ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC VŨ VĂN TẦN VỀ MỘT SỐ THUẬT TOÁN TÍNH GIÁ TRỊ RIÊNG CỦA MA TRẬN CỠ LỚN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2015 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC VŨ VĂN TẦN VỀ MỘT SỐ THUẬT TOÁN TÍNH GIÁ TRỊ RIÊNG CỦA MA TRẬN CỠ LỚN Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS NGUYỄN THANH SƠN Thái Nguyên - 2015 i Mục lục Lời cảm ơn iii Mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Nhắc lại sơ lược kiến thức đại số tuyến tính 1.1.1 Tầm quan trọng giá trị riêng 1.1.2 Một số khái niêm ký hiệu 1.1.3 Bài toán giá trị riêng Không gian Krylov 12 1.2 Một số phương pháp tìm giá trị riêng 15 2.1 Phương pháp luỹ thừa 15 2.1.1 Lặp đơn vectơ 15 2.1.2 Trường hợp đối xứng 17 2.1.3 Lặp nghịch đảo vectơ 18 2.1.4 Tính giá trị riêng bậc cao 20 Phương pháp Arnoldi 21 2.2.1 Cơ sở trực giao cho không gian Krylov 21 2.2.2 Phương pháp Arnoldi tính giá trị riêng 23 Phương pháp Lanczos 24 2.2 2.3 Ví dụ số 3.1 27 Một vài giải thích cho phương pháp Arnoldi phương pháp Lanczos 27 ii 3.2 3.1.1 Thuật toán QR 28 3.1.2 Thuật toán Chia để Trị Cuppen 29 Ví dụ số 34 3.2.1 Phương pháp Arnoldi 34 3.2.2 Phương pháp Lanczos 36 3.2.3 Nhận xét 37 Kết luận 38 Tài liệu tham khảo 39 iii Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc đến TS Nguyễn Thanh Sơn, người thầy tận tình bảo, hướng dẫn suốt thời gian làm luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn giúp đỡ quý báu thầy, cô giáo tham gia giảng dạy lớp cao học khóa Khoa Toán - Tin trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, truyền thụ mang đến cho kiến thức bổ ích khoa học sống Tôi xin cảm ơn động viên, giúp đỡ, tạo điều kiện gia đình, bạn bè, đồng nghiệp, Ban chuyên môn, Ban giám hiệu trường THPT Nguyễn Trung Ngạn - Ân Thi, Hưng Yên dành cho trình nghiên cứu hoàn thành luận văn Thái Nguyên, tháng 11 năm 2015 Vũ Văn Tần Học viên Cao học Toán K7Y, Trường ĐH Khoa học - ĐH Thái Nguyên Mở đầu Giá trị riêng đóng phần quan trọng ứng dụng đại số tuyến tính, toán điển hình nhiều lĩnh vực lý thuyết ứng dụng thực tế Những phương pháp giải trực tiếp cho kết xác làm với toán cỡ nhỏ, không đáp ứng ứng dụng thực tế Với toán có kích thước lớn phương pháp không khả thi giá trị riêng phải tính phương tiện khác May mắn thay có tồn số kỹ thuật khác để tìm giá trị riêng vectơ riêng ma trận Những phương pháp này, phương pháp lặp, làm việc cách liên tục cải tiến xấp xỉ giá trị riêng, chấm dứt xấp xỉ đạt mức độ phù hợp xác Các phương pháp lặp cho kết gần đáp ứng nhiều ứng dụng thực tế, đặc biệt ma trận cỡ lớn Nó hình thành sở nhiều đại tính toán giá trị riêng ngày Luận văn tìm hiểu trình bày "Về số thuật toán tính giá trị riêng ma trận cỡ lớn" Ngoài phần mở đầu kết luận, luận văn gồm ba chương Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương nhắc lại sơ lược kiến thức đại số tuyến tính số khái niệm ký hiệu, toán giá trị riêng không gian Krylov Chương 2: Một số phương pháp tìm giá trị riêng Nội dung chương nhằm trình bày phương pháp lũy thừa, phương pháp Arnoldi phương pháp Lanczos Chương 3: Ví dụ số Chương trình bày vài giải thích cho phương pháp Arnoldi phương pháp Lanczos thuật toán QR bản, thuật toán chia để trị Cuppen, cuối số ví dụ số Kết làm việc chạy thuật toán biết MATLAB với ma trận lớn đươc lấy từ thực tiễn Dù nghiêm túc nghiên cứu cố gắng thực luận văn, với thời gian hạn chế nhiều lý khác, luận văn chắn không tránh khỏi thiếu sót Chúng mong nhận ý kiến đánh giá, phê bình để luận văn hoàn chỉnh nhiều ý nghĩa Thái Nguyên, ngày 01 tháng 11 năm 2015 Vũ Văn Tần Học viên Cao học Toán lớp Y, khóa 01/2014 - 01/2016 Chuyên ngành Toán ứng dụng Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Email: vuvantanntn@gmail.com Chương Kiến thức chuẩn bị Chương viết dựa tài liệu tham khảo [1], [3], [4] 1.1 1.1.1 Nhắc lại sơ lược kiến thức đại số tuyến tính Tầm quan trọng giá trị riêng Trong vật lý, giá trị riêng thường gắn với dao động Các đối tượng dây đàn, trống, cầu, dao động tần số định Và số tình chúng dao động nhiều đến mức bị phá hủy Ngày 07 tháng 11 năm 1940, cầu Tacoma Narrows, Washington, Hoa Kỳ bị sập sau khai trương gần nửa năm Gió mạnh kích thích cầu nhiều khiến cầu bị sụp đổ Một vài năm trước cầu Thiên niên kỷ London bắt đầu lắc lư bị đóng cửa Đây ví dụ bật cấu trúc dao động Nhưng giá trị riêng xuất nhiều nơi khác Điện trường cyclotrones, hình thức đặc biệt máy gia tốc hạt có dao động cách xác để đẩy nhanh tiến độ hạt tích điện quay tròn quanh tâm Các giải pháp phương trình Schrodinger từ vật lý lượng tử hóa học lượng tử có giải pháp tương ứng với dao động mô hình phân tử Các giá trị riêng tương ứng với mức lượng mà phân tử chiếm Nhiều giá trị đặc trưng khoa học giá trị riêng Xét dao động dây dịch chuyển vị trí x, < x < L, thời gian t ký hiệu u(x, t) Chúng ta có phương trình vi phân có dạng − ρ(x) ∂ 2u ∂ ∂u + p(x) ∂t ∂x ∂x + q(x)u(x, t) = 0, (1.1) với u(0, t) = u(1, t) = Ở ρ(x) đóng vai trò mật độ khối lượng, p(x) modul đàn hồi khác địa phương Từ vật lý biết ρ(x) > p(x) > với x Để đơn giản giả sử ρ(x) = Để tìm u (1.1) phân tích (1.2) u(x, t) = v(t)w(x), v hàm mà phụ thuộc vào thời gian t, w phụ thuộc vào biến không gian x Với phân tích (1.1) trở thành v”(t)w(x) − v(t)(p(x)w (x)) − q(x)v(t)w(x) = (1.3) Bây rút biến phụ thuộc vào t theo biến phụ thuộc vào x v (t) = (p(x)w (x)) + q(x) v(t) w(x) Chúng thay đổi t x độc lập với mà không cần thay đổi giá trị vế phương trình Do đó, vế phương trình phải giá trị không đổi, biểu thị giá trị λ Như vậy, từ vế trái có phương trình −v (t) = λv(t) √ √ Phương trình có nghiệm v(t) = a cos( λt) + b sin( λt) với giả sử λ > Vế bên phải (1.3) cho ta toán − (p(x)w (x)) + q(x)w(x) = λw(x), w(0) = w(1) = (1.4) Một giá trị λ thuộc (1.4) có nghiệm không tầm thường (tức khác không) gọi giá trị riêng, w hàm riêng tương ứng Tất giá trị riêng (1.4) dương Bằng phân tích (1.2) nhận √ √ u(x, t) = w(x)[a cos( λt) + b sin( λt)] nghiệm (1.1) Ta thấy (1.4) có vô số giá trị riêng thực dương < λ1 < λ2 < < λk , (λk → ∞ k → ∞), nghiệm khác không w(x) (1.4) cho ta giá trị đặc biệt λk Vì vậy, nghiệm chung (1.1) có dạng ∞ u(x, t) = wk (x)[ak cos( λk t) + bk sin( λk t)] k=0 Các hệ số ak bk xác định điều kiện ban đầu kết thúc Chúng giả sử ∞ ak wk (x) = u0 (x), u(x, 0) = k=0 ∂u (x, 0) = ∂t ∞ λk bk wk (x) = u1 (x) k=0 Ở u0 u1 hàm cho Các wk tạo thành sở trực giao không gian hàm khả tích vuông L2 (0, 1) Vì không khó khăn để tính toán hệ số ak bk Ta thấy toán khó giải toán giá trị riêng (1.4) Phương trình (1.4) giải phân tích tình đặc biệt, chẳng hạn tất hệ số số Nói chung phương pháp số cần thiết để giải vấn đề toán (1.4) Để giải toán (1.4) xấp xỉ w(x) giá trị điểm rời rạc xi = ih, h = 1/(n + 1), i = 1, , n Tại thời điểm xi xấp xỉ đạo hàm điểm khác biệt hữu hạn Đầu tiên viết g(xi+ ) − g(xi− ) d 2 g(xi ) ≈ dx h Cho g = p dw nhận dx g(xi+ ) = p(xi+ ) 2 w(xi+1 ) − w(xi ) h cuối cùng, cho i = 1, , n, − dw d p (xi ) dx dx ≈− = w(xi+1 ) − w(xi ) w(xi ) − w(xi−1 ) p(xi+ ) − p(xi− ) 2 h h h [p(xi− )wi−1 + (p(xi− ) + p(xi+ ))wi + p(xi+ )wi+1 ] 2 2 h2 Lưu ý điểm cuối khoảng w0 = wn+1 = Chúng thu thập tất phương trình phương trình ma trận 25 Tương tự trên, nhân từ bên trái (2.9) với qj+1 để có ∗ ∗ (Aqj − αj qj − βj−1 qj−1 ) rj = qj+1 ||rj || = qj+1 ∗ Aqj = β j = qj+1 Từ suy βj ∈ R, βj qj+1 = rj , βj = ||rj || (2.10) Từ (2.9) - (2.10) ta nhận Aqj = βj−1 qj−1 + αj qj + βj qj+1 Thu thập phương trình với j = 1, , k có   α1 β1      β1 α2 β2      AQk = Qk   +βk [0, , 0, qk+1 ] β2 α3      βk−1    βk−1 αk (2.11) Tk Như vậy, Tk ∈ Rk×k đối xứng thực Đẳng thức (2.11) gọi quan hệ Lanczos Thuật toán Lanczos trình bày Thuật toán 2.6 có ba vectơ q, r v sử dụng Cho (λi , si ) cặp riêng Tm , tức T si = λi si (2.12) Khi đó, AQm si = Qm Tm si = λi Qm si Vì vậy, giá trị riêng Tm giá trị riêng A Các vectơ riêng A tương ứng với giá trị riêng λi yi = Q m s i Ta có thuật toán sau (2.13) 26 Algorithm 2.6 Thuật toán Lanczos để tìm sở trực giao cho không gian Krylov Km (x) 1: Cho A ∈ Fn×n Hermitian Thuật toán tìm mối quan hệ Lanczos (2.11), nghĩa sở trực giao Qm = [q1 , , qm ] cho Km (x) m số nhỏ cho Km (x) = Km+1 (x), (các yếu tố không tầm thường của) ma trận ba đường chéo Tm 2: q := x/||x||; Q1 = [q]; 3: r := Aq; 4: α1 := q ∗ r; 5: r := r − α1 q; 6: β1 := ||r||; 7: for j = 2, 3, 8: v = q; q := r/βj−1 ; Qj := [Qj−1 , q]; 9: r := Aq − βj−1 v; 10: αj := q ∗ r; 11: r := r − αj q; 12: βj := ||r||; 13: if βj = then 14: 15: 16: trả lại (Q ∈ Fn×j ; α1 , , αj ; β1 , , βj−1 ) end if end for 27 Chương Ví dụ số Chương viết dựa tài liệu tham khảo [1] liệu [5] 3.1 Một vài giải thích cho phương pháp Arnoldi phương pháp Lanczos Hai phương pháp thuộc loại phương pháp không gian Krylov xét công cụ sử dụng chiếu ma trận xét lên không gian Krylov Để rõ ràng, ta xét trường hợp ma trận A không đối xứng Trước tiên, xét lớp rộng phương pháp tính giá trị riêng Lưu ý phương pháp hay áp dụng cho ma trận cỡ lớn Vì thế, dùng ma trận cỡ nhỏ xấp xỉ A ∈ Rn×n ý tưởng tự nhiên Phương pháp Rayleigh-Ritz sử dụng ý tưởng với việc ma trận nhỏ tạo phép chiếu Cụ thể: • Xây dựng ma trận chiếu Vm ∈ Rn×m • Xấp xỉ A Rm = VmT AVm ˜ i , vi ) ma trận Rm • Tính cặp riêng (λ ˜ i , Vm vi ) • Cặp riêng (λi , xi ) ma trận A xấp xỉ (λ Khi ma trận Vm sử dụng phương pháp Rayleigh-Ritz ma trận sở không gian Krylov, ta gọi phương pháp Arnoldi Như biết, thực phương pháp Arnoldi, ta có quan hệ QTm AQm = Hm , 28 Hm ma trận Hessenberg cỡ m Khi đó, giá trị riêng A ˜ i , Qm vi ) (λi , vi ) cặp riêng ma trận Hessenberg xấp xỉ cặp Ritz (λ Hm 3.1.1 Thuật toán QR Trong phần 2.2.2 để tính giá trị riêng phương pháp Arnoldi, ta phải tính giá trị riêng ma trận Hessenberg Trong mục này, ta trình bày giải pháp cho toán Cụ thể ta trình bày phương pháp QR để tính phân tích Schur ma trận Hessenberg Algorithm 3.1 Thuật toán QR 1: Cho A ∈ Cn×n Thuật toán tìm ma trận tam giác T ma trận unita U cho A = U T U ∗ phân tích Schur A 2: Đặt A0 := A and U0 = I 3: for k − 1, 2, 4: Ak−1 =: Qk Rk ; / * Phân tích nhân QR * / 5: Ak := Rk Qk ; 6: Uk := Uk−1 Qk ; / * Cập nhật ma trận biến đổi * / 7: end for 8: Đặt T := A∞ U := U∞ Từ dòng ta có: Rk =: Q∗k Ak−1 Theo dòng ta có Ak = Rk Qk = Rk∗ Ak−1 Qk (3.1) Như vậy, Ak Ak−1 tương đương ma trận Unita Người ta ma trận có tính chất hội tụ đến ma trận tam giác Thêm vào đó, ta giả sử giá trị thỏa mãn (k) |λ1 | > |λ2 | > > |λn |, |aij | = O(|λi /λj |k ), i > j 29 Từ (3.1) ta có Ak = Q∗k Ak−1 Qk = Q∗k Q∗k−1 Ak−2 Qk−1 Qk = = Q∗k Q∗1 A0 Q1 Qk Uk Khi đó, uk hội tụ đến ma trận gồm vectơ Schur Chú ý, người ta cách sử dụng trượt σ hay cặp trượt σ1 , σ2 , ta tính phân tích Schur nhanh thuật toán Trong trường hợp A đối xứng, thuật toán Arnoldi trở thành thuật toán Lanczos Ma trận Hessenberg trở thành ma trận đường chéo Tương tự trên, ta cần tính giá trị riêng ma trận đường chéo Thuật toán Chia để Trị Cuppen giải việc 3.1.2 Thuật toán Chia để Trị Cuppen Trong phần tìm thuật toán để giải hiệu toán tìm giá trị riêng ma trận ba đường chéo đối xứng   T x = λx, a b  1   b1 a2 T =    bn−1 bn−1 an        a Ý tưởng Chia để Trị Trong khoa học máy tính, Chia để Trị mô hình thiết kế thuật toán quan trọng Nó hoạt động cách đệ quy phân tách toán thành hai nhiều toán loại (hoặc liên quan) nhỏ hơn, trở nên đơn giản đủ để giải trực tiếp Các lời giải cho toán sau kết hợp lại để cung cấp lời giải cho toán ban đầu Các bước thực hiên là: Phân tích toán giá trị riêng ba đường chéo thành hai (hoặc nhiều hơn) toán giá trị riêng ba đường chéo nhỏ Giải toán nhỏ 30 Kết hợp lời giải toán nhỏ để có lời giải mong muốn toán chung b Phân tích ma trận ba đường chéo Phân tích ma trận ba đường chéo rút gọn thực theo cách sau        am−1 bm−1        bm−1 am bm  T =     bm am+1 bm+1       bm+1 am+2          am−1  bm−1         bm−1 am ∓ bm ±bm bm +  =     am+1 ∓ bm bm+1 bm ±bm      bm+1 am+2      T1  + ρuuT , = (3.2) T2   ±em và ρ = ±bm Ở em vectơ có chiều dài m = n e1 với u =  e vectơ có độ dài n − m Với cách tiếp cận (3.2) ma trận ba đường chéo T ban đầu phân tích thành tổng hai ma trận nhỏ với ma trận hạng c Giải hệ thống nhỏ Giả sử biết phân tích toán giá trị riêng Ti = Qi Λi QTi , QTi Qi = I, i = 1, (3.3) Đương nhiên ta tiếp tục phân tích toán thành toán nhỏ cần thiết Điểm lợi ta sử dụng tính toán song song để giải đồng thời toán nhỏ 31 Từ (3.2) (3.3) ta có         T T Q Λ Q     + ρuuT   = +ρvv T (3.4) QT2 T2 Q2 Λ2  với v =   QT1 QT2  ; u =  ±QT1 em QT2 e1   = ±hàng cuối Q1 hàng Q2   Bây đến toán giá trị riêng (D + ρvv T )x = λx, D = Λ1 ⊕ Λ2 = diag(λ1 , , λn ) (3.5) Tức là, phải tính toán phân tích phổ ma trận đường chéo cộng với ma trận có hạng Ký hiệu D + ρvv T = QΛQT , (3.6) phân tích cần tìm Khi đó, phân tích phổ ma trận ba đường chéo T     T Q1 Q  QΛQT   T = T Q2 Q2 d Trường hợp đặc biệt Như vậy, nhiệm vụ lại tính phân tích phổ (3.6) Nếu vectơ v tồn thành phần không có (vi = ⇔ v T ei = 0) ⇒ (D + ρvv T )ei = di ei (3.7) Vậy đọc đươc giá trị riêng từ đường chéo D vectơ riêng tương ứng với giá trị riêng Nếu có hai phần tử ma trận đường chéo D nhau, chẳng hạn di = dj với i < j ta thực phép quay G(i, j, φ) cho phần tử không vị trí thứ j 32 v,          T T G v = G(i, j, ϕ) v =         ×       2 vi + vj  ← i       ←j     × Chú ý rằng, với ϕ G(i, j, ϕ)T DG(i, j, ϕ) = D, di = dj Vậy có nhiều giá tri riêng D, ta lặp lại thao tác để đưa vectơ v dạng có phần tử không trường hợp Khi làm việc với số có dấu phẩy động, |vi | < Cε||T ||, |di − dj | < Cε||T ||, (||T || = ||D + ρvv T ||), C số có giá trị nhỏ Trường hợp dẫn tới toán giá trị riêng cho D + ρvv T toán giá trị riêng sau   T D + ρv1 v1 O   = GT (D + ρvv T )G + E, ||E|| < Cε ||D||2 + |ρ|2 ||v||4 , O D2 (3.8) D1 phần tử đường chéo v1 phần tử không Vậy ta phải tính phân tích phổ ma trân (3.8) tương tự ma trận ban đầu e Bài toán giá trị riêng cho D + ρvv T Chúng ta biết ρ = 0, nêu không ta tìm giá trị riêng Hơn nữa, trường hợp ta xét thành phần v khác không thành phần đường chéo D khác nhau, |di − dj | > Cε||T || Chúng ta xếp thành phần đường chéo D cho d1 < d2 < < dn Cho (λ, x) cặp riêng (D + ρvv T )x = λx, (3.9) 33 (D − λI)x = −ρvv T x (3.10) λ di Nếu λ = dk thành phần thứ k vế trái (3.10) biến mất, sau vk = v T x = 0, không với giả thiết v Mặt khác v T x = (D − dk I)x = 0, x = ek v T ek = vk = 0, không với trương hợp ta xét Do D − λI không suy biến x = ρ(λI − D)−1 v(v T x) (3.11) Phương trình (3.11) cho thấy x tỷ lệ thuận với (λI − D)−1 v Nếu yêu cầu ||x|| = x= (λI − D)−1 v ||(λI − D)−1 v|| Algorithm 3.2 Thuật toán Chia để Trị 1: Cho T ∈ Cn×n ma trận ba đường chéo đối xứng thực Thuật toán tính phân tích phổ T = QΛQT , Λ ma trận đường chéo gồm giá trị riêng Q trực giao 2: 3: 4: 5: if T × then Trả lại ( Λ = T, Q = 1) else  Phân tích T =  T1 O   + ρuuT theo (3.2) 6: O T2 Gọi thuật toán với đầu vào T1 đầu Q1 , Λ1 7: Gọi thuật toán với đầu vào T2 đầu Q2 , Λ2 8: Lập D + ρvv T từ Λ1 , Λ2 , Q1 , Q2 theo (3.4) - (3.5) 9: T Tìm giá  trị riêng Λ  vectơ riêng Q D + ρvv 10: 11: 12: Lập Q =  Q1 O O Q2 Trả lại (Λ; Q) end if  Q vectơ riêng T 34 Nhân bên trái (3.11) với v T v T x = ρv T (λI − D)−1 v(v T x) Từ v T x = 0, λ giá trị riêng (3.9) n T −1 f (λ) := − ρv (λI − D) v = − ρ k=1 vk2 = λ − dk Phương trình gọi phương trình secular 3.2 Ví dụ số Trong phần này, thử nghiệm thuật toán tính vài giá trị riêng dựa phương pháp Arnoldi phương pháp Lanczos Trong hầu hết trường hợp, khả hj+1,j = với j n không xảy Vì thế, ta chủ động dừng thuật toán sau k bước, với k số cho trước Để tính giá trị riêng xấp xỉ ma trận Hessenberg trường hợp thuật toán Arnoldi ma trận ba đường chéo trường hợp thuật toán Lanczos ta sử dụng câu lệnh eigs MATLAB Lí khối lượng lập trình tương đối lớn thuật toán Chia để Trị phức tạp để làm Để đánh giá chất lượng, ta xét sai số tương đối Giả sử ta muốn tính l giá trị riêng, vectơ sai số tương đối  err =  ˆ i − λi λ |λi |   i=1,l với λi giá trị riêng xác, λi giá trị riêng xấp xỉ tính thuật toán trình bày 3.2.1 Phương pháp Arnoldi a Mô hình đầu đọc CD Ma trận A ∈ R120×120 ma trận hệ số hệ điều khiển Hệ điều khiển mô hình toán học cho hoạt động đầu đọc đĩa CD Cụ thể xin xem [5] Ta chọn vectơ khởi động v = (0.005, , 0.005) trường hợp ta tính l = giá trị riêng ma trận Ta tiến hành phép thử với bậc không 35 gian Krylov k khác i) Với k = 30, sai số tương đối  0.000000196086830    0.000000196086830    1.999889567285761    1.999889567285761  0.004800332269900 ii) Với k = 40, sai số tương đối  0.000000000098087    0.000000000098087    0.000000024953499    0.000000024953499  0.001465612149876 iii) Với k = 50, sai số tương đối  0.000000000000005    0.000000000000005    0.000000000000868    0.000000000000868  1.999899209463102                                  b Mô hình FOM Ta lấy từ mô hình FOM ma trận A ∈ R1006×1006 i) Với k = 60, sai số tương đối  0.000098553515673    0.001004725869555    0.003273871561523    0.006978321794933  0.012116148806003            36 ii) Với k = 120, sai số tương đối   0.302388510891763      0.302388510891763      10−14 ×  0.034836939203511       0.034836939203511    0.165574928589330 3.2.2 Phương pháp Lanczos a Mô hình truyền nhiệt Ma trận A ∈ R200×200 kết việc rời rạc hóa phương trình truyền nhiệt Với k = 60, sai số tương đối  0.000624058232625    0.002494827026582    0.005608090960159    0.009956831960629  0.015531240738369            b Mô hình truyền nhiệt Ma trận A ∈ R4257×4257 kết trình rời rạc hóa trình truyền nhiệt chất rắn Với k = 120, sai số tương đối  0.000000000000007    0.112521296157850    0.241353358921422    0.429883831946812  0.698690908591025            37 3.2.3 Nhận xét Qua ví dụ số trình bày luận văn thực độc lập Chúng rút vài điểm sau: Phương pháp Arnoldi dễ lập trình kết ổn định theo nghĩa: chạy cho tất ma trận Phương pháp Lanczos khó lập trình Tuy nhiên chạy nhanh phương pháp Arnoldi áp dụng cho ma trận lớn Những giá trị riêng có modul lớn dễ tính giá trị riêng khác 38 Kết luận Ta thấy giá trị riêng có vai trò quan trọng nhiều lĩnh vực khoa học kỹ thuật thực tế Tuy nhiên, việc tính toán xác giá trị riêng thực với toán cỡ nhỏ Với toán lĩnh vực khoa học kỹ thuật thực tế thường toán cỡ lớn, tính xác được, ta lấy gần giá trị riêng Các phương pháp lặp cho kết gần đáp ứng nhiều ứng dụng thực tế, đặc biệt ma trận cỡ lớn Việc nghiên cứu phương pháp lặp để tính giá trị riêng vectơ riêng cấn thiết hữu ích Luận văn giới thiệu, trình bày số phương pháp tính giá trị riêng ma trận cỡ lớn phương pháp lũy thừa, phương pháp Arnoldi phương pháp Lanczos Qua nhận thấy nhận thức vai trò giá trị riêng phương pháp tính giá trị riêng nâng lên Các phương pháp tính giá trị riêng vấn đề thú vị vô sâu rộng, đòi hỏi phải có thời gian lòng nhiệt huyết, tìm tòi chiếm lĩnh tri thức Vì thời gian nghiên cứu không tránh khỏi thiếu sót, hi vọng nhận góp ý quý báu thầy cô, bạn đọc để luận văn hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn! 39 Tài liệu tham khảo [1] Arbenz P., Kressner D (2012), Lecture note on solving large scale eigenvalue problems, D - MATH ETH Z¨urich [2] Collum J.K., Willoughby R.A (2002), Lanczos algorithms for large symmetric eigenvalue computations, Vol I, SIAM, Philadelphia [3] Demmel J.W (1997), Applied numerical linear algebra, SIAM, Philadelphia [4] Golub J.H., Van Loan C.F (1996), Matrix computations, 3nd Ed., Johns Hopkins University Press, Baltimore, Maryland [5] SLICOT-Subroutine library in systems anh control theory http://slicot.org/20site/126-benchmark-examples-for-model-reduction ... Arnoldi tính giá trị riêng Giá trị riêng A xấp xỉ giá trị riêng ma trận Hessenberg Hk Việc thay có điểm thuận lơi Thứ nhất, cỡ Hk nhỏ cỡ A nhiều lần (trong trường hợp ta cần tìm số giá trị riêng. .. Chương Một số phương pháp tìm giá trị riêng Như biết giá trị riêng ma trận nghiệm phương trình đặc trưng, ý tưởng đơn giản để tìm giá trị riêng giải phương trình đặc trưng Một ma trận cỡ n ×... σI)−1 )) Nếu giá trị trượt σ xấp xỉ tôt giá trị riêng A tôt 2.1.4 λk − σ λn − σ hội tụ Tính giá trị riêng bậc cao Ta hiểu giá trị riêng bậc cao giá trị riêng λ2 , λ3 , Nếu tính cặp riêng thứ hai