Sáng kiến kinh nghiệm: Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên

29 4.7K 39
Sáng kiến kinh nghiệm: Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

Đề tài s phạm: Một số phơng pháp giải phơng trình nghiệm nguyên A - Phần mở đầu I- Đặt vấn đề Trong trình học toán trờng THCS học sinh cần biết cách tổ chức công việc cách sáng tạo Ngời thầy cần rèn luyện cho học sinh kỹ năng, độc lập suy nghĩ cách sâu sắc, sáng tạo Vì đòi hỏi ngời thầy lao động sáng tạo biết tìm tòi phơng pháp để dạy cho học sinh trau dồi t logic giải toán Là giáo viên dạy toán trờng THCS trực tiếp bồi dỡng đội tuyển học sinh giỏi nhiều năm nhận thấy việc giải toán chơng trình THCS không đơn giản đảm bảo kiến thức SGK, điều kiện cần nhng cha đủ Muốn giỏi toán cần phải luyện tập nhiều thông qua việc giải toán đa dạng, giải toán cách khoa học, kiên nhẫn, tỉ mỉ, để tự tìm đáp số chúng Muốn ngời thầy phải biết vận dụng linh hoạt kiến thức nhiều tình khác nhauđể tạo hứng thú cho học sinh Một toán có nhiều cách giải, toán thờng nằm dạng toán khác đòi hỏi phải biết vận dụng kiến thức nhiều lĩnh vực nhiều mặt cách sáng tạo học sinh phải biết sử dụng phơng pháp cho phù hợp Các dạng toán số học chơng trình THCS thật đa dạng phong phó nh: To¸n vỊ chia hÕt, phÐp chia cã d, số nguyên tố, số phơng, phơng trình nghiệm nguyên Đây dạng toán có SGK lớp nhng cha đa phơng pháp giải chung Hơn phơng trình nghiệm nguyên có nhiều đề thi:Tốt nghiệp THCS ;Trong đề thi học sinh giỏi huyên, học sinh giỏi tỉnh Song giải toán không khó khăn phức tạp Từ thực tiễn giảng dạy thấy học sinh hay bế tắc, lúng túng cách xác định dạng toán cha có nhiều phơng pháp giải hay Từ thuận lợi, khó khăn yêu cầu thực tiễn giảng dạy.Tôi chọn đề tài: Rèn luyện t sáng tạo qua số dạng toán phơng trình nghiệm nguyên Trong trình viết đề tài điều kiện kinh nghiệm không tránh khỏi khiếm khuyết Rất mong đợc đóng góp, đạo thầy cô giáo bạn đồng nghiệp II Điều tra thực trạng trớc nghiên cứu Để đánh giá đợc khả em dạng toán có phơng án tối u truyền đạt tới học sinh, đà ®Ị to¸n cho 10 em häc sinh ®éi tun trờng nh sau: Bài 1: ( đ ) a)T×m x, y є Z biÕt x – y + 2xy = y + 2xy = b) Gi¶i phơng trình nghiệm nguyên: 5x y + 2xy = 7y = Trang sè: Ngêi thùc hiƯn: Lª Văn Trung Đề tài s phạm: Một số phơng pháp giải phơng trình nghiệm nguyên Bài 2: (4 đ) Tìm nghiệm nguyên dơng phơng trình : + x + x2 + x3 = 2y KÕt qu¶ thu đợc nh sau: Dới điểm Điểm - §iÓm - 10 §iÓm - 10 SL % SL % SL % SL % 60 40 0 40 Qua việc kiểm tra đánh giá thấy học sinh biện pháp giải phơng trình nghiệm nguyên đạt hiệu Lời giải thờng dài dòng, không xác, ngộ nhận Cũng với toán học sinh đợc trang bị phơng pháp Giải phơng trình nghiệm nguyên chắn có hiệu cao III-Mục đích - Đề tài nhằm rèn luyện cho học sinh t sáng tạo học giải toán - Biết cách định hớng giải tập ngắn gọn - Phát huy trí lực học sinh tìm nhiều cách giải hay phát triển toán - Giúp học sinh tự tin giải toán thi cử IV-Phạm vi áp dụng: - áp dụng vào việc giảng dạy chuyên đề trờng học bồi dỡng đội tuyển học sinh giỏi Toán lớp 9, ôn tập cho học sinh chuẩn bị thi vào lớp chọn, lớp chuyên PTTH - Thời gian nghiên cứu có hạn đợc góp ý chân thành nhiều giáo viên có chuyên môn cao, song nhiều điều bỏ ngỏ để tiếp tục khai thác sâu hết dạng toán B- Nội dung Phơng trình nghiệm nguyên đa dạng phong phú phơng trình ẩn, nhiều ẩn Nó phơng trình bậc bậc cao Không có cách giải chung cho phơng trình, để giải phơng trình thờng dựa vào cách giải số phơng trình số phơng pháp giải nh sau: Chơng I - Các dạng phơng trình I-Phơng trình nghiệm nguyên dạng: ax + by = c (1) víi a, b, c є Z 1.C¸c định lí: a Định lí 1: Điều kiện cần đủ để phơng trình ax + by = c (trong a,b,c số nguyên khác ) có nghiệm nguyên (a,b) ớc c b.Định lí 2: Nếu (x0, y0) nghiệm nguyên phơng trình ax + by = c có vô số nghiệm nguyên nghiệm nguyên (x,y) đợc cho công thức: Trang số: Ngời thực hiện: Lê Văn Trung Đề tài s phạm: Một số phơng pháp giải phơng trình nghiệm nguyên b x x0 t   d   y  y0  a t  d  Víi t є ZZ, d = (a,b) 2.Cách giải: a.Tiến hành qua bớc sau: (cách giải chung) Bớc 1: Tìm d = (a,b) Khi ax + by = c  a1x + b1y = c1 Víi a = da1; b = db1; c = dc1; (a1; b1) = Bíc 2: ViÕt tht to¸n Ơclit cho số a1 b1 Giả sử : a > b Ta cã 1 a1 = b q0 + r1 b1 = r1q1 + r2 r1 = r2q2 +r3 ……………… rn-2 = rn-1 + rn Víi rn = 1 Bíc 3: TÝnh a0 + a1  a2   = ak m n Bíc 4: LÊy nghiƯm riªng (x0’; y0’) cđa phơng trình a1x + b1y = cho : x0 =m x0 =n y0 =m y0 =n Xác định dấu cách thử trực tiếp đợc (x0, y0) Bíc 5: x0 = c1 x0’; y0 = c1y0’ lµ nghiệm riêng phơng trình a1x + b1y = c1 nghiệm tổng quát phơng trình là: x = x + b1 t y = y0 – y + 2xy = 6a1t (víi t Zє ZZ ) VÝ dụ 1: Giải phơng trình nghiệm nguyên 5x y + 2xy = 7y = Híng dÉn: Ta nhËn thÊy (5, 7) = (7, 3) = Vậy phơng trình có nghiệm nguyên Trang số: Ngời thực hiện: Lê Văn Trung Đề tài s phạm: Một số phơng pháp giải phơng trình nghiệm nguyên Để giải ta tiến hành bớc: - Viết thuật toán Ơclit cho sè vµ 7 = 5.1 +  m n =1+ = 2.2 + - Tìm nghiệm riêng phơng trình (x0, y0) = (3, 2) - Tìm nghiệm riêng phơng trình (x0, y0) = (9, 6) = 5x – y + 2xy = 7y = 5x – y + 2xy = 7y = nghiệm tổng quát phơng trình là: x = – y + 2xy = 7t hay x = 7t + y = – y + 2xy = 5t y = 5t + (t Z ZZ ) Ví dụ 2: Giải phơng trình nghiệm nguyªn 6x – y + 2xy = 614 y = 12 Híng dÉn: Ta nhËn thÊy (6 ,14) = (6 ,12) =  pt cã nghiƯm ta tiÕn hµnh gi¶i nh sau: Bíc 1: 6x – y + 2xy = 614 y = 12  3x – y + 2xy = 7y = Bíc 2: ViÕt thuËt toán Ơclit cho 7 = 3.2 + Bíc 3: TÝnh m n = q0 = = Bớc 4: Tìm nghiệm riêng phơng tr×nh 3x – y + 2xy = 7y = (x0, y0) = (-2; -1) Bớc 5: Xác định nghiệm riêng pt 3x y + 2xy = 7y = lµ (x0; y0) = (-12; -6) Nghiệm tổng quát phơng trình 6x y + 2xy = 614 y = 12 lµ x = -12 – y + 2xy = 7t hay x = 7t + y = -6 – y + 2xy = 3t y = 3t (t Zє ZZ ) * Nhận xét: Trên phơng pháp chung để giải phơng trình nghiệm nguyên dạng ax + by = c Tuy nhiên vào toán thĨ b»ng c¸c kiÕn thøc vỊ chia hÕt biÕt khéo léo sử dụng cho lời giải ngắn gọn b.Cách giải thông thờng khác (3 bớc) Bớc 1: Rút ẩn theo ẩn (giả sử rút x theo y) Trang số: Ngời thực hiện: Lê Văn Trung Đề tài s phạm: Một số phơng pháp giải phơng trình nghiệm nguyên Bớc 2: Dựa vào điều kiện nguyên x, tính chất chia hết suy luận để tìm y Bớc 3: Thay y vào x tìm đợc nghiệm nguyên Ví dụ 1: Giải phơng trình nghiệm nguyên: 2x + 5y =7 Híng dÉn: Ta cã 2x + 5y =7  x =  x = – y + 2xy = 2y +  5y 1 y Do x, y nguyªn  1 y nguyên Đặt y =t với (t Zє ZZ )  y = – y + 2xy = 2t  x = – y + 2xy = 2(1- 2t) + t = 5t + Vậy nghiệm tổng quát phơng trình là: x = 5t + y = -2t +1 (t Z ZZ ) Ví dụ 2: Giải phơng trình nghiệm nguyªn 6x – y + 2xy = 15 y = 25 Híng dÉn: Ta thÊy( 6,15 ) = mà 3/25 Vậy không tồn x,y nguyên cho 6x- 15y = 25 Ví dụ 3: Tìm nghiệm nguyên dơng phơng trình 5x + 7y = 112 Hớng dÉn: Ta cã 5x + 7y = 112 x= 112  y = 22 - y + Do x, y nguyªn   2y  2y nguyªn hay (2 – y + 2xy = 2y) 5  2(1-y)  5; (2 , 5) = (1-y) hay (y-1) Đặt y-1 = 5t (t Zє ZZ )  y = 5t +1 thay y vµo x ta cã x = 21 – y + 2xy = 7t l¹i cã x > 0; y >  5t + > 21 – y + 2xy = 7t >  t>-5 t  y – y + 2xy = m – y + 2xy = – y + 2xy = 22m – y + 2xy = + 2m = mµ 22m – y + 2xy = 1và 2m số chẵn nên: y – y + 2xy = m – y + 2xy = lỴ  y – y + 2xy = m – y + 2xy = =  y – y + 2xy = m – y + 2xy = =  y = m +  m - 22m – y + 2xy = =  m = 22m – y + 2xy =  m = 2m – y + 2xy =  m = y=2;x=1 VËy (x, y) = (0; 0); (1; 2) IV Phơng trình nghiệm nguyên đa dạng [g1 (x1, x2,…+ a., xn)]2 + [g2 (x1, x2,…+ a., xn)]2 + …+ a+ [gn (x1, x2,…+ a., xn)]2 = 1.C¸ch giải:Ta thấy vế trái phơng trình số hạng không âm, tổng chúng nên số hạng phải g1 (x1, x2,., xn) = Do vËy cã: g2 (x1, x2,…., xn) = gn (x1, x2,., xn) = Giải hệ ta đợc x1 , x2 ,, xn Trang số: Ngời thực hiện: Lê Văn Trung Đề tài s phạm: Một số phơng pháp giải phơng trình nghiệm nguyên Ví dụ 7: Tìm nghiệm nguyên phơng trình 2x2 + y – y + 2xy = 62xy + 2y – y + 2xy = 6x + = Hớng dẫn: (Dùng phơng pháp phân tích thành nhân tử ta biến đổi vế trái phơng trình) Ta cã 2x2 + y – y + 2xy = 62xy + 2y – y + 2xy = 6x + =  y – y + 2xy = 2y (x - 1) + (x-1)2 + x2 – y + 2xy = 4x + =  (y – y + 2xy = x + 1)2 + (x – y + 2xy = )2 = VËy y – y + 2xy = x + = hay x=2 x – y + 2xy = = y=1 Vậy nghiệm nguyên phơng trình x = ; y = VÝ dơ 8: T×m nghiƯm nguyên phơng trình : (x y + 2xy = 61) (y+1) = (x+ y)2 Híng dÉn: Ta cã (x-1) (y+1) = (x+ y)2  (x-1) (y+1) = [(x-1) + (y+1)]2  [(x-1) + (y+1)]2 - (x-1) (y+1) =  (x-1)2 + (y+1)2 + (x-1) (y+1) =  [(x-1) +  y+1=0 (x-1) + (y+1)]2 + (y+1)2 =  y = -1 (y+1) = x=1 VËy nghiƯm cđa ph¬ng trình ( x = ; y = -1) V- Phơng trình nghiệm nguyên mà ẩn có vai trò bình đẳng Khi làm toán ta thờng gặp số toán mà ẩn bình đẳng với Để giải toán có nhiều cách giải khác tuỳ thuộc vào loại cụ thể ta nghiên cứu đến phơng pháp giải toán này: Ta giả sử ẩn xảy theo trật tự tăng dần tiến hành giải Ví dụ 9: Tìm nghiệm nguyên dơng phơng tr×nh xy + yz + xz + xyz =1 Híng dÉn: Gi¶ sư 1 x  y  z  x2  xy  xz  yz  xyz   1= 1 xy 12 x2 + yz + xz + xyz  x2  12  x є  x2 + x2 + x2 + x2 1, 2,3 Trang số: Ngời thực hiện: Lê Văn Trung Đề tài s phạm: Một số phơng pháp giải phơng trình nghiệm nguyên Nếu x = y yz + + z yz + =1  z + + y + = yz  yz – y + 2xy = z – y + 2xy = y + = 11 (y- 1) (z - 1) = 11  y = ; z = 12 hc z =2 ; y = 12 NÕu x =  2y yz + + 2z + yz =1  (2y - 1) (2z-1) = 23  y = 1; z = 12 hc y = 12; z = NÕu x =  (3y – y + 2xy = 1) (3z - 1) = 37 v« nghiƯm VËy (x, y, z) = (1; 2, 12) vµ hoán vị Ví dụ 10: Tìm x, y, z nguyên phơng trình xy z + yz x + xz y =3 Híng dÉn: V× x, y, z b×nh đẳng nên ta giả sử < x y  z 3= xy z + yz x + xz y y z =x( + z y )+ yz x  2x + x  3x   x  x = Víi x = ta cã = y z z y + yz +  + yz  yz   y = ; z = VËy nghiƯm cđa pt (1,1,1) Ví dụ 11: Chứng minh phơng trình sau nghiệm tự nhiên x2 + xy + y2 = (x,y  0) Híng dÉn: Vì x, y có vai trò bình đẳng Ta gi¶ sư 1 x  y Ta cã x2  xy y2 (giả sử phơng trình có nghiệm tự nhiªn) 1= x2 + xy + y2  x2  x = 1( v× x Zє N* )  1+  x2  y + y2 = (vô nghiệm) phơng trình nghiệm số tự nhiên Ngời thực hiện: Lê Văn Trung Trang số: 10 Đề tài s phạm: Một số phơng pháp giải phơng trình nghiệm nguyên mà x є ZN  x = 55 XÐt y >   x2 + y y 3, x2 chia cho d hc chia cho d mà 3026 chia cho d (loại) Vậy nghiệm (x,y) = (55,0) VI Phơng pháp : Sử dụng tính chất số nguyên tố Ví dụ 22: Tìm x, y, z nguyên tố tho¶ m·n xy + = z Híng dÉn: Ta có x, y nguyên tố xy + = z z > Mà z nguyên tố z lẻ xy chẵn x chẵn x = XÐt y =  22 + = nguyên tố z = (thoả m·n) XÐt y>  y = 2k + (k є ZN)  22k+1 + = z  4k + = z Cã chia cho d  (2.4k+1) 3  z 3 (lo¹i) VËy x = 2, y = 2, z = thoả mÃn Ví dụ 23 : Tìm số nguyên tố p để 4p + số phơng Hớng dẫn: đặt 4p + = x2 (x ZN) x lẻ đặt x = 2k + (k є N)  4p + = (2k + 1)2  4p + = 4k2 + 4k +  p =k(k+1)  k(k + 1) ch½n  p chẵn, p nguyên tố p = VII Phơng pháp 7: Đa dạng tổng Ví dụ 24: Tìm nghiệm nguyên phơng trình x2 + y2 y + 2xy = x – y + 2xy = y = Híng dÉn: Ta cã x2 + y2 – y + 2xy = 6x – y + 2xy = y =  x2 + y2 – y + 2xy = x – y + 2xy = 64y = 32  (4x2 – y + 2xy = 4x +1) + (4y2 – y + 2xy = 4y + 1) = 34  (2x – y + 2xy = 1)2 + (2y – y + 2xy = 1)2 = 34 Bằng phơng pháp thử chọn ta thấy 34 có dạng phân tích thành tổng số phơng 32 52 Ngời thực hiện: Lê Văn Trung Trang số: 15 Đề tài s phạm: Một số phơng pháp giải phơng trình nghiệm nguyên Do ®ã ta cã 2x  = =3 hc 2y  = 2y  = Giải ta đợc (x,y) = (2,3); (2,-2); (-1, -2); (-1, 3) hoán vị Ví dụ 25: Tìm nghiệm nguyên phơng trình x2 y + 2xy = 4xy + 5y2 = 169 Híng dÉn: Ta cã x2 – y + 2xy = 4xy + 5y2 = 169  (x – y + 2xy = 2y)2 + y2 = 169 Ta thÊy 169 = 02 + 132 = 52 + 122 x  2y = x  y = 13  hc y y = = 13 x  2y = x  y = 12 hc y y = = 12 Giải ta ®ỵc (x, y) = (29, 12);(19, 12); (-19, -12); (22, 5); (-2, 5) ;(2, -5); (-22, -5); (26, 13); (-26, -13); (-13 0); (13, 0) VIII Phơng pháp 8: Lùi vô hạn Ví dụ 26: Tìm nghiệm nguyêm phơng tr×nh x2 – y + 2xy = 5y2 = Hớng dẫn: Giả sử x0, y0 nghiệm phơng trình x2 y + 2xy = 5y2 = ta cã x 02 - 5y 02 = x0 đặt x0 = x1 2x  Ta cã (5x1) – y + 2xy = 5y 02 =  5x 12 - y 02 = y0 đặt y0 = 5y1  x 12 - 5y 12 = V©y (x0,,y0) nghiệm phơng trình đà cho ( x0 , ( y0 ) cịng lµ nghiệm phơng trình đà cho Cứ tiếp tục lập luËn nh vËy x0 y , ) víi k nguyên dơng nghiệm phơng trình Điều 5k k xảy x0 = y0 = Vậy phơng trình có nghiệm x = y = Ví dụ 27: Tìm nghiệm nguyên phơng trình x2 + y2 + z2 = x2 y2 Ngời thực hiện: Lê Văn Trung Trang số: 16 Đề tài s phạm: Một số phơng pháp giải phơng trình nghiệm nguyên Hớng dẫn: Nếu x, y số lẻ x2 , y2 chia cho ®Ịu d x2y2 chia cho d x2 + y2 chia cho d z2 chia cho d (loại) mà x2 + y2 + z2 = x2 y2 x chẵn y chẵn * Giả sử x chẵn y chẵn * Giả sử x chẵn x2 , x2y2 chẵn x2 4  x2 y2 4 (y2 + z2) 4 y z phải đồng thời chẵn Đặt x = 2x1, y = 2y1, z = 2z1 ta cã x 12 + y 12 +z 12 = x 12 y 12 lËp luËn t¬ng tù ta cã x 22 + y 22 + z 22 = 16 x 22 y 22 trình tiếp tục ta thấy (x1, y1, z1 ) nghiệm phơng trình ( x1k , yk1 , z1k ) lµ nghiƯm cđa phơng trình với k nguyên dơng 2 x1 = y1 = z1 = VËy pt cã nghiệm (0, 0, 0) IX Phơng pháp 9: Sử dụng tính chất nghiệm phơng trình bậc Biến đổi phơng trình dạng phơng trình bậc ẩn coi ẩn khác tham số, sử dụng tính chất nghiệm phơng trình bậc để xác định giá trị tham số Ví dụ 28: Giải phơng trình nghiệm nguyên 3x2 + y2 + 4xy + 4x + 2y + = Híng dÉn: Ta cã pt 3x2 + y2 + 4xy + 4x + 2y + =  y2 + (4x + 2)y + x2 + 4x + = ) (*) coi x tham số giải phơng tr×nh bËc pt (*) Èn y ta cã y = -(2x + 1)   ' x Do y nguyên, x nguyên Mà ' x ' x nguyên = (2x + 1)2 – y + 2xy = (3x2 + 4x + 5) = x2 – y + 2xy =  x2 – y + 2xy = = n2 (n Zє Z) Ngêi thùc hiện: Lê Văn Trung Trang số: 17 Đề tài s phạm: Một số phơng pháp giải phơng trình nghiệm nguyên  (x- n) (x+ n) = x=2  x – y + 2xy = n = x + n = Vậy phơng trình có nghiệm nguyên (x, y) = (2; -5); (-2, 3) VÝ dô 29: Tìm nghiệm nguyên phơng trình x2 y + 2xy = (y+5)x + 5y + = Híng dÉn: Ta cã x2 – y + 2xy = (y+5)x + 5y + = coi y tham số ta có phơng trình bậc ẩn x Giả sử phơng trình bậc có nghiệm x1, x2 Ta cã x1 + x = y + x1 x2 = 5y + Theo định lý Viet  5x1 + 5x2 = 5y + 25 x1x2 = 5y +  x1 + 5x2 – y + 2xy = x1x2 = 23  (x1 -5) (x2 -5) = Mµ = 1.2 = (-1)(-2)  x1 + x2 = 13 hc x1 + x2 =  y = hc y = thay vào phơng trình ta tìm đợc cỈp sè (x,y ) = (7, 8); (6, 8); (4, 2); (3, 2); nghiệm phơng trình X- Phơng pháp 10 : Dùng bất đẳng thức Ví dụ 30: Tìm nghiệm nguyên phơng trình x2 y + 2xy = 6xy + y2 = Híng dÉn: y 3y Ta cã x2 – y + 2xy = 6xy + y2 =  (xy Ta thÊy (x- )2   - )2 = - 3y   -2  y   y=  2; 1; thay vào phơng trình tìm x Ta đợc nghiệm nguyên phơng trình : (x, y) = (-1,-2), (1, 2); (-2, -1); (2,1) ;(-1,1) ;(1, -1) VÝ dô 31: Chứng minh phơng trình x y z + + = b nghiệm tự nhiên b = b = nhng có vô số y z x nghiƯm tù nhiªn b = Híng dÉn: Ta thÊy x, y, z є ZZ   ( x y  + x y + y z + y z z x + )3  27 ( z x 3 x y z , , >0 y z x x y z )= 27 y z x Theo bất đẳng thức Côsi ta có Đẳng thức x¶y x = y = z Ngêi thùc hiện: Lê Văn Trung Trang số: 18 Đề tài s phạm: Một số phơng pháp giải phơng trình nghiệm nguyên x Vậy phơng trình y + y + z = b nghiệm số tự nhiên b = z x b = có vô số nghiệm b = chẳng hạn ( x = a, y = a, z = a) víi a số tự nhiên Chơng III: Bài 1:Tìm nghiệm nguyên phơng trình 2x + 3y = 11 Hớng dẫn Cách 1: Ta thấy phơng trình có cặp nghiệm đặc biệt x0 = 4, y0 = V× 2.4 + 3.1 = 11 ( 2x + 3y) – y + 2xy = (2.4 + 3.1) =  2(x-4) + 3(y-1) =  2(x-4) = - 3(y-1) mà (2,3) = Đặt x y + 2xy = = 3k vµ y – y + 2xy = = 2k víi ( k  Z) VËy nghiƯm tỉng qu¸t cđa pt lµ : x = – y + 2xy = 3k y = 1+ 2k ( k  Z) *Nhận xét: Theo cách giải phải tìm cặp nghiệm nguyên đặc biệt (x0, y0) phơng trình vô định ax + by = c Nếu phơng trình có hệ số a, b, c lớn cách giải khó khăn Cách 2: Dùng tính chất chia hết Ta cã 2x + 3y = 11  x= 11  y = 5- y- y  Bµi tËp luyện tập rèn t sáng tạo Do x, y nguyªn  y nguyªn y = k  y = 2k +1  x = 4- 3k (k  Z) y = 2k +1 (k  Z) VËy nghiƯm tỉng qu¸t: x = 4- 3k Bài 2: Tìm cặp số nguyên dơng (x,y) thoả mÃn phơng trình 6x2 + 5y2 = 74 đặt Hớng dÉn: C¸ch 1: Ta cã 6x2 + 5y2 = 74  6x2 – y + 2xy = 624 = 50 – y + 2xy = 5y2  6(x2 – y + 2xy = 4) = 5(10 – y + 2xy = y2)  6(x2 – y + 2xy = 4) 5  x2 – y + 2xy = 5 (6, 5) =  x2 = 5t + (t N) Thay x – y + 2xy = = 5t vào phơng tr×nh  y2 = 10 – y + 2xy = 6t l¹i cã x2 >  t> y2 > t< 5  t = t = Ngời thực hiện: Lê Văn Trung Trang số: 19 Đề tài s phạm: Một số phơng pháp giải phơng trình nghiệm nguyên với t = ta cã x2 = 4, y2 = 10 (lo¹i) Víi t = ta cã x2 =  x=3 y2 = y=2 mµ x, y  Z   x = 3, y = tho¶ mÃn Cách 2: Sử dụng tính chẵn lẻ phơng pháp chặn Ta có 6x2 + 5y2 = 74 số chẵn y chẵn lại có 0< 6x2 0< 5y2 < 74  < y2 < 14  y2 =  x2 = CỈp sè (x,y) cần tìm (3, 2) Cách 3: Ta có 6x2 + 5y2 = 74  5x2 + 5y2 + x2 + = 75  x2 +  mµ < x2  12  x2 = hc x2 = Víi x2 =  y2 = 10 lo¹i Víi x2 =  y2 = thoả mÃn cặp số (x,y) cần tìm (3, 2) Bài 3: Tìm nghiệm nguyên phơng trình: x2 + y2 = 2x2y2 Hớng dẫn: Cách 1: Đặt x2 = a, y2 = b Ta cã a + b = ab  a  b  a= b b a NÕu a = b  2a = 2a  a= a2  a= 0, a=  (a,b) = (0, 0); (1, 1) NÕu a = - b  b2 =  a = b =  (x2, y2) = (0, 0); (1, 1)  (x, y ) = (0, 0); (-1, -1); (-1, 1); (1, -1) ; (1, 1) C¸ch 2: Ta cã x2 + y2 = 2x2y2 a=b Do x2, y2  Ta gi¶ sư x2  y2  x2 + y2  y2  2x2 y2  2y2 Nếu y = phơng trình có nghiệm (0;0) Nếu y  0 x2   x2= hc x2 = y2 = (loại) y2 =  (x, y) = (1, 1); (1, -1) ; (-1, 1) Vậy phơng trình có nghiệm (x;y) =(0, 0); (-1, -1); (-1, 1); (1, -1) ; (1, 1) C¸ch 3: Cã x2 + y2 = 2x2y2  2x2 + 2y2 = x2y2 + =  24 x2y2 – y + 2xy = 62x2 – y + 2xy = 2y 2x (2y - 1) – y + 2xy = (2y - 1)=  (2x2 – y + 2xy = 1) (2y2 - 1) = Mµ = 1.1 = (-1)(-1)  (x2, y2) = (1, 1); (0, 0)  (x, y) = (1, 1); (0, 0) ; (1, -1); (-1; -1); (-1, 1) Ngời thực hiện: Lê Văn Trung Trang sè: 20 ... (vô nghiệm) phơng trình nghiệm số tự nhiên Ngời thực hiện: Lê Văn Trung Trang số: 10 Đề tài s phạm: Một số phơng pháp giải phơng trình nghiệm nguyên Chơng II: Một số phơng pháp giải phơng trình. .. phơng trình có nghiệm nguyên Trang số: Ngời thực hiện: Lê Văn Trung Đề tài s phạm: Một số phơng pháp giải phơng trình nghiệm nguyên Để giải ta tiến hành bớc: - Viết thuật toán Ơclit cho số vµ... phạm: Một số phơng pháp giải phơng trình nghiệm nguyên Bớc 2: Dựa vào điều kiện nguyên x, tính chất chia hết suy luận để tìm y Bớc 3: Thay y vào x tìm đợc nghiệm nguyên Ví dụ 1: Giải phơng trình nghiệm

Ngày đăng: 27/06/2013, 11:44

Hình ảnh liên quan

Phiếu học tập, máy chiếu giấy trong hoặc bảng phụ - Sáng kiến kinh nghiệm: Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên

hi.

ếu học tập, máy chiếu giấy trong hoặc bảng phụ Xem tại trang 29 của tài liệu.
( giáo viên đa lên màn hình tóm tắt theo 6 bớc ) - Sáng kiến kinh nghiệm: Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên

gi.

áo viên đa lên màn hình tóm tắt theo 6 bớc ) Xem tại trang 30 của tài liệu.

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan