: Tìm số hạng dãy số sau biết dãy số có 10 số hạng a)…, …, 32, 64, 128, 256, 512, 1024 b) , , 44, 55, 66, 77, 88, 99, 110 - Kết khảo sát: Xếp Loại GIỎI KHÁ TRUNG BÌNH YẾU Lớp SL TL% SL TL% SL TL% SL TL% 5- tổng số 8em 12.5 25.0 62.5 0 4- tổng số 10em 0 20.0 40.0 40.0 Từ thực trạng xin đề xuất biện pháp bồi dưỡng học sinh khá, giỏi khối 4, dạng toán dãy số III CÁC GIẢI PHÁP Hệ thống hoá dạng toán dãy số Hướng dẫn học sinh giải toán dãy số Hướng dẫn học sinh áp dụng giải toán dãy số vào thực hành Tổ chức số trò chơi củng cố cho học sinh cách giải toán dãy số IV BIỆN PHÁP THỰC HIỆN Giáo viên xây dựng hệ thống dạng toán dãy số Trong khuôn khổ sáng kiến này, không tham vọng giải tất vấn đề dãy số lớp 4, mà tập trung sâu nghiên cứu hệ thống toán dãy số hướng dẫn học sinh nhận dạng phương pháp giải dạng toán: Dạng 1: Điền thêm số hạng vào sau, trước dãy số Dạng 2: Xác định số a có thuộc dãy cho hay không? Dạng 3: Tìm số số hạng dãy Dạng 4: Tìm số hạng thứ n dãy số Dạng 5: Tìm số chữ số dãy biết số số hạng ngược lại Dạng 6: Tìm chữ số thứ n dãy Dạng 7: Tìm tổng số hạng dãy số Dạng 8: Dãy chữ Các Toán bồi dưỡng học sinh giỏi phải thể nội dung trọng tâm Đối với học sinh giỏi phải đặt mức yêu cầu cao hơn: cần nắm kiến thức cách tổng hợp Vì vậy, toán bồi dưỡng học sinh giỏi thường tổng hợp tất nội dung kiến thức Các toán “Dãy số” liên quan đến toán tính chất phép tính Hướng dẫn học sinh giải dạng toán dãy số 2.1 Các kiến thức cần nhớ: Trong dãy số tự nhiên liên tiếp số chẵn lại đến số lẻ lại đến số chẵn… Vì vậy, nếu: - Dãy số số lẻ kết thúc số chẵn số lượng số lẻ số lượng số chẵn - Dãy số số chẵn kết thúc số lẻ số lượng số chẵn số lượng số lẻ - Nếu dãy số số lẻ kết thúc số lẻ số lượng số lẻ nhiều số chẵn số - Nếu dãy số số chẵn kết thúc số chẵn số lượng số chẵn nhiều số lẻ số a Trong dãy số tự nhiên liên tiếp số số lượng số dãy số giá trị số cuối số b Trong dãy số tự nhiên liên tiếp số khác số số lượng số dãy số hiệu số cuối dãy số với số liền trước số 2.2 Các loại dãy số thường gặp: + Dãy số cách đều.( Dãy số tự nhiên; Dãy số chẵn, lẻ; Dãy số chia hết không chia hết cho số tự nhiên đó) + Dãy số không cách đều.( Dãy có tổng (hiệu) hai số liên tiếp dãy số) + Dãy số thập phân, phân số: 2.3.Hướng dẫn học sinh cách giải cụ thể: Dạng 1: Điền thêm số hạng vào sau, trước dãy số *Cách giải dạng toán này: Bước 1: Ta cần xác định lại quy luật dãy số: -Một số quy luật thường gặp: + Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 2) số hạng đứng trước cộng (hoặc trừ) với số tự nhiên a + Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 2) số hạng đứng trước nhân (hoặc chia) với số tự nhiên q khác + Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 3) tổng số hạng đứng liền trước + Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 4) tổng số hạng đứng trước cộng với số tự nhiên d cộng với số thứ tự số hạng + Số hạng đứng sau số hạng đứng trước nhân với số thứ tự + Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 2) trở a lần số liền trước + Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 2) trở đi, số liền sau a lần số liền trước cộng (trừ ) n (n khác 0) Bước 2: Dựa vào quy luật để tìm số *Dạng bản: Ví dụ 1: Điền thêm số hạng vào dãy số : 2, 7, 13, 20, Bước 1: Muốn giải toán trước hết phải xác định quy luật dãy số Ta xét thấy: + + = 7; + + = 13; 13 + + = 20 Dãy số lập theo quy luật sau: Mỗi số hạng ( kể từ số hạng thứ hai) số hạng đứng liền trước cộng với số thứ tự số hạng cộng với Bước 2: Ba số hạng là: 20 + + = 28; 28 + + = 37; 37 + + =47 Vậy dãy số viết đầy đủ là: 2, 7, 13, 20, 28, 37, 47 