Một số phơng pháp giải phơng trình vô tỉ trêng phỉ th«ng cÊp THCS mơc lơc a më ®Çu 1/ Lí chọn đề tài 2/ Mục đích nghiên cứu đề tài 3/ Phạm vi nghiên cøu 4/ Phơng pháp nghiên cứu b Néi dung ®Ị tµi 1/ C¬ së lý luËn 2/ T×nh h×nh thùc tiÔn 3/ Nội dung phơng pháp tiến hành 3.1 Khái niệm phơng trình vô tỉ 3.2 Phơng pháp chung 3.3 phơng pháp giải phơng trình vô tỉ a Phơng pháp nâng lên luỹ thừa b Phơng pháp đa pt chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối c Phơng pháp đặt ẩn phụ d Phơng pháp đa phơng trình tích e Phơng pháp đa hệ phơng trình g Phơng pháp bất đẳng thức h.Phơng pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số i Phơng pháp sử dụng dấu = BĐTkhông chặt = BĐTkhông chặt BĐTkhông chặt k Mét sè PP kh¸c 4/ KÕt qu¶ c kÕt luËn d - tài liệu tham khảo Trang Trang Trang Trang Trang Trang Trang Trang Trang Trang Trang Trang Trang Trang Trang 10 Trang 13 Trang 16 Trang 18 Trang 20 Trang 21 Trang 23 Trang 24 Trang 26 Trang 27 a mở đầu Lí chọn đề tài : Toán học môn học có ứng dụng hầu hết tất ngành khoa học tự nhiên nh lĩnh vực khác đời sống xà hội Vì toán học có vị trí đặc biệt việc phát triển nâng cao dân trí Toán học không cung cÊp cho häc sinh (ngêi häc )nh÷ng kiÕn thøc bản,những kĩ tính toán cần thiết mà điều kiện chủ yếu rèn luyện kĩ t logic,một phơng pháp luận khoa học Trong việc dạy học toán việc tìm phơng pháp dạy học giải tập toán đòi hỏi ngời giáo viên phải chọn lọc hệ thống, sử dụng phơng pháp dạy học góp phần hình thành và phát triển t học sinh Đồng thời thông qua việc học toán học sinh đợc bồi dỡng rèn luyện phẩm chất đạo đức, thao tác t để giải tập toán , đặc biệt giải phơng trình vô tỉ Hiện từ lớp học sinh đợc hoàn thiện việc mở rộng tập số hữu tỉ Q thành tập số thực R Trong giáo viên dạy phơng trình vô tỉ khai thác phân tích đề , mở rộng toán mới, dẫn đến học sinh gặp toán giải phơng trình vô tỉ lúng túng cha biết cách giải giải đợc nhng Phạm Đình Sơn - Trờng THCS Thiệu Phú -Thiệu Hóa Một số phơng pháp giải phơng trình vô tỉ trờng phổ thông cấp THCS cha chặt chẽ mà mắc nhiều sai lầm tìm tập xác định, nâng lên luỹ thừa, đa biểu thức dấu giá trị tuyệt đối Vì phát triển lực t cho học sinh thông qua việc giải phơng trình vô tỉ cần thiết xin đợc trình bày phần nhỏ để khắc phục tình trạng giải phơng trình vô tỉ góp phần nâng cao chất lợng học môn toán học sinh trờng THCS Mục đích nghiên cứu đề tài - Trang bị cho học sinh số kiến thức giải phơng trình vô tỉ nhằm nâng cao lực học môn toán,giúp em tiếp thu cách chủ động sáng tạo công cụ giải tập có liên quan đến phơng trình vô tỉ - Gây đợc hứng thó cho häc sinh lµm bµi tËp SGK , sách tham khảo giúp học sinh giải đợc số tập - Giải đáp đợc thắc mắc, sữa chữa đợc sai lầm hay gặp giải phơng trình vô tỉ trình dạy học - Giúp học sinh nắm vững cách có hệ thống phơng pháp áp dụng thành thạo phơng pháp để giải tập Thông qua việc giải phơng trình vô tỉ giúp học sinh thấy rõ mục đích việc học toán học tốt tập phơng trình vô tỉ Đồng thời góp phần nâng cao chất