Header Page of 16 Tất học sinh thân yêu Các em cần nhớ kiến thức sau : 1)Cách xác định tâm mặt cầu tiếp hình , tứ diện , chop tứ giác , lăng trụ 2)Cách tính bán kính mặt cầu 3)Cách tính diện tích mặt cầu , thể tích khối cầu Dạng : Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện thường 1)Nếu tam giác ABC vng , tâm đường tròn ngoại tiếp ABC điểm E(trung điểm BC) 2)Nếu tam giác ABC , tâm đường tròn ngoại tiếp ABC giao điểm đường trung tuyến 3)Nếu tam giác ABC thường tâm đường tròn ngoại tiếp giao đường trung trực Footer Page of 16 Header Page of 16 Tất học sinh thân yêu Trường hợp đặc biệt , tam giác ABD vuông A , tam giác BCD vng C trung điểm I BD Sẽ tâm mặt cầu ngồi tiếp tứ diện ABCD Vì IA = IB = IC = ID Dạng : Mặt cầu ngoại tiếp khối chóp tứ giác S.ABCD , khơng phải chóp tứ giác có mặt cầu ngoại tiếp , việc cịn phụ thuộc vào đặc biệt hình ví dụ sau : +)Nếu SA vng góc với đáy , ta có O tâm đường trịn ngoại tiếp Tứ giác ABCD , Vẽ trục Ox , mặt phẳng SAC ta kẻ trung trực SA Khi ta tìm I tâm mặt cầu ngoại tiếp S.ABCD +)Nếu trục Ox không năm mặt phẳng (SAC) , (SBD) ta Khơng tìm mặt cầu ngoại tiếp chóp S.ABCD Footer Page of 16 Header Page of 16 Tất học sinh thân yêu Trường hợp đặc biệt : Đáy hình vng , lại có góc ASC hay BSD Là góc vng ta có O tâm mặt cầu ngoại tiếp S.ABCD Trường hợp đặc biệt : Chóp S.ABCD , ta xác định tâm I sau +)SO trục +)Trong mặt phẳng SAC ta dựng trung trực SA ,cắt SO I Khi I tâm mặt cầu ngoại tiếp S.ABCD Trường hợp đặc biệt : Nếu ta có góc SAC , SBC , SDC góc vng trung điểm I Của SC tâm mặt cầu ngoại tiếp chop tứ giác S.ABCD Footer Page of 16 Header Page of 16 Tất học sinh thân yêu Dạng : Tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ đứng O,O’ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC , A’B’C’ I trung điểm OO’ Khi Là điểm I , có IA = IB = IC = IA’ = IB’ = IC’ Câu : Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy tam giác có cạnh a, cạnh bên tạo với đáy góc 300 Biết hình chiếu vng góc A’ (ABC) trùng với trung điểm cạnh BC Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A’ABC Bài giải: +Gọi H trung điểm BC => A’H  (ABC) => góc A’AH 300 Ta có:AH = a ; A’H = AH.tan300 = a/2 Footer Page of 16 Header Page of 16 Tất học sinh thân yêu SABC = a2 V = S ABC A' H = a3 Tìm bán kính mặt cầu : Ngoại tiếp tứ diện A’ABC + Gọi G tâm tam giác ABC, qua G kẻ đt (d) // A’H cắt AA’ E + Gọi F trung điểm AA’, mp(AA’H) kẻ đt trung trực AA’ cắt (d) I => I tâm m/c ngoại tiếp tứ diện A’ABC bán kính R = IA Ta có: Góc AEI 600, EF =1/6.AA’ = a/6 IF = EF.tan600 = R= a AF2  FI  a 3 Footer Page of 16 Header Page of 16 Tất học sinh thân yêu Câu Cho hình chóp S ABC có SA   ABC , SA  2a , tam giác ABC cân A , BC  2a , cos( ACB )  Tính thể tích khối chóp S ABC , xác định tâm tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC Bài giải: Tính thể tích khối chóp S ABC sin C  2 ; tan C  2; CM  a 2; AM  CM tan C  4a S ABC  1 8a AM BC  4a 2  VS ABC  SA.S ABC  3 sin A  sin 2C  2sin C.cos C  12  3 Theo định lý sin tam giác ABC ta có R  BC 9a  sin A Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ta có IA = R Dựng ngoại tiếp tam giác ABC Mặt phẳng trung trực SA cắt trục đường tròn J J tâm mặt cầu ngoại tiếp SABC Gọi r bán kính mặt cầu ngoại tiếp S.ABC r  JA  JB  JS  JC  IA2  AN  Diện tích mặt cầu cần tính S  4 r  a 97 97 a Footer Page of 16 Header Page of 16 Tất học sinh thân yêu Câu Cho hình lăng trụ tam giác ABC.ABC có tất cà cạnh a Tính thể tích hình lăng trụ diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ theo a Bài giải: Thể tích lăng trụ là: V  AA '.SABC  a a a3  4 Gọi O, O tâm đường tròn ngoại tiếp ABC, A ' B 'C ' tâm mặt cầu (S) ngoại tiếp hình lăng trụ ABC.ABC trung điểm I OO Mặt cầu có bán kính là: R  IA  AO  OI  7 a a 21  S  4 R  Câu Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh Gọi M trung điểm AD N tâm hình vng CC’D’D Tính thể tích khối cầu qua đỉnh M, N, B, C’ khoảng cách đường thẳng A’B’ với MN Bài giải: Footer Page of 16 Header Page of 16 Tất học sinh thân yêu Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ, cho D trùng với gốc tọa độ O, A  Ox, C  Oy D'  Oz , ta có: D(0;0;0),C(0;2;0),B(2;2;0),A(2;0;0) D'(0;0;2),C'(0;2;2),B'(2;2;2);A'(2;0;2) M trung điểm AD nên M(1;0;0) N trung điểm CD’ nên N(0;1;1) Gọi phương trình mặt cầu tâm I(a,b,c) qua điểm B, C’, M, N có dạng là: (S):x  y  z  2ax  2by  2cz  d  Vì mặt cầu (S) qua điểm B, C’, M, N nên ta có hệ phương trình: 8  4a  4b  d  6  4b  2a   8  4b  4c  d  8  4b  4c  2a         a  d    d  2a  2  2b  2c  d  2  2b  2c  2a   Footer Page of 16 Header Page of 16 Tất học sinh thân yêu  a  2a  4b    2a  4b  4c    b    2a  2b  2c    d  2a  c   d  Bán kính mặt cầu cần tìm R  Thể tích khối cầu qua bốn đỉnh B, C’, M, N là: 4  35  35 35 (đvtt) V   R3      3   Tính: d[ DB ', MN ]  ? Ta có:  A ' M  (1;0  2)    A ' B '  (0;2;2)      A ' B ', MN   (2;0;2) MN  (1;1;1)      A ' B ', MN  A ' M  2(1)   2(2)       A ' B ', MN   02  22  22  2   Khoảng cách hai đường thẳng A’B’ với MN xác định d[ A ' B '; MN ]     A ' B ', MN  A ' M      (đvđd)   2  A ' B ', MN    Footer Page of 16 2 35 5 5 1 a2  b2  c2  d            2 2 2 Header Page 10 of 16 Tất học sinh thân yêu   1200 Câu Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có AB  a , AC = 2a , AA' = 2a BAC Gọi K trung điểm cạnh CC’ Tính thể tích khối chóp A.A'BK Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A’A 'BK Gọi I trung điểm BB', tính khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng (A’BK) Bài giải: Tính thể tích khối chóp A.A'BK Do CK / /  AA ' B  nên ta có: VA A ' BK  VK AA ' B  VC AA ' B Mà S ABC   VA ' ABC  S ABC AA ' a2 AB AC sin1200  2 a2 a 15 2a  3 Vậy VA A ' BK  Tìm tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A'B'BK    Ta chứng minh trung điểm A’B tâm mặt cầu BAA '  A ' KB  A ' B ' B  90 ABC có: BC  AB  AC  AB AC.cos120  a  BK  BC  CK  a  a   12a A ' K  A ' C '2  C ' K  a  5a  9a , A ' B  A ' A2  AB  20a  a  21a Suy A ' B  A ' K  BK  A ' BK vng K Ta có  A ' KB   A ' B ' B  900  điểm A’, B, K, B’ nằm mặt cầu đường kính A’B Vậy mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A’B’BK có tâm E trung điểm A’B bán kính R  10 Footer Page 10 of 16 a 21 A' B  2 Header Page 11 of 16 Tất học sinh thân u Tính khoảng cách từ I đến mp (A’BK) d  B ',  A ' BK   Do E trung điểm AB '  d  B ',  A ' BK    d  A,  A ' BK   Vì I trung điểm BB '  d  I ,  A ' BK    Tam giác A’BK có BK  A ' K  S A ' BK  1 A ' K BK  3a.2a  3a 2 S A ' BK d  A,  A ' BK   3V a 15 a d  A,  A ' BK    A A ' BK   S A ' BK 3a Có VA A ' BK  Vậy d  I ,  A ' BK    1a a  Câu Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a, góc hai mặt phẳng (SBC) (SAB) 600 Tính thể tích khối chóp S.ABCD bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SBCD Bài giải: Gọi O tâm hình vng ABCD Vì S.ABCD hình chóp nên SO   ABCD  Kẻ AM  SB  M  SB  AC  ( SBD)  AC  SB SB  AM Vì  SB   AMC   SB  CM    SAB  ,  SBC     AM , CM   60o  Vì BOM vng M nên OM  BO  AO Suy ra: tan  AMO  Vậy AO 1  AMO  45O   AMC  90O MO  AMO  120o Ta có : tan  AMO  AO AO a  MO   o MO tan 60 11 Footer Page 11 of 16 Header Page 12 of 16 Tất học sinh thân u Trong tam giác vng SBO ta có: Vậy VS ABCD  1 a    SO  2 MO SO BO a3 SO.S ABCD  Trong mặt phẳng (SBD) kẻ trung trực SB căt SO I I  SO  IB  IC  ID I thuộc trung trực SB  IS  IB Vậy I tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SBCD 3a a  SB  Ta có SI SH SB.SH 3a SHI ~ SOB  gg     SI   SB SO SO SB  SO  OB  Vậy bán kính mặt cầu R  3a Câu Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD hình thoi cạnh a , BD = 3a, hình chiếu vng góc B lên mặt phẳng (A’B’C’D’) trung điểm A’C’ biết cơsin góc tạo hai mặt phẳng (ABCD) (CDD’C’) 21 tính theo a thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’ bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A’BC’D’ Bài giải: 12 Footer Page 12 of 16 Header Page 13 of 16 Tất học sinh thân yêu *) Áp dụng định lý cosin cho tam giác A’B’D’ suy Do A’B’C’, A’C’D’ tam giác cạnh a Gọi O  A ' C ' B 'D' , Ta có BO  ( A ' B ' C ' D ') Kẻ OH  A ' B ' H, suy A ' B '  (BHO) Do đó( Từ cos = Vậy VABCD A 'B'C'D'   BO  HO.tan = A ' O.sin 600 a 9a a 3.a sin 600  Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A’BC’D’ Vì BO  a  A ' C ' nên tam giác A’BC’ vuông B 2 Vì B'D'  (A'BC') nên B’D’ trực đường tròn ngoại tiếp tam giác A’BC’ 13 Footer Page 13 of 16 a  Header Page 14 of 16 Tất học sinh thân yêu Gọi G tâm tam giác A’C’D’ GA’ = GC’ = GD’ GA’ = GB = GC’ nên G tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diên A’BC’D’ mặt cầu có bán kính R = GD’  2 3a OD '   a 3 Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, SA vng góc với mặt phẳng (ABCD) góc đường thẳng SC tạo với mặt phẳng (SAB) 300 Gọi M trung điểm SA, (P) mặt phẳng qua M vng góc với SC Mặt phẳng (P) cắt cạnh SB, SC, SD N, E, F Tính theo a thể tích khối chóp S.MNEF bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.MNEF Bài giải: Tính theo a thể tích khối chóp S.MNEF Từ giả thiết ta có: BC  AB     BC   SAB   BSC  30 BC  SA  góc SC với mp(SAB) Từ đó: SB  BC.cot 300  a SA  SB  AB  a SB   P  E nên thể tích khối chóp S.MNEF xác định bởi: V  S MNEF SE Do SA  AC SA  AC  a , nên ∆SAC vuông cân A  SEM vuông cân E  SE  Ta có: SM a  2 MN  CS  SC   P      MN   SBC   MN  NE , MN  SB MN  BC  BC   SAB    14 Footer Page 14 of 16 Header Page 15 of 16 Tất học sinh thân yêu  S MNE  1 a a a2 MN NE   2 6 24 Hồn tồn tương tự ta có MF  EF S MEF  Vậy V  S MNEF SE  a 3 a2 a  S MNEF  24 12 (đvtt) 72 Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.MNEF MN  SE    MN   SNE   MN  SN Tương tự MF  SF MN  NE  Từ ∆SNM, ∆SEM ∆SFM tam giác vuông nhận SM cạnh huyền chung Suy gọi I trung điểm SM I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.MNEF bán kính mặt cẩu R a SM  Câu Cho hình chóp S.ABC có SA   ABC  ,  ABC  900 , AB  a, BC  a 3, SA  2a Chứng minh trung điểm I cạnh SC tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp so sánh S.ABC tính diện tích mặt cầu theo a Bài giải: Cho hình chóp S.ABCD có SA   ABC  ,  ABC  900 , AB  a, BC  a 3, SA  2a Chứng minh trung điểm I cạnh SC tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC tính diện tích mặt cầu theo a 15 Footer Page 15 of 16 Header Page 16 of 16 Tất học sinh thân yêu Vì SA   ABC   SA  BC Mặt khác theo giả thiết AB  BC , nên BC   SAB  BC  SB ==>IB = IC = IS Ta có tam giác SBC vuông đỉnh B; tam giác SAC vuông đỉnh A nên IA  IC  SC  IS  IC * Vậy điểm I cách bốn đỉnh hình chóp, I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC Từ (*) ta có bán kính mặt cầu R  Ta có AC  SC AB  BC  2a SC  SA2  AC  2a  R  a Diện tích mặt cầu 4 R  8 a Câu 10: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác cạnh a, đỉnh A’ cách A, B, C Góc cạnh bên mặt đáy lăng trụ 600 Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ Xác định tâm tính theo a bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A’.ABC Bài giải: Xác định góc 600: 16 Footer Page 16 of 16 Header Page 17 of 16 Tất học sinh thân yêu +Gọi H hình chiếu A’ lên (ABC) suy H tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC +AH hình chiếu AA’ lên (ABC), suy Tính thể tích lăng trụ: +∆ABC cạnh a nên Suy ra: Xác định tâm mặt cầu: +Gọi P trung điểm AA’ Kẻ đường trung trực d AA’ (A’AH), d cắt A’H I +I ∊ d => IA’ = IA, I∊ A’H =>IA = IB = IC =>là tâm mặt cầu cần tìm Tính bán kính R: Câu 11 Cho hình chop S.ABCD có ABCD hình bình hành tâm O, AB=2a, AD= 2a ,các cạnh bên 3a Gọi M trung điểm OC Tính theo a thể tích khối chop S.ABMD diện tích hình cầu ngoại tiếp tứ diện SOCD Bài giải: Ta có: SA  SB  SC  SD  3a  SO   ABCD  SOA SOB SOC SOD  OA  OB  OC  OD  ABCD hình chữ nhật  S ABCD  AB AD  a.2a  4a Có: DB  AB  AD  4a  SO  SB  OB  a 17 Footer Page 17 of 16 Header Page 18 of 16 Tất học sinh thân yêu  VS ABCD  SO.S ABCD  a 5.4a  4a  VS ABMD 3 15 3  VS ABCD  a3 15 Gọi G trọng tâm OCD , OCD nên G tâm đường tròn ngoại tiếp OCD Kẻ d qua G song song với SO  d   ABCD  Trong mp(SOG) dựng đường trung trực SO, cắt d K, cắt SO I Ta có: KI trung trực SO  KO  KS Mà KO  KC  KD  K tâm đường tròn ngoại tiếp tứ diện SOCD 2  a   2a  a 93 Có: GO  CD  2a , R  KO  OI  OG        3     2    Diện tích mặt cầu : S  4 R  4  a 93   31a    Câu 12 Cho hình chóp S.ABCD, đáy hình chữ nhật ABCD có AB  a, AD  a , góc mặt phẳng (SAC) mặt phẳng (ABCD) 600, tam giác SAB cân S thuộc mặt phẳng vng góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi H, M trung điểm AB BC Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.DHM Bài giải: Do  SAB    ABCD  SAB cân  SH   ABCD  Kẻ HF  AC góc mặt   600 Ta có HF  h , h độ dài đường cao kẻ từ B phẳng (SAC) mặt đáy SFH ABC , h AB.BC a a 3a Ta có SH  HF tan 600  Gọi I, r tâm bán kính   HF  AC đường tròn ngoại tiếp DHM  r  HM MD.DH S HMD Kẻ đường thẳng d qua I vng góc với mp(ABCD) (song song với SH) 18 Footer Page 18 of 16 Header Page 19 of 16 Tất học sinh thân yêu Tâm O mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.DHM giao điểm đường thẳng d với đường trung trực đoạn thẳng SH mặt phẳng (SH) Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.DHM R  OH  OI  HI  2 SH  r  a r 64 (1)     HM  BH  BM  a  HM  a MD  CM  CD  a a  MD  2 HD  AH  AD  13 a 13 a  HD  S HMD  S ABCD   S BHM  SCMD  S ADH   Suy r  HM MD.DH a 91  4.S HMD Từ (1) (2) suy R  3a  2 91 a 1699 a  a  64 108 24 Câu 13 Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vuông A, AB  a , AC = a, SA=SB=SC, khoảng cách AB SC 2a Tính theo a a) Thể tích khối chóp S.ABC b) Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC Bài giải: 19 Footer Page 19 of 16 Header Page 20 of 16 Tất học sinh thân yêu a) Gọi H trung điểm BC  SH   ABC  Dựng hình chữ nhật ABCD  d  AB; SC   d  B;  SCD    2d  H ;  SCD   Gọi E trung điểm CD  CD   SHE  Gọi F hình chiếu H lên SE  HF   SCD   d  H ;  SCD    HF  HF  a Trong HSE có SH  a a3 VS ABC  SH  S ABC  Ta có SH trục ABC Gọi I trung điểm SC, (SHC) dựng trung trực SC cắt SH K  K tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC Ta có HSC ~ ISK  SK  SC 3a  SK  SH Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC 20 Footer Page 20 of 16 3a Header Page 21 of 16 Tất học sinh thân yêu Câu ( THPT Chuyên Vĩnh Phúc – Lần – Năm học 2012/2013 ) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a, mặt bên SAD tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi M,N,P trung điểm cạnh SB,BC,CD 1)Chứng minh AM  BP tính thể tích khối tứ diện CMNP 2)Xác định tâm tính bán kinh mặt cầu ngồi tiếp hình chóp S.ABCD Câu : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA = SB = a, mặt phằng (SAB) vng góc với mặt phằng (ABCD) Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD Câu ( THPT Chun KHTN Hà Nội – Lần – Năm học 2015/2016 ) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cân A AB = AC = a, ; mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC Câu Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy đường cao a 1) Tính khoảng cách hai đường thẳng AB SC 2) Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD 21 Footer Page 21 of 16  ... tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ta có IA = R Dựng ngoại tiếp tam giác ABC Mặt phẳng trung trực SA cắt trục đường trịn J J tâm mặt cầu ngoại tiếp. .. tròn ngoại tiếp Tứ giác ABCD , Vẽ trục Ox , mặt phẳng SAC ta kẻ trung trực SA Khi ta tìm I tâm mặt cầu ngoại tiếp S.ABCD +)Nếu trục Ox không năm mặt phẳng (SAC) , (SBD) ta Khơng tìm mặt cầu ngoại. .. trung điểm I BD Sẽ tâm mặt cầu ngồi tiếp tứ diện ABCD Vì IA = IB = IC = ID Dạng : Mặt cầu ngoại tiếp khối chóp tứ giác S.ABCD , khơng phải chóp tứ giác có mặt cầu ngoại tiếp , việc phụ thuộc vào