Ví dụ 2: Tìm số hạng dãy số sau biết dãy số có 10 số hạng a)…, …, 32, 64, 128, 256, 512, 1024 ( Biết dãy có 10 số hạng) b) , , 390, 395, 400 ( Biết dãy có 80 số hạng) Giải: a) Ta nhận xét : Số hạng thứ 10 : 1024 = 512 x Số hạng thứ : 512 = 256 x Số hạng thứ : 256 = 128 x Số hạng thứ : 128 = 64 x Từ ta suy luận quy luật dãy số là: số hạng dãy số gấp đôi số hạng đứng liền trước Vậy số hạng dãy là: x = b) Ta nhận xét : Số hạng thứ 80 : 400 = 80 x Số hạng thứ 79 : 395 = 79 x Số hạng thứ 78 : 390 = 78 x Từ ta suy luận quy luật dãy số là: Mỗi số hạng số thứ tự số hạng nhân với Vậy số hạng dãy : x = *Dạng nâng cao: Ví dụ 1: Tìm số thiếu dãy số : 3, 9, 27, , , 729 Giải : Muốn tìm số thiếu dãy số, cần tim quy luật dãy số Ta nhận xét : x = 9; x = 27 Quy luật dãy số là: Kể từ số hạng thứ trở đi, số hạng gấp lần số liền trước Ta có số thiếu dãy số là: 27 x = 81 ; 81 x = 243 ; 243 x = 729 (đúng) Vậy dãy số thiếu hai số : 81 243 Ví dụ 2: Lúc 7h sáng, người từ A đến B người từ B đến A ; hai đến đích lúc 2h chiều Vì đường khó dần từ A đến B ; nên người từ A, đầu 15km, sau lại giảm 1km Người từ B cuối 15km, trước lại giảm 1km Tính quãng đường AB Giải: chiều 14h ngày, người đến đích số là: 14 – = Vận tốc người từ A đến B lập thành dãy số: 15, 14, 13, 12, 11, 10, Vận tốc người từ B đến A lập thành dãy số: 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 Nhìn vào dãy số ta nhận thấy có số hạng giống quãng đường AB là: + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 = 84 Đáp số: 84km Ví dụ 3: (Toán tuổi thơ số 31/2003) Điền số thích hợp vào ô trống cho tổng số ô liên tiếp 428 112 215 Giải: Ta đánh số thứ tự ô sau: 112 215 Ô1 Ô2 Ô3 Ô4 Ô5 Ô6 Ô7 Ô8 Ô9 Ô10 Ô11 Ô12 Ô13 Theo điều kiện đề ta có: 215 + Ô8 + Ô9 = 428; Ô8 + Ô9 + Ô10 = 428.Vậy Ô10 = 215; Từ ta tính được: Ô1 = Ô4 = Ô7 = Ô10 = Ô13 = 215 Ô2 = Ô5 = Ô8 = Ô11= 112; Ô3 = Ô6 = Ô9 = Ô12 = 428 – (215 + 112) = 101 Điền số vào ta dãy số: 215 112 101 215 112 101 215 112 101 215 112 101 215 Một số lưu ý giảng dạy Toán dạng là: Trước hết phải xác định quy luật dãy dãy tiến, dãy lùi hay dãy số theo chu kỳ Từ mà học sinh điền số vào dãy cho * Bài tập vận dụng: Bài 1: Tìm viết số hạng thiếu dãy số sau: a 7, 10, 13,…, …, 22, 25 b 103, 95, 87,…, …, , 55, 47 Bài 2: Điền thêm số hạng vào dãy số : 1, 4, 9, 16, 25,……, (Đề khảo sát chất lượng HS giỏi lớp NH:2012-2013 huyện Thạch Thành) Bài 3: Hãy viết tiếp số hạng thứ năm dãy số sau theo quy luật? 2001 2002 2003 2004 ; ; ; 2002 2003 2004 2005 Bài 4: Chiếc quạt kỳ diệu: Bạn điền đủ số tự nhiên từ đến 13 vào ô tròn cho tổng ô thẳng hàng cung tròn (Toán tuổi thơ số 31/2003) Dạng 2: Xác định số A có thuộc dãy cho hay không? *Cách giải dạng toán này: Bước 1: Xác định quy luật dãy; Bước 2: Kiểm tra số A có thoả mãn quy luật hay không? *Dạng bản: Ví dụ 1: Cho dãy số: 2, 4, 6, 8,…… Số 2009 có phải số hạng dãy không? Vì sao? Giải: Bước 1: Ta nhận thấy: Số hạng thứ nhất: = x Số hạng thứ hai: = x Số hạng thứ 3: = x Số hạng thứ n: ? = x n Quy luật dãy số là: Mỗi số hạng nhân với số thứ tự số hạng Bước 2: Ta nhận thấy số hạng dãy số chẵn, mà số 2009 số lẻ, nên số 2009 số hạng dãy Ví dụ 2: Em cho biết: a Các số 60, 483 có thuộc dãy 80, 85, 90,…… hay không? b Số số 798, 1000, 9999 có thuộc dãy 3, 6, 12, 24,…… giải thích sao? Giải: a Cả số 60, 483 không thuộc dãy cho vì: - Các số hạng dãy cho lớn 60 - Các số hạng dãy cho chia hết cho 5, mà 483 không chia hết cho b Cả số 798, 1000, 9999 không thuộc dãy 3, 6, 12, 24,… vì: Bước 1: Mỗi số hạng dãy (kể từ số hạng thứ 2) gấp đôi số hạng liền trước nhận nó; số hạng (kể từ số hạng thứ 3) có số hạng đứng liền trước số chẵn, mà 798 chia cho = 399 số lẻ Bước 2: - Các số hạng dãy chia hết cho 3, mà 1000 lại không chia hết cho - Các số hạng dãy (kể từ số hạng thứ 2) chẵn, mà 9999 số lẻ *Dạng nâng cao: Ví dụ 3: Cho dãy số: 1; 2,2; 3,4; ……; 13; 14,2 Nếu viết tiếp số 34,6 có thuộc dãy số không? Giải: Bước 1: Ta nhận xét: 2,2 - = 1,2; 3,4 - 2,2 = 1,2; 14,2 - 13 = 1,2;… Quy luật dãy số là: Từ số hạng thứ trở đi, số hạng số hạng liền trước 1,2 đơn vị: Bước 2: Mặt khác, số hạng dãy số trừ chia hết cho 1,2 Như là: (13 - 1) chia hết cho 1,2 ; (3,4 - 1) chia hết cho 1,2 Mà: (34,6 - 1) : 1,2 = 28 dư 0.Vậy viết tiếp số 34,6 thuộc dãy số * Bài tập vận dụng: Bài 1: Cho dãy số: 3, 9, 36, 180 a Hãy nêu quy luật dãy số tìm hai số dãy số b Số 2009 có thuộc dãy không? Vì sao? (Đề khảo sát chất lượng HS giỏi lớp NH:2009-2010 huyện Thạch Thành) Bài 2: Cho dãy số: 1004, 1010, 1016,…, 2012 Hỏi số 1004 1760 có thuộc dãy số hay không? Bài 3: Cho dãy số: 1996, 1993, 1990, 1987,……, 55, 52, 49 Các số 100, 123, 456, 789, 1900, 1436, 2009 có phải số hạng dãy không? Bài 4: Cho dãy số: 3, 8, 13, 18,…… Có số tự nhiên có chữ số tận mà thuộc dãy số không? Dạng 3: Tìm số số hạng dãy *Cách giải dạng là: Đối với dạng toán này, ta thường sử dụng phương pháp giải toán khoảng cách (toán trồng cây).Ta có công thức sau: Số số hạng dãy = số khoảng cách+ Đặc biệt, quy luật dãy : Mỗi số hạng đứng sau số hạng liền trước cộng với số không đổi d thì: Số số hạng dãy = ( Số hạng lớn – Số hạng nhỏ ) : d + *Dạng bản: Ví dụ 1: Cho dãy số 11; 14; 17; 20; .; 68 Hãy xác định dãy số có số hạng? Giải : Nhận xét: - Số hạng thứ hai dãy số : 14 = 11+ - Số hạng thứ ba dãy số : 17 = 14 + - Số hạng thứ tư dãy số : 20 = 17 + Vậy quy luật dãy số số hạng đứng liền sau số hạng đứmg liền trước cộng với Số số hạng dãy số là: Ta có số số hạng dãy số: ( 68 - 11 ) : + = 20 ( số hạng ) Ví dụ 2: Cho dãy số : 21; 22; 23; 24; ; 97; 98; 99 Hỏi dãy số có số lẻ? (Đề thi giao lưu học sinh giỏi lớp huyện Thạch Thành – NH: 2010-2011) Giải: Dãy số dãy số có số hạng liên tiếp nên số lẻ có quy luật cách hai đơn vị Vì dãy số có số số hạng số lẻ là: ( 99 – 21) : + = 40 ( số lẻ) *Dạng nâng cao: Ví dụ 3: Trong số có ba chữ số, có số chia hết cho 4? Giải: Ta nhận xét : Số nhỏ có ba chữ số chia hết cho 100 số lớn có ba chữ số chia hết cho 996 Như số có ba chữ số chia hết cho lập thành dãy số có số hạng nhỏ 100, số hạng lớn 996 số hạng dãy ( kể từ số hạng thứ hai ) số hạng đứng liền trước cộng với Vậy số số có ba chữ số chia hết cho : ( 996 – 100 ) : = 225 ( số ) * Bài tập vận dụng: Bài 1: Cho dãy số: 2, 4, 6, 8, 10,……, 1992 Hãy xác định dãy số có số hạng? Bài 2: Tìm số số hạng dãy số sau: a 1, 4, 7, 10, ……,1999 b 1,1 ; 2,2 ; 3,3 ; ; 108,9 ; 110,0 Bài 3: Xét dãy số: 100, 101, ………, 789 Dãy số có số hạng? Bài 4: Có số chia cho dư mà nhỏ 2010 ? Bài 5: Người ta trồng hai bên đường đoạn đường quốc lộ dài 21km Hỏi phải dùng để đủ trồng đoạn đường ? Biết trồng cách 5m Dạng 4: Tìm số hạng thứ n dãy số *Dạng bản: Ví dụ 1: Cho dãy số: 1, 3, 5, 7, Hỏi số hạng thứ 100 dãy số số nào? Giải: Số khoảng cách từ số đầu đến số hạng thứ 100 là: 98 - = 99 Mỗi khoảng cách là: - = - = Số hạng thứ 100 là: + 99 × = 199 Cách tính tổng quát: Số hạng thứ n = số đầu + khoảng cách × (Số số hạng - 1) Ví dụ 2: Cho 1, 3, 5, 7, ……… dãy số lẻ liên tiếp Hỏi 1981 số hạng thứ dãy số này? Giải thích cách tìm? (Đề thi học sinh giỏi bậc tiểu học 1980 – 1981) Giải: Ta thấy: Số hạng thứ bằng: = + x Số hạng thứ hai bằng: = + x 1; Số hạng thứ ba : = + x Còn số hạng cuối cùng: 1981 = + x 990 Vì vậy, số 1981 số hạng thứ 