SANG KIEN KINH NGHIEM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ TRONG THI HỌC SINH GIỎI

30 614 0
SANG KIEN KINH NGHIEM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ TRONG THI HỌC SINH GIỎI

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

CNG HềA X HI CH NGHA VIT NAM cX lpHI - TCH - Hnh phỳc CNG HềA NGHA VIT NAM c lp - T - Hnh phỳc TấN TI TấNGII TI MT VI CCH TèM HN CA DY S MT VI CCH TèM GII HN CA DY S H v tờn: Chc v: Mc lc Phn m u 1.1 Lớ chn ti Gii hn l mt phn c bn ca gii tớch, chớnh nhng khỏi nim v cỏc phộp toỏn v gii hn v tớnh liờn tc l c s cho vic nghiờn cu ca cỏc phộp toỏn nh o hm, Tớch phõn chng trỡnh hc ca mụn toỏn THPT hin Do ú vic hc v khai thỏc nú l cn thit v cú ý ngha Tuy nhiờn phn ln cỏc kin thc liờn quan n gii hn rt tru tng v khú hiu i vi hc sinh, iu ny s lm cho nú tr nờn rt khú tip cn v hp dn i vi ngi hc Vi nhng lớ ú chỳng tụi chn ti Mt vi cỏch tỡm gii hn ca dóy s Qua ti ny chỳng tụi s h thng li mt s kin thc lớ thuyt, cng nh trỡnh by mt vi cỏch gii n gin ca mt s bi gii hn thng gp cỏc kỡ thi cho hc sinh lp 11 ti ny c trỡnh by trờn c s mt phn nh lớ thuyt phn gii hn ca dóy s c trỡnh by sỏch giỏo khoa i s v gii tớch 11 v ni dung ch yu l tỡm gii hn ca dóy s da vo cỏc nh lớ c bn c trỡnh by (khụng chng minh) nh mc 2.1.4b di õy 1.2 Phm vi ỏp dng ti, sỏng kin, gii phỏp ti ny ch yu c s dng quỏ trỡnh ging dy chn i tuyn thi hc sinh gii cp Tnh lp 11, vi mc ớch h thng húa mt ớt kin thc giỳp cỏc em d tip cn vi bi toỏn tỡm gii hn ca dóy s trng hp s hng tng quỏt cha cho bit c th Phn ni dung 2.1 Thc trng ca Trong quỏ trỡnh ging dy, hc sinh thng hay gp khú khn v b tc i vi nhng bi toỏn tỡm gii hn ca dóy s m un cha bit c th Di õy chỳng tụi s trỡnh by mt vi cỏch tỡm gii hn ca dóy s cỏc trng hp ú 2.1 Túm tt lý thuyt Phn lớ thuyt ny chỳng tụi xin trỡnh by túm tt mt s ni dung cn thit cho ti, phn cỏc quy tc tớnh gii hn ca dóy s, cp s cng, cp s nhõn xem nh ó bit 2.1.1 nh ngha dóy s a) nh ngha Mt hm s u xỏc nh trờn hp cỏc s nguyờn dng dóy s vụ hn (hay cũn gi tt l dóy s) N * c gi l mt b) Tờn gi v kớ hiu Mi giỏ tr ca hm s u c gi l mt s hng ca dóy s; u(1) c gi l s hng th nht (hay s hng u); gi l s hng th n ca dóy s Ngi ta thng kớ hiu cỏc giỏ tr s u(2) c gi l s hng th hai; u(n) c u(1) , u(2) , tng ng bi u1 , u2 , v dóy u = u (n) bi (un ) v gi un l s hng tng quỏt ca dóy s Mi hm s u xỏc nh trờn M = {1,2,3,, m} vi m N* c gi l mt dóy u(1) s hu hn, ú c gi l s hng th nht (hay s hng u); c gi l s hng cui u(m) 2.1.2 Cỏc cỏch cho mt dóy s Mt dóy s c coi l xỏc nh nu ta bit cỏch tỡm mi s hng ca dóy s ú Ngi ta thng cho dóy s bng mt cỏc cỏch sau õy: Cỏch 1: Dóy s cho bng cụng thc ca s hng tng quỏt Cỏch 2: Cho dóy s bi h thc truy hi Cỏch 3: Din t bng li cỏch xỏc nh mi s hng ca dóy s 2.1.3 Dóy s tng, dóy s gim v dóy s b chn Dóy s (un) c gi l: Dóy n iu tng