3/16/2015 CHƯƠNG 1: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ XÁC SUẤT CHƯƠNG 1: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ XÁC SUẤT 1.1 PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ Hiện tượng ngẫu nhiên Trong thực tế ta thường gặp nhiều thí nghiệm, quan sát mà kết dự báo trước Ta gọi chúng phép thử ngẫu nhiên Hiện tượng tất nhiên Với phép thử ngẫu nhiên ký hiệu C Tuy kết xảy nào, nhiều trường hợp ta liệt kê biểu diễn tất kết phép thử C Mỗi kết phép thử C gọi biến cố sơ cấp Tập hợp tất biến cố sơ cấp phép thử gọi không gian mẫu, ký hiệu  XÁC SUẤT LÀ GÌ ? TẠI SAO CẦN NGHIÊN CỨU XS Chẳng hạn, với phép thử gieo xúc xắc (6 mặt), kết xảy nào, ta liệt kê biểu diễn tất kết phép thử này; xuất mặt có số chấm 1, 2, 3, 4, 5, Ta xem kết biến cố sơ cấp Không gian mẫu phép thử gieo xúc xắc   1, 2, 3, 4, 5, 6 3/16/2015 3/16/2015 CHƯƠNG 1: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ XÁC SUẤT CHƯƠNG 1: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ XÁC SUẤT 1.1.2 Biến cố (Event) 1.1.1 Phép thử (Experiment) Biến cố sơ cấp Tung đồng xu Gieo xúc xắc Sấp, ngửa Mặt có chấm đến chấm Với phép thử C ta thường xét biến cố (còn gọi kiện) mà việc xảy hay không xảy hoàn toàn xác định kết C Mỗi kết Phép thử Không gian mẫu Biến cố   S, N    1, 2, 3, 4, 5, 6 S   N  Ví dụ 1.2: Nếu gọi A biến cố “số chấm xuất chẵn” phép thử gieo xúc xắc ví dụ 1.1 A có kết thuận lợi mặt có 2, 4, chấm, biến cố A xuất kết phép thử mặt chấm, chấm chấm Mặt chấm, chấm, chấm kết thuận lợi A Mặt có số chấm chẵn … Ta gọi thí nghiệm, quan sát mà kết dự báo trước phép thử ngẫu nhiên 3/16/2015  C gọi kết thuận lợi cho biến cố A A xảy kết C  Tung hai đồng xu, biến cố xuất mặt sấp mặt ngửa (xin âm dương) có kết thuận lợi ( S , N ) ; ( N , S ) 3/16/2015 3/16/2015 CHƯƠNG 1: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ XÁC SUẤT CHƯƠNG 1: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ XÁC SUẤT Nhận xét 1.1: 1.1.3 QUAN HỆ CỦA CÁC BIẾN CỐ Có thể xem biến cố A tập không gian mẫu  có phần tử kết thuận lợi A Mỗi biến cố xảy phép thử thực hiện, nghĩa gắn với không gian mẫu Một cách tương ứng với phép toán tập hợp, lý thuyết xác suất người ta xét quan hệ sau cho biến cố phép thử A Quan hệ biến cố đối Có hai biến cố đặc biệt sau: Biến cố chắn biến cố luôn xảy thực phép thử Không gian mẫu  biến cố chắn Với biến cố A , có biến cố gọi biến cố đối A , ký hiệu A xác định sau: A xảy A không xảy Biến cố biến cố định không xảy thực phép thử Biến cố ký hiệu  Ví dụ 1.3: Bắn phát đạn vào bia Gọi A biến cố “bắn trúng bia” Tung xúc xắc, biến cố xuất mặt có số chấm nhỏ biến chắn, biến cố xuất mặt có chấm biến cố Biến cố đối A A “bắn trượt bia” 3/16/2015 3/16/2015 CHƯƠNG 1: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ XÁC SUẤT CHƯƠNG 1: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ XÁC SUẤT B Tổng hai biến cố C Tích hai biến cố Tổng hai biến cố A, B biến cố ký hiệu A  B Tích hai biến cố A, B biến cố ký hiệu A  B Biến cố tích A  B xảy hai biến cố A , B đồng thời xảy Biến cố tổng A  B xảy có A B xảy Tổng dãy biến cố A1 , A2 , , An  n biến cố  Ai Tích dãy biến cố i 1 A1 , A2 , , An  n biến cố  Ai i 1 A1  A2   An Biến cố tổng xảy có biến A1  A2   An Biến cố tích xảy tất biến cố Ai đồng cố Ai xảy ra, với i  1, , n thời xảy ra, với i  1, , n Ví dụ 1.4: Một mạng điện gồm hai bóng đèn mắc nối tiếp Gọi A1 biến cố “bóng đèn thứ bị cháy”, A2 biến cố “bóng đèn thứ hai Ví dụ 1.5: Một mạng điện gồm hai bóng đèn mắc song song Gọi A1 biến cố “bóng đèn thứ bị cháy”, A2 biến cố “bóng đèn thứ hai bị bị cháy” Gọi A biến cố “mạng điện” Ta thấy mạng bị điện hai bóng bị cháy Vậy A  A1  A2 cháy” Gọi A biến cố “mạng điện” Ta thấy mạng bị điện hai bóng bị cháy Vậy A  A1  A2 3/16/2015 3/16/2015 3/16/2015 CHƯƠNG 1: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ XÁC SUẤT CHƯƠNG 1: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ XÁC SUẤT Ví dụ 1.7: Một nhà máy có ba phân xưởng sản xuất loại sản phẩm Giả sử sản phẩm nhà máy ba phân xưởng sản xuất D Biến cố xung khắc Hai biến số A, B gọi xung khắc hai biến cố đồng thời xảy Chọn ngẫu nhiên sản phẩm Gọi A1, A2 , A3 biến cố sản phẩm chọn phân xưởng thứ nhất, thứ hai, thứ ba sản xuất E Hệ đầy đủ biến cố Dãy biến cố biến cố nếu:  A1 , A2 , , An  gọi hệ đầy đủ Khi hệ ba biến cố A1, A2 , A3 hệ đầy đủ F Tính độc lập biến cố  Xung khắc đôi một, nghĩa Ai  Aj   với i  j ; i  1, , n n  Tổng chúng biến cố chắc, nghĩa  Ai   Hai biến cố gọi độc lập với việc xảy hay không xảy biến cố không ảnh hưởng tới việc xảy hay không xảy biến cố i 1 3/16/2015 3/16/2015 CHƯƠNG 1: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ XÁC SUẤT Ví dụ 1.8: Ba xạ thủ A, B, C CHƯƠNG 1: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ XÁC SUẤT người bắn viên đạn vào mục tiêu Gọi A, B, C biến cố A, B, C bắn trúng mục tiêu AB  C biến cố bắn trúng A  B  C biến cố bắn trượt ABC biến cố có người bắn trúng Biến cố có xạ thủ bắn trúng ( A  B )  ( B  C )  (C  A) Biến cố có nhiều xạ thủ bắn trúng ( A  B )  ( B  C )  (C  A) Biến cố có xạ thủ C bắn trúng A  B  C Nhận xét 1.3:  Từ ví dụ cho thấy tính chất xung khắc độc lập biến cố suy từ ý nghĩa phép thử  Chú ý biến cố với phép toán tổng, tích lấy biến cố đối tạo thành đại số Boole, phép toán định nghĩa có tính chất phép toán hợp, giao, lấy phần bù tập không gian mẫu Chẳng hạn phép toán tổng, tích biến cố có tính giao hoán; kết hợp; tổng phân bố tích; tích phân bố tổng; thỏa mãn luật De Morgan … Biến cố có xạ thủ bắn trúng A  ( B  C )  ( A  B)  ( A  C ) ( A  B C )  ( A  B C )  ( A  B C ) A  ( B  C )  ( A  B)  ( A  C ) A  B  A B ; A  B  A B … Ba biến cố A, B, C độc lập? xung khắc? 3/16/2015 10 11 3/16/2015 12 3/16/2015 CHƯƠNG 1: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ XÁC SUẤT CHƯƠNG 1: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ XÁC SUẤT 1.2 ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT Ví dụ 1: Biến cố A: xuất mặt chẵn phép thử gieo xúc xắc có trường hợp thuận lợi trường hợp Xác suất biến cố số đặc trưng khả khách quan xuất biến cố thực phép thử Vậy Xác suất biến cố A ký hiệu P(A) Trường hợp biến cố gồm biến cố sơ cấp {a} ta ký hiệu P(a) thay cho = Ví dụ 2: Phép thử tung đồng thời đồng xu P({a}) Biến cố B: xuất mặt sấp mặt ngửa có trường hợp thuận lợi trường hợp 1.2.1 Định nghĩa cổ điển xác suất Xác suất biến cố A Vậy sè tr­êng hîp thuËn lîi đèi víi A P ( A)  sè tr­êng hîp cã thÓ 3/16/2015 P ( A) = P ( B) = = Để tính xác suất cổ điển ta sử dụng phương pháp đếm giải tích tổ hợp 13 3/16/2015 14 CHƯƠNG 1: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ XÁC SUẤT CHƯƠNG 1: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ XÁC SUẤT Biến cố C Ví dụ 1.11: Xét phép thử gieo liên tiếp lần xúc xắc Tính xác xuất biến cố sau: Biến cố E (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6) b Tổng số chấm xuất 11 (biến cố B ) Xúc (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) c Số chấm xuất hai xúc xắc (biến cố C ) xắc (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) d Số chấm xúc xắc thứ lớn xúc xắc thứ hai (biến cố D ) lần e Ít xúc xắc xuất mặt chấm (biến cố E ) gieo (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) Giải: Để có hình ảnh trực quan ta biểu diễn không gian mẫu phép thử biến cố tương ứng dạng biểu đồ Các biến cố sơ cấp biểu diễn cặp số tương tự tọa độ điểm Không gian mẫu tương ứng với 36 điểm thứ (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) Tổng 11 a Tổng số chấm xuất chẵn (biến cố A ) Biến cố D hai Xúc xắc lần gieo thứ Tổng Hình 1.1: Phép thử gieo xúc xắc 3/16/2015 15 3/16/2015 16 3/16/2015 CHƯƠNG 1: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ XÁC SUẤT CHƯƠNG 1: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ XÁC SUẤT Mỗi hàng có biến cố sơ cấp thuận lợi biến cố A , chẳng hạn hàng có (1,1), (1,3), (1,5) hàng tiếp (2,2), (2,4), (2,6) biến cố A có 18 kết thuận lợi 1.2.2 Các qui tắc đếm A Qui tắc cộng Các điểm thuộc đường chéo thứ hai (hoặc song song đường chéo thứ hai) có tổng hai thành phần nhau:          Nếu có m1 cách chọn loại đối tượng x1 , m cách chọn loại đối tượng Biến cố C điểm thuộc đường chéo Biến cố D điểm phía đường chéo không trùng với cách chọn x j i  j có m1  m2    mn cách 18 a P( A)   36 d P ( D )  15  36 12 b P ( B )   36 e P ( E )  c P (C )   36 chọn đối tượng cho Chẳng hạn để biết số sinh viên có mặt lớp đông ta lấy tổng số sinh viên có mặt tổ tổ trưởng cung cấp 11 36 3/16/2015 x2 , , m n cách chọn loại đối tượng xn Các cách chọn đối tượng xi 17 3/16/2015 CHƯƠNG 1: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ XÁC SUẤT CHƯƠNG 1: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ XÁC SUẤT B Qui tắc nhân Giả sử công việc H gồm nhiều công đoạn liên tiếp H1, H , , H k Có n1 cách thực công đoạn H1 , ứng với công đoạn H1 có n2 cách thực công đoạn H … Vậy có tất n1  n2   nk cách thực công việc H Ví dụ 1.15: a Có số có chữ số b Có số có chữ số khác c Có số có chữ số khác chữ số cuối Ví dụ 1.14: Tung xúc xắc (6 mặt) hai lần Tìm xác suất để có lần chấm Giải: Theo quy tắc nhân ta có số trường hợp tung xúc xắc lần 36 Gọi A biến cố “ lần tung xúc xắc có lần mặt 6” Nếu lần thứ mặt lần thứ hai mặt từ đến 5, có trường hợp Tương tự có trường hợp xuất mặt lần tung thứ hai Áp dụng quy tắc cộng ta suy biến cố “chỉ có lần mặt tung xúc xắc” có 10 trường hợp thuận lợi 10 Vậy xác suất cần tìm 36 3/16/2015 18 19 Giải: a Có cách chọn chữ số (vì chữ số khác 0) chữ số lại có 10 cách chọn cho chữ số Vậy có 9.10.10.10=9000 số cần tìm b Có cách chọn chữ số (vì chữ số khác 0), cách chọn chữ số thứ hai, cách chọn chữ số thứ ba cách chọn chữ số thứ tư Vậy có 9.9.8.7=4536 số cần tìm c Vì chữ số thứ tư số chữ số khác có cách chọn chữ số đầu tiên, cách chọn chữ số thứ hai, cách chọn chữ số thứ ba Vậy có 9.8.7=504 số cần tìm 3/16/2015 20 3/16/2015 CHƯƠNG 1: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ XÁC SUẤT CHƯƠNG 1: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ XÁC SUẤT C Hoán vị Mỗi phép đổi chỗ n phần tử cách xếp n phần tử vào n vị trí hàng gọi phép hoán vị n phần tử Sử dụng quy tắc nhân ta tính được: Có n ! hoán vị n phần tử Quy ước 0! = Ví dụ 1.16: a Có cách bố trí nam SV nữ SV theo hàng b Có cách bố trí nam SV nữ SV theo hàng, cho nữ SV vị trí số chẵn Giải: a Số cách bố trí SV (gồm nam SV nữ SV) theo hàng 9!= 362880 b Có 5! cách bố trí nam SV, ứng với cách bố trí nam SV có 4! cách bố trí nữ SV vào vị trí chẵn tương ứng Vậy có 5!4!=2880 cách bố trí theo yêu cầu 3/16/2015 21 Ví dụ 1.17: (Hoán vị vòng tròn) Có n người ( n  ), có hai người anh em a Có cách xếp n người ngồi xung quanh bàn tròn b Có cách xếp n người ngồi xung quanh bàn tròn, có hai người anh em ngồi cạnh c Có cách xếp n người ngồi xung quanh bàn tròn, có hai người anh em không ngồi cạnh Giải: a Có người ngồi vị trí bất kỳ, n  người lại có (n  1)! cách chọn vị trí ngồi Vậy có (n  1)! cách xếp n người ngồi xung quanh bàn tròn b Người anh ngồi vị trí tùy ý, người em ngồi vào chỗ cạnh người anh (có cách) n  người lại lại ngồi tùy ý vào n  chỗ lại (có (n  2)! cách) Vậy số cách xếp theo yêu cầu 2.(n  2)! c Sử dụng kết phần a b ta suy số cách xếp n người ngồi xung quanh bàn tròn, có hai người anh em không ngồi cạnh (n  1)! 2.(n  2)!  (n  2)! (n  1)  2 3/16/2015 CHƯƠNG 1: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ XÁC SUẤT 22 CHƯƠNG 1: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ XÁC SUẤT Ví dụ 1.18: Xếp ngẫu nhiên sách toán sách lý vào giá sách Tính xác suất sách toán đứng cạnh Giải: Số trường hợp số cách xếp 10 sách vào giá sách 10! Ta xem sách toán đứng cạnh sách lớn Như ta cần xếp sách vào giá sách (có 8! cách), sách toán đứng cạnh có 3! cách xếp Do số trường hợp thuận lợi 8!3! D Chỉnh hợp Chọn k (1  k  n ) phần tử không hoàn lại tập n phần tử ta chỉnh hợp chập k n phần tử Sử dụng quy tắc nhân ta tính số chỉnh hợp chập k n phần tử Ank  n!  n  (n  1)  (n  k  1) (n  k )!  10.9.8.7  5040 cách bố trí 10 người ngồi vào chỗ Ví dụ 1.19: Có A10 Ví dụ 1.20: Vậy P  8!3!  10! 15 Một người gọi điện thoại quên hai số cuối số điện thoại nhớ chúng khác Tìm xác suất để quay ngẫu nhiên lần số cần gọi 3/16/2015 23 3/16/2015 P ( A)  1  90 A10 24 3/16/2015 CHƯƠNG 1: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ XÁC SUẤT CHƯƠNG 1: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ XÁC SUẤT E Tổ hợp Ví dụ 1.21: Một tổ hợp chập k (  k  n ) n phần tử cách chọn đồng thời k phần tử từ tập có n phần tử Vì xem tập k phần tử tập n phần tử tổ hợp chập k n phần tử Một công ty cần tuyển nhân viên Có người nộp đơn Hai chỉnh hợp chập k n phần tử khác thỏa mãn hai điều kiện sau: Tính xác suất biến cố: có phần tử chỉnh hợp chỉnh hợp phần tử thứ tự khác a Hai người trúng tuyển nam Do với tổ hợp chập k có k! chỉnh hợp tương ứng Mặt khác hai chỉnh hợp khác ứng với hai tổ hợp khác khác Vậy số tổ hợp chập k n phần tử k !Cnk  Ank  Cnk Cnk có nữ nam Giả sử khả trúng tuyển người b Hai người trúng tuyển nữ c Có nữ trúng tuyển thỏa mãn: Ak n!  n  k ! k !(n  k )! 3/16/2015 a P  25 a) bi lấy màu đỏ b) đỏ trắng e) Nếu lấy không hoàn lại bi, tính xác suất lấy màu bi 3/16/2015 14 15 26 Ví dụ 1.23: Cho từ mã bit tạo từ chuỗi bit bit đồng khả Hãy tìm xác suất từ có chứa k bit 1, với trường hợp k  , , 1” Có thể xem từ mã có chứa k bit tổ hợp chập k phần tử, số trường hợp thuận lợi Ak số tổ hợp chập k d) Mỗi màu bi k phần tử Do Ak  C  C 2C  0,0737 b) P  3  95 C20 e) P  6! k!(6  k )! Vậy xác suất biến cố tương ứng P  Ak   C31C17  C32C17  C33 23 C3 34 23   1   0,4035 P   17 3 57 57 57 C20 C20 C81C31C91 18   0,1895 95 C20 c P  Giải: Số trường hợp   Đặt Ak biến cố “từ mã có chứa k bit c) Ít trắng d) P  15 CHƯƠNG 1: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ XÁC SUẤT Ví dụ 1.22: Một hộp có bi màu đỏ, bi trắng bi màu xanh Lấy ngẫu nhiên bi từ hộp Tính xác suất trường hợp sau: c) P  b P  3/16/2015 CHƯƠNG 1: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ XÁC SUẤT C3 14  0,0491 Giải: a) P  38  C20 285 15 6! k!(6  k )!2 Tương tự xác suất từ có chứa k bit , k  , , 6! k !(6  k )!26 (điều suy từ tính chất Cnk  Cnn  k ) 8.3.9   0,0316 20.19.18 95 27 3/16/2015 28 3/16/2015 CHƯƠNG 1: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ XÁC SUẤT CHƯƠNG 1: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ XÁC SUẤT 1.2.2 Định nghĩa thống kê xác suất Trên thực tế tần suất fn(A) xấp xỉ n đủ lớn Giả sử phép thử C thực lặp lại nhiều lần độc lập điều kiện giống hệt Nếu n lần thực phép thử kn(A) lần tỉ số f n ( A)  C xác suất A chọn giá trị xấp xỉ biến cố A xuất P( A)  f n ( A) kn ( A) n Ví dụ 1.25: Một công ty bảo hiểm muốn xác định xác suất để gọi tần suất xuất biến cố A n phép thử người Mỹ 25 tuổi bị chết năm tới, người ta theo Có thể chứng minh (định lý luật số lớn) n tăng lên vô hạn fn(A) tiến đến giới hạn xác định Ta định nghĩa giới hạn xác suất biến cố A, ký hiệu P(A) dõi 100.000 niên thấy có 798 người bị chết 3/16/2015 vòng năm sau Vậy xác suất cần tìm xấp xỉ 0,008 29 3/16/2015 30 CHƯƠNG 1: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ XÁC SUẤT CHƯƠNG 1: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ XÁC SUẤT y 1.2.4 Định nghĩa xác suất theo hình học Giả sử không gian mẫu  biểu diễn tương ứng với miền có diện tích (thể tích, độ dài) hữu hạn biến cố A tương ứng với miền  xác suất biến cố A định nghĩa Giả sử x,y hai thời điểm X Y đến điểm hẹn 60  x  60,0  y  60 Không gian mẫu    0;60  diÖn tÝch A P ( A)  diÖn tÝch  A Ví dụ 1.20: Hai người bạn X, Y hẹn gặp địa điểm khoảng thời gian từ 12h đến 13h Mỗi người đến điểm hẹn cách ngẫu nhiên thời điểm khoảng thời gian nói họ quy ước đến trước đợi người vòng 15 phút A   ( x ; y )   x  y  15  O 31 15 60 x diÖn tÝch A 452  P( A)   1  1  diÖn tÝch  16 16 60 Tính xác suất để hai người gặp 3/16/2015 Biến cố hai người gặp 15 3/16/2015 32 3/16/2015 CHƯƠNG 1: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ XÁC SUẤT CHƯƠNG 1: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ XÁC SUẤT Ví dụ 1.21: Xét trò chơi ném phi tiêu vào đĩa hình tròn bán kính 10cm Nếu mũi phi tiêu cắm vào đĩa cách tâm  2cm giải nhất, khoảng cách khoảng 2cm đến  4cm nhận giải thứ hai Giả sử mũi phi tiêu cắm vào đĩa đồng khả Với biến cố A:  P( A)  Xác suất biến cố không thể, biến cố chắn Qui tắc cộng xác suất a Trường hợp xung khắc P( A  B)  P( A)  P( B) P ( A)  10 B Các tính chất xác suất P()  0, P()  Tính xác suất để người chơi giải nhất, giải nhì Giải: Gọi A, B biến cố người chơi nhận giải nhất, giải nhì A 1.2.5 Các tính chất định lý xác suất diÖn tÝch A .2   diÖn tÝch  .102 50 P ( B)  .(4  ) .10  b Trường hợp tổng quát P( A  B)  P( A)  P( B)  P ( A  B) 50 3/16/2015  n  n P   Ai    P( Ai )   P ( Ai  A j )    ( 1) n 1 P( A1  A2   An )    i 1  i 1 i j 33 3/16/2015 CHƯƠNG 1: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ XÁC SUẤT Ví dụ 1.25: Giả sử phép thử C có không gian mẫu ={a, b, c, d} với xác suất P(a)=0,2 , P(b)=0,3 , P(c)=0,4 , P(d)=0,1 P ( A)   P ( A ) Ví dụ 1.23: Trong phòng có n người (n