991 dãy số Ví dụ 3: Tìm số hạng thứ 100 dãy số viết theo quy luật: a) 3, 8, 15, 24, 35,… (1) b )1, 3, 6, 10, 15,… (2) Giải: a) Dãy (1) viết dạng: 1x3, 2x4, 3x5, 4x6, 5x7,… Mỗi số hạng dãy (1) tích hai thừa số, thừa số thứ hai lớn thừa số thứ đơn vị Các thừa số thứ làm thành dãy: 1, 2, 3, 4, 5, …; Dãy có số hạng thứ 100 100 Số hạng thứ 100 dãy (1) bằng: 100x102 = 10200 1× 2 × 3 × 4 × ; ; ; ; 2 2 100 × 101 = 5050 Số hạng thứ 100 dãy (2) bằng: b) Dãy (2) viết dạng: *Dạng nâng cao: Ví dụ 1: Cho dãy số: 1, 2, 3, ., n Hãy tìm số n biết tổng dãy số 136 Giải: Áp dụng cách tính tổng ta có :1+ + + + n = (1 + n) × n = 136 Do đó: (1 + n ) × n = 136 × = 17 × × = 16 × 17 Vậy n = 16 Ví dụ 2: Cho dãy số: 21, 22, 23, , n Tìm n biết: 21 + 22 + 23 + + n = 4840 Giải: Nếu cộng thêm vào tổng tổng số tự nhiên liên tiếp từ đến 20 ta có tổng: + + + + 21 + 22 + 23 + .+ n Áp dụng cách tính tổng ta có: (1 + n) × n : = + + + 20 + 4840 = ( + 20) × 20 : + 4840 = 210 + 4840 = 5050 ( 1+ n) × n = 5050 × = 10100 = 101 × 100 Vậy n = 100 * Bài tập vận dụng: Bài 1: Cho dãy số : 1, 4, 9, 16, 25, Tìm số hạng thứ 50 dãy số Bài 2: Cho dãy số: 1,3, 6, 10, 15, 21,… Tìm số hạng thứ 100 dãy (Đề thi giao lưu học sinh giỏi tỉnh Thanh Hóa – năm học 2008-2009) Bài 3: Cho biết: + + + + n = 345 Hãy tìm số n Bài 4: Tìm số n biết 98 + 102 + + n = 15050 Bài 5: Cho dãy số 10, 11, 12, 13, …, x Tìm x để tổng dãy số 5106 Dạng 5: Tìm số chữ số dãy biết số số hạng ngược lại *Dạng bản: Tìm số chữ số dãy biết số số hạng Ví dụ 1: Cho dãy số: 1, 2, 3, .150 Hỏi để viết dãy số người ta phải dùng chữ số Giải: Dãy số cho có : ( - 1) : + = số có chữ số Có ( 99 - 10 ) : + = 90 số có chữ số Có ( 150 - 100) : + = 51 số có chữ số Vậy số chữ số cần dùng : × + 90 × + 51 × = 342 chữ số Ví dụ 2: Để đánh số trang sách dày 115 trang Người ta phải dùng tất lượt chữ số? (Đề khảo sát chất lượng HS giỏi lớp NH:2012-2013 huyện Thạch Thành) Giải: Để đánh số trang từ trang 1đến trang 9cần số có chữ số cần lượt chữ số - Để đánh số trang từ trang 10 đến trang 99 cần 90 số có chữ số Vậy cần x 90 = 180 lượt chữ số - Để đánh số trang từ trang 100 đến trang 115 cần 16 số có chữ số Vậy cần 16 x = 48 lượt chữ số - Vậy cần tất số lượt chữ số là: + 180 + 48 = 237 (chữ số) Đáp số: 237 chữ số *Dạng nâng cao: Tìm số số hạng biết số chữ số Ví dụ 1: Để lập danh sách học sinh giỏi đăng ký dự thi toàn trường, người viết danh sách phải dùng 312 chữ số để ghi số báo danh từ đến hết Hỏi toàn trường có học sinh đăng ký dự thi (Đề dự tuyển toán tuổi thơ Lần – tỉnh Thanh Hoá) Giải:- Để viết hết số có chữ số ( từ đến 9) ta phải dùng chữ số - Để viết hết số có chữ số ( từ 10 đến 99) ta phải dùng 99x2=180 chữ số Như số chữ số phải dùng viết số có chữ số ( từ 100 đến hết số học sinh ) 312 – 180 – = 123 chữ số - Số số có chữ số cần dùng để viết : 123 : = 41 ( số) - Số số có chữ số đến số thứ 41 kể từ số 100 số 140 Vậy toàn trường có 140 học sinh đăng ký dự thi Ví dụ 2: Để ghi thứ tự nhà đường phố, người ta dùng số chẵn 2, 4, 6, để ghi nhà dãy phải số lẻ 1, 3, 5, để ghi nhà dãy trái đường phố Hỏi số nhà cuối dãy chẵn đường phố bao nhiêu, biết đánh thứ tự nhà dãy này, người ta dùng 367 lượt chữ số thảy Giải: Số nhà có số thứ tự ghi chữ số chẵn là: (8 - 2) : + = (nhà) Số nhà có số thứ tự ghi chữ số chẵn là: (98 - 10) : + = 45 (nhà) Số lượt chữ số để đánh số thự tự nhà có chữ số là: + 45 × 2= 94 (lượt) Số lượt chữ số để đánh số thứ tự nhà có chữ số là: 367 - 94 = 273 (lượt) Số nhà có số thứ tự chữ số là: 273 : = 91 (nhà) Tổng số nhà của dãy chẵn là: + 45 + 91 = 140 (nhà) Số nhà cuối dãy chẵn là: (140 - 