lợng giáo dục Phạm vi nghiên cứu- Đối tợng nghiên cứu : Phát triển lực, t học sinh thông qua toán giải phơng trình vô tỉ học sinh THCS Đề tài áp dụng học sinh THCS chủ yếu học sinh khối luyện tập ,ôn tập cuối kì ,cuối năm cho kì thi trờng ,thi vào cấp Các phơng pháp nghiên cứu tiến hành : 4.1 Phơng pháp nghiên cứu : Tham khảo thu thập tài liệu Phân tích,tổng kết kinh nghiệm Kiểm tra kết chất lợng học sinh 4.2.Phơng pháp tiến hành : Thông qua dạng phơng trình vô tỉ đa phơng pháp giải khắc phục sai lầm hay gặp , dạng tập tự giải Phạm Đình S¬n - Trêng THCS ThiƯu Phó -ThiƯu Hãa Mét số phơng pháp giải phơng trình vô tỉ trờng phổ thông cấp THCS b- nội dung đề tài 1/ Cơ sở lý luận: Trong đề tài đợc đa số phơng trình vô tỉ phù hợp với trình độ học sinh THCS Trang bị cho học sinh số phơng pháp giải phơng trình vô tỉ áp dụng để làm tập Rút số ý làm từngphơng pháp Chọn lọc số tập hay gặp phù hợp cho phơng pháp giải , cách biến đổi Vận dụng giải toán có liên quan đến phơng trình vô tỉ Tôi hi vọng đề tài nµy sÏ gióp Ých cho häc sinh ë trêng THCS việc học giải phơng trình vô tỉ Qua em có phơng pháp giải đúng, tránh đợc tình trạng định hớng giải toán sai lúng túng việc trình bày lời giải, giúp học sinh làm việc tích cực đạt kết cao kiĨm tra 2/ T×nh h×nh thùc tÕ 2.1 KÕt quả: Qua kết khảo sát, kiểm tra trớc áp dụng đề tài với 40 học sinh thấy kết tiếp thu giải phơng trình vô tỉ nh sau: §iĨm díi SL % 20 50% SL 14 §iĨm - % 35% §iĨm - §iĨm - 10 SL % SL % 12,5% 2,5% 2.2 Nguyên nhân thực tế trên: Đây dạng toán tơng đối lạ khó với học sinh, học sinh cha đợc trang bị phơng pháp giải , nên việc suy luận hạn chế nhiều lối thoát dẫn đến kết thấp đặc biệt học sinh trung bình em khó giải 3/ Nội dung phơng pháp tiến hành 3.1 Khái niệm phơng trình vô tỉ 3.1.1 Khái niệm: Phơng trình vô tỉ phơng trình chứa ẩn dấu 3.1.2 C¸c vÝ dơ : a) x  1 Phạm Đình Sơn - Trờng THCS Thiệu Phú -Thiệu Hóa Một số phơng pháp giải phơng trình vô tỉ trêng phỉ th«ng cÊp THCS b) 3x   c) x  x 3 x3 x  d) x2  x  2 x  x  =3  x2 x 2.Phơng pháp chung : Để giải phơng trình chứa dấu ta tìm cách khử dấu Cụ thể : - Tìm ĐKXĐ phơng trình - Biến đổi đa phơng trình dạng đà học - Giải phơng trình vừa tìm đợc - So sánh kết với ĐKXĐ kết luận nghiệm 3.3 Một số phơng pháp giải phơng trình vô tỉ bản: a Phơng pháp nâng lên luỹ thừa (Bình phơng lập phơng hai vế phơng trình ): a.1 Các ví dụ : * Giải phơng trình dạng : f ( x) g ( x) Ví dụ 1: Giải phơng trình : x  x  (1) §KX§ : x+1 0 x -1 Với x -1 vế trái phơng trình không âm Để phơng trình có nghiệm x-1 x 1.Khi phơng trình (1) tơng đơng với phơng trình : x+1 = (x-1)2 x2 -3x=  x(x-3) =  ChØ cã nghiệm x =3 thoả mÃn điều kiện x Vậy phơng trình đà cho có nghiệm x =3 Ví dụ 2: Giải phơng trình: x x 13 x  x   x  0  x 0 13  x  13  x x  x (1) 1 §KX§ :  Bình phơng hai vế (1) ta đợc : 3 13   x 13 (2) x  (13  x )  x  27 x 170 Phơng trình có nghiệm x1 10 x Vậy nghiệm phơng trình x 10 17 Chỉ có x1 10 thoà Phạm Đình Sơn - Trờng THCS Thiệu Phú -Thiệu Hóa mÃn (2) Một số phơng pháp giải phơng trình vô tỉ trờng phổ thông cấp THCS * Giải phơng trình dạng : Ví dụ 3: Giải phơng tr×nh:  x 1   x (1) §KX§:  x 0  x 0 1 x  f ( x)   x 1 x 1 x   h( x )  g ( x )    x 1 Bình phơng hai vế phơng trình (1) ta đợc :  x 1  2  x x Phơng trình có nghiệm Vậy nghiệm phơng trình Ví dụ 4: Giải phơng tr×nh:  x  x  0 x x  1 tho· m·n (2)  1 x    x (1) Lập phơng trình hai vế (1) ta đợc: x x 33 ( x  1)(7  x ) 8 (x-1) (7- x) =  x =-1 x =7 (đều thoả mÃn (1 )) Vậy x 1; x nghiệm phơng trình * Giải phơng trình dạng : Ví dụ5: Giải phơng trình x 1 x  = 12  x + x  (1) §KX§:  x  0  12  x     x  0 x f ( x)  = h( x )  g (x ) 12  x  x    x 12  x 12 x Bình phơng hai vế ta đợc: x- = (12 x)( x  7) (3) Ta thÊy hai vÕ cđa ph¬ng trình (3) thoà mÃn (2) bình phơng vế phơng trình (3) ta đợc : (x - 4)2 = 4(- x2 + 19x- 84)  5x2 - 84x + 352 = Phơng trình có nghiệm x1 = 44 x2 = thoả mÃn (2) Vậy x1 = 44 x2 = nghiệm phơng trình * Giải phơng trình dạng : Ví dụ 6: Giải phơng tr×nh : x 1 + f ( x)  x  10 = h( x )  x2 g ( x) + + x q( x) (1) Phạm Đình S¬n - Trêng THCS ThiƯu Phó -ThiƯu Hãa Mét số phơng pháp giải phơng trình vô tỉ trờng phổ thông cấp THCS ĐKXĐ : x x    x  x         x x x x     10         0 10 0 0 x -1 (2) Bình phơng hai vế (1) ta đợc : x+1 + x+ 10 + ( x  1)( x  10) = x+2 + x+ +  2+  ( x  2)( x  5) = ( x  2)( x  5) (3) Víi x  -1 th× hai vế (3) dơng nên bình phơng hai vế (3) ta đợc ( x 1)( x 10) = 1- x Điều kiện x -1 (4) Ta việc kết hợp (2) vµ (4)  x = lµ nghiƯm nhầt phơng trình (1) a.2 Nhận xét : Phơng pháp nâng lên luỹ thừa đợc sử dụng vào giải số dạng phơng trình vô tỉ quen thuộc, song trình giảng dạy cần ý nâng lên luỹ thừa bậc chẵn Với hai số dơng a, b a = b a2n = b2n ngợc lại (n= 1,2,3 ) Từ mà ý điều kiện tồn căn, điều kiện hai vế phơng trình vấn đề mà học sinh hay mắc sai lầm, chủ quan sử dụng phơng pháp Ngoài phải biết phối hợp vận dụng phơng pháp với nhiều phơng pháp khác lại với a.3 Bài tập ¸p dông: x  = x- ( x  1)( x  10) x  x 1 x x2  1 x + x  45 1 x = = x+ 4x =3 x  16 =1 6 x -  (2 x  5) = 2x  x + x  y = x + x b Phơng pháp đa phơng trình chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối : b.1 Các ví dụ : Ví dụ1: Giải phơng trình: x 24 x 16  x  (1) x 1+  x Phạm Đình Sơn - Trêng THCS ThiƯu Phó -ThiƯu Hãa Mét sè ph¬ng pháp giải phơng trình vô tỉ trờng phổ thông cÊp THCS §KX§: 9 x  24 x  16    x    (3 x  4)  x 4  0x x4 Phơng trình (1) = -x + 3x  3 x   3 x   x  x  x 2 Với x= x = nghiệm phơng trình (đều thoả mÃn x ) Ví dụ : Giải phơng trình : x  x 4 + x  x  16 =  x  ĐKXĐ: x R Phơng trình tơng đơng : x  + x  = LËp b¶ng xÐt dÊu : x x- + + x- + Ta xét khoảng : + Khi x < ta cã (2)  6-2x =5  x = 0,5(tho¶ m·n x  2) + Khi  x  ta cã (2)  0x + =5 v« nghiƯm + Khi x > ta cã (2)  2x – =5  x =5,5 (tho¶ m·n x > ) VËy phơng trình đà cho có nghiệm x = 0,5 x = 5,5 Ví dụ : Giải phơng trình: x x + x ĐKXĐ: x Phơng trình đợc viết lại : ( x 1) x 14 x  8 =1 + ( x  1)  x   = ( x   2) + x   3) =1 =1 (1) - NÕu  x < ta cã (1)  2- x  + - x  =  x  =2  x= kh«ng thuộc khoảng xét - Nếu x 10 (1) 0x = Phơng trình có vô số nghiệm - Nếu x> 10 (1) -5 = phơng trinh vô nghiệm Vậy phơng trình cã v« sè nghiƯm :  x  10 b.2 NhËn xÐt :  x 1 + ( x Phạm Đình Sơn - Trờng THCS Thiệu Phú -Thiệu Hóa Một số phơng pháp giải phơng trình vô tỉ trờng phổ thông cấp THCS Phơng pháp đa phơng trình chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối đợc sử dụng giải số dạng phơng trình vô tỉ quen thuộc nh song thực tế cần lu ý cho học sinh : -áp dụng đẳng thức A = A - Học sinh thờng hay mắc sai lầm lúng túng xét khoảng giá trị ẩn nên giáo viên cần lu ý để học sinh tránh sai lầm b.3 Bài tập áp dụng : x x  + x  10 x  25 = x  2x 1 x 34 + x  4x  x + = x 8  x   x  + x c.Phơng pháp đặt ẩn phụ: c Các ví dụ : Ví dụ 1: Giải phơng trình: x  4x  x =5 2x  =2 2x2 + 3x + x  3x  =33 §KX§ :  x R Phơng trình đà cho tơng đơng với: 2x2 + 3x +9 + x  3x  - 42= (1) Đặt 2x2 + 3x +9 = y > (Chó ý r»ng häc sinh thêng mắc sai lầm không đặt điều kiện bắt buộc cho ẩn phụ y) Ta đợc phơng trình : y2 + y – 42 =  y1 = , y2 = -7 Cã nghiƯm y =6 tho¶ m·n y> Tõ ®ã ta cã x  3x  =6  2x2 + 3x -27 = Phơng trình có nghiệm x1 = 3, x2 = - Cả hai nghiệm nghiệm phơng trình đà cho Ví dụ 2: Giải phơng trình: x + x = 12 ĐKXĐ : x o Đặt x = y x = y2 ta có phơng trình y2 + y -12 = phơng trình có nghiệm y= y = - (loại) x =  x = 81 lµ nghiƯm cđa phơng trình đà cho Ví dụ 3: Giải phơng trình: §KX§ : §Ỉt  x  0  x 0 3  x 1 + 3 x x 1  x  x + 3 x  3 = t   t2 = +  ( x  1)(3  x ) = (1) -1 ≤ x ≤ ( x  1)(3 x ) Phạm Đình Sơn - Trờng THCS Thiệu Phú -Thiệu Hóa Một số phơng pháp giải phơng trình vô tỉ trờng phổ thông cấp THCS ( x  1)(3  x ) = t2  (2) thay vào (2) ta đợc t 0  t 2   t2 – 2t =  t(t-2) = + Víi t = phơng trình vô nghiệm +Với t = thay vào (2) ta cã : ( x  1)(3  x) =  x1 = -1; x2 = (tho¶ mÃn) Vậy phơng trình đà cho có nghiệm x1 = -1và x2 = Ví dụ 4: Giải phơng tr×nh : x  = 2( x2 + 2) Ta có Đặt x3 = x x  x 1 = a  ; x  x  = b  a2 + b2 = x2 + Phơng trình đà cho đợc viết 5ab = 2(a2 + b2)  (2a- b)( a -2b) = x 1  2a  b   a  2b 0   + Trêng hỵp: 2a = b 2 = x 1 x  x 1  4x + = x2 – x +1  x2 – 5x -3 = Phơng trình có nghiệm x1 = + Trêng hỵp: a = 2b  x 1 = 5 37 ; x2 =  37 x  x 1  x+ = 4x2 -4x + =  4x2 -5x + = phơng trình vô nghiệm Vậy phơng trình đà cho có nghiệm x= Ví dụ 5: Giải phơng trình: Đặt x 37 x= + (x+1) = x- + 37 1 x +3 1 x2 (1) = u  vµ  x = t  §KX§: -1  x phơng trình (1) trở thành u + 2u2 = -t2 + t +3ut  (u –t ) + u(u-t) + (u-t) =  (u-t)(2u t +1 ) = x Phạm Đình S¬n - Trêng THCS ThiƯu Phó -ThiƯu Hãa Mét số phơng pháp giải phơng trình vô tỉ trờng phỉ th«ng cÊp THCS u t  2u  t x   x      thoả mÃn điều kiện -1 x nghiệm phơng trình đà cho Ví dụ 6: x 1  1 x    x 1 Giải phơng trình: (t 1) + t 1 (t  1) + t  = t2 4 = t2 4 2   4t   t   0 t  x + x2 x = 0  24 25 x 3 §KX§ : x 1 x  = t  x = t + phơng trình đà cho trở thành Đặt x x (t  1) t  t  2 0 x  x ĐkXĐ: x Vậy phuơng đà cho cã nghiƯm x= 1vµ x= c.2 NhËn xÐt : Phơng pháp đặt ẩn nhằm làm cho phơng trình