nu un+1 > un, vi mi n = 1, 2, Dóy n khụng gim nu un+1 un, vi moi n = 1, 2, Dóy n iu gim nu un+1 < un, vi mi n = 1, 2, Dóy n iu khụng tng nu un+1 un, vi mi n = 1, 2, Dóy s (un) c gi l Dóy s b chn trờn nu tn ti s M cho un < M, vi mi n = 1, 2, Dóy s b chn di nu tn ti s m cho un > m, vi mi n = 1, 2, Dóy s b chn nu va b chn trờn va b chn di 2.1.4 Gii hn hu hn ca dóy s a) nh ngha Dóy s nh un = a (un ) gi l cú gii hn bng a, v kớ hiu lim n > 0, tn ti s nguyờn dng n0 cho (u ) (hay lim un = a ) nu n > n0 thỡ un a < nh ngha ny c hiu nh sau: Dóy s n gi l cú gii hn bng a nu vi mi s dng nh tựy ý cho trc, mi s hng ca dóy, k t s hng no ú tr i, un a nh hn s dng ú T nh ngha ta cú cỏc nhn xột sau: Nu (un ) hi t thỡ lim un+ = lim un+ = = lim un (u ) Nu dóy n hi t thỡ b chn (iu ngc li hin nhiờn khụng ỳng) b) Cỏc nh lớ c bn Cú rt nhiu nh lớ liờn quan n gii hn ca dóy s, di õy chỳng tụi xin trỡnh by ba nh lớ c bn (khụng chng minh), thng hay s dng gii cỏc bi dóy s cỏc thi HSG nh lớ Dóy s thc (un ) tng v b chn trờn thỡ hi t nh lớ Dóy s thc (un ) gim v b chn di thỡ hi t Chỳ ý: Nu dóy s thc (un ) tng thỡ k = 1,2, ta cú uk lim un Nu dóy s thc (un ) gim thỡ k = 1,2, ta cú uk lim un Cho dóy v nu (un ) hi t Khi ú nu tn ti n0 N cho a un , n n0 thỡ a lim un b un , n n0 thỡ b lim un nh lớ (Nguyờn lớ kp) Nu ba dóy (un ), (vn ), (w n ) tha un w n , n > n0 v lim un = lim w n = L thỡ limv n = L 2.1.5 Gii hn vụ cc ca dóy s a) nh ngha ta núi dóy s (un ) cú gii hn l + Nu vi mt s thc A bt kỡ u tn ti s Tng t ta cú nh ngha cho lim un = v kớ hiu l n0 N cho lim un = + n n0 thỡ u n > A nh ngha ny c hiu nh sau: Ta núi dóy s (un ) cú gii hn l + v kớ hiu l lim un = + Nu (un ) cú th ln hn mt s dng bt kỡ, k t mt s hng no ú tr i b) Nhn xột Dóy s tng v khụng b chn trờn thỡ lim un = + Dóy s gim v khụng b chn di thỡ Nu ú lim un = + 1 = un un thỡ un lim un = tr nờn ln bao nhiờu cng c, l n ln Do tr nờn nh bao nhiờu cng c, l n ln Chỳ ý: Cỏc dóy s cú gii hn + v cc hay dn n vụ cc 2.2 c gi chung l cỏc dóy s cú gii hn vụ Mt s bi liờn quan n gii hn ca dóy s 2.2.1 Tỡm gii hn ca dóy s bng cỏch tỡm cụng thc s hng tng quỏt ca dóy s Cú rt nhiu phng phỏp tỡm SHTQ ca dóy s Di õy l mt vi cỏch n gin tỡm SHTQ ca dóy s chng hn nh: s dng quy np toỏn hc, a v cp s cng v cp s nhõn, tỡm cỏch i bin s Mt ó tỡm thy cụng thc ca s hng tng quỏt thỡ bi toỏn tỡm gii hn ca dóy s tr nờn n gin Bi Cho cỏc dóy s sau u1 = a) (u n ) + un u = n + un + Tỡm lim u n u1 = b) (u n ) u = n + un + Tỡm lim u n Phõn tớch bi ny nh sau: Quan sỏt dng tng quỏt ca bi toỏn Tỡm cụng thc ca s hng tng quỏt (nu cú th) Tớnh gii hn ca dóy s ú Gii a) x n +1 = (1 2) = = (1 2)n un u = (1 2)2 n = un + u n + u1 = (1 2)n +1 u1 + 1 u n +1 = + (1 2)n +1 u n = + (1 2)n 2 lim u n = lim( + (1 2)n ) = 2 Cõu b lm tng t Bi x1 = (x n ) xn x = n +1 2(2n + 1)x n + n = 1,2 Hóy