VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí PHÒNG GD & ĐT THÀNH PHỐ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ THANH HÓA NĂM HỌC 2016 - 2017 Môn Toán: Lớp ĐỀ CHÍNH THỨC (Thời gian làm bài: 150 phút) Bài 1: (5,0 điểm)  x2 x  x 1 Với x  0, x    : x x  x  x  1  x   Cho biểu thức: P   a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm x để P  c) So sánh: P2 2P Bài 2: (4,0 điểm) a) Tìm x, y  Z thỏa mãn: y x  x  y   x  y  xy b) Cho a, b, c số nguyên khác thỏa mãn điều kiện: 1 1 1      2 2 b c a b c a Chứng minh rằng: a  b3  c3 chia hết cho Bài 3: (4,0 điểm) a) Giải phương trình sau: x  20 x  25  x  x   10 x  20 b) Cho x, y số thực thoả mãn: x2 + 2y2 + 2xy + 7x + 7y + 10 = Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức: A = x + y + Bài 4: (6,0 điểm) Cho hình vuông ABCD có cạnh a N điểm tùy ý thuộc cạnh AB Gọi E giao điểm CN DA Vẽ tia Cx vuông góc với CE cắt AB F Lấy M trung điểm EF a) Chứng minh: CM vuông góc với EF b) Chứng minh: NB.DE = a2 B, D, M thẳng hàng c) Tìm vị trí N AB cho diện tích tứ giác AEFC gấp lần diện tích VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí hình vuông ABCD Bài 5: (1,0 điểm) Cho a, b, c > Chứng minh rằng: a b c a b c      ab bc ca bc ca ab Hết -Lưu ý: Học sinh không sử dụng máy tính cầm tay VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP Bài Câu a Nội dung Điểm Điều kiện: x  0, x  0,5  x2 P  x x  x   x2     x 1 x   0,5      b x  x 1  : x 1 1 x   x  x 1  : x 1 x    x   x ( x  1)  ( x  x  1)   x  x 1   x 1 x  x 1   x 1 x  x 1 : x 1 2 x 1 0,5 0,5 x  x 1 Với x  0, x  Ta có: P 0,5 2  x  x 1 1,0  x  x 1  0,25   x x 60  ( x  2)( x  3)  Vì x   nên Vậy P = c 0,25 x    x  (t/m) x = Vì x   x  x   0,25 VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí 2 x  x 1  0P2  P ( P  2)   0 0,25  P2  2P  0,25  P2  2P Dấu “=” xảy P =  x = 0,25 Vậy P2  2P a y2 x  x  y   x2  y2  xy  y2 x  x  y   x2  y2  xy    x  1 (2 y2  y  x)  1 0,5 0,25 Vì x, y Z nên x - 1 Ư(-1) = 1; 1 +) Nếu x – =  x = 0,5 Khi 2y2 - y – = -  y = (t/m) y = 1 Z (loại) +) Nếu x – = -1  x = 0,5 Khi 2y - y =  y = (t/m) y = 1 Z (loại) 0,25 x  x  ;  y 1 y 1 Vậy  b a) Từ giả thiết 1 1 1 (   )2    a b c a b c 1  2(   )  ab bc ca Vì a, b, c  nên a + b + c = 0,5 0,5 0,5 VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí  a  b  c   a  b    c  0,25  a  b3  3ab(a  b)  c3 0,25 3  a  b3  c3  3abc Vậy a  b  c3 3 với a, b, c  Z Lưu ý: Nếu học sinh sử dụng đẳng thức x3 + y3 + z3 – 3xyz = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx) mà không chứng minh trừ 0,5 điểm a Đkxđ: x  R 0,25 x  20 x  25  x  x   10 x  20 Vì x  20 x  25  x  x   với x  10x – 20   x  0,5 Ta có: x  20 x  25  x  x   10 x  20  x   x   10 x  20  x   x   10 x  20  x  28  x  4(t / m) 0,5 0,5 0,25 Vậy phương trình có nghiệm x = b x2 + 2y2 + 2xy + 7x + 7y + 10 = 0,5   x  y   7( x  y )  10   y 2  ( x  y  2)( x  y  5)   y   4  x  y   1 * x + y + = - x = - 5; y = * x + y + = - x = - 2; y = Vậy Amin = - x= - 5; y = Amax = - x = -2; y = 0,5 0,5 0,5 VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí a E M A N B F 1,0 D C   BCF  (cùng phụ với ECB ) Ta có: ECD Chứng minh được:  EDC =  FBC (cạnh góc vuông – góc nhọn) 1,0  CE = CF   ECF cân C Mà CM đường trung tuyến nên CM  EF b * Vì  EDC =  FBC  ED = FB 0,5  NCF vuông C Áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông ta có: BC2 = NB.BF  a2 = NB.DE (đpcm) 0,5 *  CEF vuông C có CM đường trung tuyến nên CM   AEF vuông A có AM đường trung tuyến nên AM  EF EF 0,5  CM = AM  M thuộc đường trung trực AC Vì ABCD hình vuông nên B, D thuộc đường trung trực AC 0,5  B, D, M thẳng hàng thuộc đường trung trực AC (đpcm) c Đặt DE = x (x > 0)  BF = x 0,5 VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí SACFE = SACF + SAEF = AF   AE  CB   (AB  BF)   AE  AD   (a  x).DE  (a  x)x SACFE = 3.SABCD  0,25 0,5 (a  x)x  3a  6a  ax  x   (2a  x)(3a  x)  Do x > 0; a >  3a + x >  2a  x   x = 2a 0,5  A trung điểm DE  AE = a Vì AE //BC nên AN AE  1 NB BC 0,25  N trung điểm AB Vậy với N trung điểm AB SACFE = 3.SABCD * Vì a, b, c > nên Tương tự:  a a a c 1  ab ab abc b ba c c b  ;  bc abc ca abc a b c    (1) ab bc ca * Ta có: a a  bc a (b  c) Vì a, b, c > nên theo bất đẳng thức Cô- si ta có: a  (b  c )  a (b  c )  2   abc a (b  c ) 0,5 VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí  2a  abc Tương tự:  a 2a a   abc bc a (b  c) 2b b 2c c  ;  abc ac abc ba a b c   2 bc ca ab Dấu ‘ =” xảy a = b + c; b = c + a; c = a +b 0,5 tức a = b = c (vô lý)  a b c    (2) bc ca ab Từ (1) (2) ta có đpcm * Lưu ý chấm bài: - Nếu học sinh trình bày cách làm khác mà cho điểm phần theo thang điểm tương ứng - Với 5, học sinh vẽ hình sai không vẽ hình không chấm  ... ca ab Hết -Lưu ý: Học sinh không sử dụng máy tính cầm tay VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP Bài Câu a Nội dung Điểm Điều... ca ab Từ (1) (2) ta có đpcm * Lưu ý chấm bài: - Nếu học sinh trình bày cách làm khác mà cho điểm phần theo thang điểm tương ứng - Với 5, học sinh vẽ hình sai không vẽ hình không chấm ... b3  3ab(a  b)  c3 0,25 3  a  b3  c3  3abc Vậy a  b  c3 3 với a, b, c  Z Lưu ý: Nếu học sinh sử dụng đẳng thức x3 + y3 + z3 – 3xyz = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx) mà không