VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí UBND HUYỆN VĨNH LỘC PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2016 - 2017 ĐỀ THI MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Bài 1: (4,0 điểm) Cho biểu thức P = 3x  x  x x 2  x 1 x 2 x 2  x 1 a Tìm ĐKXĐ rút gọn P b Tìm x để P < Bài 2: (4,0 điểm) a Giải phương trình: x  x  x   30 b Cho hai số dương a b Chứng minh 1  4 a b  a  b   Bài 3: (4,0 điểm) a Tìm số tự nhiên n cho A = n + n + số phương b Cho số nguyên dương x, y, z thỏa mãn x  y  z Chứng minh A = xy chia hết cho 12 Bài 4: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, ba đường cao AA', BB', CC' a Chứng minh ΔAC'C  ΔAB'B   900 Chứng minh AM = AN b Trên BB' lấy M, CC' lấy N cho  AMC  ANB c Gọi S, S' diện tích tam giác ABC tam giác A'B'C' Chứng minh cos A  cos B  cos C   S' S Bài 5: (2,0 điểm) Cho x, y số dương thỏa mãn x  y  A  3x  y   5x y 34 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 35 VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP Bài Nội dung cần đạt Điểm Câu a: (2,0 điểm) - Tìm ĐKXĐ: x  0, x  0,5 - Ta có 3x  x  x x 2     x 1  x2 3x  x  ( x  2)( x  1)  0,5 x 2  x 1 ( x  1)( x  1) ( x  2)( x  1)  ( x  2)( x  2) ( x  2)( x  1) 3x  x   x   x  ( x  2)( x  1) 0,5 x3 x 2 ( x  2)( x  1) ( x  2)( x  1) ( x  2)( x  1)  x 1 0,5 x 1 Câu b: (2,0 điểm) - Ta có: P <  x 1 x 1 0,5 0  x   0(do x   0)  x 1 1,0  x 1 - Kết hợp với ĐKXĐ ta được: Với  x  P < 0,5 Câu a: (2,0 điểm) Giải phương trình: x  x  x   30 - ĐKXĐ x  5 0,25 - Ta có x  x  x   30  x  x  16  x   x      x  4    x53  VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí - Vì  x  4  0;   x    nên 1,0  x       x     x     x     x4   0,5 0,25 (thỏa mãn ĐKXĐ) - Nghiệm phương trình cho x = Câu b: (2,0 điểm) 1  1 Cho hai số dương a b Chứng minh  a  b      a b  0,75 - Ta có 1 a b    2  b a a b  a  b   - Vì a,b >0.nên áp dụng bất đẳng thức cosi cho hai số dương a b a b  2 2 b a b a 0,75 0,5 1 1 - Do  a  b      a b Câu a: (2,0 điểm) Tìm số tự nhiên n cho A = n + n + số phương - Để A số phương A = n + n + = a2 (a  N )  4n  4n  24  4a 0,25 0,5 - Ta có: n + n + =a2   2a    2n  1  23 2   2a  2n  1  2a  2n    23 0,5 - Vì a, n số tự nhiên nên (2a +2n +1) số tự nhiên 2a + 2n + > 2a – 2n -1 Do 0,25 VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí  2a  2n   23   2a  2n    4a  24   4n  20 a   n  0,5 - Vậy n = Câu b: (2,0 điểm) Cho số nguyên dương x, y, z thỏa mãn x  y  z Chứng minh A = xy chia hết cho 12 1,0 - Xét phép chia xy cho Nếu xy không chia hết cho  x  1(mod 3)   y  1(mod 3)  x  1(mod 3)   y  1(mod 3) (Vô lí)  z  x  y  2(mod 3) Vậy xy chia hết cho (1) - Xét phép chia xy cho Nếu xy không chia hết cho  x  1(mod 4)   y  1(mod 4)  x  1(mod 4) TH1:    y  1(mod 4)  z  x  y  2(mod 4) 0,5 (vô lí ) TH2: Trong hai số x,y số chia dư 2, số chia dư -1 Không tính tổng quát giả sử VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí  x  1(mod 4)   y  2(mod 4)  x  1(mod 8) ( vô lí)   y  4(mod 8)  z  x  y  5(mod 8) 0,5 - Vậy xy chia hết cho (2) - Từ (1) (2): Vậy xy chia hết cho 12 A B' C N M B A' C Câu a (2,0 điểm): Chứng minh ΔAC'C  ΔAB'B - Xét ΔAC'C;ΔAB'B có Góc A chung 2,0 '  C '  90 B Suy ra: ΔAC'C  ΔAB'B Câu b (2,0 điểm): Chứng minh AM = AN 0,5 - Xét AMC vuông M đường cao MB' AM  AB '.AC 0,5 - Xét ANB vuông N đường cao NC' 0,5 VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí 0,5 AN  AC '.AB - Theo câu a ta có AB'.AC = AC'.AB - Do đó: AM = AN Câu c: (2,0 điểm) Chứng minh cos A  cos B  cos C   - Chỉ - Tương tự S AB 'C '  AB '     cos A S ABC  AB  S BA 'C '  cos B S ABC 0,5 - Do đó: 0,5 S  S BA 'C '  SCA ' B ' cos A  cos B  cos C  AB 'C ' S ABC  S ABC  S A ' B 'C ' S ABC 0,5 SCA ' B '  cos C S ABC S' S  1 0,5 S' S Cho x, y số dương thỏa mãn x  y  34 35 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A  3x  y   5x y 0,5 - Ta có:  5x y 1 5x y  x y    2 5x y A  3x  y  0,5 - Áp dụng bất đẳng thức cosi cho hai số dương ta 5x 2.5 x  2 2 5x x.2 7x 8.7 x  2 4 7x x.2 0,25 VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí - Vì x  y  34 34 17 nên A     35 35 35  5x  5x  2   x   7y   - Dấu "=" xảy   7 y y    34 x  y  35    x  17 - A đạt giá trị nhỏ  35 y   0,5 0,25 ...VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP Bài Nội dung cần đạt Điểm Câu a: (2,0 điểm) - Tìm ĐKXĐ: x  0, x  0,5 - Ta có... A' C Câu a (2,0 điểm): Chứng minh ΔAC'C  ΔAB'B - Xét ΔAC'C;ΔAB'B có Góc A chung 2,0 '  C '  90 B Suy ra: ΔAC'C  ΔAB'B Câu b (2,0 điểm): Chứng minh AM = AN 0,5 - Xét AMC vuông M đường cao