Chuyên đề: TAM THỨC BẬC HAI I Lí thuyết f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0) Kí hiệu: x1, x2 nghiệm f(x) = Định lí thuận dấu tam thức bậc hai: trái, • Δ <  af(x) > với ∀x ∈ R ∀x ≠ − b 2a af(x) ≥ với ∀x ∈ R Δ =  af(x) > với  x < x af ( x ) > ⇔   x > x  af ( x ) < ⇔ x < x < x • Δ>0  Định lí đảo dấu tam thức bậc hai a Nội dung: Cho tam thức bậc hai f(x) = ax + bx + c (a ≠ 0) Nếu có số α thoả mãn af(α) < f(x) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 x1 < α < x2 b Hệ quả: ∆ > af (α ) < ⇔  x < α < x • af (α ) = ⇔ α • nghiệm f(x) S  α < x1 < x2 > α af (α ) > ⇒ α ∉[ x1 ; x2 ] :   ∆ >  x < x < α S < α •  • • Dạng tập  So sánh nghiệm tam thức với số cho trước x < α < x ⇔ af (α) < •  ∆ >  α < x < x ⇔ af (α) > S  −α > 2 •  ∆ >  x < x < α ⇔ af (α) > S  −α < 2 Nguyễn Hoàng Hà 090.499.2781 Page 1 • • • ∆ > α ∉ [x ; x ] ⇔  af (α ) > So sánh nghiệm tam thức với hai số cho trước α < β • • •af (α ) < x1 < α < β < x2 ⇔  af ( β ) < • af (α ) < x1 < α < x2 < β ⇔  af ( β ) > • • • • • af (α ) > α < x1 < β < x2 ⇔  af ( β ) < • • • • • • • Phương trình có hai nghiệm phân biệt có nghiệm thuộc khoảng (α;β) f(α).f(β) <   ∆ >  af (α) >  α < x < x < β ⇔ af (β) > S  −α > 2 S  −β < 2 • Phương trình có hai nghiệm phân biệt Tìm điều kiện để tam thức bậc hai không đổi dấu R, miền cho trước Nguyễn Hoàng Hà 090.499.2781 Page 2 • a > f ( x ) > 0, ∀x ∈ R ⇔  ∆ < • a > f ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ R ⇔  ∆ ≤ Nguyễn Hoàng Hà 090.499.2781 Page • a < f ( x ) < 0, ∀x ∈ R ⇔  ∆ < • a < f ( x ) ≤ 0, ∀x ∈ R ⇔  ∆ ≤ Chứng minh phương trình bậc hai có nghiệm • Nếu có α cho af(α) < phương trình có hai nghiệm phân biệt • Nếu có hai số α, β cho f(α).f(β) < phương trình f(x) = có nghiệm • Nếu có hai số α, β cho f(α).f(β) < a ≠ phương trình f(x) = có hai nghiệm phân biệt Giải biện luận phương trình, bất phương trình bậc hai • Lập bảng xét dấu • • K • S • S ế / / • f • f t 2 ( ( • M • a • Δ α β l – ) ) u ậ α β n • • • • • • • • • II Luyện tập So sánh với nghiệm phương trình 2x – 18x + 17 = 2 2 So sánh – với nghiệm phương trình f(x) = (m + 1)x – 5(m + 1)x – m + m – =0 Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm a mx + (m – 1)x + – 4m = thoả mãn x1 < < x2 b (m + 1)x – (m – 3)x + m + = thoả mãn -1 < x1 ≤ x2 c (m + 1)x + mx + = thoả mãn x1 < - < < x2 d x – 2mx + m = thoả mãn x1, x2 ∈ (-1;3) m ≤ x1 < < x 2 x – 2x – 3m = thoả mãn Tìm m cho a f(x) = 2x – 2(m + 1)x + 2m + > ∀x ∈ R b f(x) = (m – 1)x – (m – 1)x + – 2m ≤ ∀x ∈ R Tìm m để bất phương trình f(x) = mx – (2m – 1)x + m + < vô nghiệm e x2 + x + ≤2 x − mx + Định m để với ∀x ∈ R Tìm m để phương trình sau có nghiệm 2 a (x + 2x) – 4m(x + 2x) + 3m + = b x + mx + 2mx + mx + = Tìm m để phương trình (m + 1)x – 3mx + 4m = có nghiệm lớn ∀x ∈ (−∞;1) Tìm m cho f(x) = (m + 2)x – 2(m + 3)x – m + > với 10 CMR phương trình f(x) = m(x – 9) + x(x – 5) = có nghiệm 1 11 Giải biện luận phương trình x + 2mx = 8x − m − 3x − mx + 1< ≤ 6; ∀x ∈ R 2 x − x + 12 Với giá trị m thì: 13 Tim m để x − 2mx − m + ≥ 0; ∀x ∉ (−1;2] (1) ... af (β) > S  −α > 2 S  −β < 2 • Phương trình có hai nghiệm phân biệt Tìm điều kiện để tam thức bậc hai không đổi dấu R, miền cho trước Nguyễn Hoàng Hà 090.499.2781 Page 2 • a > f ( x )...• • • ∆ > α ∉ [x ; x ] ⇔  af (α ) > So sánh nghiệm tam thức với hai số cho trước α < β • • •af (α ) < x1 < α < β < x2 ⇔  af ( β ) < • af (α ) < x1... • a < f ( x ) < 0, ∀x ∈ R ⇔  ∆ < • a < f ( x ) ≤ 0, ∀x ∈ R ⇔  ∆ ≤ Chứng minh phương trình bậc hai có nghiệm • Nếu có α cho af(α) < phương trình có hai nghiệm phân biệt • Nếu có hai số α,