1) × + = 280 Đáp số: 280 * Bài tập tự luyện: Bài 1: Một bạn học sinh viết liên tiếp số tự nhiên từ 101 đến 2009 thành số lớn Hỏi số có chữ số Bài 2: Trường Tiểu học Thành Công có 987 học sinh Hỏi để ghi số thứ tự học sinh trường người ta phải dùng chữ số 10 Bài 3: Để đánh số trang sách người ta dùng hết 435 chữ số Hỏi sách có trang? Bài 4: Để ghi số thứ tự học sinh trường Tiểu học, người ta phải dùng 1137 chữ số Hỏi trường có học sinh ? Bài 5: Tính số trang sách Biết để đánh số trang sách người ta phải dùng 3897 chữ số? Dạng 6: Tìm chữ số thứ n dãy *Dạng bản: Ví dụ 1: Cho dãy số 1, 2, 3, Hỏi chữ số thứ 200 chữ số ? Giải: Dãy số cho có số có chữ số Có 90 số có chữ số Để viết số cần: × + 90 × = 189 chữ số Số chữ số lại là: 200 - 189 = 11 chữ số Số chữ số lại dùng để viết số có chữ số 100 Ta viết 11 : = số (dư chữ số) Nên có số có chữ số viết liên tiếp đến : 99 + = 102 Còn dư chữ số dùng để viết tiếp số 103 viết 10 Vậy chữ số thứ 200 dãy chữ số số 103 Ví dụ 2: Cho dãy số 2, 4, 6, 8, Hỏi chữ số thứ 2010 dãy chữ số nào? Giải: Dãy số cho có số có chữ số Có (98 - 10) : + = 45 số có chữ số Có (998 - 100) : + = 450 số có chữ số Để viết số cần: × + 45 × + 450 x = 1444 chữ số Số chữ số lại là: 2010 - 1444 = 566 chữ số Số chữ số lại dùng để viết số có chữ số 1000 Ta viết được: 566 : = 141 số (dư chữ số) Nên có 141 số có chữ số viết , số có chữ số thứ 141 là: (141 - 1) x + 1000 = 1280 Còn dư chữ số dùng để viết tiếp số 1282 viết 12 Vậy chữ số thứ 2010 dãy chữ số hàng trăm số 1282 *Dạng nâng cao: Ví dụ 1: Tìm chữ số thứ 2010 ở phần thập phân của số thập phân bằng phân số Giải: Số thập phân bằng phân số là: : = 0,14285714285 Đây là số thập phân vô hạn tuần hoàn Ta thấy cứ chữ số thì lập thành nhóm 142857 Với 2010 chữ số thì có số nhóm là: 2010 : = 335 (nhóm) Vậy chữ số thứ 2010 ở phần thập phân của số thập phân = phân số là chữ số 7 Ví dụ 2: Cho số có chữ số, dãy số tạo nên cách nhân đôi 11 chữ số hàng đơn vị số cộng với chữ số hàng chục, ghi lại kết quả; tiếp tục với số vừa nhận (Ví dụ dãy: 59, 23, 8, 16, 13, ) Tìm số thứ 2010 dãy số thứ 14 Giải: Ta lập dãy số sau: 14, 9, 18, 17, 15, 11, 3, 6, 12, 5, 10, 1, 2, 4, 8, 16, 13, 7, 14, 9, 18, 17, 15, Ta thấy hết 18 số dãy số lại lặp lại dãy 18 số đầu Với 2010 số có số nhóm là: 2010 : 18 = 111 nhóm (dư 12 số) 12 số dó số nhóm thứ 112 là: 14, 9, 18, 17, 15, 11, 3, 6, 12, 5, 10, Vậy số thứ 2010 dãy số * Bài tập tự luyện: Bài 1: Cho dãy số: 3, 6, 11, 18, 27, .Hãy tìm chữ số thứ 50 dãy số Bài 2: Cho dãy số: 2, 4, 6, 8, Bạn Bình tìm chữ số thứ 2010 dãy chữ số 0, hỏi bạn tìm hay sai? Bài 3: Bạn An viết phân số dưới dạng số thập phân Thấy bạn Hoa sang 13 chơi, An liền dố: Đố bạn tìm được chữ số thứ 100 ở phần thập phân của số thập phân mà tớ viết Hoa nghĩ tí rồi trả lời ngay: đó là chữ số Em hãy cho biết bạn Hoa trả lời đúng hay sai? Dạng 7: Tính tổng dãy số Các toán trình bày chuyên đề phân hai dạng chính, là: Kiểu thứ nhất: Dãy số với số hạng số nguyên, phân số (hoặc số thập phân) cách Kiểu thứ hai: Dãy số với số hạng không cách *Dạng bản: Là dạng dãy số mà số hạng cách Để giải dạng toán cần phải nắm quy luật dãy số, tìm số hạng tổng quát, cần phải kết hợp công cụ giải toán khác Cách giải: Nếu số hạng dãy số cách tổng hai số hạng cách đầu số hạng cuối dãy số Vì vậy: Tổng số hạng dãy tổng cặp hai số hạng cách đầu số hạng đầu cuối nhân với số hạng dãy chia cho Ta có cách tính: Số cặp = số số hạng : Tổng dãy số cách = (số đầu + số cuối) x Số cặp Từ cách tính ta suy ra: Số đầu dãy = tổng x : số số hạng – số hạng cuối Số cuối dãy = tổng x : số số hạng – số đầu Chú ý: Khi