SỞ GD – ĐT VĨNH PHÚC TRƯỜNG THPT YÊN LẠC ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LẦN LỚP 12 NĂM HỌC 2014 – 2015 MÔN: Toán – Khối A, A1 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) 2x +1 Câu ( ID: 81273) (2,5 điểm) Cho hàm số y = x −1 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số cho b) Tìm giá trị m để đường thẳng ( d ) : y = x − m cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt A, B nằm hai nhánh khác (C) 3π   Câu ( ID: 81274) (1,5 điểm) Giải phương trình: sin x ( + 8cos x ) = cos  x − ÷   Câu ( ID: 81275 )(1,0 điểm) Cho hai đường thẳng d1 , d song song với Trên đường thẳng d1 có 10 điểm phân biệt, đường thẳng d có n điểm phân biệt ( n ∈ N , n ≥ ) Cứ điểm không thẳng hàng số điểm nói lập thành tam giác Biết có 2800 tam giác lập theo cách Tìm n? Câu ( ID: 81276 ) (1,0 điểm).Cho hình lăng trụ tam giác ABC A ' B ' C ' có đáy tam giác cạnh a, cạnh bên tạo với đáy góc 600 Gọi M trung điểm cạnh BC I trung điểm AM Biết hình chiếu điểm I lên mặt đáy A ' B ' C ' trọng tâm G ∆A ' B ' C ' Tính thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' Câu ( ID: 81277 ) (1,0 điểm) Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm x ∈  0;1 +  m ( ) x2 − 2x + + + x ( − x ) ≤ Câu ( ID: 81281 ) (1,0 điểm)Cho ∆ABC có trung điểm cạnh BC M ( 3; −1) , đường thẳng chứa đường cao kẻ từ B qua điểm E ( −1; −3) đường thẳng chứa AC qua điểm F ( 1;3) Điểm đối xứng đỉnh A qua tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC điểm D ( 4; −2 ) Tìm tọa độ đỉnh ∆ABC  x − x + = y + y Câu ( ID: 81283 ) (1,0 điểm) Giải hệ phương trình:  3 x − = y + y Câu ( ID: 81284 ) (1,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ hàm số: f ( x ) = x − x3 + x − x + x2 − 2x + -Hết -Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích thêm Họ tên thí sinh……………………………… ; Số báo danh: ……………………… Đáp án thang điểm Câu 1: (2,5 điểm) a) +) Tập xác định: D = R / { 1} Ta có: y ' = −3 ( x − 1) < 0, ∀x ∈ D (0.25 đ) Hàm số nghịch biến khoảng ( −∞;1) ( 1; +∞ ) Hàm số cực trị (0.25 đ) y = lim y = nên đồ thị hàm số nhận đường thẳng y = đường tiệm cận ngang +) Tính xlim →−∞ x →+∞ y = −∞; lim+ y = +∞ nên đồ thị hàm số nhận đường thẳng x = đường tiệm cận đứng Tính lim x →1− x →1 (0.25 đ) +) Bảng biến thiên: (0.25 đ) +) Đồ thị: (0.25 đ) b) +) Xét phương trình hoành độ giao điểm ( d ) : y = x − m (C): 2x +1 = x − m ( 1) x −1 Với x ≠ , phương trình ( 1) ⇔ x − ( m + ) x + m − = ( ) (0.25 đ) +) Để ( d ) : y = x − m cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt A, B nằm hai nhánh khác (C) phương trình (2) phải có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 cho x1 < < x2 (0.25đ) +) Đặt f ( x ) = x − ( m + ) x + m − Yêu cầu toán ⇔ f ( 1) < (0.25 đ) +) Biến đổi f1 ( x ) < ⇔ f ( 1) < ⇔ 2.1 − ( m + ) + m − < ⇔ −3 < ⇔ m ∈ R (0.25đ) Kết luận: Với giá trị thực m thỏa mãn yêu cầu toán Câu (1,5 điểm) 3π   Ta có: sin x ( + 8cos x ) = cos  x − ÷ ⇔ sin x + 8sin x.cos x = − sin ( x − 2π )   ⇔ sin x + 4sin x = − sin x ⇔ ( sin x + sin x ) + 4sin x = (0.25đ) ⇔ 2sin x.cos x + 4sin x = ⇔ 2sin x ( cos x + ) = sin x = ( 1)  cos x + = ( ) (0.25đ) (0.25đ) kπ ; k ∈ Z ; (2) vô nghiệm kπ ;k ∈Z Kết luận phương trình có nghiệm: x = (0.25đ) Câu (1 điểm) Số tam giác có đỉnh thuộc d1 , đỉnh thuộc d là: C10 Cn (0.25đ) Giải (1) cho x = Số tam giác có đỉnh thuộc d1 , đỉnh thuộc d là: C10 Cn Theo giả thiết: C C + C C = 2800 n! 10! n! ⇔ 10 + = 2800 ( n − ) !2! 2!8! ( n − 1) ! 10 n 10 n  n = 20 ⇔ n + 8n − 560 = ⇔  (0.25đ)  n = −28 Kết luận: n = 20 Câu (1 điểm) +)Hình vẽ: (0.25đ) (0.25đ) (0.25 đ) (0.5đ) Gọi M’ trung điểm B ' C '; K ∈ A ' M ' cho A ' K = KG = GM ' Kẻ AH ⊥ A ' M '; H ∈ A ' M ' (0.25đ) +) Ta có AHGI hình bình hành nên IG = AH Hơn AM = A ' M ' , I trung điểm AM, G trọng tâm ∆A ' B ' C ' Nên H trung điểm A ' K ⇒ A ' H = A ' M ' (0.25đ) a2 a +) Ta có: S ∆A ' B ' C ' = (0.25 đ) ; A ' M ' ⇒ A'H = 12 a a AH = A ' H tan 600 = 3= 12 a a a3 +) Từ đó: VABC A ' B 'C ' = AH S ∆A ' B 'C ' = (đvtt) (0.25đ) = 4 16 Câu (1 điểm) Đặt t = x − x + x ∈  0;1 +  nên t ∈ [ 1; 2] (0.25đ) t2 − Bất phương trình tương đương với: m ≤ (0.25đ) t +1 t2 − Khảo sát hàm số g ( t ) = với t ∈ [ 1; 2] t +1 t + 2t + g ' t = > Vậy g ( t ) = t − đồng biến [ 1; 2] ( ) Ta có: ( t + 1) t +1 Và đó: max g ( x ) = g ( ) = (0.25) t2 − có nghiệm t ∈ [ 1; 2] ⇔ m ≤ max g ( t ) = g ( ) = t ∈ 1;2 [ ] t +1 Kết luận: m ≤ Câu (1 điểm) Hình vẽ: Từ đó: m ≤ (0.25đ) + Gọi H trực tâm ∆ABC có: BHCD hình bình hành, nên M trung điểm HD ⇒ H ( 2;0 ) x−2 y−0 = ⇔ ( BH ) : x − y − = −1 − −3 − + Do DC / / BH D ( 4; −2 ) thuộc DC nên ( DC ) : x − y − = BH chứa E ( −1; −3) nên ( BH ) : (0.25đ) (0.25đ) Do BH ⊥ AC F ( 1;3) thuộc AC nên ( AC ) : x + y − = x − y − = + Do C = AC ∩ DC nên tọa độ C nghiệm hệ  x + y − = Tìm C ( 5; −1) (0.25đ) uuur M ( 3; −1) trung điểm BC nên B ( 1; −1) ⇒ BC = ( 4;0 ) + Do H trực tâm ∆ABC nên AH ⊥ BC ⇒ ( AH ) : x − = x − = ⇒ A ( 2; ) Do A = AH ∩ AC nên tọa độ A nghiệm hệ  x + y − = Kết luận: A ( 2; ) ; B ( 1; −1) , C ( 5; −1) Câu (1 điểm) (0.25đ)  y3 + y2 ≥  x ≥ + Điều kiện:  y + y ≥ ⇔  y ≥ x − ≥  + Khi đó: (0.25đ) y + y ⇔ ( x − 1) − ( x − 1) = x3 − 3x + = ⇔ f ( x − 1) = f ( ) ( ) y +3 −3 y +3 (0.25 đ) y + với hàm số f ( t ) = t − 3t 2 + Xét hàm số f ( t ) = t − 3t với t ∈ [ 1; +∞ ) có f ' ( t ) = 3t − = ( t − 1) ≥ Hàm số f ( t ) = t − 3t đồng biến [ 1; +∞ ) Nên từ f ( x − 1) = f + ( ) y + ⇒ x −1 = Từ y+3 ⇔ x−2 = (0.25đ) y + −1 x − = y2 + y ⇒ ( x − 2) = y2 + y ⇔ ( ) y + −1 = y + y ⇔ y + = y2 + y + Với điều kiện y ≥ , bình phương vế phương trình biến đổi thành: y + 16 y + 72 y + 63 y − 162 = ⇔ ( y − 1) ( y + 17 y + 99 y + 162 ) = (0.25đ) Suy y = x = x = Kết luận: Hệ có nghiệm  y =1 Câu (1 điểm) Tập xác định: D = R (0.25đ) 2 Ta có: f ( x ) = x − x + + ; Chỉ x − x + = ( x − 1) + ≥ x − 2x + 2 ≥2 Theo BĐT Cauchy: f ( x ) = x − x + + (0.25đ) x − 2x + Đẳng thức xảy ⇔ x − x + = ⇔ x = (0.25đ) Vậy f ( x ) = đạt x = (0.25đ)