Đang tải... (xem toàn văn)
bài tập toán cao cấp
BỘ MÔN KHOA HỌC CƠ BẢN – MÔN TOÁN CAO CẤP II Bài tập về tích phân kép Bài 1: Tìm cận của tích phân hai lớp ( ) , D f x y dxdy ∫∫ theo miền D giới hạn bởi các đường đã chỉ ra. 1. 3, 5,3 2 4 0,3 2 1 0x x x y x y = = − + = − + = ĐS: ( ) 3 4 5 5 3 1 3 5 , x x dx f x y dy + + ∫ ∫ 2. 0, 0, 2x y x y= = + = ĐS: ( ) 2 2 0 0 , x dx f x y dy − ∫ ∫ 3. 2 2 1, 0, 0x y x y+ ≤ ≥ ≥ ĐS: ( ) 2 1 1 0 0 , x dx f x y dy − ∫ ∫ 4. 1, 1, 0x y x y x+ ≤ − ≤ ≥ ĐS: ( ) 1 1 0 1 , x x dx f x y dy − − ∫ ∫ 5. 2 2 , 4y x y x≥ ≤ − ĐS: ( ) 2 2 2 4 2 , x x dx f x y dy − − ∫ ∫ 6. 2 2 1 4 9 x y + ≤ ĐS: ( ) 2 2 3 4 2 2 3 2 4 2 , x x dx f x y dy − − − − ∫ ∫ 7. 2 ,y x y x= = ĐS: ( ) 2 1 0 , x x dx f x y dy ∫ ∫ 8. , 2 , 6y x y x x y= = + = ĐS: ( ) ( ) 2 2 3 6 0 2 , , x x x x dx f x y dy dx f x y dy − + ∫ ∫ ∫ ∫ Bài 2: Thay đổi thứ tự lấy tích phân trong các tích phân sau: 1 BỘ MÔN KHOA HỌC CƠ BẢN – MÔN TOÁN CAO CẤP II 9. ( ) 4 4 0 , y dy f x y dx ∫ ∫ ĐS: ( ) 2 0 1 1 1 , x x dx f x y dy − − + ∫ ∫ 10. ( ) 2 0 1 1 1 , x x dx f x y dy − − + ∫ ∫ ĐS: ( ) 2 1 1 0 1 , y y dy f x y dy − − − ∫ ∫ 11. ( ) 2 1 2 0 , x x dx f x y dy − ∫ ∫ ĐS: ( ) ( ) 2 1 2 0 0 1 0 , , y y dy f x y dx dy f x y dx − + ∫ ∫ ∫ ∫ 12. ( ) 2 1 1 , y y dy f x y dx ∫ ∫ ĐS: ( ) ( ) 1 2 2 2 1 1 1 2 , , x x dx f x y dy dx f x y dy+ ∫ ∫ ∫ ∫ Bài 3: Tính các tích phân kép sau: 13. ( ) 1 2 0 1 x x dx x y dy− + ∫ ∫ ĐS: 1 3 14. 4 3 2 2 2 0 y y dy dx x y − + ∫ ∫ ĐS: 6 π 15. ( ) 2 0 2 0 2 y dy x y dx+ ∫ ∫ ĐS: 11,2− 16. 5 5 0 0 4 x dx x ydy − + + ∫ ∫ ĐS: 506 15 17. ( ) 4 2 2 3 1 dy dx x y+ ∫ ∫ ĐS: 25 24 18. ( ) 2 2 2 0 2 a ax ax dx x y dy − + ∫ ∫ ĐS: 4 344 105 a 19. 2 0 sin a a d rdr π ϕ ϕ ∫ ∫ ĐS: 2 2 a π 2 BỘ MÔN KHOA HỌC CƠ BẢN – MÔN TOÁN CAO CẤP II 20. 2 1 1 2 2 0 0 1 x dx x y dy − − − ∫ ∫ ĐS: 6 π Bài 4: Tính các tích phân kép theo hình chữ nhận chỉ ra sau đây 21. ( ) 2 2 , 2 3, 1 2 D x y dxdy x y+ ≤ ≤ ≤ ≤ ∫∫ ĐS: 5 4 6 22. ( ) 2 2 , 1 2, 0 1 D x y dxdy x y+ ≤ ≤ ≤ ≤ ∫∫ ĐS: 5 2 6 23. ( ) 2 2 , 0 1, 0 1 D x y dxdy x y+ ≤ ≤ ≤ ≤ ∫∫ ĐS: 2 3 24. 2 2 3 ; 0 1, 0 1 1 D y dxdy x y x ≤ ≤ ≤ ≤ + ∫∫ ĐS: 4 π 25. ( ) sin ; 0 , 0 2 2 D x y dxdy x y π π + ≤ ≤ ≤ ≤ ∫∫ ĐS: 2 26. ; 0 1, 1 0 xy D xe dxdy x y≤ ≤ − ≤ ≤ ∫∫ ĐS: 1 e 27. ( ) 2 ;1 2, 3 4 D dxdy x y x y ≤ ≤ ≤ ≤ − ∫∫ ĐS: 4 ln 3 Bài 5: Tính các tích phân kép trên miền D giới hạn bởi các đường đã chỉ 28. ; 0, , 1 D xydxdy y y x x= = = ∫∫ ĐS: 1 8 29. 2 2 ; , D xydxdy y x x y= = ∫∫ ĐS: 1 12 30. 3 ; , 2, 0 D xdxdy y x x y x= + = = ∫∫ ĐS: 7 15 31. ; 6, 7 0 D xdxdy xy x y= + − = ∫∫ ĐS: 5 20 6 3 BỘ MÔN KHOA HỌC CƠ BẢN – MÔN TOÁN CAO CẤP II 32. 2 2 2 ; 4, 2 0 D y xdxdy x y x y+ = + − = ∫∫ ĐS: 3 1 5 33. ( ) ; 0 , 0 sin D x y dxdy y x y π + ≤ ≤ ≤ ≤ ∫∫ ĐS: 5 4 π 34. ( ) sin ; , , 0 2 D x y x y x y y π + = + = = ∫∫ ĐS: 1 2 35. 2 ; y D e dxdy − ∫∫ D là tam giác với đỉnh O(0,0), B(0,1), A(1,1) ĐS: 1 1 2 2e − + 36. D xydxdy ∫∫ , D là hình elip 2 2 4 1x y+ ≤ ĐS: 0 37. 2 2 ; 0, 2 D xy dxdy y y ax x= = − ∫∫ ĐS: 5 4 5 a 38. 2 2 ; , 2, 2 D xdxdy y x x x y x y = = = + ∫∫ ĐS: 1 2 2 2 arctg π − 39. ; 0, 0, 1 D x ydxdy x y x y+ = = + = ∫∫ ĐS: 2 5 40. ( ) 2 ; 2 , 2 1 D x y dxdy y x y x− = − = − ∫∫ ĐS: 4 4 15 41. ( ) 2 ; , 2 , 2, 3 D x y dxdy y x y x x x+ = = = = ∫∫ ĐS: 1 25 3 42. ; 2 sin , 0, 0, 2 D xdxdy x y x y y π = + = = = ∫∫ ĐS: 9 2 π 43. ( ) 2 2 ; 2 1 D xydxdy x y− + = ∫∫ ĐS: 4 3 4 BỘ MÔN KHOA HỌC CƠ BẢN – MÔN TOÁN CAO CẤP II 44. 2 D dxdy a x− ∫∫ , D là hình tròn bán kính a nằm trong góc phân tư thứ nhất và tiếp xúc với các trục tọa độ. ĐS: 8 2 3 a a 45. ( ) ( ) ; sin , 1 cos , 0 2 D ydxdy x R t t y R t t π = − = − ≤ ≤ ∫∫ (là miền giới hạn bởi vòm của xicloid) ĐS: 3 5 2 R π Chỉ dẫn: ( ) 2 0 0 y f x R D ydxdy dx ydy π = = ∫∫ ∫ ∫ Bài 6: Chuyển sang tọa độ cực và tính tích phân: 46. ( ) 2 2 2 2 2 ; : , 0 D x y dxdy D x y R y+ + ≤ ≥ ∫∫ ĐS: 4 4 R π 47. 2 2 2 2 ; : 1, 0, 0 x y D e dxdy D x y x y + + ≤ ≥ ≥ ∫∫ ĐS: ( ) 1 4 e π − 48. 2 2 2 2 2 ; : x y D e dxdy D x y R + + ≤ ∫∫ ĐS: 2 2 ( 1) R e π − 49. 2 2 2 2 1 ; : D x y D x y x− − + ≤ ∫∫ ĐS: 1 4 4 3 π − ÷ 50. 2 2 2 2 2 2 1 , : 1, 0, 0 1 D x y dxdy D x y x y x y − − + ≤ ≥ ≥ + + ∫∫ ĐS: ( ) 2 2 π π − 51. ( ) 2 2 2 2 2 2 ln , :1 D x y dxdy D x y e x y + ≤ + ≤ + ∫∫ ĐS: 2 π 52. ( ) 2 2 D x y dxdy+ ∫∫ , D giới hạn bởi các đường tròn 2 2 2 2 2 1 0, 2 0x y x x y x+ + − = + + = ĐS: 5 2 π 5 BỘ MÔN KHOA HỌC CƠ BẢN – MÔN TOÁN CAO CẤP II Chỉ dẫn: Đặt 1 cos , sinx r y r ϕ ϕ − = = Bài 7: Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi các mặt đã chỉ ra 53. 0, 0, 0, 1x y z x y z= = = + + = ĐS: 1 6 54. 2 2 0, 0, 0, 1,x y z x y z x y= = = + = = + ĐS: 1 6 55. 2 2 2 , , 1, 0z x y y x y z= + = = = ĐS: 88 105 56. 2 2 2 2 2 , , 0z x y x y a z= + + = = ĐS: 3 2 3 a π 57. 2 2 2 2 2 , , 0z x y x y a z= + + = = ĐS: 4 2 a π 58. 2 2 2 , , 0z x x y a z= + = = ĐS: 3 4 3 a 59. 2 2 4 , 1, 1z x y x y= − − = ± = ± ĐS: 1 13 3 60. 2 2 2 0, ,x y z y x y x− − − = = = ĐS: 11 120 61. 2 2 4 , , 2x y x z x z x+ = = = ĐS: 4 π Bài 8: Tính diện tích phần mặt đã chỉ ra 62.Phần mặt phẳng 6 3 2 12x y z+ + = nằm trong góc phần tám thứ nhất. ĐS: 14 63.Phần mặt phẳng 2x y z a+ + = nằm trong mặt trụ 2 2 2 x y a+ = ĐS: 2 2 3a 6 BỘ MÔN KHOA HỌC CƠ BẢN – MÔN TOÁN CAO CẤP II 64.Phần mặt paraboloid 2 2 z x y= + nằm trong mặt trụ 2 2 4x y+ = ĐS: ( ) 17 17 1 6 π − 65.Phần mặt 2 2 2z x y= + nằm trong mặt trụ 2 2 1x y+ = ĐS: ( ) 2 2 2 1 3 π − 66.Phần mặt nón 2 2 z x y = + nằm trong mặt trụ 2 2 2 x y a+ = ĐS: 2 2a π 67.Phần mặt nón 2 2 2 2 x y z R+ + = nằm trong mặt trụ 2 2 x y Rx+ = ĐS: ( ) 2 2 2R π − 68.Phần mặt nón 2 2 2 z x y= + nằm trong mặt trụ 2 2 2x y x+ = ĐS: 2 2 π 69.Phần mặt trụ 2 4z x= nằm trong góc phần tám thứ nhất và giới hạn bởi mặt trụ 2 4y x= và mặt phẳng 1x = ĐS: ( ) 4 2 2 1 3 − 70.Phần mặt cầu 2 2 2 2 x y z R+ + = nằm trong mặt trụ 2 2 2 ,x y a a R+ = ≤ ĐS: ( ) 2 2 4 a a a R π − − Bài tập phần tích phân 3 lớp Bài 1: Tính các tích phân lặp sau: 1. 1 2 2 0 0 1 x x x dx ydy dz − − ∫ ∫ ∫ ĐS: 1 12 7 BỘ MÔN KHOA HỌC CƠ BẢN – MÔN TOÁN CAO CẤP II 2. 0 0 0 a y a h ydy dx dz − ∫ ∫ ∫ ĐS: 3 6 a h 3. 2 2 2 3 2 0 0 2 y y dy xdx z dz − ∫ ∫ ∫ ĐS: 30 4. ( ) 1 1 1 3 0 0 0 1 x y x dz dx dy x y x − − − + + + ∫ ∫ ∫ ĐS: ln2 5 2 16 − 5. ( ) 2 2 2 0 0 0 c b a dz dy x y z dx+ + ∫ ∫ ∫ ĐS: ( ) 2 2 2 3 abc a b c+ + 6. ( ) 2 2 2 0 0 a x y a a x a dx dy x y z dz − − − + + ∫ ∫ ∫ ĐS: 5 20 a Bài 2: Tính các tích phân 3 lớp theo miền D giới hạn bởi các đường đã chỉ ra. 7. ( ) ; 1, 1, 0, 1, 0, 2 V x y z dxdydz x x y y z z+ − = − = = = = = ∫∫∫ ĐS: -2 8. 1 ; 1, 2, 2, 1, 0, 2 V xydxdydz x x y y z z= = = − = − = = ∫∫∫ ĐS: 8 9 − 9. ( ) 2 ; 1, 2, 1, 2, 1, 2 V dxdydz x x y y z z x y z = = = = = = + + ∫∫∫ ĐS: 1 128 ln 2 125 10. ( ) 2 _3 4 ; 0, 3, 0, 2, 0, 1 V x y z dxdydz x x y y z z+ + = = = = = = ∫∫∫ ĐS: 54 11. ; 0, 0, 0, 1 V zdxdydz x y z x y z= = = + + = ∫∫∫ ĐS: 1 24 12. ; 0, 0, 0, 1, 1 V xdxdydz x y z y x z= = = = + = ∫∫∫ ĐS: 1 6 8 BỘ MÔN KHOA HỌC CƠ BẢN – MÔN TOÁN CAO CẤP II 13. 2 2 2 , 1, 0 V yzdxdydz x y z z+ + = ≥ ∫∫∫ ĐS: 0 14. ( ) 2 2 ; 1, 0, 1 0, 0 V xydxdydz x y z z x y+ = = = ≥ ≥ ∫∫∫ ĐS: 1 8 15. 2 2 2 ; 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0 V xyzdxdydz x y z x y z x y z= = = + + = ≥ ≥ ≥ ∫∫∫ ĐS: 1 48 16. 2 2 2 2 2 ; , 0, 1 V x y dxdydz x y z z z+ + = = = ∫∫∫ ĐS: 6 π 17. ( ) 2 2 2 ; 0, , 0, , 0, V x y z dxdydz x x a y y b z z c+ + = = = = = = ∫∫∫ ĐS: ( ) 2 2 2 3 abc a b c+ + 18. 2 2 ; , , 0 V ydxdydz y x z y h h= + = > ∫∫∫ ĐS: 4 4 h π Bài 3: Tính các tích phân 3 lớp sau bằng phương pháp đổi biến 19. ( ) 2 2 2 2 2 2 2 ; V x y z dxdydz x y z R+ + + + ≤ ∫∫∫ ĐS: 5 4 5 R π 20. 2 2 2 2 2 2 2 ; V x y z dxdydz x y z R+ + + + ≤ ∫∫∫ ĐS: 4 R π 21. ( ) 2 2 2 2 , , 1 V x y dxdydz z x y z+ = + = ∫∫∫ ĐS: 6 π 22. 2 2 2 2 ; 2 , 0, 0, 3 V z x y dxdydz x y x y z z+ + = = = = ∫∫∫ ĐS: 8 23. 2 2 2 2 ; , 0, 0, 0 V zdxdydz x y z R x y z+ + ≤ ≥ ≥ ≥ ∫∫∫ ĐS: 4 16 R π 9 BỘ MÔN KHOA HỌC CƠ BẢN – MÔN TOÁN CAO CẤP II 24. ( ) 2 2 2 2 ; 2, 2 V x y dxdydz x y z− + = = ∫∫∫ ĐS: 16 3 π 25. 2 2 2 2 ; 3 , 0, 2 V z x y dxdydz y x x z z+ = − = = ∫∫∫ ĐS: 24 Bài 4: Tính thể tích của các vật thể giới hạn bởi các mặt đã chỉ ra. 26. 0, 0, 0, 2 6 0x y z x y z= = = + + − = ĐS: 36 27. 2 3 4 12, 0, 0, 0x y z x y z+ + = = = = ĐS: 12 28. 1, 0, 0, 0 x y z x y z a b c + + = = = = ĐS: 6 abc 29. 2 2 ,ax y z x a= + = ĐS: 3 2 a π 30. 2 2 2 , 2z x y z= + = ĐS: 4 π 31. 2 2 2 2 2 , 2z x y x y z= + + + = ĐS: [8 2-7] 6 π 32. 2 2 2 2 ,z x y z x y= + = + ĐS: 6 π 33. 2 2 2 2 2 2 1 x y z a b c + + = ĐS: 4 3 abc π 10 [...]...BỘ MÔN KHOA HỌC CƠ BẢN – MÔN TOÁN CAO CẤP II BÀI TẬP TÍNH TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI I – LOẠI II Bài 1: Tính các tích phân đường loại 1 1 2 3 ∫ ( x + y)ds , C là đoạn thẳng nối A(9, 6) với B(1, 2) ĐS: 36 5 ∫ xyds , C là biên hình vuông | x | + | y |= a, a > 0 ĐS: 0... C là một phần tư đường tròn 2 nằm trong góc R2 2 C x +y = 4 phần tám thứ nhất Bài 2: Tính các tích phân đường loại 2 sau 2 2 ∫y 14 Ñ dx + x dy , C là đường từ điểm O(0, 0) đến điểm (1, 1) C a C là đoạn thẳng b C là cung parabol y = x 2 c C là cung parabol y = x 12 BỘ MÔN KHOA HỌC CƠ BẢN – MÔN TOÁN CAO CẤP II 2 7 7 ĐS: a) ; b) ; c) 3 10 10 2 2 ∫y 15 Ñ dx − x dy , C là đường tròn bán kính R=1... , C là một phần tư elip nằm trong góc phần tư thứ I C ab a 2 + ab + b 2 ĐS: × 3 a+b 9 ∫ C ds x2 + y 2 + z 2 , C là đoạn thẳng nối điểm O(0, 0) với A(1, 2) 11 BỘ MÔN KHOA HỌC CƠ BẢN – MÔN TOÁN CAO CẤP II ĐS: ln 5 +3 4 2 2 2 10 ∫ ( x + y + z ) ds , C là cung đường cong C x = a cos t , y = a sin t , z = bt ,0 ≤ t ≤ 2π , a > 0, b > 0 ĐS: 2π 3 a 2 + b 2 ( 3a 2 + 4π 2b 2 ) 2 2 2 2 x 2 ds , C là đường... x2 y 2 + =1 a 2 b2 ĐS: 0 ∫( 20 Ñ2a − y ) dx + xdy , C C là một vòm cuốn của đường xicloid x = a ( t − sin t ) , y = a ( 1 − cos t ) ,0 ≤ t ≤ 2π ĐS: −2π a 2 13 BỘ MÔN KHOA HỌC CƠ BẢN – MÔN TOÁN CAO CẤP II dx + dy 21 Ñ ∫ | z | + | y | , C là biên có hướng dương của hình vuông với đỉnh tại điểm C A(1, 0), B(0, 1), C(-1, 0), D(0, -1) ĐS: 0 ∫( 22 Ñ x 2 C 2 2 − y 2 ) dx + ( x 2 + y 2 ) dy , C là elip . BỘ MÔN KHOA HỌC CƠ BẢN – MÔN TOÁN CAO CẤP II Bài tập về tích phân kép Bài 1: Tìm cận của tích phân hai lớp ( ) , D f x y dxdy ∫∫. π 10 BỘ MÔN KHOA HỌC CƠ BẢN – MÔN TOÁN CAO CẤP II BÀI TẬP TÍNH TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI I – LOẠI II Bài 1: Tính các tích phân đường loại 1 1. (