số hạng số lẻ, ta để lại số hạng đầu dãy số (số đầu, số cuối) để lại số chẵn số hạng cặp; lấy tổng cặp nhân với số cặp cộng với số hạng để lại tổng dãy số Tổng dãy số cách = (số thứ hai + số cuối) x Số cặp Ví dụ 1: Tính tổng 19 số lẻ liên tiếp 12 Giải: 19 số lẻ liên tiếp là: 1, 3, 5, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37 Ta thấy: + 37 = 38 ; + 33 = 38 + 35 = 38 ; + 31 = 38 Nếu ta xếp cặp số từ hai đầu số vào, ta cặp số có tổng số 38 Số cặp số là: 19 : = (cặp số) dư số hạng Số hạng dư số hạng dãy số số 19 Vậy tổng 19 số lẻ liên tiếp là: 39 x + 19 = 361 Đáp số: 361 Ví dụ 2: Tính tổng 105 + 103 + 101 + + + (Đề thi Khảo sát chất lượng HS giỏi lớp5 huyện Thạch Thành, NH:2011- 2012) Giải: Số số hạng dãy số : ( 105 – 5) : + = 51 (số hạng) Ta có : 51 – = 50 (số hạng) Vậy số cặp : 50 : = 25 ( cặp) Xét thấy cặp kể từ số hạng thứ : 103 + = 108; 101 + = 108 Ta có tổng dãy số là: 108 x 25 + 105 = 2805 Ví dụ 3: Tính A = 10,11 + 11,12 + 12,13 + + 98,99 + 100 Giải:Ta đưa số hạng tổng dạng số tự nhiên cách nhân hai vế với 100, ta có:100 x A = 1011 + 1112 + 1213 + + 9899 + 1000 Áp dụng cách tính tổng ta tính tổng A = 4954,95 Hoặc ta thấy: 11,12 - 10,11 = 12,13 - 11,12 = = 1,01 Vậy dãy số cách 1,01 đơn vị Dãy số có số số hạng : (100 - 10,11) : 1,01 + = 90 số hạng Tổng dãy số : (10,11 + 100) x 90 : = 4954,95 Ví dụ 4: Tính tổng tất số thập phân có phần nguyên 9, phần thập phân có chữ số: Giải: Các số thập phân có phần nguyên 9, phần thập phân có chữ số là: 9,000; 9,001; 9,002; 9,003; 9,004; 9,005; 9,006; 9,007; 9,008; …… ; 9,999 tức có 1000 số Tổng tất số dãy số là:(9,000 + 9,999) x 1000 : = 9499,5 Đáp số: 9499,5 *Dạng nâng cao: Là dạng dãy số mà số hạng không cách Ví dụ 1: Tính tổng số hạng dãy số 2 2 ; ; ; ; 15 35 63 99 (Đề thi giao lưu học sinh giỏi tỉnh Thanh Hóa – năm học 2005-2006) Giải: Tách phân số thành hiệu hai phân số tổng sau: 2 2 1 1 1 1 ; ; ; ; = (1 - ) + ( - ) + ( - ) + ( - ) + ( - ) 15 35 63 99 3 5 7 9 10 =1= 10 10 Ví dụ 2: Tổng nhiều phân số có tử số mẫu số phân số liền sau gấp mẫu số phân số liền trước lần Tính tổng: 1 1 1 + + + + + 16 32 64 Giải: Cách 1: Bước 1: Đặt A = 1 1 1 + + + + + 16 32 64 13 1 1 1 1 =1− ; = − ; = − 2 4 8 1 1 1 1 1    Bước 3: Vậy A = 1 −  +  −  +  −  + +  −  2 2 4 4 8   32 64  1 1 1 − A = − + − + − + + 2 4 32 64 64 63 63 − = A= 1= Đáp số: 64 64 64 64 64 Bước 2: Ta thấy: Cách 2: Bước 1: Đặt A = 1 1 1 + + + + + 16 32 64 Bước 2: Ta thấy: 1 =1− ; 2 1 + = =1− ; 4 1 + + = =1− 8 …………… Bước 3: Vậy A = 1 1 1 64 63 + + + + + − = =1= 16 32 64 64 64 64 64 Ví dụ 3: Tính tổng nhiều phân số có tử số n (n > 0); mẫu số tích thừa số có hiệu n thừa số thứ mẫu phân số liền trước thừa số thứ mẫu phân số liền sau: 1 1 3− 4−3 5−4 6−5 *A = x + x + x + x Giải: A = x + x + x + x 6 = x − x3 + 3x4 − 3x4 + x5 − x5 + x6 − x6 1 1 1 1 1 − + − + − + − = − = − = = 3 4 5 6 6 3 3 *B = x + x + x 11 + 11 x 14 − − 11 − 14 −11 Giải: B = x + x + x 11 + 11 x 14 11 14 11 B = x − x + x − x + x 11 − x 11 + 11 x 14 − 11 x 14 1 1 1 1 1 = − + − + − + − = − = − = = 5 8 11 11 14 14 14 14 14 = * Bài tập vận dụng: Bài 1: Tính tổng: 1010 + 1111 + 1212 + 1313 + 1414 + + 8989 (Đề thi giao lưu học sinh giỏi tỉnh Thanh Hóa – năm học 2008-2009) Bài 2: Tính nhanh tổng tất số có chữ số Bài 3: Tính nhanh: 4 4 4 a) x + x 11 + 11 x 15 + 15 x 19 + 19 x 23 + 23 x 27 14 b) 1 1 1 + + + + + 10 40 88 154 138 340 Bài 4: Tính tổng dãy số: 1 1 + + + + Bài 5: Hãy tính tổng dãy số sau: a) 1, 5, 9, 13, 17, …Biết dãy số có 80 số hạng b) , 17, 27, 44, 71, 115 Biết dãy số có số hạng Bài 6: Tính nhanh: a) 1,27 + 2,77 + 4,27 + 5,77 + 7,27 + … + 13,27 + 14,77 b) 0,1 + 0,2 + 0,3 + 0,4 + … + 0,9 + 0,10 + 0,11 + 0,12 + … + 0,19 Bài 7: Cho dãy số: a) 1 1 1 , , , , , 12 20 30 42 Hãy tính tổng 10 số hạng dãy số b) Số có phải số hạng dãy số không? Vì sao? 10200 Dạng 8: Dãy chữ Dạng dãy chữ không đòi hỏi học sinh phải tính toán phức tạp Ngược lại để giải toán dạng này, đòi hỏi học sinh phải biết vận dụng sáng tạo kiến thức toán học đơn giản, hiểu biết xã hội, từ mà vận dụng dạng toán vào đời sống hàng ngày môn học khác *Dạng bản: Ví dụ 1: Người ta viết liên tiếp nhóm chữ: HOCSINHGIOIHUYENTHACHTHANH dãy chữ liên tiếp: HOCSINHGIOIHUYENTHACHTHANHHOCSINH…… hỏi chữ thứ 2009 dãy chữ nào? Giải: Ta thấy nhóm chữ: HOCSINHGIOIHUYENTHACHTHANH gồm 15 chữ Giả sử dãy chữ có 2009 chữ có: 2012 : 26 = 77 (nhóm) dư 10 chữ cái.)Vậy chữ thứ 2009 dãy chữ HOCSINHGIOIHUYENTHACHTHANH chữ O tiếng GIOI đứng vị trí thứ 10 nhóm chữ thứ 78 *Dạng nâng cao: Ví dụ 1: Một người viết liên tiếp nhóm chữ TINHTHANHHOA thành dãy TINHTHANHHOATINHTHANHHOA …… Hỏi: a Nếu người ta đếm dãy số có 28 chữ H dãy có chữ N? b Người ta tô màu chữ dãy theo thứ tự: XANH, ĐỎ, TÍM, VÀNG, XANH, ĐỎ, TÍM,… hỏi chữ thứ 2013 dãy tô màu gì? Giải: a Mỗi nhóm chữ TINHTHANHHOA có chữ H có chữ N Vì vậy, người ta đếm dãy có 28 chữ H tức người viết lần nhóm nên dãy phải có 14chữ N b Ta nhận xét:+ 2013 chia cho dư + Những chữ dãy có số thứ tự chia cho dư tô màu XANH 15 Vậy chữ thứ 2013 dãy tô màu XANH Ví dụ 2: Bạn Hải cho viên bi vào hộp theo thứ tự là: bi xanh, bi đỏ, bi vàng lại đến bi xanh, bi đỏ, bi vàng Hỏi: a) Viên bi thứ 100 có màu gì? b) Muốn có 10 viên bi đỏ phải bỏ vào hộp viên bi? Giải: a) Ta thấy, viên bi lập thành nhóm màu: xanh, đỏ, vàng 100 viên bi có số nhóm là: 100 : = 33 nhóm (dư viên bi) Như vậy, bạn Hải cho vào hộp 33 nhóm, dư viên nhóm thứ 34 viên bi nhóm Vậy viên bi thứ 100 có màu xanh b) Một nhóm có viên bi, muốn có 10 viên bi đỏ cần bỏ vào hộp: x 10 = 30 viên bi Nhưng viên bi màu đỏ viên bi thứ nhóm Vậy cần bỏ vào hộp số viên bi là: 30 - 1= 29 viên * Bài tập vận dụng: Bài 1: Người ta viết chữ D, A, Y, T, O, T, H, O, C, T, O, T,…… thành dãy: DAYTOTHOCTOTDAYTOT… màu xanh, đỏ, tím, tiếng màu Hỏi chữ thứ 2010 chữ gì? Màu gì? Bài 2: Bạn Dương viết liên tiếp nhóm chữ DIENBIENPHU thành dãy: DIENBIENPHUDIENBIENPHU Hỏi: a) Chữ thứ 1954 chữ gì? b) Nếu dãy viết có 2010 chữ E có chữ H? Bài 4: Một người viết liên tiếp nhóm chữ TOQUOCVIETNAM thành dãy TOQUOCVIETNAM TOQUOCVIETNAM … Hỏi: a) Chữ thứ 1975 dãy chữ gì? b) Người ta đếm dãy có 50 chữ T dãy có chữ O? Bao nhiêu chữ I? c) Bạn An đếm dãy có 1945 chữ O Hỏi bạn đếm hay sai? d) Người ta tô màu vào chữ dãy theo thứ tự: xanh, đỏ, tím, vàng, xanh, đỏ, tím, vàng, …Hỏi chữ thứ 2010 tô màu gì? Tổ chức số trò chơi Trò chơi giúp học sinh thư giản buổi học Thay đổi không khí học tập căng thẳng để học sinh có tinh thần thoải mái tiếp thu tốt Xây dựng trò chơi để gúp em củng cố cách giải dạng toán dãy số * Trò chơi 1: Tìm nhanh, điền Ví dụ : Cho dãy số : 2, 7, 13, 20, Điền thêm số hạng vào dãy số Cách tổ chức chơi: Giáo viên kẻ bảng viết đề hai bên cho hai nhóm lên chơi Mỗi nhóm cử bạn Mỗi bạn điền số hạng Nhóm điền nhanh thời gian chiến thắng * Trò chơi 2: Tìm màu cho chữ Ví dụ: Một người viết liên tiếp nhóm chữ TINHTHANHHOA thành dãy TINHTHANHHOATINHTHANHHOA …… Người ta tô màu chữ dãy theo thứ tự: XANH, ĐỎ, TÍM, VÀNG, XANH, ĐỎ, TÍM,… hỏi chữ thứ 2013 dãy tô màu gì? Cách tổ chức chơi: Giáo viên làm quản trò Hướng dẫn học sinh cách chơi Khi 16 Giáo viên nêu yêu cầu “chữ thứ … tô màu gì?” Học sinh tìm nhanh thi xem nhóm tìm nhiều đáp án thời gian quy định, chiến thắng (Lưu ý học sinh tìm phải dành quyền trả lời, sai bạn khác có quyễn trả lời ) C- KẾT LUẬN Kết kiểm nghiệm Thực việc bồi dưỡng học sinh giỏi khối 4, năm học 2013- 2014 kết thu tương đối khả quan Đề bài: Bài 1: Tính tổng: 1010 + 1111 + 1212 + 1313 + 1414 + + 8989 Bài 2: Cho dãy số: 1,3, 6, 10, 15, 21,… Tìm số hạng thứ 100 dãy Bài 3: Tính số trang sách Biết để đánh số trang sách người ta phải dùng 3897 chữ số? Bài 4: Bạn Dương viết liên tiếp nhóm chữ DIENBIENPHU thành dãy: DIENBIENPHUDIENBIENPHU Hỏi chữ thứ 1954 chữ gì? Kết : Xếp Loại GIỎI KHÁ TRUNG BÌNH YẾU Lớp SL TL% SL TL% SL TL% SL TL% 5(tổng số 8em) 50.0 50.0 0 0 4(tổng số 10em) 60.0 40.0 0 0 Bài học kinh nghiệm Bản thân nhiều năm trực tiếp bôì dưỡng học sinh giỏi qua thực tiễn giảng dạy môn Toán trường Tiểu học lớp 4, 5, thấy người giáo viên phải luôn tìm tòi, học hỏi, trau dồi kinh nghiệm để nâng cao trình độ, nghiệp vụ Không hướng dẫn giúp học sinh có kỹ giải Toán mà giúp em phát triển tư trí tuệ, tư phân tích tổng hợp, khái quát hoá, trừu tượng hoá, rèn luyện tốt phương pháp suy lụân lôgic, bên cạnh đó, dạng toán gần gũi với học sinh đời sống thực tế Do vậy, việc bồi dưỡng cho học sinh giỏi môn Toán nói chung "Dãy số" nói riêng có dạng Toán trên, người giáo viên phải ý điểm sau: - Lựa chọn, xếp hệ thống tập từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp, vận dụng tốt kiến thức học để thực giải toán có liên quan - Với dạng bài, giáo viên cần phải hướng dẫn học sinh nhận thức phân tích - xác định dạng toán, câu hỏi để tìm dấu hiệu Sau tìm mối liên quan kiện câu hỏi để tìm phương pháp giải ngắn gọn, dễ hiểu Đề xuất, kiến nghị: - Với BGH nhà trường: Mở buổi chuyên đề nâng cao phương pháp bồi 17 dưỡng học sinh giỏi, phương pháp giải toán Tiểu học cho giáo viên; Mua tài liệu tham khảo thức Bộ GD, Sở GD để giáo viên thuận tiện việc chọn tài liệu bồi dưỡng cho học sinh - Với Giáo viên: Nắm bước hướng dẫn giải dạng bài; Chọn phương pháp dạy học phù hợp với học sinh - Với Học sinh: Thành thạo kỹ làm tính; Nắm kiến thức số học Do điều kiện, khả thân có hạn, không tránh khỏi thiếu sót, song “Hệ thống Toán dãy số để bồi dưỡng học sinh khá, giỏi lớp 4, 5.” giúp đồng nghiệp khắc sâu thêm kiến thức để bồi dưỡng cho em học sinh sau Tôi mong bổ sung, góp ý chân thành hội đồng khoa học để thân ngày tiến Tôi xin chân thành cảm ơn! XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thạch Thành, ngày 10 tháng11 năm 2013 Tôi xin cam đoan SKKN thân, không chép nội dung người khác NGƯỜI THỰC HIỆN : Đặng Thị Loan 18 19 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THẠCH THÀNH TRƯỜNG TIỂU HỌC THẠCH QUẢNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HỆ THỐNG CÁC DẠNG BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ ĐỂ BỒI DƯỠNG HỌC SINH KHÁ, GIỎI KHỐI 4; Người thực hiện: Đặng Thị Loan Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác: Trường TH Thạch Quảng SKKN thuộc lĩnh mực (môn): Toán THẠCH THÀNH, NĂM 2013 20 ... nghiên cứu hệ thống toán dãy số hướng dẫn học sinh nhận dạng phương pháp giải dạng toán: Dạng 1: Điền thêm số hạng vào sau, trước dãy số Dạng 2: Xác định số a có thuộc dãy cho hay không? Dạng 3:... không cách *Dạng bản: Là dạng dãy số mà số hạng cách Để giải dạng toán cần phải nắm quy luật dãy số, tìm số hạng tổng quát, cần phải kết hợp công cụ giải toán khác Cách giải: Nếu số hạng dãy số cách... số số hạng dãy Dạng 4: Tìm số hạng thứ n dãy số Dạng 5: Tìm số chữ số dãy biết số số hạng ngược lại Dạng 6: Tìm chữ số thứ n dãy Dạng 7: Tìm tổng số hạng dãy số Dạng 8: Dãy chữ Các Toán bồi dưỡng