tớnh tng 2001 s hng u tiờn ca dóy s v tớnh gii hn ca dóy s ú Nhn xột: Vic tỡm cụng thc ca SHTT trng hp ny s lm cho bi toỏn tr nờn n gin Bi gii: x n > n = 1,2 T Nờn ta cú ẹaởt x n +1= xn 1 = 2(2n + 1) + 2(2n + 1)x n + x n +1 xn = u u1 = 3, u n +1 = 4(2n + 1) + u n xn n Khi ú un = an + bn + c thỡ ta cú ng nht thc hai v ca nờn n = 1,2 (*) g (n + 1) = 4(2n + 1) + g (n ) (*) u =3 u = 4n + c u = 4n + c n n ta tỡm c ú v un = n u n = (2 n 1)(2 n + 1), n = 1,2 xn = 2 1 = = u n (2n 1)(2n + 1) 2n 2n + Do ủoự: x1 + + x 2001 = 4002 4003 Bi Cho dóy s x1 = (x n ) 14x n 51 x = n 5x n + 18 n = n = 1,2 x a) Tớnh 2013 b) Tớnh lim xn Phõn tớch bi toỏn: o Bi toỏn ny cú yờu cu tớnh x2013 ú vic tỡm cụng thc SHTQ l cn thit v cú ý ngha o Cụng thc ca SHTQ c tỡm thy mt cỏch d dng Ta cú mt li gi cho bi toỏn ny nh sau Bi gii Ta cú: xn + = 14 xn 51 xn + +3= xn + 18 5( xn1 + 3) + = 5+ xn + xn1 + 5 + = 3( + ) = = 3n ( + ) xn + xn1 + x1 + 11 = 3n1 xn + xn + = n 11.3 10 xn = n 11.3 10 n õy vic gii bi ny hon ton n gin Nh vy vic tỡm cụng thc ca SHTQ gii quyt c, thỡ bi toỏn tỡm gii hn ca dóy s tr nờn rt n gin Tuy nhiờn khụng phi iu ny luụn d dng mi trng hp ú chỳng ta phi tỡm thờm nhng cỏch khỏc gii quyt nhng bi ú Di õy l mt s cỏch khỏc 10 un (1 un+1 ) > n lim [ un (1 un+1 )] x(1 x) 1 1 limu n = ( x )2 x = x = 2 2 Vy Khi ú Trong bi ny khụng nht thit phi s dng quy np chng minh dóy s gim u0 > un u = ,n n + + u u lim un n Bi Cho dóy s ( n ) xỏc nh bi Tớnh Bi gii u0 >0 u + u Nhn xột rng n > vi mi n Tht vy, u > v u1 = uk > 0, k uk +1 = Gi s u n +1 uk > = < 1, n 2 u > 0) + uk u + u n Do ú n (vỡ n un+1 < un , n (un ) l dóy s gim v b chn di bi nờn ( un ) cú gii hn hu hn lim un+1 = lim t lim un = a, ú t h thc truy hi un a a= a3 + a = a a = 2 lim un = + un 1+ a Vy Di õy l mt s bi tng t 16 suy Bi Cho dóy (un) (n = 1, 2, ) xỏc nh bi: u1 = 2008 2007 u = (2007 u + ) n 2007 n +1 2008 u n Bi Tỡm iu kin ca (n 1) Tỡm gii hn ca dóy s u1 dóy s (un) cho di õy hi t v tỡm gii hn ú un+ = un2 + 3un + n = 1,2,3 Bi Cho dóy (un) (n = 1, 2, ) xỏc nh bi: un = 2n + a 8n3 + ( a R, n = 1,2 ) Tỡm a cho dóy s ó cho cú gii hn hu hn Bi Cho dóy (un) (n = 1, 2, ) xỏc nh bi: u = u = 3u n n (n 2) Tỡm gii hn ca dóy s 2.2.3 S dng nguyờn lớ kp tỡm gii hn ca dóy s S dng nguyờn lớ kp ụi lm gim phc ca bi toỏn, nhiờn s dng cn chỳ ý l cỏc bt ng thc mt bin trng hp ny l quan trng Ngoi i vi nhng dóy khụng tng, khụng gim thỡ õy l mt cụng c khỏ hu hiu gii Chỳ ý: chng minh dóy s (un ) un L yn , n > n0 lim yn = ú hi t v s thc iờự phi chng minh 17 L ta chng minh v s dng nghuyờn lớ kp ta cú Di õy l mt s vớ d u1 = (u n ) u = u n +1 n Bi Cho dóy s Tỡm gii hn ca dóy s Phõn tớch bi toỏn o Trc ht ta d thy o < un < a = a a = t thỡ o Xột un +1 a tỡm dóy ( yn ) ú lim yn = Bi gii Bng quy np ta chng minh c < un < u a = u a u + a < un a n + n n a = 