ì ì ị P ệ S húa bi Trung tõm Hc liu - i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn ì ì ị P ệ Pì PP P ữớ ữợ S húa bi Trung tõm Hc liu - i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn ử ỵ ởt số rở ỵ ỵ r ỵ ỵ tr ổ st t t ỡ số ỗ ỗ ó t ỗ ó s tự tỹ t ởt số ự ỵ tr số ự sỹ tỗ t số ữỡ tr ữỡ tr t ữỡ tr ỹ ố tự ởt t q tr rtr ự t tự t s t ổ tr q t S húa bi Trung tõm Hc liu - i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn ỵ ởt số rở ỵ ỵ r ỵ ỵ tr ởt ổ ỵ q trồ tr tr tr ữỡ tr t ỵ tr ữỡ tr t r tổ rt ú t t ữỡ tr số ữỡ tr tr ởt ự t tự t ỹ tr số tr t s s tổ t ự ỵ ữ ữủ tr ởt tố ợ s t ỵ tữ õ t t s t s ọ õ t ổ t ởt t ỳ tự ỡ ỏ õ t ởt tố t q õ s t ró ỡ t ự rt ú ỵ ỵ r ởt số ỵ rở t ụ ữợ ỵ t t tỏ ỳ tũ tứ t t tứ õ t ỵ tự s t ỳ t ợ r ụ ỳ t q t t s t tử t tr q tr ự t t t trữớ tổ ử õ t t t ỗ ố ữỡ ữỡ ỵ ởt số rở S húa bi Trung tõm Hc liu - i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn ữỡ tr ởt ỡ t ỵ tr tr ũ ởt số q q trồ ỵ tt ỡ s t ự ỳ ữỡ s ữỡ st t t ỡ số ữỡ tr ởt số ự trỹ t ỵ ỵ r tr st t t rt ỡ q trồ số tr ữỡ tr t P õ t ỗ t t ỗ ó số ữỡ ởt số ự ỵ tr số trồ t ú tổ ự ỵ ỵ rở tr t ữỡ tr số ữỡ tr ự t tự sỹ ố tự t ữủ ỹ tứ t t s ọ ố t ỹ ố t ởt số t t tỹ s t ố ợ ộ t ữỡ t õ ữ r ỳ t ợ t s t t ữỡ t s ữỡ ợ t ởt số t t ữủ s ỹ ữù ộ õ ữợ ỳ tự t ữủ tứ ữỡ trữợ t t t ữủ t ữợ sỹ ữợ t ữủ tọ ỏ t ỡ t s s tợ ữớ rt t t tr ổ tr tử tự qỵ ụ ữ ự t tr sốt q tr t ự t ữủ tọ ỏ t ỡ t Pỏ t s trữớ S húa bi Trung tõm Hc liu - i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn ũ qỵ t ổ t ữợ ợ t ỡ t t t rữớ P tở trú t t õ ỡ ữủ t ự ụ ữủ ỡ sỹ q t ú ù t t trữớ ố ợ t tr sốt q tr t ự t t t tr t ự ởt tú tr sốt õ ụ ữ rt t tr ỏ tớ tr q tr tỹ ổ tr ọ ỳ t sõt t rt ữủ sỹ qỵ t ổ ỳ õ ỵ ữủ t ỡ t ữớ tỹ ữỡ S húa bi Trung tõm Hc liu - i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn ữỡ ỵ ởt số rở r ữỡ ú tổ ợ t ỵ ởt số rở ỵ ởt số q q trồ ụ ữủ tr t ủ t ữủ tr tr ữỡ t t ỵ ỡ s ỵ ỹ ỵ ỡ t r strss ố ợ tử r f tử tr [a, b] t õ t tr ợ t tr ọ t tr õ ỵ rt ỹ tr r g(x) tr (a, b) t ỹ tr ỹ ỹ t t ởt tr õ t t õ ỵ ỵ sỷ f tử tr [a; b] õ t x (a; b) f (a) = f (b) t tỗ t t t ởt c (a; b) s f (c) = ự f tử tr [a; b] t ỵ rstrss f t tr ỹ tr ỹ t tr [a; b] tự S húa bi Trung tõm Hc liu - i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn tỗ t x1 , x2 (a; b) s f (x1 ) = f (x) = m, f (x2 ) = max f (x) = M [a;b] [a;b] õ a) m = M f (x) = const tr [a; b] õ f (x) = ợ x (a; b) c t tr õ b) m < M õ f (a) = f (b) t t ởt tr x1 , x2 s ổ trũ ợ út [a; b] sỷ x1 (a; b) t ỵ rt t t ỵ ữủ ự t ỵ õ s ổ ỏ ú tr (a; b) õ c t õ f (c) ổ tỗ t t f (x) = x2 , x [1; 1] t f (x) tọ f (x) tử tr (1; 1) f (1) = f (1) t f (x) = 33x ró r t x0 = (1; 1) ổ tỗ t số ổ t ỵ tử tr [a; b] ố ợ f (x) ụ ổ t t f (x) tử tr (a; b) t 1, x = 0, f (x) = x, < x é x = õ ró r ổ tỗ t x0 (0, 1) f (x0 ) = ị ỵ ữủ t t tr ỗ t số y = f (x), x [a; b] tỗ t M (c; f (c)), c (a; b) t t t õ s s ợ trử Ox q số f (x) õ tr (a; b) ữỡ tr f (x) = õ n t tở (a; b) t ữỡ S húa bi Trung tõm Hc liu - i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn tr f (x) = õ t t n t tở (a; b) Pữỡ tr f (k) (x) = õ t t n k t tở (a; b) ợ k = 1, 2, , n ự sỷ ữỡ tr f (x) = õ n t tở (a; b) ữủ s tự tỹ x1 < x2 < ã ã ã < xn õ ỵ n [x1 ; x2 ], [x2 ; x3 ], , [xn1 ; xn ] t ữỡ tr f (x) = õ t t n tở n (x1 ; x2 ), (x2 ; x3 ), , (xn1 ; xn ) n õ , , , n1 t t õ f (1 ) = f (2 ) = ã ã ã = f (n1 ) = tử ỵ n (1 ; ), , (n2 ; n1 ) t ữỡ tr f (x) = õ t t n tr (a; b) tử ỵ tr s k ữợ ữỡ tr f (k) (x) = õ t t n k t tr (a; b) q sỷ số f (x) tử tr [a; b] õ tr (a; b) õ ữỡ tr f (x) = õ ổ q n t tr (a; b) t ữỡ tr f (x) = õ ổ q n t tr õ ự sỷ ữỡ tr f (x) = õ ỡ n t tr (a; b) n + t t t q 1.1 ữỡ tr f (x) = õ t t n tở (a; b) tr ợ tt ữỡ tr f (x) = õ ổ q n tr (a; b) t t t ởt rở ỵ q số f (x) t ỗ tớ t t s f (x) õ n (n 1) tử tr [a; b] f (x) õ n + tr (a; b) S húa bi Trung tõm Hc liu - i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn f (a) = f (a) = ã ã ã = f (n) (a) = 0, f (b) = õ tỗ t b1 , b2 , , bn+1 t tở (a; b)s f (k) (bk ) = 0, k = 1, 2, , n + ự ứ tt f (a) = f (b) = 0, t ỵ tỗ t b1 (a; b) s f (b1 ) = 0, t ủ ợ f (a) = 0, s r tỗ t b2 (a; b1 ) (a; b) s f (b2 ) = t ủ ợ f (a) = t tử ỵ t õ f (b3 ) = ợ b3 (a; b2 ) (a; b) tử ữ ữợ tự n tỗ t bn (a; bn1 ) (a; b) s f (n) (bn ) = 0, t ủ ợ f (n) (a) = 0, s r tỗ t bn+1 (a; bn ) (a; b) s f (n+1) (bn+1 ) = ữ tỗ t t b1 , b2 , , bn+1 tr (a; b) s f (k) (bk ) = 0, k = 1, 2, , n + ỳ q ỵ tr t ởt ổ rt t t ố ợ t ữỡ tr ự số ữỡ tr tr ởt õ ự s ữủ tr tt tr ữỡ s ỵ r ỵ t t t ởt số ỵ q t tt ợ ỵ ỵ ỵ r sỷ f tử tr õ t tr (a; b) õ tỗ t t t ởt c (a; b) s [a; b] f (b) f (a) = f (c)(b a) ự t F (x) = f (x) x, S húa bi Trung tõm Hc liu - i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn tr õ số ữủ s F (a) = F (b) tự s f (a) a = f (b) b õ õ = f (b) f (a) ba ó r F (x) tử tr [a; b], õ tr (a; b) F (a) = F (b), õ t ỵ tỗ t c (a; b) s F (c) = ứ t õ F (x) = f (x) õ F (c) = f (c) = f (c) = tr tứ t õ f (c) = f (b) f (a) , ba f (b) f (a) = f (c)(b a) ổ tự ữủ ổ tự số ỳ r t t ữủ ỵ r ữ ởt q ỵ ữ ỵ tự ởt trữớ ủ r ỵ r ự ợ tt f (a) = f (b) ị f (x) t ỵ r t tr ỗ t số y = f (x) tỗ t t t ởt M (c; f (c)) s t t ợ ỗ t t õ s s ợ AB õ A(a; f (a)) B(b; f (b)) q sỷ f : [a; b] R tử f (x) = ợ x (a; b) õ f = const tr [a; b] ự t sỷ x0 (a; b) ởt ố õ ỏ x tý ỵ (a; b) t [x0 ; x] [x; x0 ] trồ tr (a; b) t f õ õ õ tử ỡ tr ỵ r t õ f (x) f (xo ) = f (c)(x x0 ), c (xo ; x) S húa bi Trung tõm Hc liu - i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn ữ t tt f (x) = ợ x (a; b) f (c) = ợ c (x0 ; x) t t õ f (x) = f (x0 ) tự r tr f (x) t t ý x (a; b) ổ ổ tr t ởt ố f = const tr [a; b] q f (x) g(x) õ ỗ t tr ởt t ú s số ự t t tt t õ [f (x) g(x)] = f (x) g (x) = q t f (x) g(x) = C (C = const) f (x) = g(x) + C ỵ ỵ sỷ f, g tử tr õ t tr (a; b), r g (x) = ợ x (a; b) õ tỗ t t t ởt c (a; b) s [a; b] f (b) f (a) f (c) = g(b) g(a) g (c) ự rữợ ự ỵ t t r ổ tự ổ õ tự g(b) = g(a) t g(b) = g(a) t số g(x) t ỵ õ tỗ t c (a; b) s g (c) = ữ tr ợ tt g (x) = 0, x (a; b) t t F (x) = f (x) g(x), tr õ số ữủ s F (a) = F (b) tự f (a) g(a) = f (b) g(b) õ õ t = f (b) f (a) g(b) g(a) S húa bi Trung tõm Hc liu - i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn F (x) t ỵ õ c (a; b) s F (c) = t tứ t õ F (x) = f (x) g (x) F (c) = f (c) g (c) = = f (c) g (c) ứ t t ữủ f (b) f (a) f (c) = g(b) g(a) g (c) ổ tự ữủ ổ tự số ỳ t ỵ r trữớ ủ r ỵ ợ tt g(x) = x ỵ tr ổ r t t rở ỵ r ổ ỡ s rở ỹ ỵ r tr tử tr [a, b] tr tr f (x), max f (x) [a,b] [a,b] ỵ sỷ số f (x) tử tr [a; +) õ tr (a; +) x+ lim f (x) = f (a) õ tỗ t c (a; +) s f (c) = ự f (x) = f (a) ợ x > a t c ởt số t ý ợ ỡ a sỷ tỗ t b > a s f (b) = f (a) f (b) > f (a) ởt số tỹ t ý tở (f (a); f (b)), t ỵ tỗ t (a; b) s f () = lim f (x) = f (a) < tỗ x+ t d > b s f (d) < f (x) tử tr [a; +) t ỵ tỗ t (b; d) s f () = = f (), õ t ỵ tỗ t c (; ) s f (c) = S húa bi Trung tõm Hc liu - i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn ữỡ st t t ỡ số t ỗ t ỗ ó số ỳ ỡ tr ữỡ tr t P ỵ r õ ởt trỏ q trồ tr ự ỵ t t ỡ tr ữỡ tr r tr ữỡ ú tổ ụ s tự tỹ t ỹ t t õ t õ ữủ rt tú ố ợ ởt số t t tự tr t ỗ ứ s t sỷ I(a; b) R ởt tr ố t ủ (a; b), [a; b), (a; b] [a; b] ợ a < b sỷ số f (x) tr t I(a; b) R t ợ x1, x2 I(a; b) x1 < x2 t õ f (x1) f (x2) t t õ r f (x) ởt ỡ t tr I(a; b) t ự ợ x1, x2 I(a; b) x1 < x2 t õ f (x1 ) < f (x2 ) t t õ r f (x) ởt ỡ t tỹ sỹ S húa bi Trung tõm Hc liu - i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn tr I(a; b) ữủ ợ x1, x2 I(a; b) x1 < x2 t õ f (x1) f (x2 ) t t õ r f (x) ởt ỡ tr I(a; b) t ự ợ x1, x2 I(a; b) x1 < x2 t õ f (x1 ) > f (x2 ) t t õ r f (x) ởt ỡ tỹ sỹ tr I(a; b) ỳ ỡ t tỹ sỹ tr I(a, b) ữủ ỗ tr I(a; b) ỡ tỹ sỹ tr I(a; b) ữủ tr I(a; b) r ữỡ tr t ú t t t t ữủ t ởt số trữợ tr (a; b) ởt ỡ tr õ ú t s ũ ỵ r ự ỵ ừ t ỡ số ởt ỵ rt q trồ tr ữỡ tr t ợ P ỵ số y = f (x) õ tr (a; b) f (x) > ợ x (a; b) t số y = f (x) ỗ tr õ f (x) < ợ x (a; b) t số y = f (x) tr õ ự x1 , x2 (x1 < x2 ) tr (a; b) f (x) õ tr (a; b) f (x) tử tr [x1 ; x2 ] õ tr (x1 ; x2 ) ỵ r số y = f (x) tr [x1 ; x2 ] õ c (x1 ; x2 ) s f (x2 ) f (x1 ) = f (c)(x2 x1 ) i) f (x) > tr (a; b) t f (c) > t x2 x1 > f (x2 ) f (x1 ) > f (x2 ) > f (x1 ), s r f (x) ỗ tr (a; b) S húa bi Trung tõm Hc liu - i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn ii) f (x) < tr (a; b) t f (c) < t x2 x1 > f (x2 ) f (x1 ) < f (x2 ) < f (x1 ), s r f (x) tr (a; b) ỵ rở ỵ sỷ số y = f (x) õ tr (a; b) f (x) f (x) tự r t ởt số ỳ tr (a; b) t f (x) ỗ tr õ ự t ỡ sỷ r f (x) tr (a; b) f (x) = t x1 (a, b) t õ f (x) ỗ tr tứ (a, x1 ) (x1 , b) tử tr (a, x1 ] [x1 , b) õ ụ ỗ tr (a, x1 ] [x1 , b) ứ õ s r õ ỗ tr (a, b) ỗ ó t ỗ ó số f (x) ữủ ỗ tr t I(a; b) R ợ x1, x2 I(a; b) ợ số ữỡ , õ tờ + = t õ f (x1 + x2 ) f (x1 ) + f (x2 ) tự tr r x1 = x2 t t õ f (x) ỗ tỹ sỹ t tr I(a; b) số f (x) ữủ ó tr t I(a; b) R ợ x1, x2 I(a; b) ợ số ữỡ , õ tờ + = t õ f (x1 + x2 ) f (x1 ) + f (x2 ) tự tr r x1 = x2 t t õ f (x) ó tỹ sỹ t tr I(a; b) S húa bi Trung tõm Hc liu - i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn t x1 < x2 t x = x1 + x2 ợ số ữỡ , õ tờ + = tở (x1 ; x2 ) = x2 x x x1 ; = x2 x1 x2 x1 ỵ f (x) số tr I(a; b) t f (x) ỗ tr I(a; b) f (x) ỡ t tr I(a; b) ự sỷ f (x) ỗ tr I(a; b) õ ợ x1 < x < x2 (x, x1 , x2 I(a; b)) t õ x x1 x2 x > 0; > x2 x1 x2 x1 x2 x x x1 + = x2 x1 x2 x1 t x2 x x x1 f (x1 ) + f (x2 ) x2 x1 x2 x1 f (x) f (x1 ) f (x2 ) f (x) x x1 x2 x f (x) r x x1 t t ữủ f (x1 ) f (x2 ) f (x1 ) x2 x1 ữỡ tỹ tr x x2 t t ữủ f (x2 ) f (x1 ) f (x2 ) x2 x1 ứ t ữủ f (x1 ) f (x2 ) tự số f (x) ỡ t ữủ sỷ f (x) số ỡ t x1 < x < x2 (x, x1 , x2 I(a; b)) ỵ r tỗ t x3 , x4 ợ x3 (x1 ; x) x4 (x; x2 ) s f (x) f (x1 ) = f (x3 ), x x1 f (x2 ) f (x) = f (x4 ) x2 x S húa bi Trung tõm Hc liu - i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn f (x3 ) f (x4 ) f (x) f (x) f (x1 ) f (x2 ) f (x) , t õ x x1 x2 x x2 x x x1 f (x1 ) + f (x2 ) x2 x1 x2 x1 ự f (x) ỗ tr I(a; b) ỵ f (x) tr I(a; b) t f (x) ỗ ó tr I(a; b) f tr I(a; b) (x) (f (x) 0) ự trỹ t tứ ỵ 2.3 s t t ỗ ó tự số õ ổ tr I(a; b) q số y = f (x) ỗ ó tr I(a; b) t ữỡ tr f (x) = õ ổ q tở I(a; b) ự t sỷ số y = f (x) ỗ ó tr I(a; b), tự f (x) > f (x) < tr I(a; b) õ số f (x) ổ ỗ tr I(a; b), ữỡ tr f (x) = õ ổ q tr I(a; b) õ t q 1.2 ữỡ tr f (x) = õ ổ q tr õ t ợ q ú t õ t ởt ổ ỳ t ữỡ tr ự sỹ tỗ t ữỡ tr ú tổ s ợ t ữỡ tổ q ử t tr ữỡ s ỵ t tự rt I(a; b), k = 1, 2, , n} t số {xk , yk x1 x2 ã ã ã xn , y1 y2 ã ã ã yn S húa bi Trung tõm Hc liu - i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn x1 y1 , x + x y1 + y2 , ããã x1 + x2 + ã ã ã + xn1 y1 + y2 + ã ã ã + yn1 , x + x + ã ã ã + x = y + y + ã ã ã + y n n õ ự ợ ỗ tỹ sỹ f (x) tr I(a; b) t õ f (x1 ) + f (x2 ) + ã ã ã + f (xn ) f (y1 ) + f (y2 ) + ã ã ã + f (yn ) ự rữợ t t ự t tự f (x1 ) f (y1 ) + f (y1 )(x1 y1 ), x1 , y1 I(a; b) tự r x1 = y1 t t õ f (x1 ) f (y1 ) f (y1 )(x1 y1 ) t trữớ ủ i) x1 = y1 t t õ tự õ ú ii) x1 > y1 t x1 y1 > f (x1 ) f (y1 ) f (y1 ) x1 y ỵ r t f (x1 ) f (y1 ) ợ y1 < x1 < x1 t tự ổ ú f (x) ỗ f (x) > t tt t t tự ú iii) x1 < y1 t x1 y1 < f (x1 ) f (y1 ) f (y1 ) x1 y ỵ r t f (x1 ) f (y1 ) ợ x1 < x1 < y1 t tự ổ ú f (x) ỗ f (x) > t tt t t tự ú S húa bi Trung tõm Hc liu - i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn ữỡ tỹ t ự ữủ f (xi ) f (yi ) + f (yi )(xi yi ), xi , yi I(a; b), i = 1, 2, , n ữ t õ f (x1 ) f (y1 ) + f (y1 )(x1 y1 ), f (x2 ) f (y2 ) + f (y2 )(x2 y2 ), f (xn ) f (yn ) + f (yn )(xn yn ) õ n n f (xi ) i=1 n f (yi )(xi yi ) f (yi ) + i=1 n f (xi ) i=1 t n i=1 n f (yi ) i=1 f (yi )(xi yi ) i=1 n f (yi )(xi yi ) i=1 ỷ ự ợ = f (yi ) bi = (xi yi ) t ữủ n n1 f (yi )(xi yi ) = i=1 [f (yi ) f (yi+1 )][(x1 + x2 + ã ã ã + xn1 ) (y1 + y2 + ã ã ã i=1 + yn1 )] + f (yn )[(x1 + x2 + ã ã ã + xn ) (y1 + y2 + ã ã ã + yn )] ứ tt t õ f (yi ) f (yi+1 ) f (y) ỗ (x1 + x2 + ã ã ã + xn1 ) (y1 + y2 + ã ã ã + yn1 ) 0, (x1 + x2 + ã ã ã + xn ) (y1 + y2 + ã ã ã + yn ) = t n f (yi )(xi yi ) i=1 ứ t t ữủ n n f (xi ) i1 f (yi ) 0, i1 S húa bi Trung tõm Hc liu - i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn