Đang tải... (xem toàn văn)
Thuật toán đơn hình đối ngẫu và ứng dụng trong tái tối ưu hóa với ràng buộc phụ (LV thạc sĩ)Thuật toán đơn hình đối ngẫu và ứng dụng trong tái tối ưu hóa với ràng buộc phụ (LV thạc sĩ)Thuật toán đơn hình đối ngẫu và ứng dụng trong tái tối ưu hóa với ràng buộc phụ (LV thạc sĩ)Thuật toán đơn hình đối ngẫu và ứng dụng trong tái tối ưu hóa với ràng buộc phụ (LV thạc sĩ)Thuật toán đơn hình đối ngẫu và ứng dụng trong tái tối ưu hóa với ràng buộc phụ (LV thạc sĩ)Thuật toán đơn hình đối ngẫu và ứng dụng trong tái tối ưu hóa với ràng buộc phụ (LV thạc sĩ)Thuật toán đơn hình đối ngẫu và ứng dụng trong tái tối ưu hóa với ràng buộc phụ (LV thạc sĩ)Thuật toán đơn hình đối ngẫu và ứng dụng trong tái tối ưu hóa với ràng buộc phụ (LV thạc sĩ)Thuật toán đơn hình đối ngẫu và ứng dụng trong tái tối ưu hóa với ràng buộc phụ (LV thạc sĩ)Thuật toán đơn hình đối ngẫu và ứng dụng trong tái tối ưu hóa với ràng buộc phụ (LV thạc sĩ)Thuật toán đơn hình đối ngẫu và ứng dụng trong tái tối ưu hóa với ràng buộc phụ (LV thạc sĩ)
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐỖ HOÀNG TÙNG THUẬT TOÁN ĐƠN HÌNH ĐỐI NGẪU VÀ ỨNG DỤNG TRONG TÁI TỐI ƯU HÓA VỚI RÀNG BUỘC PHỤ (The dual simplex method and its applications to reoptimization with supplementary constraints) Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60.46.01.12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TS TRẦN VŨ THIỆU Thái Nguyên - 2015 MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU Chương Kiến thức qui hoạch tuyến tính 1.1 Bài toán qui hoạch tuyến tính toán đối ngẫu 1.2 Các định lý đối ngẫu 1.3 Phương pháp đơn hình gốc đơn hình đối ngẫu Chương Thuật toán đơn hình đối ngẫu 10 14 2.1 Thuật toán đơn hình đối ngẫu dạng đầy đủ 14 2.2 Thuật toán đơn hình đối ngẫu dạng cải biên 19 2.3 Áp dụng giải trò chơi ma trận 24 Chương Kỹ thuật tái tối ưu hóa với ràng buộc phụ 28 3.1 Vấn đề tái tối ưu hóa 28 3.2 Thuật toán đơn hình đối ngẫu tái tối ưu hóa 29 3.3 Ví dụ minh họa 30 KẾT LUẬN 34 TÀI LIỆU THAM KHẢO 35 MỞ ĐẦU Qui hoạch tuyến tính toán tìm cực tiểu (hay cực đại) hàm tuyến tính với ràng buộc đẳng thức hay bất đẳng thức tuyến tính Qui hoạch tuyến tính có nhiều ứng dụng rộng rãi lý thuyết thực tiễn Với toán qui hoạch tuyến tính cho (gọi toán gốc) gắn với toán qui hoạch tuyến tính khác (gọi toán đối ngẫu) Hai toán có quan hệ chặt chẽ với cặp toán đối ngẫu Nghiên cứu toán đối ngẫu giúp hiểu rõ toán gốc ngược lại Phương pháp đơn hình (do G B Dantzig đề xuất năm 1947) phương pháp quen thuộc, có hiệu qủa để giải toán qui hoạch tuyến tính Phương pháp đơn hình có nhiều biến thể khác nhau, phù hợp với dạng cụ thể toán qui hoạch tuyến tính như: đơn hình gốc, đơn hình cải biên, đơn hình đối ngẫu, đơn hình gốc - đối ngẫu Trong số tình thực tế, sau giải xong toán ta thấy cần bổ sung thêm số ràng buộc vào toán Nếu giải lại toán từ đầu tốn nhiều thời gian công sức Việc tận dụng lời giải có để giải tiếp toán gọi kỹ thuật tái tối ưu hóa toán Để làm việc này, phương pháp đơn hình đối ngẫu hữu ích Vì cần sâu tìm hiểu phương pháp này, dạng thể cụ thể ứng dụng kỹ thuật tái tối ưu hóa Với ý nghĩa đó, chọn đề tài luận văn: "Thuật toán đơn hình đối ngẫu ứng dụng tái tối ưu hóa với ràng buộc phụ " Mục đích đề tài tìm hiểu trình bày kết lý thuyết toán qui hoạch tuyến tính qui hoạch tuyến tính đối ngẫu, thuật toán khác phương pháp đơn hình đối ngẫu ứng dụng thuật toán đơn hình đối ngẫu tái tối ưu hóa thêm ràng buộc phụ vào toán Luận văn viết dựa chủ yếu tài liệu tham khảo [1] - [4] Các kết cần đạt được: hiểu trình bày số nội dung sau: a) Bài toán qui hoạch tuyến tính toán đối ngẫu Lý thuyết đối ngẫu b) Phương pháp đơn hình đối ngẫu thuật toán đơn hình đối ngẫu c) Phương pháp tái tối ưu hóa thêm ràng buộc phụ vào toán giải Cấu trúc luận văn gồm chương • Chương “Kiến thức chuẩn bị” nhắc lại tổng quan vắn tắt số kiến thức cần thiết qui hoạch tuyến tính, toán qui hoạch tuyến tính đối ngẫu, định lý đối ngẫu qui hoạch tuyến tính, với nhiều ví dụ số hình vẽ minh họa cho kiện, định lý trình bày Cuối chương giới thiệu ý tưởng phương pháp đơn hình gốc, đơn hình đối ngẫu giải qui hoạch tuyến tính • Chương "Thuật toán đơn hình đối ngẫu " trình bày chi tiết bước tính toán thuật toán đơn hình đối ngẫu dạng đầy đủ thuật toán đơn hình đối ngẫu dạng cải biên Cuối chương trình bày ví dụ áp dụng thuật toán đơn hình đối ngẫu dạng đầy đủ vào giải toán trò chơi ma trận • Chương “Kỹ thuật tái tối ưu hóa với ràng buộc phụ” trình bày vấn đề tái tối ưu hóa thêm ràng buộc vào toán sau giải xong vai trò việc áp dụng thuật toán đơn hình đối ngẫu tái tối ưu hóa Cuối chương nêu ví dụ minh họa Do thời gian kiến thức hạn chế nên chắn luận văn có thiếu sót định, kính mong quí thầy cô bạn đóng góp ý kiến để tác giả tiếp tục hoàn thiện luận văn sau Nhân dịp này, tác giả luận văn xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS.TS Trần Vũ Thiệu, tận tình giúp đỡ suốt trình làm luận văn Tác giả chân thành cảm ơn thầy giáo, cô giáo Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán hoc - Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi trình tác giả học tập nghiên cứu Chương KIẾN THỨC VỀ QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH Chương trình bày tóm tắt số kiến thức cần thiết qui hoạch tuyến tính, toán qui hoạch tuyến tính đối ngẫu, định lý đối ngẫu qui hoạch tuyến tính phương pháp đơn hình gốc, đơn hình đối ngẫu giải qui hoạch tuyến tính Nội dung chương tham khảo từ tài liệu [1], [3] [4] 1.1 BÀI TOÁN QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH VÀ BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU 1.1.1 Phát biểu toán Bằng phép biến đổi đơn giản, toán qui hoạch tuyến tính đưa hai dạng sau • Dạng chuẩn tắc: {f(x) = cTx : Ax ≥ b, x ≥ 0}, A ∈ ℝm×n, b ∈ ℝm, c ℝn, x ≥ có nghĩa x ∈ ℝ n Trong toán tập ràng buộc D = {x ∈ ℝn : Ax ≥ b, x ≥ 0} tập lồi đa diện • Dạng tắc: {f(x) = cTx : Ax = b, x ≥ 0}, A, b, c x xác định Trong toán tập ràng buộc D = {x ∈ ℝn : Ax = b, x ≥ 0} tập lồi đa diện Có thể dễ dàng chuyển từ dạng chuẩn tắc sang dạng tắc ngược lại Trong toán f(x) gọi hàm mục tiêu Mỗi bất phương trình (Ax)i ≥ bi hay phương trình (Ax)i = bi gọi ràng buộc chính, xj ≥ 0, j = 1, , n gọi ràng buộc không âm hay ràng buộc dấu Véctơ (điểm) x ∈ D gọi nghiệm chấp nhận hay phương án Một phương án đạt cực tiểu hàm mục tiêu f(x) gọi phương án tối ưu hay nghiệm tối ưu toán 1.1.2 Các tính chất Định lý sau nêu điều kiện để qui hoạch tuyến tính có nghiệm tối ưu Định lý 1.1 Nếu qui hoạch tuyến tính có nghiệm chấp nhận hàm mục tiêu bị chặn tập ràng buộc (đối với toán min) qui hoạch chắn có nghiệm tối ưu Định lý 1.2 Nếu x0 phương án tối ưu toán qui hoạch tuyến tính dạng x1, x2 (x1 ≠ x2) hai phương án thỏa mãn x0 = x1 + (1 )x2, < < 1, x1, x2 phương án tối ưu toán Định nghĩa 1.1 Một nghiệm chấp nhận x ∈ D mà đồng thời đỉnh D gọi nghiệm sở hay phương án cực biên, nghĩa x biểu diễn dạng tổ hợp lồi hai nghiệm chấp nhận (phương án) khác toán Định lý sau nêu tính chất đặc trưng cho phương án cực biên (nghiệm sở) toán qui hoạch tuyến tính tắc với giả thiết m ≤ n rank (A) = m Định lý 1.3 Để nghiệm chấp nhận x = { x1 , x , , x n } qui hoạch tuyến tính tắc nghiệm sở cần đủ véctơ cột Aj ma trận A ứng với thành phần x j > độc lập tuyến tính Người ta phân hai loại nghiệm sở: không suy biến nghiệm có số thành phần dương m suy biến có số thành phần dương nhỏ m Định lý sau cho thấy qui hoạch tuyến tính tắc có phương án cực biên Định lý 1.4 Nếu toán qui hoạch tuyến tính dạng tắc có phương án có phương án cực biên, nghĩa tập ràng buộc D có đỉnh Định lý sau cho phép tìm phương án tối ưu toán qui hoạch tuyến tính tắc số phương án cực biên toán (số hữu hạn) Định lý 1.5 Nếu toán qui hoạch tuyến tính dạng tắc có phương án tối ưu có phương án cực biên tối ưu Ví dụ 1.1 Xét toán qui hoạch tuyến tính f(x) = x1 + x2 min, với điều kiện: x1 3x2 2, 3x1 x2 14, x1 0, x1 + 4x2 22, x1 + x2 3, x2 Tập ràng buộc toán đa giác lồi đỉnh vẽ Hình 1.1 Tọa độ đỉnh: O = (0, 0), A = (2, 0), B = (5, 1), C = (6, 4), D = (2, 5), E = (0, 3) Theo Định lý 1.5, nghiệm tối ưu toán đạt đỉnh đa giác Tính giá trị hàm mục tiêu đỉnh này, ta nhận được: f(O) = 0, f(A) = 2, f(B) = 4, f(C) = 2, f(D) = f(E) = Từ cho thấy cực tiểu hàm f đạt đỉnh B (5, 1) với giá trị cực tiểu fmin = x2 D C E B O x1 A Hình 1.1 Tập ràng buộc toán Ví dụ 1.1 1.1.3 Cặp toán đối ngẫu Đối ngẫu phương pháp mà ứng với toán qui hoạch tuyến tính cho (gọi toán gốc), ta thiết lập toán qui hoạch khác (gọi toán đối ngẫu) cho từ nghiệm toán ta thu thông tin nghiệm toán Sau hai dạng cặp toán đối ngẫu thường gặp • Đối ngẫu qui hoạch tuyến tính dạng chuẩn tắc (qui hoạch gốc) (P) {f(x) = cTx : Ax ≥ b, x ≥ 0} toán qui hoạch tuyến tính (qui hoạch đối ngẫu): (Q) max {g(y) = bTy : ATy ≤ c, y ≥ 0} (AT ma trận chuyển vị ma trận A) Ví dụ 1.2 Đối ngẫu toán qui hoạch tuyến tính chuẩn tắc f(x) = 20x1 + 15x2 min, 3x1 + x2 60, x1 + x2 40, x1 + 2x2 60, x1 0, x2 0, toán qui hoạch tuyến tính: g(y) = 60y1 + 40y2 + 60y3 max, 3y1 + y2 + y3 20, y1 + y2 + 2y3 15, y1 0, y2 0, y3 • Đối ngẫu qui hoạch tuyến tính dạng tắc (qui hoạch gốc): (P) {f(x) = cTx : Ax = b, x ≥ 0} toán qui hoạch tuyến tính (qui hoạch đối ngẫu): (Q) max {g(y) = bTy : ATy ≤ c} Ví dụ 1.3 Đối ngẫu toán qui hoạch tuyến tính tắc + 0,8x4 + 0,6x5 min, f(x) = 0,2x1 2x1 + x3 + 2x2 + x5 = 400, + x5 = 400, x2 + 2x3 + 3x4 = 1300, xj 0, j = 1, 2, 3, 4, toán qui hoạch tuyến tính: g(y) = 400y1 + 400y2 + 1300y3 max, 0,2 2y1 2y2 + y1 + y3 0, 2y3 0, 3y3 0,8 y1 0,6 + y2 Dễ kiểm tra lại lấy đối ngẫu toán đối ngẫu ta lại toán gốc Vì ta gọi (P) (Q) cặp toán qui hoạch tuyến tính đối ngẫu 1.2 CÁC ĐỊNH LÝ ĐỐI NGẪU Các kết nêu cho cặp toán đối ngẫu (P), (Q) dạng Định lý 1.6 (Đối ngẫu yếu) Nếu x lời giải chấp nhận toán gốc (P) y lời giải chấp nhận toán đối ngẫu (Q) f(x) = c1x1 + c2x2 + + cnxn ≥ g(y) = b1y1 + b2y2 + + bmym, nghĩa giá trị mục tiêu phương án gốc (bài toán min) không nhỏ giá trị mục tiêu phương án đối ngẫu (bài toán max) Định lý 1.7 (Đối ngẫu mạnh) Nếu qui hoạch có nghiệm tối ưu qui hoạch đối ngẫu có nghiệm tối ưu hai giá trị tối ưu Các định lý cho thấy quan hệ sau hai qui hoạch gốc đối ngẫu Định lý 1.8 (Định lý đối ngẫu bản) Đối với cặp toán qui hoạch tuyến tính đối ngẫu có ba khả loại trừ sau đây: a) Cả hai toán nghiệm chấp nhận b) Cả hai toán có nghiệm chấp nhận Khi đó, hai có nghiệm tối ưu giá trị tối ưu hai hàm mục tiêu c) Một toán có nghiệm chấp nhận toán nghiệm chấp nhận Khi đó, toán có nghiệm chấp nhận có giá trị tối ưu vô cực (+∞ hay - ∞ tùy theo toán max hay min) Các ví dụ sau minh hoạ cho tình a) - c) nêu a) Bài toán gốc toán đối ngẫu phương án f(x) = x1 min, g(y) = y1 + y2 max, x1 + x2 y1 y2 = x1 x2 y1 y2 = x1, x2 tuỳ ý y1 0, y2 b) Bài toán gốc toán đối ngẫu có phương án f(x) = 5x1 + 10x2 min, g(y) = 14y1 + 12y2 max, 2x1 + 3x2 14 2y1 + x1 + 4x2 12 y2 3y1 + 4y2 10 x1 0, x2 y1 0, y2 Phương án tối ưu hai toán x* = (4; 2) y* = (2; 1) với f(x*) = g(y*) = 40 c) Bài toán gốc toán đối ngẫu phương án tối ưu f(x) = x1 min, g(y) = y1 + y2 max, x1 + x2 y1 y2 x1 x2 y1 y2 x1 0, x2 y1 0, y2 Quan hệ cặp toán đối ngẫu thể định lý sau Định lý 1.9 (Định lý độ lệch bù) Một cặp nghiệm chấp nhận x, y hai qui hoạch tuyến tính đối ngẫu (P) (Q) cặp nghiệm tối ưu chúng nghiệm hệ thức: n yi( a ijx j bi) = i = 1, 2, , m ⇔ yT(Ax b) = 0, j 1 xj(cj m a ij yi ) = j = 1, 2, , n ⇔ xT(c ATy) = i 1 Ví dụ 1.4 Xét cặp toán đối ngẫu chuẩn tắc: {4x1 : x1 + x2 2, x1 x2 2, xj 0, x2 0} max {2y1 + 2y2 : y1 + y2 4, y1 y2 0, y1 0, y2 0} y2 x2 y* x1 y1 x* Bài toán đối ngẫu Bài toán gốc Hình 1.1 Tập ràng buộc cặp toán đối ngẫu Ví dụ 1.3 10 Bảng 2.2 gọi bảng đơn hình đối ngẫu cải biên Cột đầu ghi tên biến sở Cột cB ghi hệ số mục tiêu biến sở Trong cột thứ ba (Giả phương án): m phần tử đầu giá trị biến sở, phần tử cuối giá trị hàm mục tiêu tương ứng Ma trận sở nghịch đảo B-1 ghi m cột Cột Zs (cột quay): m phần tử đầu ghi hệ số khai triển véctơ đưa vào sở As theo véctơ sở, phần tử cuối ghi ước lượng s Dòng phía ma trận nghịch đảo ghi phương án toán đối ngẫu, tính theo công thức: (qm+1,1, qm+1,2, , qm+1,m) = cBB-1 (2.4) Bảng 2.2 Bảng đơn hình đối ngẫu cải biên Biến sở cB x i1 ci1 x ir ci r x im cim Bảng Giả Ma trận nghịch đảo B-1 Zs q11 q1m z1s qr1 qrm zrs qm0 qm1 qmm zms qm+1,0 qm+1,1 qm+1,m s phương án q10 qr0 Thuật toán đơn hình đối ngẫu cải biên gồm bước sau Bước (Xây dựng bảng đơn hình ban đầu) Giả sử lúc đầu có phương án cực biên đối ngẫu chấp nhận x với sở J Đặt B = {Aj : j J} Tính ma trận nghịch đảo ghi vào bảng 2.2 Tính m phần tử đầu cột "Giả phương án" theo (2.2) tính qm+1,0 = cBB-1b Các phần tử qm+1,k (k = 1, , m) tích véctơ cB với véctơ cột thứ k B1, theo công thức (2.4) Tính k, k = 1, , n theo (2.2) ghi vào Bảng 2.1 Bước Kiểm tra tối ưu: Nếu phần tử cột giả phương án không âm dừng trình giải ta nhận phương án tối ưu toán (2.1) Trái lại, chuyển sang Bước 21 Bước (Chọn dòng quay) Dòng quay chọn dòng từ xuống mà chứa phần tử âm nhỏ cột giả phương án Tính phần tử dòng quay: zrk = (B1)rAk, k = 1, , n, tức nhân dòng thứ r ma trận B1 với cột As Bảng 2.1, ta phần tử zrk dòng quay Pr ghi vào Bảng 2.1 Bước (Chọn cột quay) Chia phần tử dòng ước lượng (cuối bảng) cho phân tử tương ứng dòng quay, chia cho phần tử âm dòng quay Cột quay cột từ trái sang phải ứng với số nhỏ tỉ số Giả sử cột As cột quay Trước hết tính cột quay (cột Zs Bảng 2.2) theo công thức Zs = B1As, tức nhân dòng ma trận nghịch đảo B-1 với cột As Bảng 2.1 ta phần tử cột quay Zs Bảng 2.2 Phần tử cuối cột s (đã tính trên) Bước Biến đổi bảng đơn hình đối ngẫu cải biên (trừ cột As) hoàn toàn phương pháp đơn hình thường (thay đổi biến sở, đổi hệ số mục tiêu tương ứng, biến đổi dòng quay biến đổi dòng khác theo qui tắc hình chữ nhật) Cuối cùng, biến đổi ghi vào bảng 2.1 dòng ước lượng ' theo công thức: 'k = k - (zrk/zrs)s, k = 1, , n, k s, 's = (2.5) Trở lại thực Bước mô tả Chú ý 2.1 Khi tìm cột quay, phần tử dòng quay không âm dấu hiệu cho thấy toán gốc ban đầu phương án: Dừng thuật toán Ví dụ 2.3 Giải lại toán Ví dụ 2.1 theo thuật toán đơn hình đối ngẫu dạng cải biên f(x) = 15x1 + 12x2 + 10x3 3x1 4x2 2x3 + x4 x1 2x2 3x3 min, = 160, + x5 = 140, x1 0, x2 0, x3 0, x4 0, x5 Số liệu ban đầu toán ước lượng k vòng lập ghi bảng: 22 b A1 A2 A3 A4 A5 - 160 -3 -4 -2 - 140 -1 -2 -3 c 15 12 10 0 1 - 15 - 12 - 10 0 Pr -3 -4 -2 5 - - 2 -6 -4 -3 Pr 0,5 -2 - 0,5 - - - 3 -7 0 -2 -2 Các bước giải toán nêu ba bảng đơn hình đối ngẫu cải biên Biến sở cB Giả phương án x4 - 160 -4 x5 - 140 -2 0 - 15 Bảng B-1 Z2 Bảng 1: Cơ sở ban đầu gồm hai véctơ A4 A5 với 1 0 B = (A4, A5) = ⇒ B-1 = 0 1 1 0 0 1 Phương án cực biên ban đầu biến đối ngẫu tương ứng x 1 0 160 160 1 x = 0 1 × 140 = 140 , y = cBB = 5 0 0 f1 = 0, Tính ước lượng = ATy - c = (15 12 10 0) Đưa véctơ A4 (tương ứng với x4 = 160 < nhỏ nhất) khỏi sở Chọn véctơ A2 (tương ứng với số k = k/z1k = nhỏ nhất) đưa vào sở Bảng biến đổi theo Bước thuật toán nêu trên, với phần tử quay z12 = (ô tô đậm) Kết ta nhận Bảng 23 Giả Biến sở cB x2 12 40 - 1/4 1/2 x5 - 60 - 1/2 -2 Bảng 480 -15/4 -4 B-1 phương án Z3 Tính ước lượng = ATy - c = (- - - 0) Đưa véctơ A5 (tương ứng với x5 = 60 < nhỏ nhất) khỏi sở Chọn véctơ A3 (tương ứng với số k = k/z2k = nhỏ nhất) đưa vào sở Bảng biến đổi theo Bước thuật toán nêu trên, với phần tử quay z12 = (ô tô đậm) Kết ta nhận Bảng Biến sở cB Giả phương án x2 12 25 - 3/8 1/4 x3 10 30 1/4 - 1/2 600 -2 -2 Bảng B-1 Trong Bảng 3, biến sở (x2, x3) có giá trị dương, nên ta nhận phương án tối ưu: x* = (0 25 30 0,5 0,5)T giá trị tối ưu hàm mục tiêu fmin = f(x*) = 600 Phương án tối ưu toán đối ngẫu (dòng cuối ma trận nghiệm nghịch đảo B-1): y* = (- 2, - 2)T với giá trị mục tiêu g(y*) = 600 2.3 ÁP DỤNG GIẢI TRÒ CHƠI MA TRẬN Tìm chiến lược (nghiệm) tối ưu trò chơi ma trận thường đưa đến toán qui hoạch tuyến tính dạng chuẩn tắc mà có sẵn phương án (cực biên) đối ngẫu chấp nhận được, giải toán theo thuật toán đơn hình đối ngẫu (dạng đầy đủ hay dạng cải biên) Sau ta xét ví dụ cụ thể Ví dụ 2.4 Tìm nghiệm trò chơi ma trận 24 2 A = 1 Ta thấy min{aij: aij < 0} = 2, ta chọn = thay A ma trận 1 A = [aij + ] = Mọi phần tử ma trận A dương nên giá trò chơi v > Cặp toán đối ngẫu người chơi P1 P2 f1 = x'1 + x'2 min, 5x'1 + 4x'2 1, f2 = y'1 + y'2 + y'3 + y'4 max, 4x'1 + 3x'2 1, 5y'1 + 4y'2 + 3y'3 + y'4 1, 3x'1 + 6x'2 1, 4y'1 + 3y'2 + 6y'3 + 5y'4 1, x'1 + 5x'2 1, y'1 0, y'2 0, y'3 0, y'4 x'1 0, x'2 Giải Đưa toán gốc dạng tắc cách thêm ẩn phụ x'3, x'4, x'5, x'6 0, sau đổi dấu ràng buộc đẳng thức ta toán: f1 = x'1 + x'2 min, 5x'1 4x'2 + x'3 4x'1 3x'2 = 1, = 1, + x'4 3x'1 6x'2 = 1, + x'5 x'1 5x'2 + x'6 = 1, x'j 0, j = 1, 2, 3, 4, 5, Giả phương án ban đầu: x1 = (0; 0; 1; 1; 1; 1) Cơ sở đối ngẫu J = {3, 4, 5, 6} Quá trình giải toán theo phương pháp đơn hình đối ngẫu ghi bảng sau: 25 Biến Hệ số Giả sở cB phương án x'1 x'2 x'3 x'4 x'5 x'6 1 0 0 x'3 1 5 4 0 x'4 1 4 3 0 x'5 1 3 6 0 x'6 1 1 5 0 Bảng 1 1 0 0 x'1 1/5 4/5 1/5 0 x'4 1/5 1/5 4/5 0 x'5 2/5 18/5 3/5 x'6 4/5 21/5 1/5 0 Bảng 1/5 1/5 1/5 0 x'1 1/21 5/21 0 4/21 x'4 5/21 0 17/21 1/21 x'5 6/21 0 9/21 18/21 x'2 4/21 1/21 0 5/21 Bảng 5/21 0 4/21 0 1/21 x'1 2/17 0 5/17 3/17 x'3 5/17 0 21/17 1/17 x'5 7/17 0 9/17 15/17 x'2 3/17 1/17 4/17 Bảng 5/17 0 4/17 1/17 Ở Bảng phần tử cột Giả phương án dương, nên lời giải toán f1 = f2 max = 5/17 = 1/v v = 17/5, x'1 = 2/17, x'2 = 3/17, y'1 = c3 = 0, y'2 = c4 = 4/17, y'3 = c5 = 0, y'4 = c6 = 1/17 Từ suy nghiệm trò chơi cho là: + Chiến lược tối ưu P1: x* = vx' = 26 17 ( 17 , 17 )=(5 , ) + Chiến lược tối ưu P2: y* = vy' = + Giá trò chơi 17 (0, 17 , 0, 17 ) = (0, : v* = v = 17 3= 5 , 0, ) Tóm lại, chương trình bày chi tiết thuật toán đơn hình đối ngẫu dạng đầy đủ dạng cải biên xét số ví dụ giải toán qui hoạch tuyến tính chuẩn tắc, dó có toán tìm nghiệm tối ưu trò chơi ma trận 27 Chương KỸ THUẬT TÁI TỐI ƯU HÓA VỚI RÀNG BUỘC PHỤ Chương đề cập tới vấn đề tái tối ưu hóa áp dụng thuật toán đơn hình đối ngẫu tái tối ưu hóa thêm ràng buộc vào toán Nội dung chương tham khảo từ tài liệu [2], [3] [4] 3.1 VẤN ĐỀ TÁI TỐI ƯU HÓA Khi lập mô hình cho vấn đề thực tế dạng toán qui hoạch tuyến tính thường có nhu cầu bổ sung thêm ràng buộc vào mô hình nhằm làm cho phản ánh xác vấn đề nghiên cứu, đặc biệt cần so sánh lời giải thu từ mô hình với tình thực tế mô hình hoá Tuy nhiên, việc thêm vào hay nhiều ràng buộc làm cho lời giải có không thoả mãn ràng buộc Trong trường hợp phương pháp đơn hình đối ngẫu giúp giải vấn đề cách hiệu mà không cần giải lại toàn toán từ đầu Ví dụ sau minh hoạ cho tình Ví dụ 3.1 Hãy tìm lời giải toán qui hoạch tuyến tính nhận từ toán cho Ví dụ 2.1 (Chương 2), cách thêm vào ràng buộc mới: x1 + x2 + x3 60 Dùng phương pháp đơn hình đối ngẫu giải toán Ví dụ 2.1 ta nhận phương án tối ưu cho Bảng 3: trước Biến sở CB Giả x1 x2 x3 x4 x5 phương án 15 12 10 0 x2 12 25 7/8 3/8 1/4 x3 10 30 1/4 1/4 1/2 600 7 0 2 2 Bảng Bảng cho thấy x* = (0; 25; 30) phương án tối ưu toán với fmin = 600 Do x* không thoả mãn ràng buộc x1 + x2 + x3 60 nên x* phương án toán Nếu giải lại toán từ đầu tốn nhiều 28 công sức Mục sau trình bày cách áp dụng thuật toán đơn hình đối ngẫu để tiếp tục giải toán, xuất phát từ phương án tối ưu nhận toán cũ Cách làm gọi tái tối ưu hóa toán thêm ràng buộc 3.2 THUẬT TOÁN ĐƠN HÌNH ĐỐI NGẪU TRONG TÁI TỐI ƯU HÓA Bước Để xử lý ràng buộc ta thêm vào biến bù x6 để đưa ràng buộc dạng đẳng thức đổi dấu hai vế đẳng thức thu được: x1 x2 x3 + x6 = 60 Bước Bây ta đưa ràng buộc vào Bảng lập Bảng Để ý biến bù x6 mặt hai ràng buộc lại hàm mục tiêu, hệ số x6 hai ràng buộc hàm mục tiêu Hơn nữa, biến x6 biến sở Biến sở CB Giả x1 x2 x3 x4 x5 x6 phương án 15 12 10 0 x2 12 25 7/8 3/8 1/4 x3 10 30 1/4 1/4 1/2 x6 60 1 1 1 0 Bảng 600 7 0 2 2 Bước Biến Bảng bảng đơn hình đối ngẫu: Do x2, x3 biến sở nên cột x2, x3 phải véctơ cột đơn vị với số ô có tên biến dòng cột Muốn ta cộng dòng dòng vào dòng Kết ta nhận Bảng Biến sở CB Giả x1 x2 x3 x4 x5 x6 phương án 15 12 10 0 29 x2 12 25 7/8 3/8 1/4 x3 10 30 1/4 1/4 1/2 x6 5 3/8 0 1/8 1/4 Bảng 600 7 0 2 2 Bước Bảng tương ứng với giả phương án x0 = (0; 25; 30; 0; 0; 5) thỏa mãn tiêu chuẩn tối ưu Loại biến x6 khỏi sở đưa biến x5 vào sở Biến đổi Bảng theo phương pháp đơn hình đối ngẫu ta nhận Bảng Trong bảng ta thấy phần tử cột Giả phương án dương nên phương án tối ưu toán x* = (0; 20; 40) với giá trị cực tiểu fmin = 640 (giá trị đương nhiên lớn giá trị fmin cũ) Biến sở CB Giả x1 x2 x3 x4 x5 x6 phương án 15 12 10 0 x2 12 20 1/2 1/2 x3 10 40 1/2 1/2 2 x5 20 3/2 0 1/2 4 Bảng 640 4 0 1 8 3.3 VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 3.2 Giải toán qui hoạch tuyến tính dạng chuẩn sau f(x) = x1 + 100x2 + 10000x3 min, x1 + 20x2 + 200x3 100, x2 + 20x3 10, x1 0, x2 0, x3 Đưa toán dạng tắc đổi dấu hai vế ràng buộc đẳng thức, ta nhận toán: f(x) = x1 + 100x2 + 10000x3 min, x1 20x2 200x3 + x4 x2 20x3 = 100, + x5 30 = 10, x1 0, x2 0, x3 Bài toán có n = biến m = ràng buộc chính, nên bảng đơn hình gồm n + = cột m + = dòng Bảng ghi lại hệ số toán, Bảng tương ứng với giả phương án x0 = (0, 0, 0, 100, 10, 1), f0 = f(x0) = Biến sở CB Giả phương x1 x2 x3 x4 án 15 12 10 x5 x4 100 1 20 200 x5 10 1 20 1 0 Bảng 100 10000 x1 100 20 200 -1 x5 10 1 20 Bảng 100 80 9800 1 x1 100 200 1 20 x2 100 10 20 1 900 0 - 8200 1 80 Bảng x4 100 1 200 20 x2 100 10 20 1 1000 1 8000 100 Bảng Bảng cho thấy phần tử cột "Giả phương án dương nên phương án tối ưu toán x* = (0, 10, 0, 100, 0) với giá trị tối ưu hàm mục tiêu fmin = 1000 Bây ta thêm vào toán ràng buộc x3 Ta thấy phương án tối ưu x* không thoả mãn ràng buộc x3 1, nên x* phương án toán Cách xử lý ràng buộc sau: Bước 1.Thêm vào biến bù x6 để đưa ràng buộc dạng đẳng thức đổi dấu hai vế đẳng thức thu được: x3 + x6 = Bước Đưa ràng buộc vào Bảng lập Bảng Để ý biến bù x6 mặt hai ràng buộc trước hàm mục tiêu, hệ số x6 31 hai ràng buộc hàm mục tiêu Hơn nữa, biến x6 biến sở Bước Bảng bảng đơn hình đối ngẫu: Các biến x4, x2 x6 biến sở (các cột x4, x2, x6 véctơ cột đơn vị với số ô có tên biến dòng cột nó) Bước Bảng tương ứng với giả phương án x0 = (0, 10, 0, 100, 0, 1) thỏa mãn tiêu chuẩn tối ưu Loại biến x6 khỏi sở đưa biến x3 vào sở Biến đổi Bảng theo phương pháp đơn hình đối ngẫu ta nhận Bảng Bước Trong bảng 6, cột "Giả phương án" phần tử âm Loại biến x4 khỏi sở đưa biến x1 vào sở Biến đổi Bảng theo phương pháp đơn hình đối ngẫu ta nhận Bảng Biến sở CB Giả phương x1 x2 x3 x4 án 15 12 10 x5 x6 x4 100 1 200 20 x2 100 10 20 1 x6 1 0 1 0 1000 1 8000 100 Bảng x4 100 1 0 20 200 x2 100 10 0 1 20 x3 10000 0 0 1 9000 1 0 Bảng 100 8000 x1 100 0 1 20 200 x2 100 10 0 1 20 x3 10000 0 0 1 9100 0 1 80 8200 Bảng x1 100 20 1 200 x5 10 1 0 20 32 x3 10000 Bảng 0 0 1 9900 80 1 - 9800 x4 100 1 20 200 x5 10 1 0 20 x3 10000 0 0 1 10000 1 100 0 10000 Bảng Bước Trong bảng 7, cột "Giả phương án" phần tử âm Loại biến x2 khỏi sở đưa biến x5 vào sở Biến đổi Bảng theo phương pháp đơn hình đối ngẫu ta nhận Bảng Bước Trong bảng 8, cột "Giả phương án" phần tử âm Loại biến x1 khỏi sở đưa biến x4 vào sở Biến đổi Bảng theo phương pháp đơn hình đối ngẫu ta nhận Bảng Bước Ở Bảng ta thấy phần tử cột Giả phương án không âm nên phương án tối ưu toán x* = (0, 0, 1, 100, 10, 0) với giá trị cực tiểu fmin = 10000 (giá trị đương nhiên lớn fmin = 1000 Bảng 4) Tóm lại, chương trình bày vấn đề tái tối ưu hóa thêm ràng buộc vào toán giải xong giới thiệu tác dụng thuật toán đơn hình đối ngẫu tái tối ưu hóa với ràng buộc phụ 33 KẾT LUẬN Luận văn giới thiệu thuật toán đơn hình đối ngẫu giải toán qui hoạch tuyến tính ứng dụng tái tối ưu hóa, thêm ràng buộc phụ vào toán giải Luận văn trình bày nội dung cụ thể sau: Một số kiến thức cần thiết qui hoạch tuyến tính, toán qui hoạch tuyến tính đối ngẫu, định lý đối ngẫu qui hoạch tuyến tính Giới thiệu ý tưởng phương pháp đơn hình gốc, đơn hình đối ngẫu giải qui hoạch tuyến tính • Chi tiết hóa bước tính toán thuật toán đơn hình đối ngẫu dạng đầy đủ thuật toán đơn hình đối ngẫu dạng cải biên Cuối chương trình bày ví dụ áp dụng thuật toán đơn hình đối ngẫu vào giải toán trò chơi ma trận • Vấn đè tái tối ưu hóa thêm ràng buộc vào toán sau giải xong vai trò việc áp dụng thuật toán đơn hình đối ngẫu tái tối ưu hóa Cuối chương nêu ví dụ minh họa Đây đề tài mang tính ứng dụng thiết thực, có nhiều chi tiết kỹ thuật phức tap, đòi hỏi nhiều tính toán tỉ mỉ Tuy nhiên, kết hợp với kỹ thuật lập trình để thực thi giải toán máy tính Tác giả luận văn hy vọng tương lai có dịp tìm hiểu thêm thuật toán khác tối ưu hóa ứng dụng chúng 34 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Nguyễn Thị Bạch Kim (2014), Giáo trình phương pháp tối ưu: Lý thuyết thuật toán NXB Bách Khoa Hà Nội [2] Trần Vũ Thiệu (2004), Giáo trình tối ưu tuyến tính NXB Đại học Quốc gia Hà Nội Tiếng Anh [3] Bazara M.S (2006), Nonlinear Programming: Theory and Algorithms 3rd Edition A John Willey & Sons, Inc., Publication [4] Dantzig G B., Thapa M N (2003), Linear Programming: Theory and Extensions Springer [5] Griffn C (2009), Linear Programming: Penn State Math 484 Lecture Notes, Licensed under a Creative Commons Attribution-Noncommercial-Share Alike 3.0 United States 35 ... dụ áp dụng thuật toán đơn hình đối ngẫu dạng đầy đủ vào giải toán trò chơi ma trận • Chương “Kỹ thuật tái tối ưu hóa với ràng buộc phụ trình bày vấn đề tái tối ưu hóa thêm ràng buộc vào toán. .. 2.2 Thuật toán đơn hình đối ngẫu dạng cải biên 19 2.3 Áp dụng giải trò chơi ma trận 24 Chương Kỹ thuật tái tối ưu hóa với ràng buộc phụ 28 3.1 Vấn đề tái tối ưu hóa 28 3.2 Thuật toán đơn hình đối. .. toán đơn hình đối ngẫu để tiếp tục giải toán, xuất phát từ phương án tối ưu nhận toán cũ Cách làm gọi tái tối ưu hóa toán thêm ràng buộc 3.2 THUẬT TOÁN ĐƠN HÌNH ĐỐI NGẪU TRONG TÁI TỐI ƯU HÓA Bước