đợc chuyển dạng hữu tỉ Song để vận dụng phơng pháp phải có nhận xét,đánh giá tìm tòi hớng giải cách đặt ẩn nh cho phù hợp nh : Đặt ẩn phụ để đợc phơng trình chứa ẩn phụ (Vd 3-1,3-2,3-3) Đặt ẩn phơ ®Ĩ ®a vỊ mét biĨu thøc nhãm (VD 3-4; 3-5) c.3 Bài tập áp dụng: 1/ x2 + x  = 2/ x 3/ x x2 - 2x -3 3 x x = 20 =20 4/ x3  = 2x2 – 6x +4 5/ x6 x + x x = x 23 d Phơng pháp đa phơng trình tích : d.1.Các ví dụ : Ví dụ 1: Giải phơng trình: x 10 x  21 = x  + x  - (1) §KX§ : x  -3 Phơng trình (1) có dạng : ( x 3)( x  7) - x  + x  +6 =  x 3 ( x   3) -2( x   3) ) =3 Phạm Đình Sơn - Trờng THCS Thiệu Phú -Thiệu Hóa 10 Một số phơng pháp giải phơng trình vô tỉ trờng phổ thông cấp THCS (       x  x x   3) ( x 3  2) x   0 x   0  =0  x  9   x  4   §KX§ 2 1 VËy phơng trình đà cho có nghiệm x = 1; x = Ví dụ 2: Giải phơng trình: x + x =1 Đặt ĐKXĐ : x  -2 = t  Khi dã x = x2 Phơng trình (1)  3 t2 3 3 t2 +t=1 3 t2 = 1- t  3- t3 = (1-t)  t3 - 4t2 + 3t + =0  (t-2) ( t2 -2t -1) = Từ phơng trình ta tìm đợc x=2 ; x= + 2 VÝ dô3: = 2(x2 + 1) + 2x - (1) Giải phơng trình: Đặt (1) (4x-1) x 1 =y ; y   (4x-1) y = 2y2 + 2x -1 2y2 - (4x -1) y + 2x – 1= ( 2y2 - 4xy + 2y) – ( y- 2x+1) = (y- 2x+1) (2y- 1) = x Giải phơng trình ta tìm đợc x = ; x = Ví dụ4: nghiệm phơng trình (1) Giải phơng trình: ( x )(  x  ) = 2x §KX§: -1 x (1) đặt x = u (0  u  ) suy x = u2 -1 phơng trình (1) trở thành : (u -1 ) (  u  1)  (u -1 ){ ( = ( u2 -1)  u  1) -  (u-1) ( (+) nghiệm phơng trình (1) (u+1)} =  u  2u  1) =0  u  0    u  2u   u-1 =  u =1 ( tho¶ m·n u  ) suy x = thoả mÃn (1) Phạm Đình Sơn - Trờng THCS Thiệu Phú -Thiệu Hóa 11 Một số phơng pháp giải phơng trình vô tỉ trêng phỉ th«ng cÊp THCS (+)   u  2u  2u     ( 2u  1) 2  u =0   u2 = 2u + (tho¶ m·n v× u  )  5u2 + 4u - = u1    0(loai )   u2     nªn cã x = u22 -1 = ( )2 – =  24 25 tho· m·n ®iỊu kiện (1) Vậy phơng trình đà cho có nghiệm x = vµ x =  24 25 d.2.Nhận xét : Khi sử dụng phơng pháp đa phơng trình tích để giải phơng trình vô tỉ ta cần ý bớc sau + Tìm tập xác định phơng trình + Dùng phép biến đổi đại số , đa phơng trình dạng f(x) g(x) .= (gọi.= (gọi phơng trình tÝch) Tõ ®ã ta suy f(x) = ; g( x) = ; ….= (gäi lµ ph ơng trình quen thuộc + Nghiệm phơng trình tập hợp nghiệm phơng trình f(x) = g( x) = ;….= (gäi thuộc tập xác định + Biết vận dụng,phối hợp cách linh hoạt với phơng pháp khác nh nhóm số hạng,tách số hạng đặt ẩn phơ thay thÕ cho mét biĨu thøc chøa Èn ®a phơng trình dạng tích quen thuộc đà biết cách giải d.3.Bài tập áp dụng: x  x  = x2  x  -2 x(x+5) = x2  x  = x x  5x   2( x2 + 2x + 3) = x  3x  3x e Phơng pháp đa hệ phơng trình : e.1.Các ví dụ : Ví dụ1: Giải phơng tr×nh: 25  x - 15  x =2 ĐKXĐ: x2 15 Đặt: 25 x = a (a 0) (* ) = b ( b 0) ( ** ) Từ phơng trình đà cho chuyển hệ phơng trình : 15 x Phạm Đình Sơn - Trờng THCS Thiệu Phú -Thiệu Hóa 12 Một số phơng pháp giải phơng trình v« tØ trêng phỉ th«ng cÊp THCS b 2 a   b ) (a  b ) ( a   0 a  b  2( a a  b   a  b    b)   a    b    Thay vµo phơng trình (*) ta có 25 x2 = 49 x2 = ĐkXĐ ) Vậy phơng trình ®· cho cã nghiƯm x = VÝ dơ 2: 51  (5  x )  x  ( x 3) x Giải phơng trình: 5 x  x 51  x=  51 ( =2 (1) §KX§ :  x Đặt  x x  t (t  0) u (u 0) Phơng trình (1 ) trở thành hệ phơng trình : t 2 u    ut  t  u  x  x VÝ dô3: u   t   ut = 3 5 (thõa mÃn điều kiện ) Vậy phơng trình đẫ cho cã nghiƯm x =3 ; x= Gi¶i phơng trình: x + x = ĐKXĐ: x Đặt x u    x   t (t  0)  Khi ®ã ta cã u3 = – x ; t2 = x- nªn u3 + t3 = Phơng trình đà cho đợc đa hệ: Từ phơng trình (1) u = t Thay vào phơng trình (2) ta có : ( – t )3 + t2 =  t( t2 - 4t + = u  t 1(1)   t 1( 2) u  t   t  4t   t   t 1 t 3  Từ ta đợc x= 3; x =2 ; x = 10 (ĐKXĐ x ) nghiệm phơng trình đà cho Ví dụ 4: Giải phơng trình: Đặt: ( x 1) x 1 + =a; a2 = ( x  1) b2 = ( x  1) ( x  1) x + x2  =1 = b nªn ta cã: Phạm Đình Sơn - Trờng THCS Thiệu Phú -Thiệu Hóa 13 Một số phơng pháp giải phơng trình vô tỉ trêng phỉ th«ng cÊp THCS ab = x2  3  a   b Ta đợc phơng trình : a2 + b + ab = ( 1) x 1 x  Ta đợc phơng trình : a3 b3 = (2) Từ (1) (2) ta có hệ phơng trình :   b  ab 1 a    b3  a Tõ hÖ phơng trình ta suy a b = b = a Thay vào hệ phơng trình (1) ta đợc : (a -1 )2 = a =1 Từ ta đợc x = Vậy nghiệm phơng trình : x = e.2.Nhận xÐt : Qua vÝ dơ trªn cho ta thÊy phơng pháp hệ phơng trình có điểm sáng tạo đặc thù riêng, đòi hỏi học sinh phải t phơng pháp đợc áp dụng cho học sinh , giỏi Ta cần ýmột số điểm sau: + Tìm điều kiện tồn phơng trình + Biến đổi phơng trình để xuất nhân tử chung + Đặt ẩn phụ thích hợp để đa việc giải phơng trình việc giải hệ phơng trình quen thuộc Ngoài ngời học biết kết hợp phơng pháp với phơng pháp khác nh phơng pháp đặt ẩn phụ , phơng pháp sử dụng đẳng thức e.3.Bài tập áp dụng: Giải phơng trình sau : 1 x 2 +  x2 2x  =2 = x3+ 3 1 x + x + 1 x =1 x  21 = 2x   x = x g Phơng pháp bất đẳng thức : g.1 Phơng pháp chứng tỏ tập giá trị hai vế rời , phơng trình vô nghiệm g.1.1.Các ví dụ : Ví dụ1: Giải phơng trình: x - x = x (1) Phạm Đình Sơn - Trêng THCS ThiƯu Phó -ThiƯu Hãa 14 Mét sè ph¬ng pháp giải phơng trình vô tỉ trờng phổ thông cÊp THCS   x  5 x  3 x §KX§: 0  0  0   x    x    x    1   Víi x  th× x < 5x ®ã x  < x  Suy vế trái (1) số âm , vế phải số không âm Vậy phơng trình vô nghiệm Ví dụ2: Giải phơng trình: + x  x  11  Mµ ( x  3)  ( x  3)  + + x  x  13 + x  4x  =3+ ( x  3)  + ( x  2)  = 3+ ( x  3)  + ( x  2)   + (*) +1=3+ Vế phải phơng trình đà cho lớn vế trái Vậy phơng trình đà cho vô nghiệm g.1.2.Bài tập áp dụng: x  - x  = 2 x2  =x-2 x2   x + x  = x2 - 6x +13 g.2 Sử dụng tính đối nghịch hai vế : g.2.1.Các ví dụ : Ví dụ1: Giải phơng trình: 3x  x  + Ta cã vÕ tr¸i cña (1) 3x  x  + x  10 x  14 = 3( x  1)  x  10 x  14 + 5( x  1)  = – 2x – x2 (1)  + =5 VÕ ph¶i cđa (1) : -2x –x2 = – (x + 1)2  VËy hai vÕ ®Ịu b»ng x = -1 Do phơng trình (1) có nghiệm x = -1 Ví dụ2: Giải phơng trình: x +  x = x2 -10x + 27 (1) §KX§:  x  XÐt vÕ ph¶i cđa (1) ta cã : x2 – 10x + 27 = ( x-5)2 + với x vế trái cña (1) ( x 4 6 x )2  ( ( x  1)  (  ) 2 =1 hay x + 6 x Vì phơng trình (1) có nghiệm :   10 x  27  2(*) x   x    x 2(**) Giải phơng trình (*) ta dợc x = giá trị thoả mÃn (**) Vậy x =5 nghiệm phơng trình (1) g.2.2 Bài tập áp dụng : Phạm Đình Sơn - Trờng THCS Thiệu Phú -Thiệu Hóa 15 Một số phơng pháp giải phơng trình vô tỉ trờng phổ thông cấp THCS x  12 x  16 x  x  12 x  x  3,5 + + = =5 y  y  13 x  10 x  = 3-4x -2x2 ( x  x  2)( x  x 4) h Phơng pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số : h.1.Các ví dụ : Ví dụ1: Giải phơng trình : x + x  = (1) §KX§: x  Ta thấy x =3 nghiệm với phơng trình (1) Víi x > th× x  > , x > nên vế trái (1) lớn Với x< x  -1  -1  x  th× x  < 1, nhá h¬n VËy x= nghiệm phơng trình (1) Ví dụ 2: Giải phơng trình : x 28 + 23 x  23 + x + x = x 1 < nªn vÕ tr¸i cđa (1) + (1)  x  0  x 1   x 0 §KX§: Ta thÊy x =2 lµ nghiƯm cđa (1) h2.NhËn xÐt : Khi giải phơng trình vô tỉ mà ta cha biết cách giải thờng ta sử dụng phơng pháp nhẩm nghiƯm ,thư trùc tiÕp ®Ĩ thÊy nghiƯm cđa chóng Råi tìm cách chứng minh nghiệm không nghiệm khác h.3.Bài tập áp dụng : x  26 + x + x  = 2 x  + x  3x  = x  x  + x x i Phơng pháp sử dụng điều kiện xảy dấu = BĐTkhông chặt = BĐTkhông chặt bất đẳng thức không chặt i.1.Các ví dụ : Ví dụ1: Giải phơng trình x + y  1995 + z  1996 = (x+y+z) §KX§ : x  2; y  -1995; z 1996 Phơng trình (1) x+y+z = x  + y  1995 + z  1996  ( x   1) + ( y  1995  1) + ( z  1996  1) =0 Ph¹m Đình Sơn - Trờng THCS Thiệu Phú -Thiệu Hóa 16 Một số phơng pháp giải phơng trình vô tỉ trêng phỉ th«ng cÊp THCS      x ĐKXĐ ) Là nghiệm phơng trình (1) Ví dụ 2: Giải phơng tr×nh:  y z   99  99 3( x  1)  VÕ tr¸i cđa (*) + 5( x  1)  3x  x  3  199  199 + x  10 x  14 ( tho· m·n = – 2x – x2 = – (x+1)2 (*) + 3( x  1)  x   y z     5( x  1)  2 + = Vế phải (*) (x+1)2 Vì phơng trình (*) có nghiệm hai vế phơng trình (*) b»ng  x+ =  x = -1 Vậy phơng trình đà cho có nghiệm x =-1 Ví dụ3: x Giải phơng trình: 4x + 4x  x =2 (1) §KX§: x> áp dụng bất đẳng thức a b b a  víi a,b > x¶y dÊu = BĐTkhông chặt= BĐTkhông chặt vµ chØ a =b DÊu “ = ” ë BĐTkhông chặt= BĐTkhông chặt (1) xảy x= 4x   x2 - 4x +1 = (do x> ) Giải phơng trình ta tìm đợc x= (thoả mÃn ĐKXĐ) Vậy x= nghiệm phơng trình i.2 Nhận xét : Khi sử dụng phơng pháp bất đẳng thức để giải phơng trình vô tỉ ta cần ý bớc sau : + Biến đổi phơng trình dạng f(x) = g(x) mà f(x) a , g(x)  a (a lµ h»ng sè ) NghiƯm phơng trình giá trị x thoả mÃn đồng thời f(x) =a g(x) = a + Biến đổi phơng trình dạng h(x) = m (m số ) mà ta có h(x) m h (x) m nghiệm phơng trình giá trị x làm cho dấu đẳng thức xảy + áp dụng bất đẳng thức : Côsi, Bunhiacopxki i.3 Bài tập áp dụng: x  x  12 = - 3x  12 x  13 x + 10  x = x2 -12x + 40 Phạm Đình Sơn - Trờng THCS Thiệu Phú -Thiệu Hóa 17 Một số phơng pháp giải phơng trình vô tØ trêng phỉ th«ng cÊp THCS 19 +5 x x2  x  x  15 = + 95 = x  x 2 x  x  18 x  x  11 k Một số phơng pháp khác : k.1.Phơng pháp miền giá trị : Ví dụ1: Giải phơng trình: Ta tìm miền giá trị hàm số : y = x  + x    x  18  y, = x 1   x 1 5 x  x 1 x 9 + x 1  5 x  18  x 9 (1) trªn tËp xác định 1;5 ta có: 18 x > víi mäi x  1;5 Do hµm số y liên tục đồng biến 1;5 nên miền giá trị hàm số y(1); y(5) hay    15;2   3` Suy y = ymax = +  2 15 vµ víi mäi x 1;5 Để phơng trình (1) có nghiệm y ymax nhng điều không xảy y = 15 < vµ ymax = +  < Do phơng trình (1) vô nghiệm không tồn giá trị x 1;5 để y(xi) = k.2.Phơng pháp hàm số: Ví dụ 2: Giải phơng trình: x3 +1 = x (1) x3  Ta cã: (1) 1 3 2x Đặt y = hàm số có đạo hàm y, = nên đơn điệu tăng liên tục R x x y =  1 x= có hàm ngợc y = x  1  3x 2 2x  0 víi mäi x (v× y = x 1 2x  ) Do nghiệm phơng trình trình =x x3 1  2x   x3 -2x + = cịng lµ nghiƯm cđa phơng x = x = Phạm Đình Sơn - Trờng THCS Thiệu Phú -Thiệu Hóa 18 Một số phơng pháp giải phơng trình vô tỉ trờng phổ thông cấp THCS Vậy nghiệm phơng trình lµ x= vµ x =    k.3 Nhận xét: Phơng pháp miền giá trị phơng pháp hàm số mang nội dung kiến thức bậc phổ thông trung học nên không áp dụng vào việc giảng dạy bậc THCS mà dành cho giáo viên dạy bậc THCS tham khảo thêm mà nên tìm cách đa phơng pháp quen thuộc để dạy học sinh THCS Chẳng hạn nh ví dụ ta đa hệ phơng trình nh sau: x3 + = 2x Đặt t = x   2x -1 = t3 Ta cã hÖ: x3 + = 3t 2x -1 = t3  x3 – t3 + (x-t) =  x1 =1 ; x2,3 =   1 4/ Kết 4.1/ Nhận xét: Trên giới thiệu với bạn số phơng pháp giải phơng trình vô tỉ, kết thu đợc rõ ràng đà vận nhiều dạng toán, ứng dụng toán Nếu nh rèn luyện cho học sinh dạng toán đà trang bị cho em lợng kiến thức nhỏ Trong chơng trình toán phổ thông nhiều phơng pháp Trên trình bày số phơng pháp thông dụng chơng trình trung học sở Tuy nhiên với dạng toán đối tợng tiếp thu cách dễ dàng, giáo viên phải khéo léo lồng vào tiết dạy nhằm thu hút phát huy sáng tạo cho học sinh Đây vấn đề hoàn toàn mẻ khó khăn cho học sinh mức trung bình, giáo viên nên cho em làm quen dần Dạng toán có tác dụng tơng hỗ, cao dần từ kiến thức sách giáo khoa, giúp học sinh khắc sâu kiến thức biết t sáng tạo, biết tìm cách giải dạng toán mới, tập trung = BĐTkhông chặtSáng tạo BĐTkhông chặt vấn đề 4.2 Kết sau áp dụng đề tài Sau áp dụng đề tài thấy chất lợng qua kiểm tra đà đợc nâng lên đáng kể, đặc biệt đối tợng HS trung bình chất lợng đợc nâng lên rõ rệt Điểm dới Điểm - §iĨm - §iĨm - 10 SL % SL % SL % SL % 19 Phạm Đình S¬n - Trêng THCS ThiƯu Phó -ThiƯu Hãa Mét sè phơng pháp giải phơng trình vô tỉ trờng phổ th«ng cÊp THCS 12,5% 20 50% 10 25% 12,5% Phạm Đình Sơn - Trờng THCS Thiệu Phú -Thiệu Hãa 20 ... Thiệu Phú -Thiệu Hóa Một số phơng pháp giải phơng trình vô tỉ trờng phổ thông cấp THCS Phơng pháp đa phơng trình chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối đợc sử dụng giải số dạng phơng trình vô tỉ quen thuộc... phơng pháp giải , cách biến đổi Vận dụng giải toán có liên quan đến phơng trình vô tỉ Tôi hi vọng đề tài gióp Ých cho häc sinh ë trêng THCS viƯc học giải phơng trình vô tỉ Qua em có phơng pháp giải. .. 3.3 Một số phơng pháp giải phơng trình vô tỉ bản: a Phơng pháp nâng lên luỹ thừa (Bình phơng lập phơng hai vế phơng trình ): a.1 Các ví dụ : * Giải phơng trình d¹ng : f ( x)  g ( x) VÝ dụ 1: Giải