2 t ú < u n < 0; < u n + a = u n + < 3) (vỡ n 3 u n +1 a < u n a < ữ u n a < < ữ u1 a ữ ữ Do ú: Nh vy ta cú 18 n < u n +1 a < ữ u a ữ n lim lim u n +1 a lim ữ u a = ữ Hay lim u n = u1 = m (u n ) u = 30 u +4 n + n Bi Cho m R Dóy Chng minh (u n ) n N * cú gii hn hu hn Tỡm gii hn ú o Phõn tớch bi toỏn: Dóy s cú gii hn hu hn nu nú tha chỳ ý trờn Do ú ta tỡm cỏch ỏnh giỏ s dng cỏc kt qu ú Bi gii Ta cú: t u n +1 a = 30 = a = 19 19 30 2 u n2 + a + = 15 15 u n2 a u n2 + u n2 + 2 + a2 + 15 15 30 u a n 2 + a + u n2 + a u n + a 15 15 (Vỡ ) 19 Do ú ta cú: un a 30 30 n1 un1 a ( ) m a 7 Hay dóy s ó cho cú gii hn hu hn v gii hn ú bng a u1 = 10 u = un , n Bi Cho dóy s (un) xỏc nh bi n +1 Tớnh limun Bi gii Bng quy np ta cú th chng minh un >1, vi mi n Mt khỏc theo bt ng thc Cụsi, ta cú Du = khụng xy vỡ un+1 = un = 1.un u1 = 10 > n ú un + < + un u , n un +1 < n , n 2 (*) Suy < un < Hay u n u n u1 < < < = n , n n 2 2 , < un < + , n 2n1 20 + un M lim( 1+ 2n1 ) = nờn theo nguyờn lớ kp ta cú limun = u1 = u = , n n + + u lim un n Bi Cho dóy s (un) xỏc nh bi Tớnh Bi gii Bng quy np ta chng minh c t x= < un < un +1 x = Xột 1 x un x un = = + un + x (1 + un )(1 + x) + 1 + un 1 < n u = u + n+1 n u , n n Bi Cho dóy s (un) xỏc nh bi lim Tớnh HD 1< un n un u < 1+ n n un = Bi Cho dóy s (un) xỏc nh bi Tớnh n2 + n < un < HD n2 + + + n2 + n n n2 + Bi Cho dóy s (un) xỏc nh bi Tớnh n2 + + lim un n HD un = n n lim un un = n n + + + + n + n n + n = n n Bi 10 Cho dóy s (un) xỏc nh bi un = 23 n n n + + + n2 + n2 + n2 + n Tớnh lim un n HD n n n n n u = + + + n n n2 + n n2 + n2 + n2 + n n2 + 2.2.4 Dóy tng Cú nhiu phng phỏp tỡm gii hn ca dóy tng, nhiờn ngi ta thng s dng hai cỏch sau õy tớnh gii hn ca dóy tng: o Rỳt gn hoc tỡm s hng tng quỏt ca dóy tng o So sỏnh vi mt dóy s khỏc v s dng nguyờn lớ kp Bi Xột dóy s (xn) (n = 1, 2, 3, ) xỏc nh bi: xn+1 = ( xn2 + 1) x1 = v vi mi n = 1, 2,3, Sn = t 1 + + + + x1 + x2 1+ xn Bi gii Ta chng minh bng quy np ta chng minh c Gi s ( xn ) l dóy tng lim x = lim( ( xn + 1)) n +1 ( xn ) b chn trờn ú t lim xn = a thỡ a = (a + 1) a = Hay ta cú (vụ lớ) 24 Vy ( xn ) khụng b chn trờn nờn lim xn = + T gi thit ta cú: 2( xn+1 1) = ( xn2 1) = (x n 1)( xn + 1) xn+1 = 1 xn xn + 1 1 = xn + xn xn+1 Sn = =( = 1 + + + = + x1 + x2 1+ x n 1 1 1 )+( ) + + ( )= x1 x2 x2 x3 xn xn+1 1 x1 xn+1 lim Sn = lim( n + 1 )= = x1 xn+1 x1 Bi u1 = a un2 (b + c)un + c u n +1 = bc Cho dóy (un) tha n Ta chng minh Bi gii 1 = u1 + c un+1 + c i =1 ui + b Sn = Tht vy 25 un2 (b + c)un + c un +1 = bc Ta cú un2 (b + c)un + bc (un + b)(un + c) un+1 + c = = b c bc Suy 1 = T ú un+1 + c un + c un + b 1 = u n + b u n + c u n +1 + c Khai trin v c lng c 1 = u1 + b u1 + c u2 + c 1 = u2 + b u2 + c u3 + c 1 1 = Sn = un + b un + c un+1 + c Do ú u1 + c un+1 + c Vớ d ỏp dng bi toỏn u1 = un2 un + un+1 = a) Cho dóy s (un) tha món: Sn = t 1 + + + + u1 + u2 2+ un Tỡm limSn b) Cho dóy s (un) tha món: 26 u1 = + un+1 = ( 2)un + (2 5)un + 3 1 + + + + u1 + u2 + un Sn = t Tỡm limSn (S: ) c) Cho dóy s (un) tha món: u1 = u = (un 7un + 25) n + Sn = 1 + + + u1 u2 u n t Tỡm limSn (S: 1/3) Bi (2 xn + 1)2012 xn+1 = + xn 2012 Cho dóy s (xn) c xỏc nh bi: x1 = 1; Vi n l s nguyờn dng (2 x1 + 1)2011 (2 x2 + 1)2011 (2 x3 + 1)2011 (2 xn + 1)2011 un = + + + + x + x + x + xn+1 + 3 t Bi gii 27 Ta cú x n +1 x n > nờn ( xn ) l dóy tng, gi s ( xn ) b chn trờn ú tn ti lim xn = a > Khi ú Vy a (2a + 1)2012 a= +a a= 2012 (loi) l nghim ca phng trỡnh lim xn = + Mt khỏc 2(x n +1 x n ) = 2x n + 2x n +1 + (2x n + 1)(2x n +1 + 1) = 2(2x n + 1)2012 = = 2012(2x n + 1)(2x n +1 + 1) (2x n + 1)2011 = 1006(2 x n +1 + 1) Do ú (2 x1 + 1)2011 (2 x2 + 1) 2011 (2 x3 + 1) 2011 (2 xn + 1) 2011 un = + + + + = x2 + x3 + x3 + xn+1 + n (2 x i + 1)2011 = = 1006 = 1006 ữ ữ xi +1 + xi +1 + i =1 i =1 xi + x1 + xn+1 + n lim un = n + 1006 Suy Di õy l mt s bi tng t Bi 28 u1 = u1 un (u n ) u n2 S = + + n u n +1 = u n + u2 u n +1 limSn 2010 Cho dóy s: t Tỡm u n +1 u n u n2 = u u 2010 u n +1.u n HD: n +1 n S: 2010 Bi i =1 u i + n Cho dóy (u n ):u n + = u n2 + 3u n + Tỡm lim HD: 1 = u n + u n + u n +1 + Bi u1 = (u n ) u n4 + Sn = u n +1 = u u + n n Cho dóy s: t limSn k =1 u k + Tỡm n HD: bng quy np chng minh c x n > n (s:1) Bi u1 = (u n ) u n2012 + 2x n + Sn = u n +1 = u 2011 x + n n Cho dóy s: t n u k =1 2011 k + Tỡm limSn (s:1) u = 2012 (u n ) u n +1 = 2012u n2 + u n Bi Cho dóy s: 29 lim( Tớnh u1 u u + + + n ) u2 u3 u n +1 Phn kt lun 3.1 í ngha ca ti nghiờn cu ti ó a mt vi cỏch tỡm gii hn ca dóy s da trờn mt s nh lớ c bn nhm h tr cho hc sinh tip cn vi vic hc d dng hn, cng nh to thờm phn hng thỳ, nhu cu tỡm hiu cho ngi hc ti ó tng hp thờm mt vi k nng tỡm gii hn ca dóy s, xõy dng v h thng c mt s bi in hỡnh giỳp HS ch ng hn vic hc õy l mt ti liu tham kho cho hc sinh v giỏo viờn quỏ trỡnh hc v ging dy 3.2 Kin ngh v xut Cỏc bi toỏn liờn quan n gii hn thng khú v cú rt nhiu dng toỏn khỏc nhau, ti ny mi ch cp n mt khớa cnh nh ca v tỡm gii hn ca dóy s Trong quỏ thc hin khụng trỏnh s sai sút vỡ vy rt mong nhn c s gúp ý ca hc sinh v ng nghip ti hon thin v cú giỏ tr hn 30 ... tuyn thi hc sinh gii cp Tnh lp 11, vi mc ớch h thng húa mt ớt kin thc giỳp cỏc em d tip cn vi bi toỏn tỡm gii hn ca dóy s trng hp s hng tng quỏt cha cho bit c th Phn ni dung 2.1 Thc trng ca Trong. .. cp n mt khớa cnh nh ca v tỡm gii hn ca dóy s Trong quỏ thc hin khụng trỏnh s sai sút vỡ vy rt mong nhn c s gúp ý ca hc sinh v ng nghip ti hon thin v cú giỏ tr hn 30 ... mụn toỏn THPT hin Do ú vic hc v khai thỏc nú l cn thit v cú ý ngha Tuy nhiờn phn ln cỏc kin thc liờn quan n gii hn rt tru tng v khú hiu i vi hc sinh, iu ny s lm cho nú tr nờn rt khú tip cn v hp

Ngày đăng: 16/03/2017, 13:44

Từ khóa liên quan

Mục lục

  • 1. Phần mở đầu

    • 1.1. Lí do chọn đề tài

    • 1.2. Phạm vi áp dụng đề tài, sáng kiến, giải pháp

    • 2. Phần nội dung

      • 2.1. Thực trạng của vấn đề

      • 2.1. Tóm tắt lý thuyết

        • 2.1.1 Định nghĩa dãy số

        • 2.1.2 Các cách cho một dãy số

        • 2.1.3 Dãy số tăng, dãy số giảm và dãy số bị chặn

        • 2.1.4 Giới hạn hữu hạn của dãy số

        • 2.1.5 Giới hạn vô cực của dãy số

        • 2.2 Một số bài tập liên quan đến giới hạn của dãy số

          • 2.2.1 Tìm giới hạn của dãy số bằng cách tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số

          • 2.2.2 Phương pháp chứng minh dãy số hội tụ và tìm giới hạn của nó bằng cách sử dụng định lí 1 và định lí 2 (trong đó là hàm liên tục).

          • 2.2.3 Sử dụng nguyên lí kẹp để tìm giới hạn của dãy số

          • 2.2.4 Dãy tổng

          • 3. Phần kết luận

            • 3.1 Ý nghĩa của đề tài nghiên cứu

            • 3.2 Kiến nghị và đề xuất

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan